고등학교 수학 첫 시간이네요. 고등학교 수학은 중학교 수학과 비교하면 수준차가 확연히 납니다. 갑자기 어려워져요. 특히 학년이 올라갈수록 그 격차는 심해집니다.
내용 자체도 어렵고 양도 많고요. 설명도 글이나 그림보다는 식이나 기호 위주로 되어 있어서 알아보기가 힘들 겁니다. 하지만 중학교에 배운 수학 내용을 탄탄히 해온 학생이라면 충분히 공부할 수 있으니까 너무 걱정하지 마세요.
고등학교 수학은 한꺼번에 몰아서 공부하거나 벼락치기가 안되니까 매일 조금씩 공부를 하세요.
처음으로 할 내용은 집합인데, 집합은 중1 수학에서 공부했던 내용을 정리하고 복습하는 과정을 가져보죠. 자세한 설명은 중1 수학 목록에서 보세요. 부분집합과 부분집합의 개수를 구하는 과정을 조금 더 다뤄보도록 하겠습니다.
집합
집합에 관련된 내용은 많지만 일단 가장 기본적인 것 몇 가지만 정리해볼까요?
- 집합: 구체적이고 객관적인 기준에 맞는 대상들의 모임. 알파벳 대문자로 표시
- 원소: 집합을 이루는 대상 하나하나. 알파벳 소문자로 표시
- a가 집합 A의 원소일 때, a ∈ A
- b가 집합 A의 원소가 아닐 때, b
A
- 집합의 표현방법
- 원소나열법: 집합에 속하는 모든 원소를 { }안에 열거하는 방법.
A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - 조건제시법: 원소들의 공통된 성질이나 조건을 나타내는 방법.
A = {x|x는 12의 양의 약수} - 벤다이어그램: 그림으로 표현
- 원소나열법: 집합에 속하는 모든 원소를 { }안에 열거하는 방법.
- 집합의 분류
- 유한집합: 원소의 개수가 유한개여서 셀 수 있는 집합
공집합: 원소의 개수가 0개인 집합 - 무한집합: 원소의 개수를 셀 수 없는 집합
- 유한집합: 원소의 개수가 유한개여서 셀 수 있는 집합
- n(A): 집합 A의 원소의 개수
부분집합
중학교 1학년 때, 집합의 포함관계 - 부분집합, 진부분집합과 부분집합의 성질에서 했던 내용을 정리해보죠.
두 집합 A, B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때, A를 B의 부분집합이라고 하고 기호로 A ⊂ B라고 나타내요. 1이 모든 수의 약수인 것처럼 공집합 는 모든 집합의 부분집합이죠. 모든 수가 자기 자신을 약수로 갖는 것처럼 집합에서도 자기 자신을 부분집합으로 가져요.
임의의 원소 a에 대하여, a ∈ A일 때 a ∈ B이면 A ⊂ B ⊂ A, A ⊂ A
A ⊂ B, B ⊂ C ↔ A ⊂ B ⊂ C ↔ A ⊂ C
진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합을 말해요. 자기 자신은 부분이라고 할 수 없잖아요. 기호로 나타내면 A ⊂ B이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합이라고 합니다.
두 집합 A와 B가 서로 같은 지도 부분집합을 이용해서 알 수 있어요. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A와 B는 서로 같은 집합이에요. A의 모든 원소가 B에 들어있고, B의 모든 원소가 A에 들어있으니까 서로 같은 거지요. 숫자에서와 마찬가지로 등호(=)를 써서 A = B라고 표시합니다. A ⊂ B이고 B ⊂ A ↔ A = B
부분집합의 개수 구하기
이것도 중1 때 했던 내용이에요. 부분집합의 개수 구하기, 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기에 보면 왜 이런 방법으로 구하는지 설명이 되어 있어요. 기억이 나지 않는다면 한 번 보고 오세요.
n(A) = n일 때
집합 A의 부분집합의 개수 = 2n
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2n - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2n - k
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2n - k
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2n - 2n - k
진부분집합은 자기 자신을 제외한 부분집합이니까 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼서 구해요.
