부분집합이 무엇인지 이제 정확히 알겠죠? 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함되어 있을 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고 기호로 A ⊂ B로 나타냅니다.
이제는 부분집합을 직접 구해볼 거예요. 부분집합을 구하는 과정은 어렵지 않습니다.
다만, 원소의 개수가 많으면 부분집합을 구하기 귀찮기는 하죠.
부분집합 구하기
부분집합을 구할 때 가장 쉬운 방법은 원소의 개수를 0개부터 하나씩 늘려가면서 구하는 겁니다.
A = {1, 2, 3, 4}의 부분집합을 구해보죠.
- 첫 번째 원소의 개수가 하나도 없는 부분집합, 즉 공집합
- 원소의 개수가 하나인 부분집합: {1}, {2}, {3}, {4}
- 원소의 개수가 두 개인 부분집합: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}
- 원소의 개수가 세 개인 부분집합: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}
- 원소의 개수가 네 개인 부분집합: {1, 2, 3, 4}
원소의 개수가 다섯 개인 부분집합은 없겠죠.
이렇게 원소의 개수를 하나씩 늘려서 찾다 보니 총 16개의 부분집합을 구했네요.
부분집합의 개수 구하기
부분집합의 개수는 위처럼 직접 부분집합을 구해서 그 개수를 셀 수도 있겠지요. 하지만 너무 비효율적이에요.
그래서 공식으로 알아두면 좋아요. 공식은 [중등수학/중2 수학] - 경우의 수를 이용하면 쉽게 구할 수 있어요.
A = {1, 2, 3, 4}의 부분집합에는 1을 포함하는 부분집합이 있을 수 있어요. 반대로 1을 포함하지 않는 부분집합도 있겠지요. 그러니까 부분집합에 1이 있거나 없거나 두 가지 경우가 생기죠.
또, A의 부분집합 중에는 2를 포함하는 부분집합과 2를 포함하지 않는 부분집합이 있을 거예요. 역시 두 가지 경우네요.
3, 4도 마찬가지로 포함하거나 포함하지 않거나 각각 두 가지 경우가 생기죠.
각 원소 1, 2, 3, 4에서 두 가지씩 경우의 수가 생기는데 이는 동시에 발생하는 사건으로 곱의 법칙을 사용하는 게 맞죠?
원소별로 경우의 수가 2가지씩 생기므로 이를 모두 곱하면 부분집합의 개수를 구할 수 있어요.
부분집합의 개수 = 2를 원소의 개수만큼 곱
집합 A의 원소의 개수가 n개 일 때, 집합 A의 부분집합의 개수 = 2n
A = {1, 2, 3, 4}에서 원소의 개수는 네 개죠. 그래서 2를 네 번 곱해주면 되는데, 24 = 16이네요.
직접 구해본 부분집합의 수를 세어봤더니 역시 16개였죠. 어때요? 개수만 구하려고 할 때는 그냥 위 공식을 이용하는 것이 좋겠죠?
부분집합을 직접 구해야 하는 문제가 나올 수도 있어요. 이럴 때 공식을 이용해서 부분집합의 개수를 먼저 구한 다음에 그 개수에 맞게 부분집합을 찾는 것도 좋은 방법입니다.
안녕하세요~ 엄청 늦은 나이지만 수학을 다시 공부해보려고하는 사람입니다 ㅜ 우연히 찾은 곳인데 진짜 좋은 곳 이네요 정말 대단하십니다.
부끄럽지만 중1 수학부터 공부하려고 하는데요 진작에 인사드렸어야하는데 궁금한게 있어서 여쭤보려고 이렇게 글을 씁니다.
우선 문제는 집합쪽인데요(ㅠㅠ) A={1,2,3,4} 가 있고 X={x l A의 원소 중 3 이나 4를 포함하되 1,2,3,4 의 원소 전체를 포함하지 않은 것} 이때 X 의 부분집합 개수를 구하라 에서 막히는게 있어서요 우선 집합 A 의 부분집합 개수는 2*2*2*2 = 16 이고 1,2 원소만 포함한 개수가 2*2=4 그리고 1,2,3,4 모두를 포함한 거 1개 그리고 공집합 개수 1개 그래서 계산한게 16 - 4 - 1 - 1 = 10 답이 10이라고 나왔는데 답지에서는 공집합 개수를 빼지 않고 11이더군요 부분집합의 개수에는 공집합의 개수도 포함되는데 이게 무지 헷갈리네요. 문제를 정확하게 올렸어야하는데 생각나는대로 두서없이 적어서 헷갈리실 수 도 있겠습니다. 도움좀 부탁드립니다. 처음부터 끝까지 다 볼 생각입니다. ㅎ 정말 체계적으로 알기쉽게 잘 설명해주신 덕분에 공부가 잘 될 거 같네요 ㅎ 앞으로도 계속 잘 부탁드립니다. ㅎ 좋은 하루 되세요 ㅎㅎ
.. 지금 한번 다시 선생님 강의를 보고있는데 공집합의 정의가 원소의 개수가 없는 집합이라고 하셨는데 그럼 11이 맞는 걸까요? 무쟈게 헷갈리네요 ㅎ
3이나 4를 포함해야 하니까 공집합은 빼는 게 맞아요. 그런데, 1, 2만 포함한 부분집합 4개는 {}, {1}, {2}, {1, 2}로 이미 여기에 공집합이 포함되어 있어요. 그러니까 중복해서 빼지 않아도 주의해야죠.
