'집합' 태그의 글 목록

중1 수학 목차
311

2025.07.04
공통수학 1, 2 목차
4

2025.02.26
2014년 고1 수학 목차 - 수1, 수2
103

2014.01.23
합의 법칙, 곱의 법칙
7

2014.01.11
집합이란? 집합의 뜻
29

2013.04.28
드모르간의 법칙, 집합의 연산법칙
16

2013.02.20
부분집합, 부분집합의 개수 구하기
25

2013.02.18
고1 수학 목차, 공통수학 목차
92

2013.02.17
전체집합, 여집합, 차집합
14

2012.05.15
교집합과 합집합
15

2012.05.14
특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기
20

2012.05.12
부분집합 구하기, 부분집합의 개수 구하기
13

2012.05.11
진부분집합과 부분집합의 성질
5

2012.05.10
집합의 포함관계 - 부분집합
2

2012.05.09
집합의 원소의 개수
8

2012.05.08

중학교 1학년 수학 목차입니다. 각 게시글 하단의 목차보다 여기 있는 목차를 이용해주세요.

각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.

중2 수학 목차
중3 수학 목차

❮ ❯

각 게시글 하단의 목차 페이지는 이용하지 말고, 이 목차 페이지에서 필요한 단원의 글만 골라서 공부하세요.

공통수학 1

공통수학 2

❮ ❯

고등학교 교육과정이 자주 바뀌어 학년별 목차보다 단원별 목차가 더 효율적이라 판단되어 목록을 일부 수정합니다.

각 게시글 하단의 목차를 이용하지 말고, 이 게시글의 목차에서 필요한 단원만 골라서 공부하세요.

각 게시글 하단의 목차 페이지는 이용하지 말아주세요.

수학Ⅰ

수학Ⅱ

❮ ❯

합의 법칙, 곱의 법칙은 [중등수학/중2 수학] - 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 공부했었어요. 물론 기억나지 않겠지만요.

합의 법칙, 곱의 법칙은 경우의 수를 구하는 방법이에요. 이 과정을 집합과 관련지어서 생각하면 조금 더 쉽게 답을 구할 수 있어요. 이 글에서는 어떤 관련이 있는지를 알아볼 거예요. 집합 원소의 개수를 이용해서 구하는 거니까 내용이 어렵지 않아요.

그리고 합의 법칙을 사용하는 경우와 곱의 법칙을 사용하는 경우를 잘 비교해보세요.

합의 법칙

합의 법칙은 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 각각의 사건이 일어날 경우의 수를 서로 더해서 구하는 거예요.

사건 A가 일어날 경우의 수가 m, 사건 B가 일어날 경우의 수가 n이라면 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 사건 A 또는 사건 B가 일어날 경우의 수는 m + n이죠.

사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수이므로 둘 중 하나만 일어나면 되는 사건이에요.

합의 법칙은 집합을 이용해서 나타낼 수 있어요. 사건 A가 일어날 경우의 수를 n(A), 사건 B가 일어날 경우의 수를 n(B)라고 할 수 있는 거죠.

이때, 사건 A 또는 사건 B가 일어날 경우의 수는 n(A + B)가 아니라 n(A ∪ B)에요. 사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우는 n(A ∩ B)고요.

두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3 또는 2의 배수일 경우의 수를 구하여라.

주사위의 눈금은 1 ~ 6까지 있어요. 두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3의 배수인 사건을 A, 눈금의 합이 2의 배수인 사건은 B라고 해보죠.

눈금의 합이 3의 배수인 사건 A가 일어나는 경우의 수
두 눈금의 합이 3일 때: (1, 2), (2, 1)
두 눈금의 합이 6일 때: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
두 눈금의 합이 9일 때: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
두 눈금의 합이 12일 때:(6, 6)

눈금의 합이 2의 배수인 사건 B가 일어나는 경우의 수
두 눈금의 합이 2일 때: (1, 1)
두 눈금의 합이 4일 때: (1, 3), (2, 2), (3, 1)
두 눈금의 합이 6일 때: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
두 눈금의 합이 8일 때: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
두 눈금의 합이 10일 때: (4, 6), (5, 5), (6, 4)
두 눈금의 합이 12일 때: (6, 6)

n(A) = 12, n(B) = 18에요.

두 눈금의 합이 6, 12일 때는 양쪽 사건 모두에 있네요. n(A ∩ B) = 6

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 12 + 18 - 6 = 24

곱의 법칙

곱의 법칙은 두 사건 A, B가 동시에 일어날 때 각각의 사건이 일어날 경우의 수를 서로 곱해서 구하는 거예요. 동시에라는 말은 시간적 의미의 동시라는 뜻도 있지만 잇달아서 연달아서 일어나는 사건을 나타내요.

두 개의 주사위를 한꺼번에 던지는 예도 있지만 한 개를 먼저 던지고 다른 하나를 나중에 던지는 경우도 포함해요. 연속해서 던지는 경우니까요. 또는 한 개의 주사위를 한 번 던지고 다시 집어서 던지는 경우도 포함하죠. 잇달아 던지는 거잖아요.

사건 A가 일어날 경우의 수가 m, 사건 B가 일어날 경우의 수가 n이라면 두 사건 A, B가 동시에 일어날 경우의 수는 m × n이죠.

곱의 법칙도 집합으로 나타내보죠.

사건 A가 일어날 경우의 수를 n(A), 사건 B가 일어날 경우의 수를 n(B)라고 한다면 사건 A와 사건 B가 연달아 일어날 확률은 n(A) × n(B)에요.

두 개의 주사위 A, B를 던졌을 때, A의 눈금은 3의 배수, B의 눈금은 2의 배수가 나올 경우의 수를 구하여라.

A 주사위를 던져서 3의 배수가 나올 경우의 수: 3, 6
B 주사위를 던져서 2의 배수가 나올 경우의 수: 2, 4, 6

n(A) × n(B) = 2 × 3 = 6

합의 법칙, 곱의 법칙 구별

곱의 법칙은 동시에 일어나는 사건에 적용해요. 여기서 동시에란 연속해서, 잇달아 일어나는 사건이에요. 별개의 두 사건이 모두 발생한다는 거죠. 합의 법칙은 별개의 두 사건이 있는 경우에 둘 다 일어나지 않아도 상관없어요.

두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3 또는 2의 배수일 경우의 수를 보세요. 주사위 눈금의 합이 3의 배수인 사건과 2의 배수인 사건 두 개의 사건이 일어날 수 있어요. 그런데 눈금의 합이 3의 배수인 사건만 일어나도 이 경우에는 유효해요. 반대로 눈금의 합이 2의 배수인 사건만 일어나도 유효한 거죠. 그래서 이 사건은 합의 법칙으로 경우의 수를 구해요.

두 개의 주사위 A, B를 던졌을 때, A의 눈금은 3의 배수, B의 눈금은 2의 배수가 나올 경우의 수를 보세요. A 주사위 눈금이 3의 배수인 사건만 발생해서는 유효하지 않죠? B 주사위의 눈금이 2의 배수인 사건까지 일어나야 유효해요. 두 사건 A, B가 모두 일어나야 유효하니까 이 경우에는 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구해요.