특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합은 애초부터 그 원소를 포함하지 않은 집합으로 생각하면 됩니다. 애초부터 원소에 포함되지 않았으면 부분집합에도 포함되지 않으니까요. 또 특정 원소 k개를 포함하는 부분집합은 특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합에 그 원소들을 넣어주는 것으로 생각하면 쉬워요. 따라서 둘은 개수가 서로 같은 거예요.
마지막에 있는 게 처음으로 나오는 건데요. 적어도 한 개가 들어있는 것의 개수를 바로 구하기 어려우니까 반대로 생각해봤어요. 적어도 한 개를 포함하는 것의 반대는 하나도 들어있지 않은 거잖아요. 그래서 전체에서 한 개도 들어있지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구하는 거죠. 하나도 들어있지 않는 부분집합의 개수는 (특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)에요.
(특정 원소 k 개중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수)
= (전체 부분집합의 개수) - (특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)
집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때 다음을 구하여라.
(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수
(2) 2, 4를 반드시 포함하는 부분집합의 개수
(3) 2, 4중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수
(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하라고 했는데, 애초부터 A라는 집합이 2, 4를 포함하지 않았다고 생각해보죠. 이 집합을 B라고 한다면 B = {1, 3, 5}에요. (B의 부분집합의 개수) = (2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수)이므로 23 = 8이에요.
공식을 이용해서 바로 구해보면 n(A) = 5이고, 2, 4라는 두 개의 원소를 포함하지 않으니까 25 - 2 = 23 = 8(개)이에요. 공식으로 바로 구해도 같네요.
(2)번은 (1)에서 구한 B의 부분집합에는 2, 4가 들어있지 않으니까 거기에 2, 4를 모두 넣어준다고 생각하면 돼요. 따라서 개수가 같죠. 8개에요.
(3)번 2, 4중 적어도 하나를 포함한다는 건 2를 포함하거나 4를 포함하거나 2, 4 둘 다를 포함하는 거예요. 전체 부분집합의 개수에서 2, 4를 둘 다 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구해요. 25 - 25 - 2 = 32 - 8 = 24(개)
두 집합 A = {x|x는 5 이하의 자연수}, B = {1, 3, 5}일 때 B ⊂ X ⊂ A를 만족하는 X의 개수를 구하여라.
문제가 좀 복잡하네요. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5}
B ⊂ X니까 X는 B의 모든 원소를 포함하고 있어요. 그리고 X ⊂ A죠. 정리해보면 X는 B의 원소인 {1, 3, 5}를 포함하는 A의 부분집합이에요.
특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 구하는 공식을 사용하면 되겠네요.
25 - 3 = 4
X를 직접 구하는 게 아니라 개수만 구하는 거니까 답은 4개입니다.
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고등수학까지나왔네요
정말 수고많으시네요 감사합니다^^
고등수학은 이제 막 시작했어요.
갈 길이 머네요.
우연히 글을봤는데
머리나쁜저도 이해가 잘되네요!ㅠㅠ
감사합니다!ㅎㅎ
머리가 좋으니까 이해를 하는 거예요. ㅎㅎ
아들이 초등학교부터 수학을 등한시하다보니 지금 고등학교1학년인데 과외를 시켜도 제대로 따라가질 못합니다. 우연히 수학방을 알고 같이 공부하고 있는 정리 요약 설명이 정말 죽입니다. 감사드려요.
과외 선생님께 학교 진도를 따라가는 것보다는 기초를 잡을 수 있도록 지도해달라고 얘기해보세요. 아무래도 글로 읽는 것보다는 직접 배우는 게 더 효과가 좋을 거예요.
수학을 독학하는 만학생입니다. 궁굼한게 예전에는 고1수학이 10가 10나 이런식으로 상하로 나뉘어져서 1학기 2학기로 배운거같은데.... 요즘은 수학1 수학2 로 나뉘어서 배우나요? 예전에는 수1이 고2때 배우는거 아니였나요? 학년별 과목 명칭좀 정확히 알려주세요 부탁해요~~~ 제가 고1 과정을 독학중이라 인강을 보려하는데 어떤걸 봐야하는지 헷갈려서요
2013년까지는 고등학교 1학년이 1학기 - 고등수학(상), 2학기 - 고등수학(하)로 나눠서 공부하는데 2014년부터는 바뀝니다. 2014년부터는 1학기 - 수학 1, 2학기 - 수학 2로 이름이 바뀌고 단원 구성도 많이 바뀌게 되죠. (기존에 2학년 때 배우던 수학 1, 2가 아니라 완전히 새로운 구성의 수학 1, 2예요.)
