'다항식' 태그의 글 목록

공통수학 1, 2 목차
4

2025.02.26
2014년 고1 수학 목차 - 수1, 수2
103

2014.01.23
유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산
31

2013.03.26
다항식의 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수
6

2013.03.24
인수분해, 인수분해 공식(고1)
36

2013.03.21
조립제법 2 - 나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때
38

2013.03.20
나머지정리, 인수정리
69

2013.03.18
다항식의 나눗셈
45

2013.03.15
다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈
39

2013.03.12
고1 수학 목차, 공통수학 목차
92

2013.02.17
곱셈공식 두 번째 - 합차공식 외
16

2013.01.08
곱셈공식 - 완전제곱식
22

2013.01.07
단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈
24

2013.01.06
다항식의 계산, 다항식의 덧셈과 뺄셈
33

2013.01.05
단항식과 다항식, 항, 상수항, 계수, 차수
188

2012.12.13

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공통수학 1

공통수학 2

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수학Ⅰ

수학Ⅱ

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유리식에서 사용하는 "유리"라는 표현은 어디서 본 적이 있을 거예요. 바로 유리수에서 말이에요. 같은 의미입니다. 분수로 나타낼 수 있다는 뜻이에요.

이 글에서는 유리식이 무엇인지 또 유리식의 사칙연산은 어떻게 하는 지 알아볼 거에요. 유리식의 사칙연산은 유리수의 사칙연산과 방법이 같으니까 특별히 어렵지는 않아요. 유리식은 분자, 분모가 숫자가 아니라 식이라서 계산이 조금 복잡할 뿐이에요.

유리수와 유리식의 공통점과 차이점을 잘 비교해보면서 읽어보세요.

유리식과 분수식

에서 a, b가 정수(b ≠ 0)일 때 이렇게 생긴 수를 유리수라고 하지요? 유리수는 정수를 이용해서 분수꼴로 나타낼 수 있는 수를 말해요.

그런데 a, b가 정수가 아니라 다항식이면 어떻게 될까요? a, b 자리에 수가 들어있으면 유리수라고 하니까 a, b에 식이 들어있으면 유리식이라고 해요. 물론 숫자도 상수항으로 다항식의 한 종류라는 건 별도로 하고요.

유리식에서 분모인 b가 0이 아닌 상수일 때는 어떻게 될까요? 는 계수가 분수인 다항식이죠? 이처럼 유리식에서 분모가 0이 아닌 상수일 때를 다항식이라고 해요. 우리가 알고 있는 다항식이요. 만약에 분모가 1이라면 그냥 5x + 3 같은 다항식이 되고요.

그럼 상수가 아니라면 어떨까요? 은 더는 어떻게 할 수 없죠? 이처럼 유리식에서 분모가 상수가 아닌 식을 분수식이라고 합니다. 분모가 상수면 다항식이라고 하니까 분모가 상수가 아닌 분수식을 다르게 표현해서 다항식 아닌 유리식이라고도 해요. 마치 유리수에서 정수와 정수 아닌 유리수라고 하는 것처럼요.

유리식: 꼴로 생긴 식 (A, B는 다항식, B ≠ 0)
다항식: 분모가 상수인 유리식
분수식: 다항식 아닌 유리식(분모가 상수가 아닌 유리식)

유리수의 분자, 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나눠줘도 값은 바뀌지 않아요.

유리식도 같아요. 분자, 분모에 0이 아닌 같은 식을 곱하거나 같은 식으로 나누어도 값은 바뀌지 않아요.

A, B, C, D가 다항식이고, B, C, D ≠ 0일 때,

유리식의 사칙연산

유리식의 사칙연산은 유리수의 사칙연산과 똑같아요. 분수의 덧셈, 뺄셈할 때 통분과 약분을 하죠? 유리식에서도 통분과 약분을 해요. 통분은 분모를 같게 만들어주는 건데, 분모가 다항식이니까 다항식의 최소공배수를 이용해서 분모를 통분합니다. 약분도 분수에서 하는 것과 똑같아요.

분수의 곱셈, 나눗셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 계산해요. 이 과정에서 약분도 하죠. 유리식도 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 연산해요. 약분도 하고요. 특히 나눗셈할 때는 역수의 곱으로 바꿔서 할 수 있으니까 역수의 곱으로 계산하세요.

유리식의 사칙연산을 하기 전에는 미리 분자, 분모를 인수분해하세요. 그래야 통분, 약분을 할 수 있어요.

유리식의 사칙연산
공통: 분자, 분모를 인수분해. 계산 과정에서 약분되면 바로바로 약분
덧셈, 뺄셈: 분모 통분 후 계산
곱셈: 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱
나눗셈: 곱셈으로 바꾸고 역수 → 분모끼리, 분자끼리 곱

유리식의 사칙연산

다음을 계산하여라.
유리식의 사칙연산 예제

유리식을 계산할 때 첫 번째 해야 할 일은 인수분해예요. 무조건 해야 합니다. 그다음 덧셈, 뺄셈은 통분하고, 곱셈, 나눗셈은 분자끼리, 분모끼리 계산해요. 특히 나눗셈은 곱셈으로 바꾸고 역수를 취해요. 계산 중간에 약분할 수 있으면 바로바로 약분하고요.

유리식의 사칙연산 에제 1 풀이

유리식의 사칙연산 예제 2 풀이

유리식의 사칙연산 예제 3 풀이

정리해볼까요

유리식

꼴로 나타낼 수 있는 식. A, B는 다항식. B ≠ 0
다항식: 분모가 상수인 유리식
분수식: 다항식 아닌 유리식. 분모가 상수가 아닌 상수인 유리식
분자, 분모에 0이 아닌 다항식을 곱하거나 0이 아닌 다항식으로 나누어도 값은 같다.

유리식의 사칙연산

유리식의 분자, 분모를 인수분해. 계산과정에서 바로바로 약분
덧셈, 뺄셈은 통분 후 계산
곱셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 계산
나눗셈은 곱셈으로 바꾸고 역수를 취하여 곱

다항식의 최대공약수와 최소공배수의 관계 <<

고1 수학 목차

>> 부분분수, 번분수식

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숫자에서 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있었죠?

다항식에서도 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있어요. 다항식은 인수분해를 해요. 여기서 인수가 바로 약수에 해당하는 거예요. 따라서 다항식의 약수와 배수를 구하려면 인수분해를 먼저 해야 해요.

다항식의 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수는 어떤 걸 말하는지 또 이들 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아보죠.

숫자에서 식으로 바꾼 것뿐 내용은 비슷하니까 금방 이해할 수 있을 거예요.

다항식의 약수와 배수

다항식 A가 A = BC로 인수분해 될 때, A를 B, C의 배수라고 하고, B, C는 A의 약수라고 해요.

다른 다항식 D가 B를 약수로 가지면 이 다항식 D와 A 둘 다 B를 약수로 가지므로 B를 공약수라고 합니다.

서로 다른 두 다항식이 같은 배수를 가지면 이 공통된 배수를 공배수라고 부르고요. 모든 게 숫자랑 똑같아요.

숫자에서 숫자가 가장 큰 공약수를 최대공약수, 숫자가 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 하죠? 다항식에서는 차수가 가장 큰 공약수를 최대공약수, 차수가 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 해요. 최대공약수는 영어로 하면 Greatest Common Divisor(GCM)인데, 첫 글자를 따서 알파벳 G로, 최소공배수는 Least Common Multiple(LCM)의 첫 글자를 따서 L로 표시해요.

또 두 숫자의 공약수가 1뿐일 때를 서로소라고 하죠? 두 다항식의 공약수가 1, 2, 3, … 등 상수일 때를 서로소라고 합니다. 2(x + 1), 2(x + 2)

최대공약수, 최소공배수 구하는 방법

거듭제곱 형태로 되어 있는 수에서 최대공약수 구하는 방법은 밑이 같은 것 중에서 지수가 작은 걸 선택했어요. 다항식에서도 마찬가지예요. 여기서는 소인수가 아니라 다항식이 밑이라는 차이만 있을 뿐이죠.

A = 3(x + 1)(x + 2)(x + 3)과 B = (x + 1)(x + 2)²의 최대공약수를 구해보죠.

