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일반항이 분수꼴인 수열의 합

부분분수

부분분수는 분수의 분모를 다항식의 곱으로 나타내고, 이를 이용해서 분수를 나누는 걸 말해요. 그냥 둬도 되는데 굳이 나누는 이유는 분자, 분모의 차수를 낮출 수 있어서예요. 차수가 낮거나 숫자가 작으면 계산하기 편리해지잖아요.

앞으로 분모가 인수분해가 되면 좌변을 우변처럼 바꿔서 계산하세요.

분자는 다 1인데, 좌변의 분모는 분모의 곱 AB, 우변 앞은 분모의 차 B - A, 괄호 안은 분수의 빼기에요. 빼는 순서도 잘 보세요.

부분분수 공식을 유도해볼까요? 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 값은 바뀌지 않죠? 그걸 이용하는 겁니다.

숫자를 넣어서 좀 쉬운 걸 한 번 해보죠.

부분분수 공식을 이용하면 분모가 연속된 숫자나 식의 곱으로 이루어진 다항식들의 합을 구하기가 쉬워요. 아래 예제를 보죠.

다음을 간단히 하여라.$$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{3}{(x+1)(x+4)} +\cdots \frac{1}{(x+9)(x+10)}$$

유리식의 덧셈은 분모를 통분해서 구하는데, 앞 식을 통분하면 분모는 10차식 분자는 8차식이 돼요. 전개하고 더할 수는 없겠죠? 이럴 때 부분분수 공식을 이용해요..

각 항을 부분분수로 바꿔보죠.

우변의 괄호 앞에 있는 분수는 1이니까 없어지고 괄호 안 부분만 남겠죠? 이걸 한 번에 쭉 써보죠.

윗줄에서 두 번째, 세 번째 항이 없어지고, 네 번째, 다섯 번째 항이 없어지고, 계속 없어지다가 결국에는 첫 번째 항과 마지막 항만 남아요. 두 항의 덧셈만 하면 끝이죠.

앞으로는 이런 문제가 나오면 위 과정을 다 거칠 필요 없이 첫 번째 항과 마지막 항만 바로 구해서 계산하면 돼요.

분자가 1이 아닐 때도 있는데, 이럴 때는 분자를 인수분해해서 묶으면 돼요.

분모가 1이 아닐 때도 마찬가지로 묶고요.

다음 합을 구하여라. $$\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{9\times 10}$$

분모가 유리식인 수열의 합이네요. 수열의 일반항을 이용해서 수열의 합으로 나타내고, 수열의 일반항인 분수를 쪼개(?) 보죠.

일반항이 무리식인 수열의 합

유리식은 통분해서 계산하는 게 기본이죠. 하지만 앞서 일반항이 유리식일 때 수열의 합을 구하는 문제는 통분이 아니라 분수를 쪼개서(?) 계산했어요.

무리식은 분모의 유리화를 하는 게 기본이죠. 이건 다르지 않아요. 일반항이 무리식이라면 분모를 유리화하는 게 첫 번째예요.

다음 합을 구하여라. $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{10}}$$

분모가 무리식인 수열의 합이네요. 수열의 일반항을 이용해서 수열의 합으로 나타내고, 수열의 일반항의 분모를 유리화해요.

체육 시간에 한 사람도 빠짐없이 모두 운동장으로 집합!

집합이라는 말 많이 들어본 말이죠. 집합이 뭐죠? 바로 "모이는 것"이죠. 집합은 모임과 같은 말이에요.

그런데 수학에서의 집합은 그냥 모이는 게 아니에요. 조금 다릅니다. 수학에서의 집합이 무엇을 말하는 지 좀 더 자세히 알아보죠.

앞으로 집합에 대해서 공부할 건데, 집합이 뭔지 모르면 앞으로 한 발짝도 나갈 수 없어요. 집합의 의미를 정확하게 이해하고, 문제 나오는 보기 중에서 집합이 어떤 것인지 파악할 줄 있어야 해요.

집합

집합은 그냥 모임이 아니라 대상이 분명한 것들의 모임이에요. 어떤 기준이 있는데, 이 기준에 딱 들어맞는 것들의 모임이죠. 근데 이 기준이 약간 까다로워요. 누가 봐도 똑같이 생각할 수 있는 아주 객관적이고 명확한 기준이어야 한다는 거예요. 기준이 명확해야 그 기준에 맞는 대상들을 분명히 알 수 있거든요.

잘 생긴 사람의 모임은 일반적인 상식으로는 모임이라고 할 수 있겠지만, 수학에서 말하는 모임, 즉 집합이라고 할 수는 없어요. 잘생겼다는 기준이 사람마다 다르기 때문이죠. 같은 사람을 보고도 어떤 사람은 잘생겼다고 하고, 다른 사람은 잘생기지 않았다고 할 수 있어서 그 집합의 대상이 분명하지 않게 되죠.

비슷한 예로는 키가 큰 사람들의 모임, 공부 잘하는 학생의 모임, 맛있는 과일의 모임 등의 있어요.

어떤 사람은 사과를 맛있다고 하고 또 다른 사람은 사과는 맛이 없다고 생각할 수도 있지요. 이처럼 기준이 객관적이지 않으면 집합이라고 할 수 없어요.

또 공부 잘하는 사람들의 모임을 볼까요? 수학 시험에서 100점 맞은 학생이 이 모임에 포함된다고 해보죠. 이 학생은 누가 봐도 공부를 잘하는 학생이니까 객관적인 기준이라고 할 수 있죠. 그런데 공부를 잘한다는 기준이 명확하지 않아요. 99점 맞은 학생을 모임에 포함할 수 있을까요? 98점 맞은 학생은요? 몇 점까지가 공부를 잘하는 건지 딱 정해져있지 않아요. 그래서 이 경우도 집합이라고 할 수 없어요.

위의 것들을 수학의 집합으로 바꾼다면, 키가 180cm 이상인 사람의 모임, 수학점수가 90점 이상인 학생들의 모임 등으로 바꿔야겠네요.

집합에도 쉽게 알아볼 수 있는 이름이 있으면 좋겠죠? 그래서 수학에서는 간단하게 알파벳 대문자를 사용합니다. 집합 A, 집합 B 이렇게요. 알파벳 대문자를 이용하면 간단하면서도 구별하기 쉽고 수학 기호로 표시하기도 편리하거든요.

다음 중 집합에 해당하는 것의 기호를 모두 쓰시오.
A. 축구를 좋아하는 사람의 모임
B. 10보다 작은 자연수의 모임
C. 중학생의 모임
D. 영어를 잘하는 사람들의 모임
E. 머리가 좋은 사람들의 모임

집합은 그 대상이 명확해야 해요. 경우에 따라서 달라지면 안 돼요.