인강사이트에서 2013년 기준으로 하는 강의인지 2014년 걸 대비하는 강의인지 확인하고 선택하세요. 고1 수학 목차(http://mathbang.net/287)가 2013년 1학년 과정이니까 참고하시고요.
고등수학 잘봣습니다.
수학이어려울때 님꺼보면이해가 되더라구요^^ 수고하세요
수학은 항상 어려우니까 항상 방문해 주세요. ㅎㅎ
부분집합파트에서 원소 a가 집합 A에 포함되고 B도 그렇다고 해서
집합 A가 B의 부분집합이 되나요? 다른 조건이 없으면 확단할 수 없을 것 같은데.. 모든 원소가 어떤 건지를 알 수 없으니
a ∈ A에서 a는 특정 원소를 뜻하는 게 아니라 임의의 원소를 말해요. 설명이 조금 부족했네요.
정말 좋은 강사님들은 고1수학이 고등학교 전과정에서 제일 중요하다고 강조하시죠. 재수 삼수 일반인까지도 결국 돌고돌아 펴드는책은 고1 수학이라고 강조하던데요. 제 생각에도 고1수학이 수학적 사고의 재료가 되는 것들을 배우는거 같아요. 결국 고2고3수능에서 좀더 등업하려면 기본적인 수학적 재료가 쌓여있는 고수학을 착실히 해야한다고 생각합니다
중학교도 고등학교도 모든 과목이 다 1학년 때 배우는 게 중요해요. 가장 기본이 되는 것들을 공부하니까요.
2,4를 반드시 넣을 때 말입니다. 부분집합의 개수구할때요 2,4를 포함하지 않는 곳에 2,4를 넣는다는 개념이 이해가 안갑니다.. 그냥 애초에 1,2,3,4,5의 개수를 다 구하면 당연히 2,4는 포함되지 않나요??
부분집합에 2, 4가 둘 다 들어있어야 하거든요. 근데, 그냥 {1, 2, 3, 4, 5}의 부분집합의 개수를 공식을 이용해서 구하면 둘 중에 하나만 들어있거나 둘 다 들어있지 않는 부분집합의 개수까지 포함돼요.
그래서 애초에 이 둘이 들어있지 않은 집합 {1, 3, 5}의 부분집합을 구한 다음에 여기에 2, 4를 둘 다 넣어주는 걸로 생각하면 쉽다는 거죠.
예) {1, 3} -> {1, 2, 3, 4}, {3} -> {2, 3, 4}
특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수(http://mathbang.net/9)를 읽어보면 조금 더 쉬울 거예요.
한 원소라도 공통이 안된다면 그 집합은 다른 집합의 부분집합이 안되는 건가요?
네. 한 집합의 모든 원소가 다른 집합에 들어있어야 부분집합이라고 할 수 있어요.
포함하는, 포함하지않는 문제
무식하게 공집합부터 전부다 연습장에써서 보니깐 설명이 더 잘 이해되네요
고맙습니다^^
무식하게 써 보는 게 가장 확실한 풀이법이에요. ㅋ
a∈A일 때 a∈B이면 A⊂B이다라고 하셨는데, A={1,2,3}, B={3,4,5}일 때에 3∈A일 때 3∈B임에도 A⊂B가 아닌 경우도 있습니다.
임의의 원소라고 되어있는 부분을 추가설명해드리면.
여러 개 중에 아무거나 하나를 골라서 조건을 만족하는지 보는 건데, 고른 것 중에 특정한 어느 하나만 만족하면 안되고 전부 다 만족해야 해요. 이걸 고르든 저걸 고르든 다 만족해야 해요.
3을 골랐을 때, 조건을 만족한다고 해서 되는 게 아니라 1이나 2를 골랐을 때도 만족해야 해요.
즉, < 임의의 원소 = 모든 원소 >라는 뜻이에요.
"임의의 원소"가 아니라 "어떤 원소"라는 말이 있을 때, d님께서 얘기하신 경우에 해당해요.
말의 차이가 있었네요. 감사합니다:) 항상 잘 보고 있습니다.