공통으로 들어있는 인수는 (x + 1)과 (x + 2)네요. (x + 1)은 둘 다 지수가 1이고요. A의 (x + 2)는 지수가 1, B의 (x + 2)는 지수가 2니까 더 작은 1을 선택해요. 따라서 최대공약수는 (x + 1)(x + 2)이에요.

최소공배수 구하는 방법은 일단 모든 밑을 쓰고, 밑이 겹치면 지수가 큰 걸 선택했어요. 물론 다항식에도 똑같아요.

A = 3(x + 1)(x + 2)(x + 3)과 B = (x + 1)(x + 2)²의 최소공배수를 구해보죠.

일단 인수에 해당하는 다항식을 다 써보죠. 3(x + 1)(x + 2)(x + 3) 인데, A의 (x + 2)의 지수는 1인데, B에서 (x + 2)의 지수가 2니까 지수가 큰 2를 선택해야 해요. 따라서 두 다항식의 최소공배수는 3(x + 1)(x + 2)²(x + 3)이에요.

다음 다항식들의 최대공약수와 최소공배수를 구하여라.
(1) A = ab³c, B = a²bc, C = abcd
(2) A = x³ - 3x - 2, B = 2x² - 4x - 6

최대공약수는 공통인수 중에서 지수가 작은 것들의 곱이고, 최소공배수는 모든 인수를 다 쓰고, 공통인 경우에는 지수가 큰 걸 쓰는 거예요.

(1)번은 항이 세 개예요. 세 항 모두에 a, b, c가 들어있는데, 지수가 가장 작은 건 모두 1이에요. 따라서 최대공약수는 abc예요.

최소공배수는 일단 인수를 다 써요. 그리고 인수의 지수를 비교해야 하는데 a는 지수가 가장 큰 게 2, b는 3, c와 d는 1이네요. 최소공배수는 a²b³cd

(2)번은 인수분해가 안 돼 있죠? 인수분해를 먼저 해야 해요.

인수정리를 이용해서 인수분해를 하면

다항식의 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수 예제 풀이

A = x³ - 3x - 2 = (x + 1)(x² - x - 2) = (x + 1)²(x - 2)
B = 2(x - 3)(x + 1)

(x + 1)이 공통인데, A는 지수가 2, B는 지수가 1이네요. 최대공약수는 (x + 1)이고 최소공배수는 2(x - 3)(x - 2)(x + 1)²

정리해볼까요

약수와 배수

다항식 A가 A = BC로 인수분해 될 때, A는 B, C의 배수, B, C는 A의 약수
공약수: 서로 다른 두 다항식의 공통된 약수
공배수: 서로 다른 두 다항식의 공통된 배수
최대공약수: 공약수 중 차수가 가장 큰 공약수. 공통으로 들어있는 인수 중에서, 지수가 낮은 인수들의 곱.
최소공배수: 공배수 중 차수가 가장 큰 공배수. 모든 인수를 다 쓰고, 공통인 것 중에서는 지수가 높은 걸 골라서 곱

인수정리를 이용한 인수분해 <<

고1 수학 목차

>> 최대공약수와 최소공배수의 활용

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인수분해는 중학교 때 인수분해, 공통인수로 인수분해에서 다 해봤어요. 고등학교에서 하는 인수분해의 개념이나 기본 공식은 똑같아요. 대신 항의 개수가 많아지고 차수가 높아지는 등 수준이 더 어려워진 것뿐이에요.

인수분해는 전개의 반대과정이에요. 전개할 때는 공셈공식을 사용하니까 인수분해는 공셈공식을 거꾸로 사용하면 되는 거죠. 따라서 인수분해 공식이라고 따로 외우는 게 아니라 곱셈공식의 좌, 우변을 바꾸면 돼요.

곱셈공식, 곱셈공식 유도를 보고 공식을 잘 외웠다면 이번 글은 별로 어렵지 않을 거예요.

인수분해공식

인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 걸 말해요. 그 곱을 이루고 있는 다항식을 인수라고 하고요. 숫자의 약수와 비슷한 거예요.

인수분해를 할 때 가장 먼저 해야 할 일은 공통인수로 묶는 거예요. 공통인수로 묶은 다음에 공식을 적용하는 거죠. 공통인수가 없다면 바로 공식을 사용해도 되고요.

인수분해는 전개의 반대과정이니까 곱셈공식의 좌, 우변을 바꾸기만 하면 인수분해 공식이 돼요.

먼저 중학교 때 공부했던 인수분해 공식 다섯 개를 확인해보죠. 인수분해 공식 1 - 완전제곱식, 합차공식, 인수분해 공식 2

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
a² - b² = (a + b)(a - b)
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx² + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)

공식 말고 X자로 했던 것도 기억하나요?

인수분해 공식 - 이차항의 계수가 1이 아닐 때

위 모든 게 다 기억나죠?

다음은 곱셈공식, 곱셈공식 유도에서 했던 공식들의 좌, 우변을 바꾼 인수분해 공식이에요.

(1) ma + mb + mc = m(a + b + c)
(2) a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)²
(3) a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
     a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³
(4) a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
     a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
(5) a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
                                    = (a + b + c){(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}

(1)번은 인수분해의 가장 기본인 공통인수로 묶기를 나태나는 거예요. (2), (3), (4)는 곱셈공식을 거꾸로 한 거고요. (5)의 아랫줄에 있는 공식은 곱셈공식의 변형에서 했던 a² + b² + c² - ab - bc - ca = {(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}을 적용한 거예요.

다음을 인수분해하여라.
(1) x² - 5x + 6
(2) x³y - xy³
(3) 4x² + y² + 9z² + 4xy - 6yz - 12zx
(4) x³ - 3x²y + 3xy² - y³

인수분해는 공통인수로 묶은 다음에 인수분해 공식을 이용해야 해요.

(1)은 공통인수가 없네요. X자를 이용해서 해도 좋고, 공식을 이용해도 좋아요. 하지만 이 정도 문제는 암산으로 바로 풀 수 있을 정도가 되어야 해요.

x² - 5x + 6 = (x -2)(x -3)

(2)은 두 항에 xy라는 공통인수가 있어요. 이걸로 묶고 공식을 적용해야 하죠.

x³y - xy³ = xy(x² - y²) = xy(x + y)(x - y)

(3)번은 항이 무척 많네요. 항을 잘 보면 제곱인 항이 3개가 있으니까 위 인수분해 공식에서 (2)번에 해당하는 문제예요.
a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)²

4x² + y² + 9z² + 4xy - 6yz - 12zx
= (2x)² + y² + (-3z)² + 2(2x)y + 2y(-3z) + 2(-3z)(2x)
= (2x + y - 3z)²

(4)번은 세제곱인 항이 두 개있고, 이들이 섞여 있는 항이 두 개니까 (3)번 공식에 해당하는 문제예요. 그런데 y³이 (-)네요.
a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ = (a ± b)³

x³ - 3x²y + 3xy² - y³
= (x - y)³

정리해볼까요

인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낸 것.

인수분해 공식 1

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
a² - b² = (a + b)(a - b)
x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
acx² + (ad + bc)x + bd = (ac + b)(cx + d)

인수분해 공식 2

ma + mb + mc = m(a + b + c)
a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)²
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
= (a + b + c){(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}

조립제법 - 나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때

<< 수학 1 목차 >>

복잡한 식의 인수분해

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조립제법 두 번째에요.

이번에 할 조립제법은 개념이해를 잘해야 해요. 조립제법의 방법은 같은데, 그 결과를 해석하는 게 달라지거든요.

조립제법은 다항식의 나눗셈을 조금 더 편리하게 하려고 하는 거예요. 즉, 몫과 나머지를 좀 더 쉬운 방법으로 구하려고 하는 거죠. 그런데 나누는 식의 x의 계수가 1이 아니면 조립제법으로 구한 몫이 틀리게 나와요.

왜 틀린 값이 나오는지, 틀린 값을 어떻게 해야 정확한 몫을 구할 수 있는지 알아보죠.

조립제법 - 나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때

조립제법 1 - 조립제법 하는 법

다항식의 나눗셈을 검산식으로 나타내보죠. f(x) = (x - α)Q(x) + R(x)에요. 조립제법을 할 때 나누는 식 = 0이 되는 x를 이용해요. x = α가 되겠죠.