"동시에"라는 개념이 상당이 애매한데요. 시간적 의미의 동시라기보다는 "사건이 모두 발생한다"라는 의미로 이해하세요.

합의 법칙: 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때, 두 사건이 모두 일어나지 않아도 상관없을 때
곱의 법칙: 두 사건이 동시에 일어날 때, 두 사건이 모두 일어나야 할 때

정리해볼까요

합의 법칙, 곱의 법칙: 사건 A가 일어날 경우의 수가 m, 사건 B가 일어날 경우의 수가 n

합의 법칙
- 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수는 m + n
- n(A ∪ B)
- 두 사건이 모두 일어나지 않아도 상관없을 때
곱의 법칙
- 두 사건 A, B가 동시에 일어날 경우의 수는 m × n
- n(A) × n(B)
- 두 사건이 모두 일어나야 할 때

평행사변형의 넓이, 사각형의 넓이

<< 고1 수학 목차 >>

순열

❮ ❯

체육 시간에 한 사람도 빠짐없이 모두 운동장으로 집합!

집합이라는 말 많이 들어본 말이죠. 집합이 뭐죠? 바로 "모이는 것"이죠. 집합은 모임과 같은 말이에요.

그런데 수학에서의 집합은 그냥 모이는 게 아니에요. 조금 다릅니다. 수학에서의 집합이 무엇을 말하는 지 좀 더 자세히 알아보죠.

앞으로 집합에 대해서 공부할 건데, 집합이 뭔지 모르면 앞으로 한 발짝도 나갈 수 없어요. 집합의 의미를 정확하게 이해하고, 문제 나오는 보기 중에서 집합이 어떤 것인지 파악할 줄 있어야 해요.

집합

집합은 그냥 모임이 아니라 대상이 분명한 것들의 모임이에요. 어떤 기준이 있는데, 이 기준에 딱 들어맞는 것들의 모임이죠. 근데 이 기준이 약간 까다로워요. 누가 봐도 똑같이 생각할 수 있는 아주 객관적이고 명확한 기준이어야 한다는 거예요. 기준이 명확해야 그 기준에 맞는 대상들을 분명히 알 수 있거든요.

잘 생긴 사람의 모임은 일반적인 상식으로는 모임이라고 할 수 있겠지만, 수학에서 말하는 모임, 즉 집합이라고 할 수는 없어요. 잘생겼다는 기준이 사람마다 다르기 때문이죠. 같은 사람을 보고도 어떤 사람은 잘생겼다고 하고, 다른 사람은 잘생기지 않았다고 할 수 있어서 그 집합의 대상이 분명하지 않게 되죠.

비슷한 예로는 키가 큰 사람들의 모임, 공부 잘하는 학생의 모임, 맛있는 과일의 모임 등의 있어요.

어떤 사람은 사과를 맛있다고 하고 또 다른 사람은 사과는 맛이 없다고 생각할 수도 있지요. 이처럼 기준이 객관적이지 않으면 집합이라고 할 수 없어요.

또 공부 잘하는 사람들의 모임을 볼까요? 수학 시험에서 100점 맞은 학생이 이 모임에 포함된다고 해보죠. 이 학생은 누가 봐도 공부를 잘하는 학생이니까 객관적인 기준이라고 할 수 있죠. 그런데 공부를 잘한다는 기준이 명확하지 않아요. 99점 맞은 학생을 모임에 포함할 수 있을까요? 98점 맞은 학생은요? 몇 점까지가 공부를 잘하는 건지 딱 정해져있지 않아요. 그래서 이 경우도 집합이라고 할 수 없어요.

위의 것들을 수학의 집합으로 바꾼다면, 키가 180cm 이상인 사람의 모임, 수학점수가 90점 이상인 학생들의 모임 등으로 바꿔야겠네요.

집합에도 쉽게 알아볼 수 있는 이름이 있으면 좋겠죠? 그래서 수학에서는 간단하게 알파벳 대문자를 사용합니다. 집합 A, 집합 B 이렇게요. 알파벳 대문자를 이용하면 간단하면서도 구별하기 쉽고 수학 기호로 표시하기도 편리하거든요.

다음 중 집합에 해당하는 것의 기호를 모두 쓰시오.
A. 축구를 좋아하는 사람의 모임
B. 10보다 작은 자연수의 모임
C. 중학생의 모임
D. 영어를 잘하는 사람들의 모임
E. 머리가 좋은 사람들의 모임

집합은 그 대상이 명확해야 해요. 경우에 따라서 달라지면 안 돼요.

A는 축구를 좋아하는 것과 좋아하지 않는 걸 나눌 수 있는 명확한 기준은 없어요. 어느 정도가 되어야 축구를 좋아한다고 할 수 있는지 명확하지 않아요. 예를 들어 일주일에 한 시간 축구하면 축구를 좋아한다고 할 수 있나요? 아니면 매일 한 시간씩 하면 축구를 좋아한다고 할 수 있을까요? 그 기준이 명확하지 않죠? 또 다른 예로 철수가 "나는 축구를 좋아해."라고 생각한다고 해보죠. 그런데 영철이는 "철수는 축구를 좋아한다고 할 정도는 아니야."라고 생각한다면 어떨까요? 이 경우에 사람에 따라서 철수가 축구를 좋아하는지 아닌지 판단이 다르죠. 그래서 집합이 아니에요.

B는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9가 10보다 작은 자연수에요. 이건 어떻게 해도 바뀌지 않아요. 그래서 집합이에요.

C는 중학생은 중학교에 다니는 사람이에요. 학교에 다니는지는 해당 학교에 소속되어 있는지를 확인하면 되니까 분명하게 알 수 있죠. 그래서 집합이에요.

D는 영어를 잘한다는 기준이 명확하지 않죠? 영어 점수 90점 넘은 사람은 영어를 잘하고, 89점 맞은 사람은 영어를 못한다고 할 수 없잖아요. 그래서 집합이 아니에요.

E는 머리가 좋은 것도 아이큐를 기준으로 할 것인지 이해력, 암기력을 기준으로 할 것인지 기준이 명확하지 않죠. 설령 이 중의 하나를 고르다고 하더라도 암기력 혹은 이해력이 얼마나 뛰어나야 머리가 좋은 건지 나눌 수 없어요. 그래서 집합이 아니에요. 참고로 멘사라는 곳은 아이큐 148 이상인 사람들만 모이는 곳으로 아이큐 148이라는 명확한 기준이 있으니 집합이라고 할 수 있어요.

답은 B, C가 되겠네요.

정리해볼까요?

집합: 객관적이고 명확한 기준을 만족하는 대상이 분명한 것들의 모임

점과 도형의 대칭이동 - 직선에 대한 대칭이동

<< 고등수학 목차 >>

집합에서 원소란?

❮ ❯

집합의 연산법칙 두 번째예요.

여기서는 집합에서 가장 많이 사용하는 드모르간의 법칙과 차집합의 성질을 공부할 거예요. 이 두 가지는 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.

