전체집합, 여집합, 차집합

집합의 종류가 참 많죠? 이번에는 여집합과 차집합입니다.

여집합과 차집합은 교집합, 합집합과 대비되는 개념이에요. 그렇다고 완전히 반대되는 것도 아니고요. 차집합의 "차"가 일반적인 사칙연산의 "빼기"와 다르니 차이를 잘 구별하셔야 해요.

여집합

여집합을 공부하기 전에 전체집합에 관해 얘기해보죠.

전체집합은 어떤 집합이 주어졌을 때 모든 대상을 포함하는 집합이에요. 조금 어렵나요? 그냥 말 그대로 주어진 전부를 하나의 집합이라고 생각하면 쉬워요. 주어진 집합은 전체집합의 부분집합이죠.

일반적으로 전체집합은 Universal의 첫 글자를 따서 U라고 합니다. 합집합 기호 ∪와 혼동하지 마세요.

전체집합의 부분집합인 A에 대하여 집합 U의 원소 중 A에 속하지 않는 원소로 이루어진 집합을 여집합이라고 해요. 쉽게 말하면 A에 속하지 않은 원소들로 이루어진 집합이죠. 더 쉽게 얘기하면 A가 아닌 것들의 집합이고요.

여집합을 나타내는 기호는 Complementary의 첫 글자를 따서 C로 표시해요. 대신 그냥 C가 아니라 마치 지수를 나타내는 것처럼 집합 기호의 오른쪽 위에 작은 글씨로 나타내죠. A의 여집합은 기호로 A^c라고 표시해요.

U = {1, 2, 3, 4, 5}이고 A = {1, 2, 3}이라면 A의 여집합은 A에 속하지 않는 4, 5로 이루어진 집합으로 A^c = {4, 5}에요. A의 원소가 아니라고 해서 6, 7, 8 이런 숫자들을 포함한 {4, 5, 6, 7, 8}도 될까요? 정답은 아니에요. 왜냐하면 6, 7, 8이라는 숫자는 전체집합 U의 원소가 아니기 때문이죠.

A와 A^c 둘 다 전체집합 U의 부분집합이에요.

벤다이어그램으로 그리면 아래처럼 되지요. 흰색이 집합 A, 배경색이 있는 부분이 A의 여집합이고, 둘을 모두 합친 게 전체집합 U입니다.

여집합을 조건제시법으로 나타내면 A^c= {x|x ∈ U, x A}로 나타낼 수 있어요.

차집합

차집합의 정의는 집합 A에는 속하지만, 집합 B에는 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합을 말해요. 순수하게(?) A에만 있는 원소들의 집합이죠. 바꿔말해 집합 A의 원소에서 집합 B의 원소를 제외하고 남은 원소들로 이루어진 집합이라고 표현할 수도 있죠.

차집합은 이름에서 알 수 있듯이 집합에서 다른 집합을 뺀 집합이에요. 그런데 우리가 아는 빼기가 아니랍니다.

바구니에 사과, 배, 귤이 하나씩 들어있다고 치죠. 그 바구니에서 사과와 감을 빼내면 뭐가 남을까요? 바구니에 사과는 들어있으니까 사과를 뺄 수는 있겠죠. 그런데 바구니에는 감이 없어서 감을 빼낼 수 없어요. 그러니까 그냥 넘어가죠. 그럼 바구니에는 배와 귤이 남아있겠네요.

집합에서 빼기는 원소들을 빼는 겁니다. 그런데 뺄 수가 없을 때는 그냥 넘어가는 거예요.

두 집합 A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}이 있어요. 집합 A에서 집합 B를 뺀다는 얘기는 A의 원소에서 B의 원소를 하나씩 지운다는 뜻이에요. 일단 A에서 3, 4를 뺍니다. 그다음 5, 6을 빼야 하는데 A에는 5, 6이 없으니까 그냥 패스…… 그럼 A에는 1, 2가 남네요.

차집합은 A - B라고 써요. 따라서 A - B = {1, 2}인 거죠. 반대로 B - A={5, 6}이군요.

위 벤다이어그램에서 A - B는 색으로 표시된 {1, 2} 부분이에요. 3, 4는 A에 들어있지만 B에도 들어있어서 순수하지(?) 않아요.

조건제시법으로 나타내면 A - B = {x|x ∈ A, x B}입니다.

U = {x|x는 10 이하의 자연수}, A = {x|x는 6의 약수}, B = {x|x는 9의 약수}일 때, 다음을 구하여라.
(1) A^c와 B^c
(2) A - B와 B - A

일단, 원소나열법으로 바꿔서 나타내볼까요?

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 3, 9}

(1) 여집합은 해당 집합의 원소가 아니지만 전제집합 U에는 포함된 원소로 이루어진 집합이에요. A^c는 A의 원소는 아니지만 U에는 포함된 원소들로 이루어진 집합이죠.

A^c = {4, 5, 7, 8, 9, 10}
B^c = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

(2) 차집합 A - B는 집합 A에는 속하지만 집합 B에는 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이죠.

A - B = {2, 6}
B - A = {9}

정리해볼까요

• A의 여집합: 전체집합 U의 원소 중에서 집합 A의 원소가 아닌 원소로 이루어진 집합. A^c
• A 차집합 B: A는 포함되지만 B에는 포함되지 않는 원소들로 이루어진 집합. A - B

교집합과 합집합

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집합의 연산법칙 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