나누는 식의 계수가 1이 아니라 ax + b라면 f(x) = (ax + b)Q(x) + R(x)에요. 조립제법을 하려면 나누는 식 = 0이 되는 x = 를 이용해야 해요.

(2x³ - 5x² + 5x - 4) ÷ (2x - 3)을 해보죠. 나누는 식 = 0이 되게 하는 x = 이고, f(x)의 계수는 2 -5 5 -4에요.

조립제법 - 나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때

몫은 2x² - 2x + 2, 나머지는 -1이 나왔네요.

이 문제는 다항식의 나눗셈 마지막 예제에서 해봤던 문제인데, 그 결과를 비교해보죠.

몫은 x² - x + 1, 나머지는 -1이네요.

나머지는 같은데, 몫이 다르죠?

왜냐하면, 조립제법에서 x = 을 넣어서 했죠? f(x)를 (2x - 3)으로 나눈 게 아니라 (x - )으로 나눈 결과라서 그래요.

두 경우 모두 나누는 식 = 0이 되게 하는 x는 같지만 식은 다르잖아요. 이런 차이때문에 몫이 달라지는 거예요.

R = -1로 같으니까 (나누는 식 × 몫) 부분만 보죠.

원래 우리가 구하려고 했던 몫이 x² - x + 1이라는 걸 알 수 있어요.

매번 이렇게 할 수는 없잖아요. 간단하게 구하는 방법이 있어요.

조립제법 - 나누는 식의 계수가 1이 아닐 때

우리가 구하려고 했던 Q(x)인데, 조립제법을 통해서 구한 건 aQ(x)인 거죠. 따라서 조립제법으로 구한 몫을 나누는 식의 x의 계수로 나눠주면 원래 구하려고 했던 몫을 구할 수 있어요.

(2x² - 2x + 2) ÷ 2 = x² - x + 1

나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때 조립제법
조립제법의 방법은 같음.
진짜 몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)

f(x)를 x - 3으로 나눈 몫이 2x² - 4x + 2이고 나머지는 1이라고 한다. f(x)를 (2x - 6)으로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

f(x) = (x - 3)(2x² - 4x + 2) + 1이네요. 전개해서 f(x)를 구한 다음에 (2x - 6)으로 나누는 조립제법을 해야겠지요?

설마 진짜로 이렇게 하는 학생은 없겠죠? x - 3 = 0을 0이 되게 하는 x와 2x - 6 = 0이 되게 하는 x가 같으니까 조립제법과 실제 나눗셈 사이의 관계를 이용하면 되는 문제에요. 굳이 전개할 필요가 없어요.

f(x) = (x - 3)(2x² - 4x + 2) + 1
= (2x - 6)Q(x) + R

어떤 방법을 이용하든 나머지는 같으니까 R = 1이에요.

(x - 3)(2x² - 4x + 2) = (2x - 6)Q(x)
(x - 3)(2x² - 4x + 2) = 2(x - 3)Q(x)
Q(x) = (2x² - 4x + 2) ÷ 2
Q(x) = x² - 2x + 1

몫은 x² - 2x + 1, 나머지는 1

몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)으로 바로 구해도 돼요.

함께 보면 좋은 글

다항식의 나눗셈
나머지정리, 인수정리
조립제법 1 - 조립제법 하는 법

정리해볼까요

조립제법 - 나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때

조립제법을 하는 방법은 같음.
진짜 몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)
나머지 = 조립제법으로 얻은 나머지

조립제법 1 - 조립제법 하는 법

<< 수학 1 목차 >>

인수분해

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다항식을 나누는 건 숫자를 나누는 것과 같다고 했어요. 다만 최고차항의 차수와 계수를 이용해서 나누는 것만 다르죠.

다항식을 나누는 이유는 몫과 나머지를 구하기 위해서예요. 그런데, 몫은 필요 없고 나머지만 구하는 경우도 있겠죠? 이럴 때 나머지정리라는 걸 이용하면 편리하게 나머지를 구할 수 있어요.

인수정리라는 것도 있는데, 인수정리의 인수는 인수분해에서 사용했던 인수와 같은 말이에요. 그러니까 인수분해와 인수정리의 연관성을 생각해보는 것도 좋아요.

나머지정리와 인수정리는 한 끗 차이니까 잘 비교해서 이해하세요.

나머지정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0 아닌 다항식 B로 나눌 때, 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면 A = BQ + R이라는 식으로 나타낼 수 있다고 했어요.

다항식의 나눗셈을 할 때, 세로로 바꿔서 숫자의 나눗셈을 할 때처럼 한다고 했죠? 그래서 몫과 나머지를 구했어요. 그런데 몫은 구하지 않고 나머지만 바로 구할 수 있을까요? 나머지정리를 이용해서 나머지만 구할 수 있는데, 어떻게 하는지 알아보죠.

x³ + 2x² - 3x + 7을 x - 4로 나누었을 때 나머지를 구해보죠.

A = BQ + R이므로
x³ + 2x² - 3x + 7 = (x - 4)Q + R로 쓸 수 있겠죠?

R만 구하는 방법은 두 가지에요.

우변의 (x - 4)Q를 이항해서 R = x³ + 2x² - 3x + 7 - (x - 4)Q로 만들거나
우변의 (x - 4)Q = 0으로 만들어서 R = x³ + 2x² - 3x + 7을 구하는 거죠.

두 번째 방법에서 (x - 4)Q를 0이 되게 만들 수 있어요. 어떻게요? x = 4를 대입하면 되잖아요.

항등식의 미정계수법 - 수치대입법을 생각해보세요. x에 특정한 값을 대입해서 식을 간단하게 만들었잖아요. x = 4를 대입해보죠.

4³ + 2 × 4² - 3 × 4 + 7 = (4 - 4)Q + R
R = 64 + 32 - 12 + 7 = 91

직접 나눗셈을 해보지 않아도 나머지만 빠르게 구했어요.

위에서는 A라는 식을 사용했는데요, 보통은 x에 관한 식을 사용하니까 나눠지는 식을 f(x)라고 하고, 몫은 Q(x)라고 해요. f(x)를 x - 4로 나눌 때의 나머지는 x = 4를 대입했을 때의 값이죠? 이건 f(4)라고 표현할 수 있잖아요.

f(x)를 (x - 4)로 나눌 때의 나머지 = f(4)

이번에는 같은 식을 2x - 1로 나누었을 때의 나머지를 구해보죠. 식을 써보면 아래처럼 될 거예요.

f(x) = x³ + 2x² - 3x + 7 = (2x - 1)Q(x) + R

마찬가지로 수치대입법을 이용해서 x = 을 대입하면 (2x - 1)Q(x) = 0이 되어서 우변은 R만 남죠.

두 보기에서 확인할 수 있듯이 f(x)를 일차식으로 나눌 때의 나머지 R은 (나누는 일차식) = 0이 되는 x를 f(x)에 대입한 값과 같아요.

나머지정리
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (x - α)로 나누었을 때 나머지 R = f(α)
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (ax + b)로 나누었을 때의 나머지 R =

다항식 f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지는 1, (x - 2)로 나눈 나머지는 3일 때, f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지를 구하여라.

문제를 식으로 나타내 보죠.
f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지가 1 → f(1) = 1
f(x)를 (x - 2)로 나눈 나머지가 3 → f(2) = 3
f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나누기 → f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + R(x)

여기서 중요한 건 나머지는 나누는 식보다 차수가 작다는 거예요. 나누는 식이 (x - 1)(x - 2)로 이차식이니까 R은 상수항일 수도 있지만, x에 관한 일차식일 수도 있어요. x에 관한 일차식이니까 R(x) = ax + b라고 나타내야 합니다.

f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b

f(1) = (1 - 1)(1 - 2)Q(1) + a + b = 1
a + b = 1

f(2) = (2 - 1)(2 - 2)Q(2) + 2a + b = 3
2a + b = 3

a + b = 1, 2a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 2, b = -1이 되므로 R(x) = ax + b = 2x - 1이에요.

