제곱근의 나눗셈을 하다보면 필연적으로 나오는 게 분수에요. 분수에서 분모에 제곱근이 들어있을 때 제곱근을 처리하는 방법을 분모의 유리화라고 하고 이 글에서는 그 방법을 알아볼 거예요.
분모의 유리화는 분모에 제곱근이 하나만 있을 때와 두 개의 제곱근의 합/차로 되어 있을 때의 두 가지가 있어요. 두 가지에서 사용하는 방법을 다 알아야합니다.
분모의 유리화는 분수꼴의 제곱근 계산에서 필수 과정으로 유리수의 덧셈과 뺄셈에서 분모를 통분하고 약분하는 것처럼 아주 기본적인 과정이에요. 이걸 못하면 제곱근의 덧셈과 뺄셈은 못한다고 봐야죠. 꼭 이해하고 넘어가야 해요.
분모의 유리화
분모가 근호를 포함한 무리수일 때, 분모를 유리수로 바꾸는 걸 분모의 유리화라고 해요. 일반적인 분수를 더하거나 뺄 때 분모를 통분해서 계산하죠? 그런데 분모가 무리수라면 통분하기가 어려워요. 그래서 분모를 유리수로 바꾸고, 그 다음에 통분해서 계산을 하는 거죠.
분모에 근호를 포함한 분수는 무리수에요. 무리수인 분수에서 분모가 유리화됐다고 해서 분수가 유리수가 되는 건 아니에요. 분수는 그대로 무리수고, 분모만 유리수가 되는 거예요.
분모의 유리화에서 분자는 아무런 영향을 미치지 않아요. 분자가 유리수든 무리수든 1이든 아니든 상관없어요. 전혀 고려하지 마세요.
분모를 제곱하는 거예요. 통분할 때, 분모에 어떤 수를 곱해주면 같은 수를 분자에도 곱해주죠? 분모는 제곱, 분모에 곱해지는 수를 분자에도 곱해주는 거예요.
분자, 분모에 분모인 
이게 끝이 아니에요. 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 근호안에 제곱인 수가 있으면 근호 앞으로 꺼내는 걸 했어요. 
분자의 근호 안에 제곱인 수가 있어서 꺼냈는데, 이걸 분모에 있을 때 미리 꺼내면 어떻게 되는 지 해보죠.
분모에 정수와 제곱근이 곱해져있을 때는 제곱근만 곱해주면 돼요. 정수는 이미 유리수니까 유리화할 필요가 없잖아요. 계산이 조금 더 간단해 졌죠? 순서를 잘 기억하세요.
제일 마지막 과정에서 약분을 했는데, 두 번째 줄에 보면 분자의 3과 분모의 6을 약분할 수 있어요. 약분은 계산 중에 아무데서나 해도 상관없어요.
분모의 유리화: 분모에 근호를 포함한 수가 들어있을 때, 분자, 분모에 같은 수를 곱해서 분모를 유리수로 만드는 것
분모가 제곱근: 분모와 같은 수를 분자, 분모에 곱
분모가 정수와 제곱근의 곱: 분모의 제곱근 부분을 분자, 분모에 곱
분모가 무리수의 합과 차로 되어있을 때
분모가 두 무리수의 합과 차로 되어 있을 때는 방법이 조금 달라져요.
분모의 유리화는 분모의 제곱근을 없애려고 하는 건데, 없어지지 않았죠? 그래서 이 때는 분모를 제곱해도 소용이 없다는 걸 알 수 있어요. 완전제곱식이 아니라 곱셈공식의 합차공식을 이용해볼까요?
합차공식을 이용했더니 분모가 유리수가 되었죠? 합차공식은 숫자는 같지만 둘 사이의 부호만 다른 걸 곱하는 공식이에요.
정리해보죠. 분모에서 제곱근은 그대로 두고, 부호만 반대인 수를 분자, 분모에 곱해요.
다음 분수의 분모를 유리화하여라.
(1)은 분모에 제곱근이 하나만 있네요. 분모와 같은 수를 분자, 분모에 곱해서 유리화를 하죠.
(2)도 분모에 제곱근 하나만 있으니 이걸 분자, 분모에 곱해주면 되겠네요.
마지막에 3이 약분이 되네요. 분수니까 약분까지 하셔야 해요.
(3) 분모의 근호 안에 제곱인 수가 들어있으니까 이걸 근호 앞으로 꺼내고, 근호 안의 숫자만 분자, 분모에 곱해줘요.
두 번째에서 세 번째로 갈 때 근호 앞의 2와 분자의 2를 약분했어요. 약분을 미리하면 계산이 편리해져요.
(4) 분모에 근호를 포함한 수가 2개 있어요. 이럴 때는 부호를 반대로 해서 분자, 분모에 곱해야 하죠.
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[중등수학/중2 수학] - 곱셈공식 두 번째 - 합차공식 외
헷갈려 했는데.. 좋은 정보 감사합니다*^^*
분모의 유리화는 아주 아주 기본적인 내용이라서 헷갈리면 안돼요. 이번 기회에 제대로 이해했으면 좋겠네요.
2루트3 이있는데요
2루트3(4루트+6)
이있다고 치면요 전개하면
2루트12 12루트3이 되나요?