그 외에 집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질도 알아볼 건데, 이건 각 집합에서 사용하는 개념을 잘 생각해보면 이해할 수 있을 거예요. 혹시 이해하기 어렵다면 마찬가지로 벤다이어그램을 그려서 확인해볼 수도 있어요.

집합의 연산은 식이 되게 복잡하고 길어 보이지만 연산 법칙과 성질만 잘 알면 풀 수 있어요. 겁먹지 마세요.

드모르간의 법칙

처음 듣는 이름인데요. 집합에서 계속 나오는 법칙이에요. 공식처럼 외워야 합니다.

드모르간의 법칙
드모르간의 법칙 - 벤다이어그램
(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

여집합 기호 ^C가 마치 지수법칙처럼 각 집합에 적용되어 A^C, B^C가 되었고, 괄호 안에 있던 연산이 반대로(∩ → ∪, ∪ → ∩) 바뀌었어요.

집합의 연산에서 매우 중요한 법칙이에요. 꼭 벤다이어그램으로 그려서 직접 확인해보세요.

차집합의 성질

차집합 A - B는 A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이에요. A - B = {x|x ∈ A이고 x B}

전체집합, 여집합, 차집합

이걸 연산에서 교집합과 여집합의 조합으로 바꿀 수 있어요. 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.

A - B = A ∩ B^C
차집합

차집합에서 앞에 있는 집합은 그대로, 빼기(-) → ∩으로, 뒤에 있는 집합은 여집합(^C)으로 바뀌었어요.

B - A는 뭘까요? B는 그대로, 빼기(-)는 ∩으로, A는 여집합(A^C)으로 바꿔요. B - A = B ∩ A^C

집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질

집합의 연산에서 법칙은 아니지만 자주 사용하는 성질들이 있어요. 개수가 많아서 어려울 것처럼 보이지만 의미를 잘 생각해보면 이해가 될 거예요. 아니면 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요. 굳이 외울 필요는 없지만 연산 과정에서 보면 이해할 수 있어야 해요.

교집합과 합집합에 관련된 성질이에요. 교집합과 합집합

A ∩ A = A, A ∪ A = A
(A ∩ B) ⊂ A ⊂ (A ∪ B)
A ∩ = , A ∪ = A
A ∩ U = A, A ∪ U = U

합집합과 교집합에 관련된 성질보다 더 많이 사용하는 건 여집합과 관련된 성질이에요.

A ∩ A^C = , A ∪ A^C = U
(A^C)^C = A, ^C = U, U^C =

여집합은 쉽게 말해서 "아닌 것"이죠? A^C는 A에 포함되지 않은 원소들로 이루어진 집합으로 A의 원소를 제외한 다른 원소는 모두 들어있어요. 그래서 A와 A^C 사이에는 공통된 게 없으니까 교집합은 이고 합집합은 U에요. (A^C)^C은 이중부정이 되어 원래와 같아지는 거예요. 전체집합 U의 원소가 아닌 것은 없으니까 U^C = 이 되죠.

이번에는 두 집합 사이의 포함 관계를 알아볼 수 있는 성질이에요.

A ∩ B = A ↔ A ⊂ B
A ∪ B = B ↔ A ⊂ B
A ⊂ B이고, B ⊂ A ↔ A = B

다음을 간단히 하여라. (단, 전체집합 U에 대하여 A ⊂ U, B ⊂ U)
{(A^C ∪ B^C) ∩ (A ∪ B^C)} ∩ A

상당히 길죠? 이걸 벤다이어그램으로 구할 수도 있어요. 하지만 집합의 연산법칙을 이용하면 다항식 계산하듯이 정리할 수 있어요.

{(A^C ∪ B^C) ∩ (A ∪ B^C)} ∩ A
= {(A^C ∩ A) ∪ B^C)} ∩ A (∵ 분배법칙)
= ( ∪ B^C) ∩ A (∵ A^C ∩ A = )
= B^C ∩ A (∵ ∪ B^C = B^C)
= A ∩ B^C (∵ 교환법칙)
= A - B (∵ A ∩ B^C = A - B)

첫 번째 줄에 보면 ( ) 안에는 ∪ B^C이 양쪽 모두에 들어있어요. 이걸 분배법칙으로 묶어서 2번째 줄이 되었어요. 마지막 줄에서는 차집합의 성질을 이용했네요.

되게 길어서 복잡해 보이지만 성질을 잘 이용하면 풀 수 있어요. 겁먹지 말고 차근차근 해보세요.

정리해볼까요

집합의 연산법칙

드모르간의 법칙
(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C
(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
차집합: A - B = A ∩ B^C

집합의 연산법칙 1 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 <<

고1 수학 목차

>> 유한집합의 원소의 개수

❮ ❯

고등학교 수학 첫 시간이네요. 고등학교 수학은 중학교 수학과 비교하면 수준차가 확연히 납니다. 갑자기 어려워져요. 특히 학년이 올라갈수록 그 격차는 심해집니다.

내용 자체도 어렵고 양도 많고요. 설명도 글이나 그림보다는 식이나 기호 위주로 되어 있어서 알아보기가 힘들 겁니다. 하지만 중학교에 배운 수학 내용을 탄탄히 해온 학생이라면 충분히 공부할 수 있으니까 너무 걱정하지 마세요.

고등학교 수학은 한꺼번에 몰아서 공부하거나 벼락치기가 안되니까 매일 조금씩 공부를 하세요.

처음으로 할 내용은 집합인데, 집합은 중1 수학에서 공부했던 내용을 정리하고 복습하는 과정을 가져보죠. 자세한 설명은 중1 수학 목록에서 보세요. 부분집합과 부분집합의 개수를 구하는 과정을 조금 더 다뤄보도록 하겠습니다.

집합

집합에 관련된 내용은 많지만 일단 가장 기본적인 것 몇 가지만 정리해볼까요?

집합: 구체적이고 객관적인 기준에 맞는 대상들의 모임. 알파벳 대문자로 표시
원소: 집합을 이루는 대상 하나하나. 알파벳 소문자로 표시
- a가 집합 A의 원소일 때, a ∈ A
- b가 집합 A의 원소가 아닐 때, b A
집합의 표현방법
- 원소나열법: 집합에 속하는 모든 원소를 { }안에 열거하는 방법.
  A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- 조건제시법: 원소들의 공통된 성질이나 조건을 나타내는 방법.
  A = {x|x는 12의 양의 약수}
- 벤다이어그램: 그림으로 표현
집합의 분류
- 유한집합: 원소의 개수가 유한개여서 셀 수 있는 집합
  공집합: 원소의 개수가 0개인 집합
- 무한집합: 원소의 개수를 셀 수 없는 집합
n(A): 집합 A의 원소의 개수

부분집합

중학교 1학년 때, 집합의 포함관계 - 부분집합, 진부분집합과 부분집합의 성질에서 했던 내용을 정리해보죠.