나머지정리는 나누는 식이 일차식일 때뿐 아니라 그보다 더 높은 차수의 식일 때도 사용할 수 있다는 걸 알 수 있죠? 또, 나누는 식 = 0이 되는 x의 개수가 더 많아지는 것도 확인할 수 있어요.

나누는 식이 일차식이면 R은 상수
나누는 식이 이차식이면 R(x) = ax + b
나누는 식이 삼차식이면 R(x) = ax² + bx + c

인수정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때 나머지 R = 0이면 나누어떨어진다고 했어요. R = 0이니까 f(x)로 바꿔서 표현하면 f(x) = (x - α)Q(x)가 되겠죠?

나머지정리에 의해서 f(x)에 x = α를 대입하면 f(α) = 0이 돼요.

f(x) = (x - α)Q(x)에서 f(x)는 (x - α)와 Q(x)라는 두 다항식의 곱으로 되어있어요. 이렇게 어떤 다항식이 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표시하는 걸 인수분해라고 했어요. 곱해져 있는 다항식을 인수라고 하죠? 따라서 (x - α)와 Q(x)는 f(x)의 인수에요.

그래서 이걸 인수정리라고 하는 거예요.

인수정리
x에 대한 다항식 f(x)가 (x - α)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (x - α)Q(x)
⇔ f(α) = 0
⇔ f(x)가 (x - α)를 인수로 가진다.

f(x)가 (ax + b)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)
⇔ = 0
⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.

인수정리는 나머지정리 중에서 나머지 R = 0일 때를 말하는 거예요.

다항식 f(x) = 3x³ - ax² + x - 6가 x - 2로 나누어떨어질 때 a의 값을 구하여라.

다항식 f(x)가 x - 2로 나누어떨어지면 f(2) = 0이에요.
f(2) = 3 × 2³ - a × 2² + 2 - 6 = 0
4a = 24 + 2 - 6
4a = 20
a = 5

f(x) = 3x³ - 2x² + ax - b가 (x - 1)과 (x - 2)로 나누어떨어질 때, a, b를 구하여라.

f(x)가 (x - 1)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 1)Q₁(x) ⇔ f(x)는 (x - 1)을 인수로 가진다. ⇔ f(1) = 0
f(x)가 (x - 2)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 2)Q₂(x) ⇔ f(x)는 (x - 2)을 인수로 가진다. ⇔ f(2) = 0

f(x)가 (x - 1)과 (x - 2) 두 개 모두를 인수로 가지므로 이걸 식으로 나타내면 f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x)로 쓸 수 있어요.

f(1) = 3 × 1³ - 2 × 1² + a - b = 0
a - b = -1
f(2) = 3 × 2³ - 2 × 2² + 2a - b = 0
2a - b = -16

a - b = -1, 2a - b = -16를 연립방정식으로 풀어보면 a = -15, b = -14

정리해볼까요

나머지정리

x에 관한 식 f(x)를 (x - α)로 나눌 때의 나머지 = f(α)
f(x) = (x - &alpha)Q(x) + R
x에 관한 식 f(x)를 (ax + b)로 나눌 때의 나머지 =
f(x) = (ax + b)Q(x) + R

인수정리

x에 대한 다항식 f(x)가 x - α로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (x - α)Q(x)
⇔ f(α) = 0
⇔ f(x)가 (x - α)를 인수로 가진다.
f(x)가 ax + b로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)
⇔ = 0
⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.

미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법

<< 수학 1 목차 >>

조립제법

그리드형

중학교에서 했던 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 하나였어요. 다항식 중에서도 단항식으로 나누었던 거죠. 숫자끼리 약분하고, 지수는 뺄셈을 통해서 계산할 수 있었죠.

고등학교 과정에서 공부하는 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 두 개이상인 다항식이에요. 항이 여러 개 있다보니까 약분을 하거나 지수법칙을 적용할 수 없는 경우가 생기죠.

이럴 때 어떻게 나눗셈을 하는지 알아보죠. 차수와 계수에 주목해서 보세요.

글로 설명하기가 참 어려운 내용이라서 그림을 잘 보고 이해해보세요.

다항식의 나눗셈

숫자의 나눗셈을 먼저 해볼까요? 55 ÷ 3을 해보죠. 세로로 나누기를 할 때, 아래 그림처럼 해요.

십의 자리 숫자 5에서 3을 나누고, 나머지 2를 내려서 일의 자리 숫자 5를 붙이고, 25에서 3을 나누고, 24를 뺀 나머지 1을 쓰죠?

다항식의 나눗셈: 숫자와 비교

다항식의 나눗셈도 이렇게 해요. 차이가 있다면 숫자의 자리가 아니라 차수를 이용한다는 거예요. 나누는 식의 최고차항과 계수와 차수가 같아지도록 하는 것이 핵심이에요.

숫자는 나눗셈을 할 때, 나눠지는 수의 뒷자리에 맞게 뒤에서부터 몫을 쓰는데, 다항식의 나눗셈에서는 앞에서부터 써요.

(x² + 3x - 4) ÷ (x - 1)을 해보죠.

다항식의 나눗셈

나눠지는 식의 최고차항은 2차고 나누는 식이 최고차항이 1차니까 나누는 식에 x를 곱하면 차수가 같아지죠?
(x - 1) × x = x² - x
(나눠지는 식) - (나누는 식 × x) = x² + 3x - (x - 1)x = 4x, -4는 그대로 아래로
x - 1은 최고차항이 1차, 4x - 4도 최고차 항이 1차로 같지만 계수가 다르니까 계수를 똑같이 만들어 주려면 (x - 1) × 4 = 4x - 4
두 식을 빼줍니다. (4x - 4) - (x - 1) × 4 = 0

55 ÷ 3의 결과를 55 = 3 × 18 + 1로 쓰잖아요. 이 때 55를 나눠지는 수, 3을 나누는 수, 18을 몫, 1을 나머지라고 하죠? (나눠지는 수) = (나누는 수) × (몫) + (나머지)

다항식 A를 0아닌 다항식 B로 나누었을 때 몫을 Q, 나머지를 R이라고 해서 A = BQ + R (B ≠ 0)라고 써요.

위 나눗셈의 결과는 x² + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0으로 쓰는 거죠. + 0은 생략해도 돼요.

30 ÷ 3을 해보면 30 = 3 × 10이라고 써요. 나머지가 0이니까 30은 3으로 나눠어 떨어진다고 하죠? 다항식에서도 나머지 R = 0이면 나누어 떨어진다고 해요. 위 보기에서 x² + 3x - 4는 (x - 1)로 나누어 떨어진다고 해요.

숫자의 나눗셈에서 나머지는 항상 나누는 수보다 작아요. 같거나 크면 안되죠? 다항식의 나눗셈에서는 나머지는 나누는 수보다 차수가 작아요. 위 예제에서는 나누는 식은 1차식, 나머지는 상수항이니까 0차죠? 이거 주의하세요.

다음 다항식의 나눗셈을 하고, 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2x³ + 3x² - x - 2) ÷ (x + 1)
(2) (2x³ - 5x² + 5x - 4) ÷ (2x - 3)

나눠지는 식의 최고차항을 찾아서 나눠지는 식의 최고차항과 비교해야 해요. 이 때, 계수와 차수가 같아지도록 숫자나 문자를 곱하는 거죠.

(1)을 계산해 볼까요?

다항식의 나눗셈 예제 1 풀이

몫은 2x² + x - 2, 나머지는 0이네요. 2x³ + 3x² - x - 2는 x + 1로 나누어 떨어지는 군요.

(2)번을 해보죠.

몫은 x² - x + 1, 나머지는 -1이네요.

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다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈
곱셈공식, 곱셈공식 유도

정리해볼까요

다항식의 나눗셈

숫자의 나눗셈과 같은 방법
최고차항의 차수와 계수를 일치시키면서 계속 뺌
다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나눈 몫을 Q, 나머지를 R, A = BQ + R
R = 0이면 다항식 A는 B로 나누어 떨어진다

곱셈공식의 변형

<< 수학 1 목차 >>

항등식, 항등식의 성질

그리드형

단항식은 항이 하나만 있는 식이죠. 다항식은 항이 여러 개 있는 식을 말해요. 헷갈리면 안되는 게 단항식도 다항식의 한 종류에요. 다항식은 항이 한 개이상있는 식이니까요.