아니면
2루트4 12 , 12루트 6루트3
이되나요??ㅜ제발답변부탁드려요ㅜ
제곱근의 곱셈과 나눗셈(http://mathbang.net/264)을 참고하세요. 분배법칙을 이용해서 전개하면 되겠네요.
\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 }+1 } 을 유리화 시키는데 친구책을 보니깐
답이 2루트2-1/7 이라고 되있고 식을 보니까 유리화 할때 분모에 2루트2 - 1 을 곱해주더군요.
(1/2루트2)를 유리화 할때 왜 분모에 루트2를 안곱해주고 2루트2 - 1을 곱해주는지 궁금합니다.
그리고 분모를 유리화 시킬때
어떨때는 루트만 곱해서 분모를 자연수로 만들고 어떨때는 분모자체(2루트2 - 1)를 곱해서 분모를 자연수로 만들던데
왜 두가지 방법이 나뉘어 있고 각각의 방법은 어떨때 사용하나요?
수식이 안써지네요.
문제가 1 / (2루트2 + 1) 을 유리화 시키는 것입니다.
아 제가 잘못 생각했습니다. +1에도 루트2를 곱해줘야하니깐
유리화 안되고 루트2/ (4+루트2)가 되는군요
이해가 되셨나요? 그럼 추가로 설명할 필요는 없겠죠?
4번문제 루트15앞에도 마이너스부호가 붙어야죠..
분수 앞에 (-)가 있으니까 분자의 숫자들에는 (-)를 붙이면 안돼요.
감사합니다. 분모의 유리화를 깔끔하게 정리하셧네요.
무리수의 계산에서 가장 중요한 내용이니까 잘 정리해 두어야죠.
이해가 정말 잘되네요 감사합니다.
분모의 유리화는 아주 중요한 내용이에요. 잊어버리면 안돼요.
1
______
루트2 을 제곱하면 안되는 이유가 무엇인가요? 뒤에나와잇는 설명이 이해가 안되네요
숫자 자체는 그대로 두고 분모의 형태만 유리수로 바꿔야 하는데 전체를 제곱하면 숫자가 달라지잖아요.
안녕하세요
두가지 질문이 있어요 ^^
(1/루트2)²를 계산하면 1/2가 되는것은 맞죠?
그런데 저것을 전체제곱으로 풀어서 유리화하면 숫자가 달라져(통분같은것이 아니고 아예 새로운 계산을 하는것이기 때문에) 원래 분모만 유리화하려던 의도를 벗어나서 전체제곱하면 안된다는 말씀인가요?
네, 맞아요.
분모의 유리화는 수가 그 값을 그대로 유지한 상태에서 분모의 모양만 유리수로 바꾸는 건데, 전체를 제곱해버리면 그 값이 바뀌니까 전체를 제곱하면 안되는 거죠.
8/제곱근3+1 은 어떻게 풀어야되죠...
이 글이 그 계산 방법을 설명하는 글이에요. 글을 잘 읽고 이해하시면 풀 수 있어요.
분모의 유리수 할때 분모에 있는수를 똑같이 곱할때 분수에 있는 수에다가 괄호 치고 다 곱해야 하나요 아니면 하나의 숫자에만 곱해도 되나요?
예를 들면 분모에 루트2가 있고 분수에 루트 3하고 -4가 있으면 루트3이나 -4에만 곱해도 되나여 아니면 둘다 곱해야 하나요?
괄호치고 둘 다 곱해야죠.
분모 전체에, 분자 전체에 똑같은 수를 곱해야 값이 바뀌지 않으니까요.
감사합니다~~^^
많은 도움이 됐어요>.<
댓글 고맙습니다. 앞으로도 많은 도움 드릴테니까 자주 방문해주세요.
비밀댓글입니다
이해가 되네요
감사합니다
10분에 3루트30 마이너스5이면 10하고 5하고
나누기해서 기약분수 만들어야 하나요??
아닐걸요? 왜냐하면 그렇게 하면 3루트30은 안 나누어지잖아요. 아마 수학방님이 친절하게 대답해 주실 거예요.
하나로 둔 상태에서는 안되고, 항을 둘로 쪼갠다음에 약분하면 되죠.
(3루트30)/10 - 5/10
= (3루트30)/10 - 1/2
d/a루트b+c는 유리화를 어떻게 하나요(a,b,c,d는 자연수)
수식
d/(a√b)+c
이제 해결했네요
√2-√3/-1 은 왜 √3-√2가 되나요?
분모 (-1)을 +1로 바꾸려고 분자 분모에 (-1) 곱한 거예요.
분모에 덧셈이 있을떼는 어떻게 하죠? 예를 들어 분모가 루트2+3이고 분자가 5입니다
중간 이후의 부분 <분모가 무리수의 합과 차로 되어있을 때>가 그 내용을 설명하는 거예요.
감사합니다 분모가 복잡한것도 유리화 할 수 있겠네요
원래 해맸었는데 잘 보고 가요!!
이제 헤맬 일은 없겠죠?
이해가 한방에 갔음 ㅋㅋㅋ
many thx~~~
가르침을 더 내려 줄테니 다른 글도 다 읽어주세요.
근호 안에 있는 마이너스 그냥 밖으로 빼도 되나요?
아니요. 안돼요.