두 집합 A, B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때, A를 B의 부분집합이라고 하고 기호로 A ⊂ B라고 나타내요. 1이 모든 수의 약수인 것처럼 공집합 는 모든 집합의 부분집합이죠. 모든 수가 자기 자신을 약수로 갖는 것처럼 집합에서도 자기 자신을 부분집합으로 가져요.

임의의 원소 a에 대하여, a ∈ A일 때 a ∈ B이면 A ⊂ B
⊂ A, A ⊂ A
A ⊂ B, B ⊂ C ↔ A ⊂ B ⊂ C ↔ A ⊂ C

진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합을 말해요. 자기 자신은 부분이라고 할 수 없잖아요. 기호로 나타내면 A ⊂ B이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합이라고 합니다.

두 집합 A와 B가 서로 같은 지도 부분집합을 이용해서 알 수 있어요. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A와 B는 서로 같은 집합이에요. A의 모든 원소가 B에 들어있고, B의 모든 원소가 A에 들어있으니까 서로 같은 거지요. 숫자에서와 마찬가지로 등호(=)를 써서 A = B라고 표시합니다. A ⊂ B이고 B ⊂ A ↔ A = B

부분집합의 개수 구하기

이것도 중1 때 했던 내용이에요. 부분집합의 개수 구하기, 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기에 보면 왜 이런 방법으로 구하는지 설명이 되어 있어요. 기억이 나지 않는다면 한 번 보고 오세요.

n(A) = n일 때
집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2ⁿ - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2ⁿ - 2^{n - k}

진부분집합은 자기 자신을 제외한 부분집합이니까 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼서 구해요.

특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합은 애초부터 그 원소를 포함하지 않은 집합으로 생각하면 됩니다. 애초부터 원소에 포함되지 않았으면 부분집합에도 포함되지 않으니까요. 또 특정 원소 k개를 포함하는 부분집합은 특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합에 그 원소들을 넣어주는 것으로 생각하면 쉬워요. 따라서 둘은 개수가 서로 같은 거예요.

마지막에 있는 게 처음으로 나오는 건데요. 적어도 한 개가 들어있는 것의 개수를 바로 구하기 어려우니까 반대로 생각해봤어요. 적어도 한 개를 포함하는 것의 반대는 하나도 들어있지 않은 거잖아요. 그래서 전체에서 한 개도 들어있지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구하는 거죠. 하나도 들어있지 않는 부분집합의 개수는 (특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)에요.
(특정 원소 k 개중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수)
= (전체 부분집합의 개수) - (특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)

집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때 다음을 구하여라.
(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수
(2) 2, 4를 반드시 포함하는 부분집합의 개수
(3) 2, 4중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수

(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하라고 했는데, 애초부터 A라는 집합이 2, 4를 포함하지 않았다고 생각해보죠. 이 집합을 B라고 한다면 B = {1, 3, 5}에요. (B의 부분집합의 개수) = (2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수)이므로 2³ = 8이에요.

공식을 이용해서 바로 구해보면 n(A) = 5이고, 2, 4라는 두 개의 원소를 포함하지 않으니까 2^{5 - 2} = 2³ = 8(개)이에요. 공식으로 바로 구해도 같네요.

(2)번은 (1)에서 구한 B의 부분집합에는 2, 4가 들어있지 않으니까 거기에 2, 4를 모두 넣어준다고 생각하면 돼요. 따라서 개수가 같죠. 8개에요.

(3)번 2, 4중 적어도 하나를 포함한다는 건 2를 포함하거나 4를 포함하거나 2, 4 둘 다를 포함하는 거예요. 전체 부분집합의 개수에서 2, 4를 둘 다 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구해요. 2⁵ - 2^{5 - 2} = 32 - 8 = 24(개)

두 집합 A = {x|x는 5 이하의 자연수}, B = {1, 3, 5}일 때 B ⊂ X ⊂ A를 만족하는 X의 개수를 구하여라.

문제가 좀 복잡하네요. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5}

B ⊂ X니까 X는 B의 모든 원소를 포함하고 있어요. 그리고 X ⊂ A죠. 정리해보면 X는 B의 원소인 {1, 3, 5}를 포함하는 A의 부분집합이에요.

특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 구하는 공식을 사용하면 되겠네요.

2^{5 - 3} = 4

X를 직접 구하는 게 아니라 개수만 구하는 거니까 답은 4개입니다.

정리해볼까요?

부분집합의 개수: n(A) = n일 때

집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2ⁿ - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2ⁿ - 2^{n - k}

중3 수학 목차 <<

고1 수학 목차

>> 집합의 연산법칙

❮ ❯

2013년 이전 고등학교 1학년 수학목차입니다. (2012년, 2011년, 2010, …… 등에도 해당)

2014년 이후 고등학교 1학년은 2014년 고1 수학 목록을 참고하세요.

❮ ❯

집합의 종류가 참 많죠? 이번에는 여집합과 차집합입니다.

여집합과 차집합은 교집합, 합집합과 대비되는 개념이에요. 그렇다고 완전히 반대되는 것도 아니고요. 차집합의 "차"가 일반적인 사칙연산의 "빼기"와 다르니 차이를 잘 구별하셔야 해요.

여집합

여집합을 공부하기 전에 전체집합에 관해 얘기해보죠.

전체집합은 어떤 집합이 주어졌을 때 모든 대상을 포함하는 집합이에요. 조금 어렵나요? 그냥 말 그대로 주어진 전부를 하나의 집합이라고 생각하면 쉬워요. 주어진 집합은 전체집합의 부분집합이죠.

일반적으로 전체집합은 Universal의 첫 글자를 따서 U라고 합니다. 합집합 기호 ∪와 혼동하지 마세요.

전체집합의 부분집합인 A에 대하여 집합 U의 원소 중 A에 속하지 않는 원소로 이루어진 집합을 여집합이라고 해요. 쉽게 말하면 A에 속하지 않은 원소들로 이루어진 집합이죠. 더 쉽게 얘기하면 A가 아닌 것들의 집합이고요.

여집합을 나타내는 기호는 Complementary의 첫 글자를 따서 C로 표시해요. 대신 그냥 C가 아니라 마치 지수를 나타내는 것처럼 집합 기호의 오른쪽 위에 작은 글씨로 나타내죠. A의 여집합은 기호로 A^c라고 표시해요.

U = {1, 2, 3, 4, 5}이고 A = {1, 2, 3}이라면 A의 여집합은 A에 속하지 않는 4, 5로 이루어진 집합으로 A^c = {4, 5}에요. A의 원소가 아니라고 해서 6, 7, 8 이런 숫자들을 포함한 {4, 5, 6, 7, 8}도 될까요? 정답은 아니에요. 왜냐하면 6, 7, 8이라는 숫자는 전체집합 U의 원소가 아니기 때문이죠.

A와 A^c 둘 다 전체집합 U의 부분집합이에요.

벤다이어그램으로 그리면 아래처럼 되지요. 흰색이 집합 A, 배경색이 있는 부분이 A의 여집합이고, 둘을 모두 합친 게 전체집합 U입니다.

여집합

여집합을 조건제시법으로 나타내면 A^c= {x|x ∈ U, x A}로 나타낼 수 있어요.