다항식의 덧셈과 뺄셈은 중학교 때 다항식의 계산에서 해봤어요. 동류항끼리 모아서 계산하는 거였죠? 그리고 다항식의 곱셈도 해봤는데, 분배법칙과 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 전개한 후에 동류항끼리 정리를 했어요.

이 글에서 공부하는 다항식의 계산은 중학교에서 공부했던 내용을 한 번 더 정리하고 복습하는 과정이에요.

다항식의 연산법칙

a + b = b + a, ab = ba가 성립하는 걸 교환법칙이라고 해요. (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)가 되는 걸 결합법칙이라고 하고요. (a + b)c = ac + bc를 분배법칙이라고 하죠. 이 때, a, b, c는 숫자였어요.

다항식의 연산법칙에서는 A, B, C를 사용하는데, 이 A, B, C는 숫자가 아니라 다항식이에요. a, b, c가 숫자라고는 하지만 넓게 보면 상수항이고 단항식에 해당하니까 A, B, C 자리에 들어가도 상관없어요.

세 다항식 A, B, C에 대하여
교환법칙: A + B = B + A, AB = BA
결합법칙: (A + B) + C = A + (B + C)
분배법칙: (A + B)C = AC + BC

A = 2x² + 3x + 1, B = x² - 2x - 8, C = 3x - 2라고 하죠.
(2x² + 3x + 1) + (x² - 2x - 8) = (x² - 2x - 8) + (2x² + 3x + 1)이 된다는 거예요.

새로운 얘기는 아니니까 굳이 전부 증명할 필요는 없겠죠?

다항식의 계산

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항을 찾는 게 제일 중요해요. 문자와 차수가 같은 항을 찾아서 앞의 계수끼리 계산하는 거죠.

단, 계산에서 괄호가 있다면 괄호를 먼저 풀고 계산을 해야하고요. 그리고 마지막에는 한 문자를 정해서 내림차순으로 정리하면 끝이에요. 내림차순은 어떤 문자에 대해서 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서대로 쓰는 걸 말해요.

괄호를 푼다. ( ) → { } → [ ]
동류항을 찾아 계산
내림차순으로 정리

다항식의 곱셈

다항식의 곱셈이 바로 곱셈공식이에요. 곱셈공식을 이용해서 전개를 하고, 동류항을 찾아서 계산을 하는 거죠. 물론 이 때도 내림차순으로 정리를 하세요.

A = 2x² + 3x + 1, B = x² - 2x - 8, C = 3x - 2일 때, 다음을 간단히 하여라.
(1) 2A - (B + C)
(2) AC - 3B

식의 값을 구하는 문제에요. 대입하죠.

(1) 2A - (B + C)
= 2(2x² + 3x + 1) - {(x² - 2x - 8) + (3x - 2)}
= 4x² + 6x + 2 - (x² + x - 10)
= 4x² + 6x + 2 - x² - x + 10
= 3x² + 5x + 12

(2) AC - 3B
= (2x² + 3x + 1)(3x - 2) - 3(x² - 2x - 8)
= 6x³ + 9x² + 3x - 4x² - 6x - 2 - 3x² + 6x + 24
= 6x³ + 2x² + 3x + 22

정리해볼까요

다항식의 계산

괄호 풀기 ( ) → { } → [ ]
괄호를 풀 때는 분배법칙과 곱셈공식을 이용
동류항끼리 계산
내림차순으로 정리

중3 수학 목차

<< 수학 1 목차 >>

곱셈공식

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2013년 이전 고등학교 1학년 수학목차입니다. (2012년, 2011년, 2010, …… 등에도 해당)

2014년 이후 고등학교 1학년은 2014년 고1 수학 목록을 참고하세요.

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곱셈공식 두 번째예요. 곱셈공식 - 완전제곱식에서 완전제곱식의 형태인 공식을 두 개 공부했어요.

이 글에서 공부할 곱셈공식은 조금 더 어려워요. 하지만 공식이 만들어지는 원리는 분배법칙으로 모두 같아요. 만들어지는 원리를 잘 이해하고, 그림을 통해서 한 번 더 확인해보면 공식을 외우는 데 도움이 될 거예요.

공식을 외우는 이유는 계산과정을 조금 더 쉽고 빨리하기 위해서예요. 그런데 공식을 외우라고 하면 공식은 잘 외우지만, 실제 계산에서 적용하지 못하는 학생들이 있어요. 단순히 외우지만 말고 실제 문제에서 바로바로 적용할 수 있도록 연습을 많이 하세요.

곱셈공식

곱셈공식 (3) - 합차공식

세 번째 곱셈공식은 합차공식이라는 이름으로 불러요. 왜 합차공식이냐면 두 항을 더한 것과 뺀 것을 곱하거든요.

(a + b)(a - b)는 a와 b를 한 번은 더하고, 한 번은 빼서 곱하는 거죠. 전개해서 정리해볼까요?

(a + b)(a - b)
= a(a - b) + b(a - b)
= a² - ab + ba - b²
= a² - b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼주는 거예요.

그림으로 확인해보죠.

한 변의 길이가 a인 정사각형에서 가로는 b만큼 늘려주고, 세로는 b만큼 줄이면 가로 길이는 (a + b), 세로 길이는 (a - b)예요. 넓이는 (a + b)(a - b)죠. 이게 가운데 그림이에요.

가운데 그림의 오른쪽에 있는 작은 사각형을 밑으로 돌리면 세 번째 그림처럼 돼요. 흰 사각형의 가로 길이는 a - (a - b) = b죠.

색칠한 부분의 넓이 = 전체 사각형의 넓이 - 흰 사각형
(a + b)(a - b) = a² - b²

합차공식은 두 개의 항을 한 번은 더하고, 한 번은 뺀 것을 곱할 때만 씁니다. (a + b)(a - c)는 +, -가 있지만 두 번째 항이 b와 c로 달라서 합차공식을 사용해서는 안 돼요.

(a + b)(a - c) ≠ a² - b²
(b + c)(d - c) ≠ b² - c²

다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + b)(3a - b)
(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
(3) (5a - 2b)(5a + 2b)

합차공식은 앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼면 돼요.

(1) (3a + b)(3a - b)
= (3a)² - b²
= 9a² - b²

(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
= (2a)² - (3b)²
= 4a² - 9b²

(3)은 두 항의 뺄셈이 앞에 있고, 덧셈이 뒤에 있죠. 곱셈에서는 교환법칙이 성립하니까 순서는 상관없어요.
(5a - 2b)(5a + 2b)
= (5a)² - (2b)²
= 25a² - 4b²

곱셈공식 (4) - x의 계수가 1일 때

이번 곱셈공식은 x가 있는 일차식 두 개를 곱하는 공식이에요. 이때 두 일차식의 x의 계수가 1이에요.

(x + a)(x + b)를 전개해서 정리해보죠. 여기서 a, b는 상수항이에요.

(x + a)(x + b)
= x(x + b) + a(x + b)
= x² + bx + ax + ab
= x² + (a + b)x + ab

세 번째 줄의 ax와 bx가 x가 있는 동류항이라서 서로 더해줬어요.

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

x는 제곱해주고, 두 상수항을 더한 것에 x붙여주고, 두 상수항을 곱한 것을 더해줘요.

역시 그림으로 확인해보죠.

가로가 (x + a)이고, 세로가 (x + b)인 사각형이에요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
= x² + (a + b)x + ab

다음을 간단히 하여라.
(1) (x + 2)(x + 3)
(2) (x + 3)(x - 5)
(3) (x - 2)(x - 3)

계수가 1인 두 일차식의 곱은 x는 제곱, 두 상수항의 합에 x를 붙여주고, 상수항의 곱을 더해주는 거예요.

(1) (x + 2)(x + 3)
= x² + (2 + 3)x + 2 × 3
= x² + 5x + 6

(2) (x + 3)(x - 5)
= x² + {3 + (- 5)}x + 3 × (-5)
= x² - 2x - 15

(3) (x - 2)(x - 3)
= x² + {(-2) + (-3)}x + (-2) × (-3)
= x² - 5x + 6

곱셈공식 (5) - x의 계수가 1이 아닐 때

이번 게 제일 어려운 곱셈공식이에요. 이번에도 일차식 두 개를 곱하는데 일차항의 계수가 1이 아니에요.

