지난 글에서 집합이란 무엇인지(집합의 뜻), 집합의 원소가 무얼 말하는지(집합에서 원소란?) 공부했죠? 이번 글에서는 집합을 표현하는 방법에 대해서 알아보죠.
먼저 약속할 게 하나 있는데요. 집합과 원소는 대게 로마자 알파벳으로 표시하는데 집합은 알파벳 대문자로, 원소는 알파벳 소문자로 표시해요.
집합을 표시할 때는 중괄호를 이용해요. 중괄호 표시가 있으면 따로 얘기하지 않아도 "아! 집합이구나"하고 알아야 해요.
집합의 표현방법은 크게 세 가지가 있는데요. 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램이에요.
집합의 표현방법 - 조건제시법
집합에서 조건은 아주 객관적이고 명확해야 한다고 했죠? 이렇게 객관적인고 명확한 조건을 적어서 집합을 나타내는 방법이 조건제시법이에요.
보기. A = {x|x는 12의 양의 약수}
"집합 A는 엑스 바 엑스는 12의 양의 약수다."고 읽어요.
알파벳 대문자 A는 집합의 이름이고, 중괄호를 양쪽에 표시해서 집합이라는 것을 나타냈어요.
중괄호 안은 바(|)를 기준으로 두 부분으로 나눌 수 있는데요. 앞부분의 x는 "집합 A는 x라는 원소로 되어있다."는 뜻이고요. 바 뒤에는 바 앞에 나왔던 원소 x의 조건을 적는데, 여기서는 "x는 12의 양의 약수"라는 조건을 적었지요. 종합해보면 "집합 A는 원소 x로 이루어진 집합인데, 이 x는 12의 양의 약수입니다."는 뜻이지요.
위를 종합해보면 "집합 A는 원소 x로 이루어진 집합인데, 이 x는 12의 양의 약수입니다."는 뜻이지요.
보통 조건 제시법에서는 x|x를 많이 써요. 그 외에도 a|a라고 할 수도 있고, b|b라고 할 수도 있지만 빼먹으면 안 돼요.
A = {12의 양의 약수}라고 쓰지 않아요.
B = {x|a는 20의 양의 약수}처럼 바 앞의 문자와 뒤의 문자가 다르게 적어도 안 돼요. 집합 B가 x라는 원소로 되어 있으면 x의 조건을 알려줘야 하는데 느닷없이 a의 조건을 알려주니까 집합 B의 원소를 알 수 없잖아요.
보통 조건제시법은 원소들의 공통된 특징이 있을 때 사용해요.
집합의 표현방법 - 원소나열법
원소는 집합을 구성하는 각각의 항목들이죠. 집합을 표시할 때 이 원소들을 죽 적어서 표현하는 것을 원소나열법이라고 해요.
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 이렇게요.
위 조건제시법과 달리 x|x 이 부분이 없이, 그냥 원소만 적어요.
이때 같은 원소를 여러 번 쓰지 않아요. 하나의 원소는 한 번만 씁니다. {1, 1, 2, 3, 4, 6, 12} 이렇게 쓰지 않아요.
또, 원소의 순서는 상관없어요. 그냥 막 쓰면 됩니다. {1, 12, 2, 6, 3, 4}처럼 써도 괜찮아요. 하지만 크기순처럼 일정한 규칙에 맞게 쓰는 게 알아보기 쉬우니까 가능하면 크기순대로 쓰는 게 좋겠지요.
때로 원소의 개수가 너무 많을 때는 줄임표를 사용하기도 해요.
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ……}
C = {1, 2, 3, 4, 5, …… , 99, 100}
원소나열법은 원소를 직접 쓰니까 원소를 파악하기 쉬운 장점이 있어요. 대신 원소의 개수가 많으면 원소를 일일이 다 쓰기 곤란하겠죠.
집합의 표현방법 - 벤다이어그램
쉽게 말하면 집합을 그림으로 표현하는 방법인데, 이 그림을 벤다이어그램이라고 불러요.
글로 표현된 원소나열법을 그림으로 표시하는 거예요. 동그라미나 네모 같은 도형을 그리고 그 안에 원소를 적는 적는 거죠.
어떤 내용을 그림으로 나타내면 내용을 이해하고 파악하기 쉬워요. 나중에 공부할 부분집합, 교집합, 합집합 등을 나타낼 때 아주 편리한 방법이에요.
A = {x|x는 12의 양의 약수}
A = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
세 가지 모두 같은 집합을 서로 다른 표현법으로 나타낸 거예요. 다 같은 집합이라는 얘기죠.
그러니까 여러분은 하나의 집합을 세 가지 방법 표현할 줄 알아야 해요. 그리고 하나의 표현방법을 보고 다른 표현방법으로 나타낼 줄도 알아야 하고요.
보통 집합의 원소를 소문자로 자주 표현하던데요.
집합 A가 10이하의 자연수라 가정하고요.
a가 집합 A의 원소이면
a ∈ A 이렇게 표현해주던데요.
여기서 이 a가 1이면 1, 2면 같이 원소 하나만 가르키나요?
아니면 전체를 가르키나요?
전체를 가르킨다면 이유가 뭔가요?
왜 전체를 가르키도록 약속을 했는지 알고 싶습니다.