차집합

차집합의 정의는 집합 A에는 속하지만, 집합 B에는 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합을 말해요. 순수하게(?) A에만 있는 원소들의 집합이죠. 바꿔말해 집합 A의 원소에서 집합 B의 원소를 제외하고 남은 원소들로 이루어진 집합이라고 표현할 수도 있죠.

차집합은 이름에서 알 수 있듯이 집합에서 다른 집합을 뺀 집합이에요. 그런데 우리가 아는 빼기가 아니랍니다.

바구니에 사과, 배, 귤이 하나씩 들어있다고 치죠. 그 바구니에서 사과와 감을 빼내면 뭐가 남을까요? 바구니에 사과는 들어있으니까 사과를 뺄 수는 있겠죠. 그런데 바구니에는 감이 없어서 감을 빼낼 수 없어요. 그러니까 그냥 넘어가죠. 그럼 바구니에는 배와 귤이 남아있겠네요.

집합에서 빼기는 원소들을 빼는 겁니다. 그런데 뺄 수가 없을 때는 그냥 넘어가는 거예요.

두 집합 A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}이 있어요. 집합 A에서 집합 B를 뺀다는 얘기는 A의 원소에서 B의 원소를 하나씩 지운다는 뜻이에요. 일단 A에서 3, 4를 뺍니다. 그다음 5, 6을 빼야 하는데 A에는 5, 6이 없으니까 그냥 패스…… 그럼 A에는 1, 2가 남네요.

차집합은 A - B라고 써요. 따라서 A - B = {1, 2}인 거죠. 반대로 B - A={5, 6}이군요.

차집합

위 벤다이어그램에서 A - B는 색으로 표시된 {1, 2} 부분이에요. 3, 4는 A에 들어있지만 B에도 들어있어서 순수하지(?) 않아요.

조건제시법으로 나타내면 A - B = {x|x ∈ A, x B}입니다.

U = {x|x는 10 이하의 자연수}, A = {x|x는 6의 약수}, B = {x|x는 9의 약수}일 때, 다음을 구하여라.
(1) A^c와 B^c
(2) A - B와 B - A

일단, 원소나열법으로 바꿔서 나타내볼까요?

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 3, 9}

(1) 여집합은 해당 집합의 원소가 아니지만 전제집합 U에는 포함된 원소로 이루어진 집합이에요. A^c는 A의 원소는 아니지만 U에는 포함된 원소들로 이루어진 집합이죠.

A^c = {4, 5, 7, 8, 9, 10}
B^c = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

(2) 차집합 A - B는 집합 A에는 속하지만 집합 B에는 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이죠.

A - B = {2, 6}
B - A = {9}

정리해볼까요

A의 여집합: 전체집합 U의 원소 중에서 집합 A의 원소가 아닌 원소로 이루어진 집합. A^c
A 차집합 B: A는 포함되지만 B에는 포함되지 않는 원소들로 이루어진 집합. A - B

교집합과 합집합

<< 수학 2 목차 >>

집합의 연산법칙 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

❮ ❯

집합에서 여러 가지를 공부했어요. 집합, 원소, 공집합, 유한집합, 무한집합, 부분집합, 진부분집합 등이요.

이 글에서 공부할 집합은 교집합과 합집합이에요.

교집합과 합집합은 집합에서 가장 중요한 내용이라고 할 수 있어요. 실제 집합에서 나오는 대부분 문제가 교집합과 합집합의 형태로 된 집합에 관한 문제거든요. 주의 깊게 보세요.

교집합

두 집합 A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}가 있어요.

여기에서 2는 A의 원소이니까 기호로 2 ∈ A라고 표시할 수 있겠네요. 마찬가지로 2는 B의 원소이니까 2 ∈ B로 표시할 수도 있겠죠. 그럼, 2는 A의 원소이면서 동시에 B의 원소도 됩니다. 2 ∈ A이고 2 ∈ B

4도 2와 마찬가지로 A의 원소이면서 동시에 B의 원소네요.

두 개 이상의 집합에 모두 포함된 원소들로 이루어진 집합을 교집합이라고 해요. A에도 속하고, B에도 속하는 원소들로 이루어진 집합이요.

위의 예에서는 2, 4가 A, B 양쪽에 모두 들어있으니까 이 두 원소로 이루어진 {2, 4}가 A와 B의 교집합이죠.

주의해야 할 건 양쪽에 들어있는 원소를 전부 포함하는 집합을 교집합이라고 하는 거예요. 2가 양쪽에 들어있다고 해서 {2}이라는 집합을 교집합이라고 하지 않아요. 마찬가지로 {4}라는 집합을 교집합이라고 하지도 않지요. 양쪽에 들어있는 원소가 모두 다 포함된 {2, 4}만 교집합이라고 합니다.

교집합은 기호로 ∩라고 표시해요. 그러니까 집합 A와 집합 B의 교집합은 A ∩ B로 표시하죠.

위 예에서 집합 A와 집합 B의 교집합은 A ∩ B = {2, 4}가 되겠네요. 벤다이어그램으로 그려보면 아래 그림처럼 그릴 수 있어요.

교집합

벤다이어그램에서 A와 B가 겹치는 부분이 바로 교집합입니다.

원소 x가 집합 A에 포함되고, 집합 B에도 포함되니까 기호로 표시하면 x ∈ A, x ∈ B가 되겠죠. 교집합을 조건제시법으로 나타낼 때 A ∩ B = {x|x ∈ A이고 x ∈ B}라고 합니다. 무슨 뜻인지 이해할 수 있죠?

합집합

합집합은 집합 A에 속하거나 집합 B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합이에요. A, B 둘 중 아무 데나 속하면 돼요. A에만 속해도 되고, B에만 속해도 되고 A와 B 양쪽 모두에 속해도 상관없어요. 기호로는 ∪로 표시합니다. 집합 A와 집합 B의 합집합은 A ∪ B로 표시하죠. 알파벳 대문자 U가 아니에요.

집합의 표현 방법을 공부할 때 원소나열법에서 중복되는 원소는 한 번만 쓰기로 했죠. {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5}가 아니라 {1, 2, 3, 4, 5}로 말이죠.

합집합을 구할 때는 일단 두 집합의 원소를 모두 쓰는데 대신 중복되는 원소는 한 번만 써요. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}니까 A와 B의 합집합은 {1, 2, 3, 4, 5}입니다.

합집합

위 벤다이어그램에서 A와 B의 영역을 모두 합한 것이 A와 B의 합집합이에요.

합집합을 조건제시법으로 나타내면 A ∪ B = {x|x ∈ A 또는 x ∈ B}로 쓸 수 있죠.

A = {x|x는 6의 약수}, B = {x|x는 12의 약수}, C = {x|x는 10 이하의 홀수}, D = {x|x는 10 이하의 짝수}일 때, 다음을 구하여라.
(1) A ∩ B
(2) B ∪ C
(3) C ∩ D

조건제시법으로 나와 있는데 원소나열법으로 바꿔서 표시해보죠.