(ax + b)(cx + d)에서 a, c는 일차항의 계수이고, b, d는 상수항이에요.

(ax + b)(cx + d)
= ax(cx + d) + b(cx + d)
= acx² + adx + bcx + bd
= acx² + (ad + bc)x + bd

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

복잡하죠? 동류항이 있어서 더해주는 과정이 있어요.

그림을 보죠.

가로가 (ax + b)이고, 세로가 (cx + d)인 사각형이에요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(ax + b)(cx + d) = acx² + adx + bcx + bd
= acx² + (ad + bc)x + bd

다음을 간단히 하여라.
(1) (2x + 3)(3x + 1)
(2) (3x - 1)(2x + 1)
(3) (2x - 1)(4x + 3)

(1) (2x + 3)(3x + 1)
= 2x × 3x + (2 × 1 + 3 × 3)x + 3 × 1
= 6x² + 11x + 3

(2) (3x - 1)(2x + 1)
= 3x × 2x + {3 × 1 + (-1) × 2}x + (-1) × 1
= 6x² + x - 1

(3) (2x - 1)(4x + 3)
= 2x × 4x + {2 × 3 + (-1) × 4}x + (-1) × 3
= 8x² + 2x - 3

곱셈공식 - 완전제곱식에서 2개, 이 글에서 3개 해서 총 5개의 곱셈공식을 공부했어요. 무조건 외워야 합니다.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

함께 보면 좋은 글

곱셈공식 - 완전제곱식
단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈
곱셈공식의 변형

정리해볼까요

곱셈공식

(a + b)(a - b) = a² - b²
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

곱셈공식 - 완전제곱식

<< 중2 수학 목차 >>

등식의 변형

그리드형

단항식의 곱셈, 다항식과 단항식의 곱셈을 해봤어요. 단항식의 곱셈과 나눗셈, 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈

이 글에서는 다항식과 다항식의 곱셈을 해볼 거예요. 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하면 되니까 그냥 넘어가고요. 그리고 다항식과 다항식을 곱할 때, 계산과정을 생략하고 그 결과를 바로 만들어낼 수 있는 공식인 곱셈공식도 공부할 거예요.

앞으로 공부할 식은 기본적으로 모두 다항식이기 때문에 곱셈공식은 꼭 알아야 하는 공식이에요. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 먼저 2개를 알아보죠.

다항식 × 다항식

두 개의 다항식의 곱 (a + b)(c + d)을 해보죠. 분배법칙을 이용할 거예요.

먼저 앞에 있는 a + b를 m이라고 한 번 생각해볼까요? 그러면 식은 m(c + d)로 바꿀 수 있죠? 이 모양이라면 분배법칙으로 괄호를 풀 수 있죠?

(a + b)(c + d)
= m(c + d)
= (m × c) + (m × d)

그런데, 원래 m = a + b였잖아요. 원래 값을 대입해보죠.
= {(a + b) × c} + {(a + b) × d}

다시 분배법칙으로 괄호를 풀면
= {(a × c) + (b × c)} + {(a × d) + (b × d)}
= ac + bc + ad + bd

항이 두 개인 다항식을 곱할 때는 분배법칙을 2번 이용해서 전개하는 거죠.

위의 계산 결과가 맞는지 그림으로 증명해볼까요? 가로 길이가 (a + b)이고, 세로 길이가 (c + d)인 사각형의 넓이는 (a + b)(c + d)죠?

곱셈공식 - 다항식의 곱셈

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

다항식의 곱셈을 하는 방법이에요. 앞에 있는 다항식의 항 하나를 뒤에 있는 다항식의 항에 모두 곱하고, 앞에 있는 다항식의 다른 항을 뒤에 있는 다항식의 모든 항에 곱하는 거예요. 말로 하면 어려우니까 그림으로 보고 외우세요.

곱셈공식 - 다항식의 곱셈 원리

다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + 2)(a + 3)
(2) (a + 3)(a - 2)
(3) (a + 3)(2a + b - 1)

첫 번째 다항식의 한 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주고, 첫 번째 다항식의 다른 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주는 거예요.

(1) (3a + 2)(a + 3)
= 3a(a + 3) + 2(a + 3)
= 3a² + 9a + 2a + 6
= 3a² + 11a + 6

(2) (a + 3)(a - 2)
= a(a - 2) + 3(a - 2)
= a² - 2a + 3a - 6
= a² + a - 6

(3) 번은 두 번째 다항식의 항이 세 개인데 항의 개수만 다를 뿐 방법이 똑같아요.
(a + 3)(2a + b - 1)
= a(2a + b - 1) + 3(2a + b - 1)
= 2a² + ab - a + 6a + 3b - 3
= 2a² + ab + 5a + 3b - 3

곱셈공식(1) - 완전제곱식(합의 공식)

완전제곱식은 똑같은 다항식을 여러 번 곱하는 거예요. 같은 수를 곱하는 걸 거듭제곱이라고 한다면 같은 식을 곱하는 게 완전제곱식이죠.

(a + b) 라는 다항식을 2번 곱하면 (a + b)(a + b) = (a + b)²에요. 한 번 전개해보죠.

(a + b)²
= (a + b)(a + b)
= a² + ab + ba + b²= a² + 2ab + b²

결과만 볼까요?

(a + b)² = a² + 2ab + b²

다항식의 각 항을 제곱(a², b²)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 더해주는 거예요.

그림으로 보면 공식을 더 쉽게 이해할 수 있어요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 늘린 후 넓이를 구하는 거예요.

곱셈공식 - 완전제곱식 1 합의 공식

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)² = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

곱셈공식(2) - 완전제곱식(차의 공식)

이번에는 (a - b) 의 완전제곱을 구해보죠.

(a - b)²
= (a - b)(a - b)
= a² - ab - ba + b²= a² - 2ab + b²

결과만 볼까요?

(a - b)² = a² - 2ab + b²

다항식의 각 항을 제곱(a², b²)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 빼주는 거예요.

아래 그림을 보세요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 줄인 다음에 사각형의 넓이를 구하는 과정이에요.

곱셈공식 - 완전제곱식 2 차의 공식

색칠한 사각형의 넓이 = 큰 사각형 - 흰 사각형 세 개의 넓이
(a - b)² = a² - b(a - b) - (a - b)b - b² = a² - ba + b² - ab + b² - b²
= a² - 2ab + b²

두 완전제곱식의 차이를 잘 비교해서 외우세요. 각 항을 제곱해주는 건 같은데, 가운데 부호에 따라서 2ab를 더해주고, 빼주는 차이가 있어요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²

다음을 간단히 하여라.
(1) (a + 5)²
(2) (2a + 3b)²
(3) (3a - 5)²
(4) (4a - 2b)²

완전제곱식은 각 항은 제곱해서 더해주고, 두 항의 곱에 2배 한 것을 더해주거나 빼주는 거예요.

(1) (a + 5)²
= a² + 2 × a × 5 + 5²
= a² + 10a + 25

(2) (2a + 3b)²
= (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²
= 4a² + 12ab + 9b²

(3) (3a - 5)²
= (3a)² - 2 × 3a × 5 + 5²
= 9a² - 30a + 25

(4) (4a - 2b)²
= (4a)² - 2 × 4a × 2b + (2b)²
= 16a² - 16ab + 4b²

정리해볼까요

곱셈공식

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

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>> 곱셈공식 - 합차공식 외

그리드형

단항식끼리의 사칙연산, 다항식끼리의 사칙연산을 공부했어요. 이제는 다항식과 단항식의 계산을 공부할 차례에요. 이 글에서는 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부합니다. 어차피 다항식의 계산은 분배법칙과 동류항 계산이라는 큰 틀 안에 있어요. 이 두 가지만 잘 잘 기억하고 있으면 돼요.

항도 많은데다가 지수 같은 건 글자도 작아서 헷갈리기도 쉬워서 제일 짜증 나는 단원이기도 해요. 하지만 복잡하다고 해서 어려운 건 아니에요. 하나씩 짚어가면서 계산하면 할 수 있어요. 몰라서 틀리는 경우보다 실수로 틀리는 게 많은 단원입니다. 연습을 많이 하셔야 해요.