A는 축구를 좋아하는 것과 좋아하지 않는 걸 나눌 수 있는 명확한 기준은 없어요. 어느 정도가 되어야 축구를 좋아한다고 할 수 있는지 명확하지 않아요. 예를 들어 일주일에 한 시간 축구하면 축구를 좋아한다고 할 수 있나요? 아니면 매일 한 시간씩 하면 축구를 좋아한다고 할 수 있을까요? 그 기준이 명확하지 않죠? 또 다른 예로 철수가 "나는 축구를 좋아해."라고 생각한다고 해보죠. 그런데 영철이는 "철수는 축구를 좋아한다고 할 정도는 아니야."라고 생각한다면 어떨까요? 이 경우에 사람에 따라서 철수가 축구를 좋아하는지 아닌지 판단이 다르죠. 그래서 집합이 아니에요.

B는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9가 10보다 작은 자연수에요. 이건 어떻게 해도 바뀌지 않아요. 그래서 집합이에요.

C는 중학생은 중학교에 다니는 사람이에요. 학교에 다니는지는 해당 학교에 소속되어 있는지를 확인하면 되니까 분명하게 알 수 있죠. 그래서 집합이에요.

D는 영어를 잘한다는 기준이 명확하지 않죠? 영어 점수 90점 넘은 사람은 영어를 잘하고, 89점 맞은 사람은 영어를 못한다고 할 수 없잖아요. 그래서 집합이 아니에요.

E는 머리가 좋은 것도 아이큐를 기준으로 할 것인지 이해력, 암기력을 기준으로 할 것인지 기준이 명확하지 않죠. 설령 이 중의 하나를 고르다고 하더라도 암기력 혹은 이해력이 얼마나 뛰어나야 머리가 좋은 건지 나눌 수 없어요. 그래서 집합이 아니에요. 참고로 멘사라는 곳은 아이큐 148 이상인 사람들만 모이는 곳으로 아이큐 148이라는 명확한 기준이 있으니 집합이라고 할 수 있어요.

답은 B, C가 되겠네요.

조금은 생소한 단원이에요. 명제라는 단원인데요.

복잡한 계산이 나오는 게 아니라 얼핏 보면 쉬워보일 수 있는데, 개념이 중요해서 생각을 많이 해야 하는 단원이에요.

생각할 거리가 많으니까 머리를 잘 굴려야 해요. 그냥 단순히 문장만 보고 식만 보고 해결할 수 없으니까 글자 하나하나에 주의해서 보세요.

1학년 때 배웠던 집합과 비슷한 부분이 많아요. 또 도형 단원에서 배웠던 여러 가지 용어들에 대한 뜻도 정확히 알면 문제 푸는 데 도움이 되니까 한 번쯤 정리해보세요.

명제

명제는 참, 거짓을 분명하게 판단할 수 있는 문장이나 식을 말해요. 집합에서 제일 중요한 건 집합의 조건이 아주 명확하고 객관적이어야 한다고 했어요. 명제에서도 아주 명확하고 객관적으로 참 거짓을 판단할 수 있어야 해요.

보기. "소녀시대는 예쁘다."는 문장이 있어요. 소녀시대는 예쁜가요? 대부분의 사람은 소녀시대를 예쁘다고 생각할 거예요. 그럼 참인가요? 그런데 어떤 사람들은 별로라고 생각할 수도 있잖아요. 이런 사람들은 이 문장이 거짓이라고 생각할 거예요. 그래서 이건 명제라고 할 수 없어요.

"소녀시대 멤버는 9명이다." 이 문장은요. 누가봐도 소녀시대 멤버는 9명이잖아요. 그래서 이 문장은 참이죠. 참이라고 결론 내릴 수 있으니까 이 문장은 명제라고 할 수 있어요.

"설리는 소녀시대 멤버이다." 이 문장은 어떨까요? 설리는 소녀시대의 멤버가 아니라 f(x)의 멤버잖아요. 틀린 문장이죠? 거짓이라는 얘기에요. 거짓이라고 판단할 수 있으니까 이 문장도 명제에요.

그 문장이 참인지 거짓인지는 중요하지 않아요. 참/거짓인지 판단할 수 있으면 명제에요. 많은 학생이 거짓이면 명제가 아니라고 착각하는데, 그런 실수는 하지 마세요.

명제가 항상 옳으면 참인 명제라고 해요. 만약에 명제가 항상 참이 아니고 어떤 경우에 하나라도 옳지 않으면 거짓인 명제라고 합니다.

"2의 배수는 짝수이다."라는 문장이 있어요. 이건 항상 옳죠? 그래서 참인 명제에요.

"모든 소수는 홀수이다."라는 문장이 있어요. 소수는 2, 3, 5, …등이 있는데, 2는 짝수이고 나머지는 모두 홀수에요. 모두 홀수라고 했는데, 2는 짝수잖아요. 엄청나게 많은 수의 소수가 홀수인데, 2 하나 때문에 이 문장은 옳지 않은 문장이 되어버렸어요. 따라서 거짓인 명제에요. 명제가 거짓인지 아닌지를 얘기할 때는 그걸 만족하지 않는 딱 하나만 찾으세요.

다음 문장에서 명제를 찾고, 참/거짓은 판별하시오.
(1) 6은 3의 배수이다
(2) 정사각형 네 변의 길이는 같다
(3) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
(4) 100은 큰 수이다.
(5) x + 3 = 2이다.

(1)번 6은 3의 배수이다.
6은 3의 배수가 맞죠? 참인 명제에요.

(2)번 정사각형의 네 변의 길이는 같다.

정다각형 중에서 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 같은 사각형을 정사각형이라고 정의하죠? 정사각형의 정의에 따르면 네 변의 길이는 모두 같으니까 이 문장도 참인 명제네요.

(3)번 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
가로가 4cm이고 세로가 6cm인 삼각형과 가로가 3cm이고 세로가 8cm인 삼각형은 넓이가 같아요. 하지만 서로 포개지지 않으니까 합동은 아니잖아요. 따라서 이 문장은 거짓이에요. 거짓이라고 판별할 수 있으니까 명제가 맞네요. 거짓인 명제입니다.

(4)번 100은 큰 수이다.
100이라는 수는 1보다는 크지만 10,000보다는 작은 수에요. 때에 따라서 사람에 따라서 크고 작고가 달라질 수 있죠? 따라서 참/거짓을 판단할 수 없어요. 명제가 아니에요.

(5)번 x + 3 = 2이다.
일차방정식이네요. 만약에 x가 1이라면 이 문장은 거짓이 돼요. 그럼 거짓인 명제일까요? 아니에요. 방정식이나 부등식처럼 x의 값에 따라서 참/거짓이 달라지는 경우에는 명제라고 할 수 없어요.

명제의 가정과 결론

"두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다."처럼 일반적으로 명제는 "OO이면 □□이다."라고 표현해요. 여기서 OO이면을 가정, □□이다를 결론이라고 합니다.

수학은 기호로 표시해요. 가정인 OO이면을 p, 결론 □□이다를 q라고 하는데, 이걸 기호로 p → q로 표시해요.

다음 명제에서 가정과 결론을 말하여라.
(1) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.

명제 "OO이면 □□이다"에서 OO이면이 가정, □□이다는 결론이에요.

(1)번 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
이 명제에서 "같으면"을 기준으로 두 문장으로 되어 있어요. "두 삼각형의 넓이가 같다."와 "두 삼각형은 서로 합동이다."이죠. "두 삼각형은 넓이가 같다."는 가정, "두 삼각형은 서로 합동이다."는 결론이 되겠네요.