A = {1, 2, 3, 6}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
C = {1, 3, 5, 7, 9}
D = {2, 4, 6, 8, 10}

교집합(∩)은 양쪽 집합 모두에 포함된 원소로 이루어진 집합, 합집합(∪)은 어느 한쪽에라도 포함된 원소로 이루어진 집합이에요.

(1) A ∩ B는 A에도 속하고, B에도 속한 원소들로 이루어진 집합을 구해야겠네요.
A ∩ B = {1, 2, 3, 6}

(2) B ∪ C는 B나 C 둘 중 어느 하나에 속하거나 양쪽 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이에요. 대신 중복되는 건 한 번만 쓰고요.
B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12}

(3) C ∩ D는 집합 C와 집합 D 양쪽 모두에 공통으로 속하는 원소들로 이루어진 집합이에요. 근데, C는 홀수의 집합이고, D는 짝수의 집합이므로 공통으로 속하는 원소가 없죠? 원소가 아무것도 없는 집합이니까 공집합이네요.
C ∩ D = { } =

정리해볼까요

두 집합 A, B에 대하여

교집합: A와 B 양쪽 모두에 속하는 원소 전체로 이루어진 집합.
A ∩ B={x|x ∈ A이고 x ∈ B}
합집합: A에 속하거나 B에 속하는 원소 전체로 이루어진 집합.
A ∪ B={x|x ∈ A 또는 x ∈ B}

부분집합의 개수 구하기

<< 수학 2 목차 >>

전체집합과 여집합, 차집합

❮ ❯

부분집합의 개수를 구하는 방법을 기억하고 있죠? 부분집합의 개수는 원소의 개수만큼 2를 거듭제곱 하는 거죠.

A = {1, 2, 3, 4, 5}이라면 2⁵ = 32니까 부분집합의 수는 32개네요.

이제 여기서 조금 더 어려운 문제를 풀어보죠. A의 부분집합 중에서 2가 들어있지 않은 부분집합의 개수는 몇 개일까요? 반대로 2를 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 몇 개일까요?

특정 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수

A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때, 2를 포함하지 않는 부분집합을 구해보죠.

원소가 하나도 없는 공집합:
원소가 한 개인 부분집합: {1}, {3}, {4}, {5}
원소가 두 개인 부분집합: {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}
원소가 세 개인 부분집합: {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {3, 4, 5}
원소가 네 개인 부분집합: {1, 3, 4, 5}

직접 구해봤더니 16개네요.

좀 더 쉬운 방법으로 구해볼까요? A라는 집합에 애초부터 2라는 원소가 없다고 생각해보세요. 그리고 A대신 B라고 이름 붙여볼까요? B = {1, 3, 4, 5}라는 집합이 되겠네요. 이 집합의 부분집합의 개수는 2⁴ = 16, 총 16개네요.

처음부터 2라는 원소를 가지고 있지 않다면 당연히 그 집합의 부분집합에는 2라는 원소가 포함되지 않겠죠. 이 방법을 이용해서 A의 부분집합 중 2를 포함하지 않는 부분집합을 구하면 16개가 나와요.

그럼 A의 부분집합 중 2와 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수도 구할 수 있겠네요. 처음부터 2, 4를 포함하고 있지 않다고 생각하면 C = {1, 3, 5}가 되고, 원소의 개수는 세 개, 2³ = 8, 8개가 되겠네요.

정리해보면 특정한 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 원래 원소 개수에서 특정한 원소 개수를 뺀 만큼 2를 거듭제곱하는 겁니다.

특정 원소를 포함하는 부분집합의 개수

이번에는 반대로 반드시 2를 포함하는 부분집합의 개수를 구해볼까요?

2를 포함하는 부분집합은 2를 포함하지 않는 부분집합에서 구하면 쉬워요. 2를 포함하지 않는 부분집합을 모두 구한 다음에 거기에 2를 집어넣으면 되거든요.

위에서 직접 구해본 부분집합이 있죠. 거기에 전부 다 2를 집어넣어 볼게요.

원소가 하나도 없는 공집합: {2}
원소가 한 개인 부분집합: {1, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}
원소가 두 개인 부분집합: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}
원소가 세 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}
원소가 네 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4, 5}

모든 부분집합이 2를 포함하고 있어서 원소의 개수가 한 개씩 늘었어요. 부분집합의 개수는 총 16개고요.

2를 포함하는 부분집합은 2를 포함하지 않는 부분집합에 원소 2를 집어넣어서 찾았어요. 그렇다면 그 개수는 몇 개일까요? 2를 포함하는 부분집합의 개수와 2를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 같아요.

그래서 2를 포함하는 부분집합의 개수는 2를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하는 것과 똑같은 방법으로 구합니다.

2⁴ = 16 개입니다.

부분집합의 개수 구하기

n(A) = n일 때
집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2ⁿ - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2ⁿ - 2^{n - k}

진부분집합은 자기 자신을 제외한 부분집합이니까 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼서 구해요.

특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합은 애초부터 그 원소를 포함하지 않은 집합으로 생각하면 됩니다. 애초부터 원소에 포함되지 않았으면 부분집합에도 포함되지 않으니까요. 또 특정 원소 k개를 포함하는 부분집합은 특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합에 그 원소들을 넣어주는 것으로 생각하면 쉬워요. 따라서 둘은 개수가 서로 같은 거예요.

마지막에 있는 게 처음으로 나오는 건데요. 적어도 한 개가 들어있는 것의 개수를 바로 구하기 어려우니까 반대로 생각해봤어요. 적어도 한 개를 포함하는 것의 반대는 하나도 들어있지 않은 거잖아요. 그래서 전체에서 한 개도 들어있지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구하는 거죠. 하나도 들어있지 않는 부분집합의 개수는 (특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)에요.
(특정 원소 k 개중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수)
= (전체 부분집합의 개수) - (특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)

집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때 다음을 구하여라.
(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수
(2) 2, 4를 반드시 포함하는 부분집합의 개수
(3) 2, 4중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수

(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하라고 했는데, 애초부터 A라는 집합이 2, 4를 포함하지 않았다고 생각해보죠. 이 집합을 B라고 한다면 B = {1, 3, 5}예요. (B의 부분집합의 개수) = (2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수)이므로 2³ = 8이에요.

공식을 이용해서 바로 구해보면 n(A) = 5이고, 2, 4라는 두 개의 원소를 포함하지 않으니까 2^{5 - 2} = 2³ = 8(개)이에요. 공식으로 바로 구해도 같네요.

(2)번은 (1)에서 구한 B의 부분집합에는 2, 4가 들어있지 않으니까 거기에 2, 4를 모두 넣어준다고 생각하면 돼요. 따라서 개수가 같죠. 8개에요.

(3)번 2, 4중 적어도 하나를 포함한다는 건 2를 포함하거나 4를 포함하거나 2, 4 둘 다를 포함하는 거예요. 전체 부분집합의 개수에서 2, 4를 둘 다 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구해요. 2⁵ - 2^{5 - 2} = 32 - 8 = 24(개)

두 집합 A = {x|x는 5 이하의 자연수}, B = {1, 3, 5}일 때 B ⊂ X ⊂ A를 만족하는 X의 개수를 구하여라.