단항식과 단항식의 곱셈과 나눗셈

(다항식) × (단항식)

다항식에는 항이 두 개 이상이 들어있어요. 각각의 항에 단항식을 곱해줘야 합니다. 이걸 바로 분배법칙이라고 하죠?

분배법칙

분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 정리해서 하나의 다항식으로 바꾸는 걸 전개라고 하고, 이 과정을 거쳐 생긴 새로운 다항식을 전개식이라고 해요.

전개할 때는 다항식의 항과 단항식을 곱하게 되는데, 이때 단항식의 곱셈에서 했던 것처럼 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 곱해야 해요.

4a(2a - 3b)를 계산해보죠. 전개하려면 4a를 2a - 3b의 두 항에 모두 곱해요.

단항식과 다항식의 곱셈

전개하는 과정에서 동류항이 있다면 동류항끼리 계산을 하면 됩니다. 위에서는 동류항이 없네요.

다항식과 단항식의 곱셈
분배법칙으로 괄호 풀기 → 단항식의 곱셈(숫자끼리, 문자끼리 곱) → 동류항 계산 → 결과(전개식)

다음을 간단히 하여라.
(1) (2a² + 3ab) × a
(2) 2ab(3a³b + 2ab²)
(3) 4a(2a + 3b) - 2b(a + 3b)

단항식과 다항식의 곱셈에서는 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 동류항 계산해서 정리합니다.

(1) (2a² + 3ab) × a
= 2a² × a + 3ab × a
= 2a³ + 3a²b

(2) 2ab(3a³b + 2ab²)
= 2ab × 3a³b + 2ab × 2ab²
= 6a⁴b² + 4a²b³

(3) 4a(2a + 3b) - 2b(a + 3b)
= 4a × 2a + 4a × 3b - (2b × a + 2b × 3b)
= 8a² + 12ab - (2ab + 6b²)
= 8a² + 12ab - 2ab - 6b²
= 8a² + 10ab - 6b²
밑에서 두 번째 줄에 보면 동류항이 있어서 동류항 정리까지 했어요.

(다항식) ÷ (단항식)

유리수의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하는 게 편하죠? 다항식과 단항식도 나눗셈은 곱셈으로 고쳐서 계산합니다.

나누기를 곱하기로 바꾸고 역수를 취하면 모양이 바뀌는데, 위 곱셈에서 했던 것처럼 분배법칙을 이용해서 전개하는 거예요. 나눗셈을 계산하는 방법은 여러 가지가 있는데, 곱셈으로 바꿔서 하는 방법이 실수가 가장 적은 방법이에요.

단항식과 다항식의 나눗셈 - 보기

다음을 간단히 하여라.
(1) (15ab + 5ab²) ÷ 5b
(2) (4a²b - 6ab² + 3ab) ÷ 2ab
(3)

다항식과 단항식의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 분배법칙을 이용하여 전개합니다.

단항식과 다항식의 나눗셈 - 예제풀이 1

단항식과 다항식의 나눗셈 - 예제풀이 2

단항식과 다항식의 나눗셈 - 예제풀이 3

정리해볼까요

단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈

전개: 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 정리하여 하나의 다항식으로 나타내는 것
전개식: 전개하여 얻은 다항식
곱셈: 분배법칙을 이용하여 전개
나눗셈: 나눗셈을 곱셈으로 바꾸고, 역수를 취하여 계산

다항식의 덧셈과 뺄셈 <<

중2 수학 목차

>> 곱셈공식

그리드형

1학년 때 다항식의 계산을 공부했어요. 특히 일차식의 덧셈과 뺄셈을 많이 연습했었죠? 이번 글에서는 다항식 중에서도 이차식의 덧셈과 뺄셈을 공부할 거예요. 그리고 문자가 한 개가 아니라 여러 개 있는 식도 계산할 거예요.

큰 틀에서 보면 1학년 때 했던 동류항의 계산과 똑같으니까 어렵게 생각할 필요는 없어요. 다만 항의 개수가 늘어나다 보니 뭔가 더 복잡해 보이고 어려워 보이는 것뿐이에요.

계산과정에서 실수가 많이 나올 수 있으니까 집중해서 보세요. 계산을 한 항에는 줄을 긋는 등의 표시를 하는 것도 괜찮은 방법이니까 사용해 보시고요.

다항식의 덧셈과 뺄셈

1학년 때의 다항식의 계산과 달라진 것이 있다면 문자의 개수와 차수가 늘어났다는 거예요. 1학년 때는 문자가 한 개였고, 차수는 1이었죠. 이제는 문자의 개수가 2개 이상이고, 차수도 2로 높아져요.

하지만 문자와 차수가 같은 동류항끼리 묶어서 계산한다는 원칙만 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않죠.

2a + b + 3a - 2b라는 식을 볼까요? a라는 문자와 b라는 문자가 있어요. 2a와 3a가 동류항이고, b와 -2b가 동류항이죠. 따로 계산하면 돼요.

2a + b + 3a - 2b
= 2a + 3a + b - 2b
= 5a - b

괄호가 있으면 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고 동류항끼리 묶어서 계산해요. 또, 괄호가 여러 개 있으면 소괄호(), 중괄호{}, 대괄호[] 순으로 풀어요.

3(5a - 2b) - (3a + b)
= 15a - 6b - 3a - b
= 15a - 3a - 6b - b
= 12a - 7b

다항식의 계산: 문자와 차수가 같은 동류항끼리 계산
괄호가 있으면 분배법칙을 이용
소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로 괄호를 푼다.

다음을 간단히 하여라.
(1) 3(a + b) - 2(a - b)
(2) 3a + 2[b + 3{a + 3b - (2b - b)} + 3a]

괄호가 있으면 소괄호, 중괄호, 대괄호 순서로 분배법칙을 이용해서 풀고 동류항끼리 계산을 해요.

(1)은 분배법칙을 이용해서 풀어야겠네요.
3(a + b) - 2(a - b)
= 3a + 3b - 2a + 2b
= 3a - 2a + 3b + 2b
= a + 5b

(2)번은 괄호가 여러 개 있어요. 소괄호부터 차례로 하나씩 풀어보죠.
3a + 2[b + 3{a + 3b - (2b - b)} + 3a]
= 3a + 2[b + 3{a + 3b - b} + 3a]
= 3a + 2[b + 3{a + 2b} + 3a]
= 3a + 2[b + 3a + 6b + 3a]
= 3a + 2[7b + 6a]
= 3a + 14b + 12a
= 15a + 14b

이차식의 덧셈과 뺄셈

일차식은 최고차항의 차수가 1인 식이에요. 그럼 이차식은 최고차항의 차수가 2인 식을 말하겠죠? 이차식은 차수가 2인 항이 하나 더 생기는 것뿐이에요.

3a² + 5a - 1 이런 식이 이차식이죠. 이때 일차항이나 상수항이 없어도 이차식이에요. 3a² + 5a도 이차식이고, 3a² - 1도 이차식, 3a²만 있어도 이차식이에요. 하지만 이차항은 꼭 있어야 해요.

이차식을 계산한 후에 답을 쓸 때는 차수가 높은 수부터 내림차순으로 정리해요. 이차항, 일차항, 상수항의 순서로 쓰는 거죠. 순서가 다르다고 해서 틀린 건 아니지만, 내림차순으로 쓰기로 약속했어요.

이차식: 최고차항의 차수가 2인 다항식
동류항 계산: 이차항끼리, 일차항끼리, 상수항끼리 계산
내림차순: 이차항, 일차항, 상수항의 순서로

(2a² + 3a + 1) + (a² + 3)을 계산해보죠. a²라는 이차항, a의 일차항, 상수항으로 되어 있어요. 두 번째 괄호 안에는 일차항이 없지만 상관없어요.

(2a² + 3a + 1) + (a² + 3)
= 2a² + a² + 3a + 1 + 3
= 3a² + 3a + 4

여기서도 괄호가 있다면 분배법칙을 이용해서 풀어서 동류항끼리 묶어서 계산합니다.