(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.
여기에는 OO이면이 없어요. 그럼 가정이 없을까요? OO이면이 없는 명제에서는 주어나 전제에 해당하는 부분이 가정이에요. 이 문장은 "어떤 사각형은 정사각형이다."와 "이 사각형은 네 변의 길이가 같다."로 나눌 수 있어요. "어떤 사각형은 정사각형이다."는 가정, "이 사각형은 네 변의 길이가 같다."는 결론에 해당해요. 이런 명제에서 가정과 결론을 찾는 건 연습이 조금 필요합니다.

명제의 역

역이라는 건 한자로 바꾸다라는 뜻이 있어요. 명제의 역은 명제를 바꾸는 데 어떻게 바꾸느냐? 명제의 가정과 결론의 위치를 바꾸는 거예요.

명제 "OO이면 □□이다"의 가정과 결론의 위치를 바꾼 "□□이면 OO이다"가 명제의 역이 되는 거예요. 명제를 "p → q"라고 쓴다고 했으니까 명제의 역은 "q → p"가 되는 거죠.

어떤 명제가 이미 있고 그 명제의 가정과 결론의 위치를 바꾼 게 그 명제의 역이 되는 거예요. 어디서 갑자기 툭 튀어나오는 게 아니에요.

명제가 참이라고 해서 명제의 역이 참이 되는 건 아니에요. 마찬가지로 명제가 거짓이라고 해서 명제의 역이 거짓이 되는 것도 아니에요. 명제와 명제의 역의 참/거짓은 서로 아무런 관계가 없어요.

다음 명제의 역을 말하시오.
(1) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.

위에서 명제의 가정과 결론을 알아봤죠? 자리만 그대로 바꾸면 돼요.

(1) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
"두 삼각형의 넓이가 같다." → "두 삼각형은 서로 합동이다."라는 명제였어요.
자리를 바꾸면 "두 삼각형은 서로 합동이다." → "두 삼각형의 넓이가 같다."이므로 한 문장으로 합치면 "두 삼각형이 서로 합동이면 넓이가 같다."라는 명제의 역이 만들어져요.

(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.
"어떤 사각형은 정사각형이다." → "이 사각형은 네 변의 길이가 같다."
위치를 바꾸면 "이 사각형은 네 변의 길이가 같다." → "어떤 정사각형이 있다."가 되네요. 한 문장으로 합치면 "네 변의 길이가 같은 사각형은 정사각형이다"라는 명제를 만들 수 있어요.

추가로 명제와 명제의 참/거짓을 알아볼까요?

(1)에서 명제는 거짓이었어요. 명제의 역은 참이죠? 두 삼각형이 합동이면 서로 포개어지는 거고 가로, 세로의 길이가 같으니까 넓이도 같잖아요.

(2)에서 명제는 참이었어요. 명제의 역은 거짓이에요. 네 변의 길이가 같더라도 네 각의 크기가 다를 수 있잖아요. 이걸 마름모라고 해요.

명제의 참/거짓과 명제의 역의 참/거짓은 아무런 상관이 없다는 걸 알아두세요.

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수학의 정의, 정리, 증명

집합의 종류가 참 많죠? 이번에는 여집합과 차집합입니다.

여집합과 차집합은 교집합, 합집합과 대비되는 개념이에요. 그렇다고 완전히 반대되는 것도 아니고요. 차집합의 "차"가 일반적인 사칙연산의 "빼기"와 다르니 차이를 잘 구별하셔야 해요.

여집합

여집합을 공부하기 전에 전체집합에 관해 얘기해보죠.

전체집합은 어떤 집합이 주어졌을 때 모든 대상을 포함하는 집합이에요. 조금 어렵나요? 그냥 말 그대로 주어진 전부를 하나의 집합이라고 생각하면 쉬워요. 주어진 집합은 전체집합의 부분집합이죠.

일반적으로 전체집합은 Universal의 첫 글자를 따서 U라고 합니다. 합집합 기호 ∪와 혼동하지 마세요.

전체집합의 부분집합인 A에 대하여 집합 U의 원소 중 A에 속하지 않는 원소로 이루어진 집합을 여집합이라고 해요. 쉽게 말하면 A에 속하지 않은 원소들로 이루어진 집합이죠. 더 쉽게 얘기하면 A가 아닌 것들의 집합이고요.

여집합을 나타내는 기호는 Complementary의 첫 글자를 따서 C로 표시해요. 대신 그냥 C가 아니라 마치 지수를 나타내는 것처럼 집합 기호의 오른쪽 위에 작은 글씨로 나타내죠. A의 여집합은 기호로 A^c라고 표시해요.

U = {1, 2, 3, 4, 5}이고 A = {1, 2, 3}이라면 A의 여집합은 A에 속하지 않는 4, 5로 이루어진 집합으로 A^c = {4, 5}에요. A의 원소가 아니라고 해서 6, 7, 8 이런 숫자들을 포함한 {4, 5, 6, 7, 8}도 될까요? 정답은 아니에요. 왜냐하면 6, 7, 8이라는 숫자는 전체집합 U의 원소가 아니기 때문이죠.

A와 A^c 둘 다 전체집합 U의 부분집합이에요.

벤다이어그램으로 그리면 아래처럼 되지요. 흰색이 집합 A, 배경색이 있는 부분이 A의 여집합이고, 둘을 모두 합친 게 전체집합 U입니다.

여집합을 조건제시법으로 나타내면 A^c= {x|x ∈ U, x A}로 나타낼 수 있어요.

차집합

차집합의 정의는 집합 A에는 속하지만, 집합 B에는 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합을 말해요. 순수하게(?) A에만 있는 원소들의 집합이죠. 바꿔말해 집합 A의 원소에서 집합 B의 원소를 제외하고 남은 원소들로 이루어진 집합이라고 표현할 수도 있죠.

차집합은 이름에서 알 수 있듯이 집합에서 다른 집합을 뺀 집합이에요. 그런데 우리가 아는 빼기가 아니랍니다.

바구니에 사과, 배, 귤이 하나씩 들어있다고 치죠. 그 바구니에서 사과와 감을 빼내면 뭐가 남을까요? 바구니에 사과는 들어있으니까 사과를 뺄 수는 있겠죠. 그런데 바구니에는 감이 없어서 감을 빼낼 수 없어요. 그러니까 그냥 넘어가죠. 그럼 바구니에는 배와 귤이 남아있겠네요.

집합에서 빼기는 원소들을 빼는 겁니다. 그런데 뺄 수가 없을 때는 그냥 넘어가는 거예요.

두 집합 A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}이 있어요. 집합 A에서 집합 B를 뺀다는 얘기는 A의 원소에서 B의 원소를 하나씩 지운다는 뜻이에요. 일단 A에서 3, 4를 뺍니다. 그다음 5, 6을 빼야 하는데 A에는 5, 6이 없으니까 그냥 패스…… 그럼 A에는 1, 2가 남네요.