문제가 좀 복잡하네요. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5}

B ⊂ X니까 X는 B의 모든 원소를 포함하고 있어요. 그리고 X ⊂ A죠. 정리해보면 X는 B의 원소인 {1, 3, 5}를 포함하는 A의 부분집합이에요.

특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 구하는 공식을 사용하면 되겠네요.

2^{5 - 3} = 4

X를 직접 구하는 게 아니라 개수만 구하는 거니까 답은 4개입니다.

정리해볼까요

특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수: (원래 원소 개수 - 특정한 원소의 개수) 만큼 2를 곱해준다. 2^{n-r}
특정한 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수

부분집합 구하기, 부분집합의 개수 구하기

<< 고등수학 (하) 목차 >>

교집합과 합집합

❮ ❯

부분집합이 무엇인지 이제 정확히 알겠죠? 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되어 있을 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고 기호로 A ⊂ B로 나타냅니다.

이제는 부분집합을 직접 구해볼 거예요. 부분집합을 구하는 과정은 어렵지 않습니다.

다만, 원소의 개수가 많으면 부분집합을 구하기 귀찮기는 하죠.

부분집합 구하기

부분집합을 구할 때 가장 쉬운 방법은 원소의 개수를 0개부터 하나씩 늘려가면서 구하는 겁니다.

A = {1, 2, 3, 4}의 부분집합을 구해보죠.

첫 번째 원소의 개수가 하나도 없는 부분집합, 즉 공집합
원소의 개수가 하나인 부분집합: {1}, {2}, {3}, {4}
원소의 개수가 두 개인 부분집합: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
원소의 개수가 세 개인 부분집합: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}
원소의 개수가 네 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4}

원소의 개수가 다섯 개인 부분집합은 없겠죠.

이렇게 원소의 개수를 하나씩 늘려서 찾다 보니 총 16개의 부분집합을 구했네요.

부분집합의 개수 구하기

부분집합의 개수는 위처럼 직접 부분집합을 구해서 그 개수를 셀 수도 있겠지요. 하지만 너무 비효율적이에요.

그래서 공식으로 알아두면 좋아요. 공식은 [중등수학/중2 수학] - 경우의 수를 이용하면 쉽게 구할 수 있어요.

A = {1, 2, 3, 4}의 부분집합에는 1을 포함하는 부분집합이 있을 수 있어요. 반대로 1을 포함하지 않는 부분집합도 있겠지요. 그러니까 부분집합에 1이 있거나 없거나 두 가지 경우가 생기죠.

또, A의 부분집합 중에는 2를 포함하는 부분집합과 2를 포함하지 않는 부분집합이 있을 거예요. 역시 두 가지 경우네요.

3, 4도 마찬가지로 포함하거나 포함하지 않거나 각각 두 가지 경우가 생기죠.

각 원소 1, 2, 3, 4에서 두 가지씩 경우의 수가 생기는데 이는 동시에 발생하는 사건으로 곱의 법칙을 사용하는 게 맞죠?

원소별로 경우의 수가 2가지씩 생기므로 이를 모두 곱하면 부분집합의 개수를 구할 수 있어요.

부분집합의 개수 = 2를 원소의 개수만큼 곱
집합 A의 원소의 개수가 n개 일 때, 집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ

A = {1, 2, 3, 4}에서 원소의 개수는 네 개죠. 그래서 2를 네 번 곱해주면 되는데, 2⁴ = 16이네요.

직접 구해본 부분집합의 수를 세어봤더니 역시 16개였죠. 어때요? 개수만 구하려고 할 때는 그냥 위 공식을 이용하는 것이 좋겠죠?

부분집합을 직접 구해야 하는 문제가 나올 수도 있어요. 이럴 때 공식을 이용해서 부분집합의 개수를 먼저 구한 다음에 그 개수에 맞게 부분집합을 찾는 것도 좋은 방법입니다.

정리해볼까요

부분집합을 구할 때는 원소의 개수를 0부터 하나씩 늘려가면서 찾는다.
부분집합의 개수 = 2를 원소의 개수만큼 곱
집합 A의 원소의 개수가 n개 일 때, 집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ

진부분집합과 부분집합의 성질

<< 수학 1, 2 목차 >>

특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기

❮ ❯

집합의 포함관계 - 부분집합에서 부분집합의 뜻에 대해 알아봤어요. 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고, 기호로는 A ⊂ B로 나타낸다고 말이죠.

이글에서는 부분집합의 성질에 대해서 자세히 알아보죠.

부분집합의 성질

집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)에서 이야기한 공집합과 부분집합의 관계에 대해서 알아보죠.

어떤 학교가 있어요. 학교에는 교실이 있겠죠? 총 10개의 교실이 있는데, 9개 교실에는 학생이 20명씩 공부하고 있어요. 나머지 한 교실은 사용하지 않고 비여 있어요. 여기서 학생을 원소라고 하고, 교실과 학교를 집합이라고 해보죠.

학교 → 집합 U
10개의 교실 → 집합 A, 집합 B, 집합 C, , … 집합 J

A 교실의 학생 → a1, a2, a3, … a20
B 교실의 학생 → b1, b2, b3, … b20

9개의 교실은 원소가 20개인 유한집합이고, 빈 교실은 유한집합 중에서도 원소가 0개인 공집합이죠?

n(A) = n(B) = 20, n(j) = 0

학생이 20명씩 있는 9개의 교실은 학교의 일부분이니까 학교라는 집합의 부분집합이겠죠? 빈 교실에는 학생이 한 명도 없지만, 이 역시 학교라는 공간 안에 있으니까 학교의 부분이에요. 따라서 이 빈 교실이라는 집합도 학교라는 집합의 부분집합인 거죠.

A ⊂ U, B ⊂ U, J ⊂ U

즉, 원소가 하나도 없는 공집합도 전체의 부분집합이라는 거예요.

이번에는 학교 전체를 보죠. 학교의 모든 학생은 학교 안에 있죠? 학교 바깥에 있는 학생은 없잖아요. 학교의 모든 학생(원소)이 학교에 있으니까 학교라는 집합은 학교라는 집합의 부분집합이라고 할 수 있죠?

집합 A의 모든 원소가 집합 A에 들어있으면 부분집합의 정의에 따라 집합 A는 집합 A의 부분집합이에요.

위 두 가지에서 부분집합의 성질을 알 수 있어요.

공집합은 모든 집합의 부분집합이다. -> ⊂ A
모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. -> A ⊂ A

진부분집합

진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합을 말해요.

엄밀히 말해서 자기 자신은 자기 자신의 부분이라고 할 수 없잖아요. 그래서 진짜 부분집합을 진부분집합이라고 해요.

기호로 표현하면 A ⊂ B이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합이라고 해요.

서로 같은 집합

부분집합의 관계를 이용해서 두 부분집합이 같은지를 알 수도 있어요.