(예 : 계산할때 편하다, 표현할때 편하다 등)
a는 어떤 특정한 숫자나 숫자의 전체를 나타내는 게 아닌 임의의 숫자를 말해요. a = O처럼 정해져 있는 게 아니에요.
예를 들어 자연수 중에서 아무거나 숫자를 하나를 골랐을 때 이 숫자 a가 집합 A의 원소이면 a ∈ A라고 하는 거지요. 골라진 숫자는 1일수도 있고, 100일 수도 있어요.
초등학교 때 특정 수가 들어가는 자리에 네모나 세모 표시하지요. 그것과 마찬가지로 도형 대신 알파벳으로 표현하는 겁니다. 그 이유는 질문자님이 말씀하셨듯이 편해서 그래요.
엑스바 엑스는 무슨 뜻인가여?ㅎ
바 앞은 x가 집합의 원소라는 걸 나타내는 부분이고, 바 뒤는 x의 조건을 나타내는 부분이에요.
궁금한 부분이 있습니다.
조건 제시법의 정의에 대해서 명확하게 구분이 내려지지 않네요 ㅠㅠ.
원소임을 나타낼 때 {}기호를 쓰잖아요.
저는 {}를 집합이라고 읽습니다.
A = { 1,2 } 를 읽으면 1,2를 원소로 가진 집합 A 라고 읽습니다.
만약 { 1,2 } 만을 읽는다면 1,2를 원소로 가진 집합 이라고 읽구요.
그럼 여기서 고민입니다.
A = { 2|x 는 4의 약수 } 라는 (실제로 있을 리가 없지만) 것은 사용이 불 가능 한건가요? 여기서 2가 집합의 원소라는 걸 나타낸다는 건데…
조건과는 상관없이 A = { 2 } 를 가지게 되는 거 아닌가요?
그리고 A = { 4의 약수 } 같은 꼴이 왜 안 되는 지 궁금합니다.
읽어보면은, 4의 약수를 원소로 가진 집합 A 인데…
그리고 궁금증을 해결하기 위해 찾다가 발견한 것인데.
A = { (x,y)|x는 4의 약수, y는 2의 약수 } 라고 할 때 결과 값이
A = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (4,1), (4,2) } 가 어째서 되는 건지...
지금 혼자서 생각해낸 결론은 조건제시법의 명확한 정의는 없다.. 인데
이 찜찜함을 해결할 수 있을까요?
A = {x|x는 4의 약수}
"집합" = { "집합의 임의의 원소" | "집합의 임의의 원소의 조건" } 꼴입니다.
이런 형태로 정의되어 있어요.
A = { (x,y)|x는 4의 약수, y는 2의 약수 }에 대해서.
바(|)앞의 "(x,y)"는 집합 A가 x, y라는 요소가 괄호로 묶어진 형태를 원소로 가진 집합이라는 뜻이죠. 그리고 바뒤에 x, y의 조건이 있고요. 이 x, y의 조건을 (x, y)라는 원소의 기본형에 하나씩 대입하면 원소를 찾을 수 있죠.
{ x,y l x는 3의배수, y는 7의배수 } = { x l x는 3의배수이면서 7의배수 } 인가요?
만약 아니라면 자세한 설명 부탁드려요!
위에 글을 적은 사람인데요! 뒤의 조건제시법이 잘못 적혀져서 다시 글을 남깁니다.
3의배수이면서 7의배수가 아니라, 3의 배수기도 하고 7의 배수이기도 하다. 입니다.
두 집합의 원소를 원소나열법으로 직접 써보면 금방 알 수 있습니다.
A = { x, y | x는 3의 배수, y는 7의 배수 } 에서 앞에 있는 x, y가 A의 원소를 대표하는 꼴을 말하는 것이니 이것을 원소 나열법으로 표현 및 중복되는 것을 제거하면
A = { 3,6,7,9,12,14 ... } 가 된다고 생각합니다.
A = { x|x 는 3의 배수이기도 하고, 7의 배수이기도 하다 } 도 마찬가지로 { 3,6,7,9,12,14... } 가 되니 결국
A = { x|x 는 3의 배수이기도 하고, 7의 배수이기도 하다 } = { x,y|x는 3의 배수, y는 7의 배수} 라고 생각합니다.
해당 부분이 정답인 지 확실한 답을 듣고 싶어요.
"3의 배수이기도 하고, 7의 배수이기도 하다"는 3과 7 둘 모두의 배수라는 뜻이므로 3, 7의 최소공배수인 21의 배수를 원소로 갖는 집합이에요.
{21, 42, 63, ....}
따라서 예제에서 말한 두 집합은 다르죠.
두 집합이 같으려면 {x|x는 3의 배수이거나 7의 배수}가 되어야겠네요.
헉 ㅠㅠ 그렇군요. 예제를 잘못 생각했었네요. 감사합니다.
그럼A={x|x는12의약수이다}에서x는A집합에 속해있고 12의 약수다 라고 해석이 되나요?
집합을 중심으로 볼 것이나 원소를 중심으로 볼 것이냐 관점의 차이는 있지만, 원소를 중심으로 생각하면 정확하게 해석하신 겁니다.
X|x에서 X가 kx의 형태인 경우는 어떻게 하나요
kx|x라면 x의 특징을 이용해서 kx를 찾고, 그걸 원소로 나타내면 되죠.
무한집합을 벤다이어그램으로 표현할수는 없는건가요,,.