차집합은 A - B라고 써요. 따라서 A - B = {1, 2}인 거죠. 반대로 B - A={5, 6}이군요.

위 벤다이어그램에서 A - B는 색으로 표시된 {1, 2} 부분이에요. 3, 4는 A에 들어있지만 B에도 들어있어서 순수하지(?) 않아요.

조건제시법으로 나타내면 A - B = {x|x ∈ A, x B}입니다.

U = {x|x는 10 이하의 자연수}, A = {x|x는 6의 약수}, B = {x|x는 9의 약수}일 때, 다음을 구하여라.
(1) A^c와 B^c
(2) A - B와 B - A

일단, 원소나열법으로 바꿔서 나타내볼까요?

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 2, 3, 6}, B = {1, 3, 9}

(1) 여집합은 해당 집합의 원소가 아니지만 전제집합 U에는 포함된 원소로 이루어진 집합이에요. A^c는 A의 원소는 아니지만 U에는 포함된 원소들로 이루어진 집합이죠.

A^c = {4, 5, 7, 8, 9, 10}
B^c = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

(2) 차집합 A - B는 집합 A에는 속하지만 집합 B에는 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이죠.

A - B = {2, 6}
B - A = {9}

집합에서 여러 가지를 공부했어요. 집합, 원소, 공집합, 유한집합, 무한집합, 부분집합, 진부분집합 등이요.

이 글에서 공부할 집합은 교집합과 합집합이에요.

교집합과 합집합은 집합에서 가장 중요한 내용이라고 할 수 있어요. 실제 집합에서 나오는 대부분 문제가 교집합과 합집합의 형태로 된 집합에 관한 문제거든요. 주의 깊게 보세요.

교집합

두 집합 A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}가 있어요.

여기에서 2는 A의 원소이니까 기호로 2 ∈ A라고 표시할 수 있겠네요. 마찬가지로 2는 B의 원소이니까 2 ∈ B로 표시할 수도 있겠죠. 그럼, 2는 A의 원소이면서 동시에 B의 원소도 됩니다. 2 ∈ A이고 2 ∈ B

4도 2와 마찬가지로 A의 원소이면서 동시에 B의 원소네요.

두 개 이상의 집합에 모두 포함된 원소들로 이루어진 집합을 교집합이라고 해요. A에도 속하고, B에도 속하는 원소들로 이루어진 집합이요.

위의 예에서는 2, 4가 A, B 양쪽에 모두 들어있으니까 이 두 원소로 이루어진 {2, 4}가 A와 B의 교집합이죠.

주의해야 할 건 양쪽에 들어있는 원소를 전부 포함하는 집합을 교집합이라고 하는 거예요. 2가 양쪽에 들어있다고 해서 {2}이라는 집합을 교집합이라고 하지 않아요. 마찬가지로 {4}라는 집합을 교집합이라고 하지도 않지요. 양쪽에 들어있는 원소가 모두 다 포함된 {2, 4}만 교집합이라고 합니다.

교집합은 기호로 ∩라고 표시해요. 그러니까 집합 A와 집합 B의 교집합은 A ∩ B로 표시하죠.

위 예에서 집합 A와 집합 B의 교집합은 A ∩ B = {2, 4}가 되겠네요. 벤다이어그램으로 그려보면 아래 그림처럼 그릴 수 있어요.

벤다이어그램에서 A와 B가 겹치는 부분이 바로 교집합입니다.

원소 x가 집합 A에 포함되고, 집합 B에도 포함되니까 기호로 표시하면 x ∈ A, x ∈ B가 되겠죠. 교집합을 조건제시법으로 나타낼 때 A ∩ B = {x|x ∈ A이고 x ∈ B}라고 합니다. 무슨 뜻인지 이해할 수 있죠?

합집합

합집합은 집합 A에 속하거나 집합 B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합이에요. A, B 둘 중 아무 데나 속하면 돼요. A에만 속해도 되고, B에만 속해도 되고 A와 B 양쪽 모두에 속해도 상관없어요. 기호로는 ∪로 표시합니다. 집합 A와 집합 B의 합집합은 A ∪ B로 표시하죠. 알파벳 대문자 U가 아니에요.

집합의 표현 방법을 공부할 때 원소나열법에서 중복되는 원소는 한 번만 쓰기로 했죠. {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5}가 아니라 {1, 2, 3, 4, 5}로 말이죠.

합집합을 구할 때는 일단 두 집합의 원소를 모두 쓰는데 대신 중복되는 원소는 한 번만 써요. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5}니까 A와 B의 합집합은 {1, 2, 3, 4, 5}입니다.

위 벤다이어그램에서 A와 B의 영역을 모두 합한 것이 A와 B의 합집합이에요.

합집합을 조건제시법으로 나타내면 A ∪ B = {x|x ∈ A 또는 x ∈ B}로 쓸 수 있죠.

A = {x|x는 6의 약수}, B = {x|x는 12의 약수}, C = {x|x는 10 이하의 홀수}, D = {x|x는 10 이하의 짝수}일 때, 다음을 구하여라.
(1) A ∩ B
(2) B ∪ C
(3) C ∩ D

조건제시법으로 나와 있는데 원소나열법으로 바꿔서 표시해보죠.

A = {1, 2, 3, 6}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
C = {1, 3, 5, 7, 9}
D = {2, 4, 6, 8, 10}

교집합(∩)은 양쪽 집합 모두에 포함된 원소로 이루어진 집합, 합집합(∪)은 어느 한쪽에라도 포함된 원소로 이루어진 집합이에요.

(1) A ∩ B는 A에도 속하고, B에도 속한 원소들로 이루어진 집합을 구해야겠네요.
A ∩ B = {1, 2, 3, 6}

(2) B ∪ C는 B나 C 둘 중 어느 하나에 속하거나 양쪽 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이에요. 대신 중복되는 건 한 번만 쓰고요.
B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12}

(3) C ∩ D는 집합 C와 집합 D 양쪽 모두에 공통으로 속하는 원소들로 이루어진 집합이에요. 근데, C는 홀수의 집합이고, D는 짝수의 집합이므로 공통으로 속하는 원소가 없죠? 원소가 아무것도 없는 집합이니까 공집합이네요.
C ∩ D = {   } = 

부분집합의 개수를 구하는 방법을 기억하고 있죠? 부분집합의 개수는 원소의 개수만큼 2를 거듭제곱 하는 거죠.

A = {1, 2, 3, 4, 5}이라면 2⁵ = 32니까 부분집합의 수는 32개네요.

이제 여기서 조금 더 어려운 문제를 풀어보죠. A의 부분집합 중에서 2가 들어있지 않은 부분집합의 개수는 몇 개일까요? 반대로 2를 반드시 포함하는 부분집합의 개수는 몇 개일까요?

특정 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수

A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때, 2를 포함하지 않는 부분집합을 구해보죠.

1. 원소가 하나도 없는 공집합:
2. 원소가 한 개인 부분집합: {1}, {3}, {4}, {5}
3. 원소가 두 개인 부분집합: {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}
4. 원소가 세 개인 부분집합: {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {3, 4, 5}
5. 원소가 네 개인 부분집합: {1, 3, 4, 5}

직접 구해봤더니 16개네요.