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 들어있을 때 집합 A는 집합 B의 부분집합이에요. 이때, 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 들어있다면 어떨까요? 집합 B는 집합 A의 부분집합이겠죠.

서로가 서로의 부분집합일 때, 두 집합은 서로 같은 집합이에요. A의 모든 원소가 B에 들어있고, B의 모든 원소가 A에 들어있으려면 둘이 서로 같을 때 빼고는 없거든요.

서로 같은 집합은 수에서와 마찬가지로 A = B라고 써요. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A = B

정리해볼까요

모든 집합은 공집합을 부분집합으로 가진다. = 공집합은 모든 집합의 부분집합. ⊂ A
모든 집합은 자기 자신을 부분집합으로 가진다. A ⊂ A
진부분집합: 자기 자신을 제외한 다른 모든 부분집합. A ⊂ B이고 A ≠ B
두 집합이 서로가 서로의 부분집합이면 두 집합은 같다. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A = B

집합의 포함관계 - 부분집합

<< 수학 2 목차 >>

부분집합 구하기, 부분집합의 개수 구하기

❮ ❯

서로 다른 두 집합이 있을 때 두 집합 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼까요?

태티서라는 유닛 그룹이 있죠? 태연, 티파니, 서현으로 구성된 그룹이에요. 다시 말해 태티서라는 집합은 태연, 티파니, 서현이라는 원소로 되어 있어요. 그런데 이 세 명은 모두 소녀시대의 멤버이기도 하니까 소녀시대라는 집합의 원소라고 할 수도 있어요. 그럼 태티서라는 집합과 소녀시대라는 집합은 어떤 관계가 있을까요?

부분집합

어떤 집합 A의 모든 원소가 다른 집합 B의 원소일 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 합니다.

따라서 태티서라는 집합의 모든 원소(태연, 티파니, 서현)가 소녀시대라는 집합의 원소이므로 집합 태티서는 집합 소녀시대의 부분집합이에요.

만약, 집합의 원소 중 단 한 개라도 다른 집합에 포함되지 않을 때는 부분집합이라고 할 수 없어요.

슈펴주니어-M이라는 유닛을 보죠. 슈퍼주니어-M을 집합이라고 한다면 멤버인 시원, 려욱, 규현, 동해, 헨리, 조미, 은혁, 성민은 원소라고 할 수 있어요. 그런데 이중 헨리와 조미는 슈퍼주니어의 멤버(원소)가 아니죠? 그래서 슈퍼주니어-M은 슈퍼주니어의 부분집합이라고 할 수 없어요.

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, C = {6, 7, 8, 9, 10, 11}

위 처럼 세 개의 집합이 있다고 해보죠.

집합 B의 원소인 0, 1, 2, 3, 4, 5는 집합 A에 모두 포함되어 있어요. 그래서 집합 B는 집합 A의 부분집합이라고 할 수 있어요. 집합 C의 원소 중 6, 7, 8, 9, 10은 집합 A에 다 들어있는데, 11이 들어있지 않아요. 집합 A에 포함되지 않은 11 때문에 집합 C는 집합 A의 부분집합이라고 할 수 없는 거죠.

위 내용을 벤다이어그램으로 표시하면 아래처럼 되겠군요.

부분집합

부분집합의 표현

부분집합은 "포함하다. 들어있다."는 뜻을 가진 Contain이라는 단어의 첫 글자 C를 따서 ⊂라는 기호로 표시해요.

⊂의 벌어진 쪽에 더 큰 집합을 쓰고 닫힌 쪽에 작은 집합(포함되는 집합)을 써요.

"B는 A의 부분집합이다"는 B ⊂ A로 표시하죠.

위에서 C는 A의 부분집합이 아니었죠? 그럼 이건 기호로 어떻게 나타낼까요? 원소의 표시방법에서 원소가 아니다는 ∈에 선하나 그어서 로 나타낸다고 했죠. 여기서도 마찬가지로 ⊂에 선하나 그어서 로 나타내요.

따라서 "C는 A의 부분집합이 아니다"는 C A로 나타내요.

정리해볼까요

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 다 포함될 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고 A ⊂ B로 표시.

집합의 원소의 개수

<< 수학 2 목차 >>

진부분집합과 부분집합의 성질

❮ ❯

원소의 개수에 따라 집합을 나눌 수 있어요. 무한집합, 유한집합, 공집합 이렇게요. 공집합은 유한집합의 한 종류죠.

그럼 집합의 원소의 개수를 어떻게 표시하는지 알아볼까요?

당연한 얘기지만 원소의 개수를 표시하려면 원소의 개수를 정확히 알아야 해요. 따라서 여기서 말하는 집합은 바로 유한집합이에요. 무한집합은 원소의 개수가 몇 개인지 모르니까 원소의 개수를 표시할 수 없잖아요.

집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)

집합의 원소의 개수 표시법

원소의 개수를 나타낼 때는 알파벳 소문자 n을 이용해요.

집합 A의 원소 개수는 n(A)이라는 기호로 나타냅니다. 앞에 n을 쓰고, 괄호 사이에 집합을 쓰는 거죠.

n(A) = 5 는 "집합 A의 원소는 다섯 개입니다."는 뜻이에요.

A 자리에는 집합이 들어가는 자리니까 집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램에 나온 것처럼 집합을 표현하는 거라면 어떤 것도 상관없어요. n({1, 2, 3, 4, 5})도 괜찮고, n({x|x는 5 이하의 자연수})도 괜찮아요.

B = {a, b, c}의 원소의 개수는 n(B) = 3으로 나타낼 수 있겠죠?

공집합 C의 원소의 개수를 나타내 볼까요? 공집합은 원소의 개수가 하나도 없잖아요. 원소의 개수가 0개니까 n(C) = 0으로 나타내요.

A = {x|x는 12의 약수}, B = {1. 2, 3, 4, 5}, C = 일 때, n(A) + n(B) + n(C)의 값은?

원소의 개수를 구하는 거니까 가능하면 원소나열법으로 표시하는 게 좋겠죠?

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}니까 n(A)= 6

n(B) = 5

C는 공집합 니까 n(C) = 0

따라서 n(A) + n(B) + n(C) = 6 + 5 + 0 = 11

정리해볼까요

n(A): 집합 A의 원소의 개수
n(B) = 0 → B =

원소개수에 따른 집합의 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)

<< 고등수학 목차 >>

집합의 포함관계 - 부분집합

❮ ❯

집합

공통수학 1

공통수학 2

수학Ⅰ

수학Ⅱ

합의 법칙

곱의 법칙

합의 법칙, 곱의 법칙 구별

함께 보면 좋은 글

집합

드모르간의 법칙

차집합의 성질

집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질

함께 보면 좋은 글

집합

부분집합

부분집합의 개수 구하기

함께 보면 좋은 글

여집합

차집합

교집합

합집합

특정 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수

특정 원소를 포함하는 부분집합의 개수

부분집합의 개수 구하기

부분집합 구하기

부분집합의 개수 구하기

부분집합의 성질

진부분집합

서로 같은 집합

부분집합

부분집합의 표현

집합의 원소의 개수 표시법

티스토리툴바