1과2로 구성된 집합의 부분집합에는 공집합이 이미 존재합니다. 똑같은 것을 두 뻔 뺄 필요가 없죠.
그리고 이런 방법도 있어요.
3이나 4를 포함하는 부분집합의 개수는
3을 포함하는 부분집합 개수 + 4를 포함하는 부분집합 개수 - 겹치는 부분집합 (3,4 모두를 포함하는 부분집합 ; 3을 포함하는 부분집합에도 3 4를 포함하는 얘들이 있고 4를 포함하는 부분집합에도 3 4 를 포함하는 애들이 똑같이 있으니까 겹치는 거는 한 번 빼주어서 중복 되지 않게 합니다. )
즉 8+8-4=12
그리고 12에서 원소전체를 포함하는 한 개를 빼주면
12-1=11 입니다,
여기 오타잇네요 16개가 아니라 15개 아닌가요?
공집합도 있으니 16개가 맞아요.
정말 감사합니다! 공부가 잘되네요! ^^
댓글 고맙습니다. 공부 열심히 하세요.
안녕하세요 ^.^
정말 감사하게 잘 보고 있습니다.
강의를 보는 도중 질문이 생겨 댓글을 남기게 되었습니다.
강의 내용 중간에 "각 원소 1, 2, 3, 4 에서 두 가지씩 경우의 수가 생기는데 이는 동시에 발생하는 사건으로 곱의 법칙을 사용하는 게 맞죠?" 라는 질문이 있는데요.
각 원소 1, 2, 3, 4 에서 두 가지씩 경우의 수가 생긴다는건
부분집합에 포함되는 경우 하나, 포함되지 않는 경우 하나를 뜻한다고 생각해도 될까요?
만약에 그렇다면 동시에 발생하는 사건이란건 어떤걸 의미하는 건지요?
"3종류의 티셔츠와 2종류의 바지가 있다. 티셔츠촤 바지를 하나씩 골라 입을 수 있는 경우의 수를 구하여라."
문제가 위와 같다면 티셔츠와 바지를 각각 하나씩 골라 입어야 하니까
동시에 일어나야 한다고 이해가 되는데요.
맨 위의 질문은 동시에 일어난다는게 잘 이해가 되지 않아요.
도와주세요~
여기서의 경우의 수는 부분집합에 포함되거나 포함되지 않거나를 얘기하는 거니까 제대로 이해하신 거고요.
문제를 복사해오신 합의 법칙, 곱의 법칙(http://mathbang.net/109)에 있는 설명처럼 "동시에"라는 개념은 두 사건이 모두 일어나야 하는 경우를 말하죠.
포함되느냐 포함되지 않느냐는 모든 원소 1, 2, 3, 4에 대해서 고려해야지 일부 원소만 고려해서 되는 건 아니잖아요. 1이 포함되는지 않되는지, 2가 포함되느지 않되는지, 3, 4도 포함되는지 포함되지 않는지 따져봐야해요.
네 원소에 대해서 포함하는지 포함하지 않는지 다 따져봐야하니(네 사건이 모두 일어나야 하니) 동시에라는 개념을 사용한 거예요.
않되요 - 안되요
프로불편러는 아니구요... 그냥 귀여우셔서 뭔가 ㅋㅋ
그럼 아마추어 불편러.. ㅎㅎ
이 맞춤법 너무 어렵네요. ㅠㅠ
댓글 쓰신 분도 틀렸습니다 ㅋㅋ
안되요가 아니라 안 돼요 입니다.
되어요의 준말이 돼요 입니다.
비슷한 예시로 됐습니다의 경우에도
되었습니다의 준말이므로 맞는 것이고
됬습니다는 틀린 겁니다.