좀 더 쉬운 방법으로 구해볼까요? A라는 집합에 애초부터 2라는 원소가 없다고 생각해보세요. 그리고 A대신 B라고 이름 붙여볼까요? B = {1, 3, 4, 5}라는 집합이 되겠네요. 이 집합의 부분집합의 개수는 2⁴ = 16, 총 16개네요.

처음부터 2라는 원소를 가지고 있지 않다면 당연히 그 집합의 부분집합에는 2라는 원소가 포함되지 않겠죠. 이 방법을 이용해서 A의 부분집합 중 2를 포함하지 않는 부분집합을 구하면 16개가 나와요.

그럼 A의 부분집합 중 2와 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수도 구할 수 있겠네요. 처음부터 2, 4를 포함하고 있지 않다고 생각하면 C = {1, 3, 5}가 되고, 원소의 개수는 세 개, 2³ = 8, 8개가 되겠네요.

정리해보면 특정한 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 원래 원소 개수에서 특정한 원소 개수를 뺀 만큼 2를 거듭제곱하는 겁니다.

특정 원소를 포함하는 부분집합의 개수

이번에는 반대로 반드시 2를 포함하는 부분집합의 개수를 구해볼까요?

2를 포함하는 부분집합은 2를 포함하지 않는 부분집합에서 구하면 쉬워요. 2를 포함하지 않는 부분집합을 모두 구한 다음에 거기에 2를 집어넣으면 되거든요.

위에서 직접 구해본 부분집합이 있죠. 거기에 전부 다 2를 집어넣어 볼게요.

1. 원소가 하나도 없는 공집합: {2}
2. 원소가 한 개인 부분집합: {1, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}
3. 원소가 두 개인 부분집합: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}
4. 원소가 세 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 4, 5}, {2, 3, 4, 5}
5. 원소가 네 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4, 5}

모든 부분집합이 2를 포함하고 있어서 원소의 개수가 한 개씩 늘었어요. 부분집합의 개수는 총 16개고요.

2를 포함하는 부분집합은 2를 포함하지 않는 부분집합에 원소 2를 집어넣어서 찾았어요. 그렇다면 그 개수는 몇 개일까요? 2를 포함하는 부분집합의 개수와 2를 포함하지 않는 부분집합의 개수는 같아요.

그래서 2를 포함하는 부분집합의 개수는 2를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하는 것과 똑같은 방법으로 구합니다.

2⁴ = 16 개입니다.

부분집합의 개수 구하기

n(A) = n일 때
집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2ⁿ - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2ⁿ - 2^{n - k}

진부분집합은 자기 자신을 제외한 부분집합이니까 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼서 구해요.

특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합은 애초부터 그 원소를 포함하지 않은 집합으로 생각하면 됩니다. 애초부터 원소에 포함되지 않았으면 부분집합에도 포함되지 않으니까요. 또 특정 원소 k개를 포함하는 부분집합은 특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합에 그 원소들을 넣어주는 것으로 생각하면 쉬워요. 따라서 둘은 개수가 서로 같은 거예요.

마지막에 있는 게 처음으로 나오는 건데요. 적어도 한 개가 들어있는 것의 개수를 바로 구하기 어려우니까 반대로 생각해봤어요. 적어도 한 개를 포함하는 것의 반대는 하나도 들어있지 않은 거잖아요. 그래서 전체에서 한 개도 들어있지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구하는 거죠. 하나도 들어있지 않는 부분집합의 개수는 (특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)에요.
(특정 원소 k 개중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수)
= (전체 부분집합의 개수) - (특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)

집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때 다음을 구하여라.
(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수
(2) 2, 4를 반드시 포함하는 부분집합의 개수
(3) 2, 4중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수

(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하라고 했는데, 애초부터 A라는 집합이 2, 4를 포함하지 않았다고 생각해보죠. 이 집합을 B라고 한다면 B = {1, 3, 5}예요. (B의 부분집합의 개수) = (2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수)이므로 2³ = 8이에요.

공식을 이용해서 바로 구해보면 n(A) = 5이고, 2, 4라는 두 개의 원소를 포함하지 않으니까 2^{5 - 2} = 2³ = 8(개)이에요. 공식으로 바로 구해도 같네요.

(2)번은 (1)에서 구한 B의 부분집합에는 2, 4가 들어있지 않으니까 거기에 2, 4를 모두 넣어준다고 생각하면 돼요. 따라서 개수가 같죠. 8개에요.

(3)번 2, 4중 적어도 하나를 포함한다는 건 2를 포함하거나 4를 포함하거나 2, 4 둘 다를 포함하는 거예요. 전체 부분집합의 개수에서 2, 4를 둘 다 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구해요. 2⁵ - 2^{5 - 2} = 32 - 8 = 24(개)

두 집합 A = {x|x는 5 이하의 자연수}, B = {1, 3, 5}일 때 B ⊂ X ⊂ A를 만족하는 X의 개수를 구하여라.

문제가 좀 복잡하네요. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5}

B ⊂ X니까 X는 B의 모든 원소를 포함하고 있어요. 그리고 X ⊂ A죠. 정리해보면 X는 B의 원소인 {1, 3, 5}를 포함하는 A의 부분집합이에요.

특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 구하는 공식을 사용하면 되겠네요.

2^{5 - 3} = 4

X를 직접 구하는 게 아니라 개수만 구하는 거니까 답은 4개입니다.

부분집합이 무엇인지 이제 정확히 알겠죠? 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되어 있을 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고 기호로 A ⊂ B로 나타냅니다.

이제는 부분집합을 직접 구해볼 거예요. 부분집합을 구하는 과정은 어렵지 않습니다.

다만, 원소의 개수가 많으면 부분집합을 구하기 귀찮기는 하죠.

부분집합 구하기

부분집합을 구할 때 가장 쉬운 방법은 원소의 개수를 0개부터 하나씩 늘려가면서 구하는 겁니다.

A = {1, 2, 3, 4}의 부분집합을 구해보죠.

1. 첫 번째 원소의 개수가 하나도 없는 부분집합, 즉 공집합
2. 원소의 개수가 하나인 부분집합: {1}, {2}, {3}, {4}
3. 원소의 개수가 두 개인 부분집합: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
4. 원소의 개수가 세 개인 부분집합: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}
5. 원소의 개수가 네 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4}

원소의 개수가 다섯 개인 부분집합은 없겠죠.

이렇게 원소의 개수를 하나씩 늘려서 찾다 보니 총 16개의 부분집합을 구했네요.

부분집합의 개수 구하기

부분집합의 개수는 위처럼 직접 부분집합을 구해서 그 개수를 셀 수도 있겠지요. 하지만 너무 비효율적이에요.

그래서 공식으로 알아두면 좋아요. 공식은 [중등수학/중2 수학] - 경우의 수를 이용하면 쉽게 구할 수 있어요.

A = {1, 2, 3, 4}의 부분집합에는 1을 포함하는 부분집합이 있을 수 있어요. 반대로 1을 포함하지 않는 부분집합도 있겠지요. 그러니까 부분집합에 1이 있거나 없거나 두 가지 경우가 생기죠.