2(a² + 3a + 1) - 3(a² + a - 1)
= 2a² + 6a + 2 - 3a² - 3a + 3
= 2a² - 3a² + 6a - 3a + 2 + 3
= -a² + 3a + 5

다음을 간단히 하여라.
(1) (2 - a - 3a²) + (4a² + 2a - 2)
(2) 3(a² + 3a + 3) + 4(a² - 3a) - 2

이차식에서는 동류항이 이차항, 일차항, 상수항의 세 항이 있으니까 따로 계산하면 돼요. 그리고 답을 쓸 때는 내림차순으로 쓰고요.

(1) (2 - a - 3a²) + (4a² + 2a - 2)
= -3a² + 4a² - a + 2a + 2 - 2
= a² + a

(2) 3(a² + 3a + 3) + 4(a² - 3a) - 2
= 3a² + 9a + 9 + 4a² - 12a - 2
= 3a² + 4a² + 9a - 12a + 9 - 2
= 7a² - 3a + 7

정리해볼까요

다항식의 덧셈과 뺄셈

동류항 계산: 문자와 차수가 같은 항끼리 따로 계산
괄호가 있으면 분배법칙
소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로 괄호 풀기
이차식의 덧셈과 뺄셈: 동류항 계산, 내림차순으로 씀.

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중2 수학 목차

>> 다항식과 단항식의 곱셈과 나눗셈

그리드형

이 글도 이 단원에서 사용할 용어들에 대한 뜻을 설명하는 글이에요. 용어의 뜻을 모르면 문제를 파악하지도 못하고, 식을 제대로 이해할 수 없어요.

공식처럼 달달 외울 필요는 없지만 그래도 각 용어가 무엇을 뜻하는지는 정확히 알아야 해요. 용어를 공부하는 건 다른 내용을 공부하는 것보다 지루하고 어려울 수 있지만 가장 기본이 되는 만큼 한 번에 제대로 해야 합니다.

문자와 식, 대입에서 공부했던 내용과 이 글에서 공부할 내용을 모두 알고 있어야 이후의 과정을 공부할 수 있어요.

항, 상수항, 계수

항은 숫자 또는 문자의 곱으로 이루어진 식을 말해요. 숫자와 문자를 곱한 것, 문자와 문자를 곱한 것이죠. 숫자와 숫자를 곱한 건 숫자니까 당연히 항이고요. 문자만 있는 건 문자와 1을 곱한 거로 볼 수 있으니까 이것도 항이에요.

숫자, 문자, 숫자와 문자를 곱한 것, 문자끼리 곱한 것이 되겠네요.
3, a, 3a, a²

상수항은 항 중에서 숫자만 있는 항을 말해요. 3, -7처럼 그냥 일반적인 숫자를 상수항이라고 생각하면 쉬워요.

계수는 숫자와 문자의 곱에서 숫자를 말해요. 숫자와 문자의 곱에서는 곱셈기호를 생략하는데, 이때 문자 앞에 쓰여 있는 숫자라고 생각하면 쉬워요. 3a는 숫자 3과 문자 a가 곱해진 거잖아요. 여기서 숫자 3을 계수라고 합니다. 참고로 a는 1 × a이므로 계수는 1이에요.

항, 상수항, 계수

위 그림에서 항과 계수, 상수항을 찾아보죠.

4x² + 2y - 3이에요.

항은 곱하기로 이루어진 걸 말하니까 4와 x 두 개가 곱해진 4x²이하나의 항이에요. 2와 y가 곱해진 2y도 하나의 항이고요. -3도 하나의 항인데, 숫자만 있으니까 상수항이에요. 그냥 3이 아니라 -3이에요. 주의하세요.

사실은 +4x², +2y도 +부호가 붙어있는데, + 부호는 생략할 수 있으니까 생략한 거예요. -는 생략할 수 없어서 -3처럼 써줘야 하죠.

계수는 문자의 앞에 곱해진 수를 말해요. 4x² 앞에는 4가 있으니까 4가 계수, 2y 앞에는 2가 있으니까 2가 계수네요. 문자가 곱해져있진 않지만 상수항도 계수에 포함되므로 -3도 계수예요.

단항식과 다항식

다항식에서 "다"는 多예요. 항이 많이 있는 식이라는 뜻이죠. 많다고 해서 진짜로 많은 게 아니고요, 1개 이상만 있으면 돼요. 항이 1개 있어도, 2개 있어도, 100개 있어도 다항식이에요

4x², 4x² + 2y, 4x² + 2y - 3, -3, …

단항식은 다항식 중에서 항이 1개만 있는 걸 말해요.

4x², 2y, -3

다항식은 항이 1개 이상이고, 단항식은 항이 1개여야만 하니까 단항식은 다항식에 포함돼요.

차수와 일차식

차수는 문자가 곱해진 횟수를 말해요.

4x² + 2y - 3

4x²에서 x는 두 번 곱해졌죠? 그래서 차수는 2예요. 2y에서는 y가 한 번 곱해졌어요. 그래서 차수는 1이죠. -3은 문자가 곱해진 게 없어요. 그래서 차수가 0이에요. 상수항은 차수가 항상 0이에요.

항의 차수가 1이면 일차항, 2면 이차항, 3이면 삼차항이라고 해요.

차수는 문자의 거듭제곱에서 지수와 같아요.

항에서의 차수는 위 방법으로 구하는데, 다항식에서 차수는 어떻게 구할까요?

다항식에서 문자가 곱해진 개수가 다를 수 있어요. 예를 들어서 2x² + 3x + 1이라는 다항식이 있다고 해보죠. 2x²의 차수는 2, 3x의 차수는 1, 1의 차수는 0이에요. 일단 각 항의 차수는 구했어요. 다항식 전체의 차수를 구할 때는 차수가 가장 높은 항(최고차항)의 차수를 말하면 돼요. 여기서는 2x²의 차수가 2로 가장 높으니까 다항식 2x² + 3x + 1의 차수는 2인 거죠.

최고차항의 차수가 1인 다항식을 일차식, 최고차항의 차수가 2인 다항식을 이차식이라고 해요. 2x² + 3x + 1은 차수가 2니까 이차식이죠.

다시 4x² + 2y - 3으로 돌아와서요.

이 다항식은 x를 기준으로 하면 차수가 2인데, y를 기준으로 하면 차수가 1이죠? 이처럼 곱해진 문자가 다를 때는 어떤 문자를 기준으로 할 것인지 정확하게 얘기를 한 다음에 차수를 말해줘야 해요.

어떻게 하느냐면 "x에 대한 이차식" 또는 "y에 대한 일차식"이라고 말이죠.

다항식 4x² + 2x - 3y + 2에서 항, 상수항, 계수, 차수를 구하여라.

일단 항으로 나눠보죠. 4x², 2x, -3y, 2의 네 개 항으로 되어 있는 다항식이네요.

상수는 숫자만 있는 항이니까 2가 상수항이고요.

각 항의 차수를 보죠. 4x²는 2, 2x는 1, -3y는 1, 상수항 2는 0이죠.

계수는 문자 앞에 곱해진 숫자를 말하죠? 4x²의 계수는 4, 2x의 계수는 2, -3y의 계수는 -3이네요. 상수항 2도 있군요.

다항식의 차수는 차수가 가장 높은 항을 말하는데, 이보다 먼저 기준이 되는 문자를 정해야 해요. x에 대해서는 4x²의 2가 가장 높으니까 x에 대한 이차식이고요. y에 대해서는 -3y의 1이 가장 높으니까 y에 대한 일차식이에요.

정리해볼까요

항: 숫자와 문자의 곱으로 된 식
상수항: 숫자로 되어 있는 항
계수: 문자에 곱해서 있는 숫자
다항식: 1개 이상의 항으로 이루어진 식
단항식: 다항식 중에서 항이 1개만 있는 식
차수: 문자가 곱해진 횟수
다항식의 차수: 차수가 가장 높은 항의 차수
일차식: 차수가 1인 다항식

대입, 식의 값

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단항식의 곱셈과 나눗셈, 일차식과 수의 곱셈과 나눗셈

그리드형

다항식

공통수학 1

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수학Ⅱ

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곱셈공식(2) - 완전제곱식(차의 공식)

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(다항식) ÷ (단항식)

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