또, A의 부분집합 중에는 2를 포함하는 부분집합과 2를 포함하지 않는 부분집합이 있을 거예요. 역시 두 가지 경우네요.

3, 4도 마찬가지로 포함하거나 포함하지 않거나 각각 두 가지 경우가 생기죠.

각 원소 1, 2, 3, 4에서 두 가지씩 경우의 수가 생기는데 이는 동시에 발생하는 사건으로 곱의 법칙을 사용하는 게 맞죠?

원소별로 경우의 수가 2가지씩 생기므로 이를 모두 곱하면 부분집합의 개수를 구할 수 있어요.

부분집합의 개수 = 2를 원소의 개수만큼 곱
집합 A의 원소의 개수가 n개 일 때, 집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ

A = {1, 2, 3, 4}에서 원소의 개수는 네 개죠. 그래서 2를 네 번 곱해주면 되는데, 2⁴ = 16이네요.

직접 구해본 부분집합의 수를 세어봤더니 역시 16개였죠. 어때요? 개수만 구하려고 할 때는 그냥 위 공식을 이용하는 것이 좋겠죠?

부분집합을 직접 구해야 하는 문제가 나올 수도 있어요. 이럴 때 공식을 이용해서 부분집합의 개수를 먼저 구한 다음에 그 개수에 맞게 부분집합을 찾는 것도 좋은 방법입니다.

집합의 포함관계 - 부분집합에서 부분집합의 뜻에 대해 알아봤어요. 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고, 기호로는 A ⊂ B로 나타낸다고 말이죠.

이글에서는 부분집합의 성질에 대해서 자세히 알아보죠.

부분집합의 성질

집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)에서 이야기한 공집합과 부분집합의 관계에 대해서 알아보죠.

어떤 학교가 있어요. 학교에는 교실이 있겠죠? 총 10개의 교실이 있는데, 9개 교실에는 학생이 20명씩 공부하고 있어요. 나머지 한 교실은 사용하지 않고 비여 있어요. 여기서 학생을 원소라고 하고, 교실과 학교를 집합이라고 해보죠.

학교 → 집합 U
10개의 교실 → 집합 A, 집합 B, 집합 C, , … 집합 J

A 교실의 학생 → a1, a2, a3, … a20
B 교실의 학생 → b1, b2, b3, … b20

9개의 교실은 원소가 20개인 유한집합이고, 빈 교실은 유한집합 중에서도 원소가 0개인 공집합이죠?

n(A) = n(B) = 20, n(j) = 0

학생이 20명씩 있는 9개의 교실은 학교의 일부분이니까 학교라는 집합의 부분집합이겠죠? 빈 교실에는 학생이 한 명도 없지만, 이 역시 학교라는 공간 안에 있으니까 학교의 부분이에요. 따라서 이 빈 교실이라는 집합도 학교라는 집합의 부분집합인 거죠.

A ⊂ U, B ⊂ U, J ⊂ U

즉, 원소가 하나도 없는 공집합도 전체의 부분집합이라는 거예요.

이번에는 학교 전체를 보죠. 학교의 모든 학생은 학교 안에 있죠? 학교 바깥에 있는 학생은 없잖아요. 학교의 모든 학생(원소)이 학교에 있으니까 학교라는 집합은 학교라는 집합의 부분집합이라고 할 수 있죠?

집합 A의 모든 원소가 집합 A에 들어있으면 부분집합의 정의에 따라 집합 A는 집합 A의 부분집합이에요.

위 두 가지에서 부분집합의 성질을 알 수 있어요.

1. 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. -> ⊂ A
2. 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. -> A ⊂ A

진부분집합

진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합을 말해요.

엄밀히 말해서 자기 자신은 자기 자신의 부분이라고 할 수 없잖아요. 그래서 진짜 부분집합을 진부분집합이라고 해요.

기호로 표현하면 A ⊂ B이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합이라고 해요.

서로 같은 집합

부분집합의 관계를 이용해서 두 부분집합이 같은지를 알 수도 있어요.

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 들어있을 때 집합 A는 집합 B의 부분집합이에요. 이때, 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 들어있다면 어떨까요? 집합 B는 집합 A의 부분집합이겠죠.

서로가 서로의 부분집합일 때, 두 집합은 서로 같은 집합이에요. A의 모든 원소가 B에 들어있고, B의 모든 원소가 A에 들어있으려면 둘이 서로 같을 때 빼고는 없거든요.

서로 같은 집합은 수에서와 마찬가지로 A = B라고 써요. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A = B

서로 다른 두 집합이 있을 때 두 집합 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼까요?

태티서라는 유닛 그룹이 있죠? 태연, 티파니, 서현으로 구성된 그룹이에요. 다시 말해 태티서라는 집합은 태연, 티파니, 서현이라는 원소로 되어 있어요. 그런데 이 세 명은 모두 소녀시대의 멤버이기도 하니까 소녀시대라는 집합의 원소라고 할 수도 있어요. 그럼 태티서라는 집합과 소녀시대라는 집합은 어떤 관계가 있을까요?

부분집합

어떤 집합 A의 모든 원소가 다른 집합 B의 원소일 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 합니다.

따라서 태티서라는 집합의 모든 원소(태연, 티파니, 서현)가 소녀시대라는 집합의 원소이므로 집합 태티서는 집합 소녀시대의 부분집합이에요.

만약, 집합의 원소 중 단 한 개라도 다른 집합에 포함되지 않을 때는 부분집합이라고 할 수 없어요.

슈펴주니어-M이라는 유닛을 보죠. 슈퍼주니어-M을 집합이라고 한다면 멤버인 시원, 려욱, 규현, 동해, 헨리, 조미, 은혁, 성민은 원소라고 할 수 있어요. 그런데 이중 헨리와 조미는 슈퍼주니어의 멤버(원소)가 아니죠? 그래서 슈퍼주니어-M은 슈퍼주니어의 부분집합이라고 할 수 없어요.

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, C = {6, 7, 8, 9, 10, 11}

위 처럼 세 개의 집합이 있다고 해보죠.

집합 B의 원소인 0, 1, 2, 3, 4, 5는 집합 A에 모두 포함되어 있어요. 그래서 집합 B는 집합 A의 부분집합이라고 할 수 있어요. 집합 C의 원소 중 6, 7, 8, 9, 10은 집합 A에 다 들어있는데, 11이 들어있지 않아요. 집합 A에 포함되지 않은 11 때문에 집합 C는 집합 A의 부분집합이라고 할 수 없는 거죠.

위 내용을 벤다이어그램으로 표시하면 아래처럼 되겠군요.

부분집합의 표현

부분집합은 "포함하다. 들어있다."는 뜻을 가진 Contain이라는 단어의 첫 글자 C를 따서 ⊂라는 기호로 표시해요.

⊂의 벌어진 쪽에 더 큰 집합을 쓰고 닫힌 쪽에 작은 집합(포함되는 집합)을 써요.

"B는 A의 부분집합이다"는 B ⊂ A로 표시하죠.

위에서 C는 A의 부분집합이 아니었죠? 그럼 이건 기호로 어떻게 나타낼까요? 원소의 표시방법에서 원소가 아니다는 ∈에 선하나 그어서 로 나타낸다고 했죠. 여기서도 마찬가지로 ⊂에 선하나 그어서 로 나타내요.

따라서 "C는 A의 부분집합이 아니다"는 C  A로 나타내요.

원소의 개수에 따라 집합을 나눌 수 있어요. 무한집합, 유한집합, 공집합 이렇게요. 공집합은 유한집합의 한 종류죠.

그럼 집합의 원소의 개수를 어떻게 표시하는지 알아볼까요?

당연한 얘기지만 원소의 개수를 표시하려면 원소의 개수를 정확히 알아야 해요. 따라서 여기서 말하는 집합은 바로 유한집합이에요. 무한집합은 원소의 개수가 몇 개인지 모르니까 원소의 개수를 표시할 수 없잖아요.

집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)

집합의 원소의 개수 표시법

원소의 개수를 나타낼 때는 알파벳 소문자 n을 이용해요.

집합 A의 원소 개수는 n(A)이라는 기호로 나타냅니다. 앞에 n을 쓰고, 괄호 사이에 집합을 쓰는 거죠.

n(A) = 5 는 "집합 A의 원소는 다섯 개입니다."는 뜻이에요.

A 자리에는 집합이 들어가는 자리니까 집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램에 나온 것처럼 집합을 표현하는 거라면 어떤 것도 상관없어요. n({1, 2, 3, 4, 5})도 괜찮고, n({x|x는 5 이하의 자연수})도 괜찮아요.

B = {a, b, c}의 원소의 개수는 n(B) = 3으로 나타낼 수 있겠죠?

공집합 C의 원소의 개수를 나타내 볼까요? 공집합은 원소의 개수가 하나도 없잖아요. 원소의 개수가 0개니까 n(C) = 0으로 나타내요.

A = {x|x는 12의 약수}, B = {1. 2, 3, 4, 5}, C = 일 때, n(A) + n(B) + n(C)의 값은?

원소의 개수를 구하는 거니까 가능하면 원소나열법으로 표시하는 게 좋겠죠?

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}니까 n(A)= 6

n(B) = 5

C는 공집합 니까 n(C) = 0

따라서 n(A) + n(B) + n(C) = 6 + 5 + 0 = 11

이번 글에서는 집합의 종류에 대해서 알아보죠.

집합은 원소의 개수에 따라 유한집합, 무한집합으로 나눌 수 있어요. 중학교에서 유한소수와 무한소수를 공부한 적이 있죠? 이때 공부했던 유한, 무한이라는 용어와 뜻이 같으니까 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

그리고 조금 특별한 집합인 공집합에 대해서도 알아보죠.

유한집합

유한소수는 소수점 아래 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수를 말하죠? 여기서 유한은 끝이 있는, 셀 수 있는 걸 말해요. 유한집합에서의 유한도 같은 뜻이에요

원소의 개수를 셀 수 있으면 유한집합이라고 해요. 정확히 말하면 원소의 개수가 유한개인 것, 딱 정해진 거죠. 원소의 개수가 백 개든, 천 개든 상관없어요. 원소의 개수가 정해져 있으니까요.

{1, 2, 3, 4, 5}라는 집합의 원소 개수는 5개죠? 셀 수 있으니까 이 집합은 유한집합이에요.

{1, 2, 3, 4, 5, …, 9999, 10000}이라는 집합의 원소 개수를 알 수 있나요? 줄임표를 사용하긴 했지만, 원소는 1부터 10000까지의 자연수이므로 원소의 개수는 10,000개군요. 이 집합 역시 유한집합이네요

무한집합

유한집합과는 반대로 원소가 무수히 많아서 개수를 셀 수 없을 때, 그 집합을 무한집합이라고 해요.

{1, 2, 3, 4, 5, …}라는 집합의 원소는 끝이 없이 계속돼요. 1억에서 끝나는지 10억에서 끝나는지 모르잖아요. 그러니 당연히 원소를 개수를 셀 수 없겠죠.

줄임표가 있다고 해서 반드시 무한집합인 건 아니에요. 줄임표가 마지막에 있으면 무한집합이지만 원소의 사이에 있다면 유한집합이에요. {1, 2, 3, 4, 5, …, 9999, 10000}

공집합

좀 특이한 집합인데요.

공집합은 원소의 개수가 0인 집합이에요. 원소가 하나도 없다는 뜻이지요. 그럼 이 집합은 무한집합일까요? 유한집합일까요?

유한집합이에요. 원소의 개수가 0으로 유한개니까요. 원소의 개수를 정확히 알 수 있잖아요.

A = {x|x는 1보다 작은 자연수}라는 집합이 있다고 해보죠. 1보다 작은 자연수는 없으니까 집합 A의 원소는 하나도 없어요. 이때 이 집합 A를 공집합이라고 해요. 집합 A를 조건제시법으로 나타냈는데, 원소나열법으로 나타내면 어떻게 될까요? 원소가 없으니까 그냥 빈 칸인 A = {  }로 나타낼 수 있겠네요.

일반적으로 공집합은 원소나열법으로 표시하지 않아요. 원소나열법은 원소를 직접 적어서 표현하는 방법인데, 공집합은 표시할 원소가 없잖아요.

대신 공집합은 기호 로 표시하고 파이라고 읽습니다.

참고로 우리말로 하면 모두 파이라고 읽는데, [중등수학/중1 수학] - 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에서 썼던 원주율을 나타내는 π는 pi이고, 공집합을 나타내는 기호 는 phi예요.

정리해볼까요?

집합의 원소 개수에 따라 분류

유한집합: 원소의 개수가 유한개인 집합

무한집합: 원소의 개수가 무한히 많은 집합

공집합: 원소의 개수가 0인 집합 즉, 원소가 하나도 없는 집합. (파이)

지난 글에서 집합이란 무엇인지(집합의 뜻), 집합의 원소가 무얼 말하는지(집합에서 원소란?) 공부했죠? 이번 글에서는 집합을 표현하는 방법에 대해서 알아보죠.

먼저 약속할 게 하나 있는데요. 집합과 원소는 대게 로마자 알파벳으로 표시하는데 집합은 알파벳 대문자로, 원소는 알파벳 소문자로 표시해요.

집합을 표시할 때는 중괄호를 이용해요. 중괄호 표시가 있으면 따로 얘기하지 않아도 "아! 집합이구나"하고 알아야 해요.

집합의 표현방법은 크게 세 가지가 있는데요. 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램이에요.

집합의 표현방법 - 조건제시법

집합에서 조건은 아주 객관적이고 명확해야 한다고 했죠? 이렇게 객관적인고 명확한 조건을 적어서 집합을 나타내는 방법이 조건제시법이에요.

보기. A = {x|x는 12의 양의 약수}

"집합 A는 엑스 바 엑스는 12의 양의 약수다."고 읽어요.

알파벳 대문자 A는 집합의 이름이고, 중괄호를 양쪽에 표시해서 집합이라는 것을 나타냈어요.

중괄호 안은 바(|)를 기준으로 두 부분으로 나눌 수 있는데요. 앞부분의 x는 "집합 A는 x라는 원소로 되어있다."는 뜻이고요. 바 뒤에는 바 앞에 나왔던 원소 x의 조건을 적는데, 여기서는 "x는 12의 양의 약수"라는 조건을 적었지요. 종합해보면 "집합 A는 원소 x로 이루어진 집합인데, 이 x는 12의 양의 약수입니다."는 뜻이지요.

위를 종합해보면 "집합 A는 원소 x로 이루어진 집합인데, 이 x는 12의 양의 약수입니다."는 뜻이지요.

보통 조건 제시법에서는 x|x를 많이 써요. 그 외에도 a|a라고 할 수도 있고, b|b라고 할 수도 있지만 빼먹으면 안 돼요.
A = {12의 양의 약수}라고 쓰지 않아요.

B = {x|a는 20의 양의 약수}처럼 바 앞의 문자와 뒤의 문자가 다르게 적어도 안 돼요. 집합 B가 x라는 원소로 되어 있으면 x의 조건을 알려줘야 하는데 느닷없이 a의 조건을 알려주니까 집합 B의 원소를 알 수 없잖아요.

보통 조건제시법은 원소들의 공통된 특징이 있을 때 사용해요.

집합의 표현방법 - 원소나열법

원소는 집합을 구성하는 각각의 항목들이죠. 집합을 표시할 때 이 원소들을 죽 적어서 표현하는 것을 원소나열법이라고 해요.

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 이렇게요.

위 조건제시법과 달리 x|x 이 부분이 없이, 그냥 원소만 적어요.

이때 같은 원소를 여러 번 쓰지 않아요. 하나의 원소는 한 번만 씁니다. {1, 1, 2, 3, 4, 6, 12} 이렇게 쓰지 않아요.

또, 원소의 순서는 상관없어요. 그냥 막 쓰면 됩니다. {1, 12, 2, 6, 3, 4}처럼 써도 괜찮아요. 하지만 크기순처럼 일정한 규칙에 맞게 쓰는 게 알아보기 쉬우니까 가능하면 크기순대로 쓰는 게 좋겠지요.

때로 원소의 개수가 너무 많을 때는 줄임표를 사용하기도 해요.

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ……}
C = {1, 2, 3, 4, 5, …… , 99, 100}

원소나열법은 원소를 직접 쓰니까 원소를 파악하기 쉬운 장점이 있어요. 대신 원소의 개수가 많으면 원소를 일일이 다 쓰기 곤란하겠죠.

집합의 표현방법 - 벤다이어그램

쉽게 말하면 집합을 그림으로 표현하는 방법인데, 이 그림을 벤다이어그램이라고 불러요.

글로 표현된 원소나열법을 그림으로 표시하는 거예요. 동그라미나 네모 같은 도형을 그리고 그 안에 원소를 적는 적는 거죠.

어떤 내용을 그림으로 나타내면 내용을 이해하고 파악하기 쉬워요. 나중에 공부할 부분집합, 교집합, 합집합 등을 나타낼 때 아주 편리한 방법이에요.

A = {x|x는 12의 양의 약수}
A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }

세 가지 모두 같은 집합을 서로 다른 표현법으로 나타낸 거예요. 다 같은 집합이라는 얘기죠.

그러니까 여러분은 하나의 집합을 세 가지 방법 표현할 줄 알아야 해요. 그리고 하나의 표현방법을 보고 다른 표현방법으로 나타낼 줄도 알아야 하고요.

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집합의 뜻
집합에서 원소란?

집합의 뜻에서 집합이라는 것에 대해서 알아봤어요. 집합이 뭐였죠? 객관적이고 명확한 기준이 있고, 그 기준에 맞는 분명한 대상의 모임이 바로 집합이라고 했어요.

이 글에서는 원소라는 걸 공부할 거예요. 원소가 무엇인지 그리고 집합과 어떤 관계가 있는지요. 또 집합과 원소의 관계를 기호를 이용해서 수학적으로 표현하는 방법도 알아볼 거고요. 집합과 원소의 관계를 기호로 표시할 줄 알아야 하고, 기호를 보고 둘 사이의 관계를 파악할 줄도 알아야 해요.

집합의 원소

집합에서 모임에 속한 기준에 맞는 대상들 하나하나를 바로 원소라고 합니다. 쉽게 말하면 집합을 구성하고 있는 구성원들이죠.

자, 레드벨벳이라는 집합이 있습니다. 레드벨벳이라는 집합은 아주 객관적이고 명확한 기준에 의해 정의할 수 있죠. 이 레드벨벳의 멤버는 아이린, 슬기, 웬디, 조이, 예리 총 5명이네요. 이 각 멤버가 레드벨벳이라는 집합의 원소인 거죠.

쯔위는 레드벨벳의 멤버가 아니죠. 그래서 쯔위는 레드벨벳이라는 집합의 원소가 아닙니다.

그럼 방탄소년단이라는 집합의 원소를 말해볼까요? 리더 RM, 슈가, 진, 제이홉, 지민, 뷔, 정국이군요.

실제 집합에서 가장 많이 사용하는 것 중 하나가 약수와 배수의 집합인데요. 예를 들어 12의 약수의 집합이 있다고 해보죠. 그럼 원소는 뭐가 될까요? 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. 10은 12의 약수가 아니니까 이 집합의 원소가 아니군요.

2의 배수의 집합의 원소는 2, 4, 6, 8, 10, …… 이고요. 3과 5는 이 집합의 원소가 아니네요.

집합과 원소의 관계 표현

수학은 문장이나 성질 들을 기호로 표시해요. 집합은 알파벳 대문자로 표시하고 원소는 알파벳 소문자로 표시하죠.

집합과 원소의 관계를 표현하는 수학기호는 영어 알파벳 E와 비슷하게 생긴 ∈예요. ∈에서 벌어진 쪽에 집합을 쓰고, 닫힌 쪽에 원소를 적어요.

"숫자 2는 집합 A의 원소입니다."를 기호로 나타내면 2 ∈ A인 거죠. 물론 거꾸로 A ∋ 2로도 써도 돼요.

반대로 "원소가 아닙니다." 표시는 어떻게 할까요?

"2 + 3은 5와 같습니다."를 기호로 어떻게 표시하나요? 2 + 3 = 5죠? 그럼 "2 + 3은 6과 같지 않습니다."는요? 2 + 3 ≠ 6으로 표시하죠.

같다는 뜻을 가진 수학기호(등호, =)에 선을 그어서 "같지 않다"는 뜻을 나타내는 것처럼 집합과 원소에서도 같은 방법을 사용해요.

∈가 "원소입니다."는 뜻이라면 거기에 선 하나를 그어서 로 "원소가 아닙니다."고 하는 거죠.

5 A는 "5는 집합 A의 원소가 아닙니다."는 뜻이에요.

2 ∈ A, 5  A는 "2는 집합 A의 원소이고, 5는 집합 A의 원소가 아닙니다."라는 뜻이죠.

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