조립제법 2 - 나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때

조립제법 두 번째에요.

이번에 할 조립제법은 개념이해를 잘해야 해요. 조립제법의 방법은 같은데, 그 결과를 해석하는 게 달라지거든요.

조립제법은 다항식의 나눗셈을 조금 더 편리하게 하려고 하는 거예요. 즉, 몫과 나머지를 좀 더 쉬운 방법으로 구하려고 하는 거죠. 그런데 나누는 식의 x의 계수가 1이 아니면 조립제법으로 구한 몫이 틀리게 나와요.

왜 틀린 값이 나오는지, 틀린 값을 어떻게 해야 정확한 몫을 구할 수 있는지 알아보죠.

다항식의 나눗셈을 검산식으로 나타내보죠. f(x) = (x - α)Q(x) + R(x)에요. 조립제법을 할 때 나누는 식 = 0이 되는 x를 이용해요. x = α가 되겠죠.

나누는 식의 계수가 1이 아니라 ax + b라면 f(x) = (ax + b)Q(x) + R(x)에요. 조립제법을 하려면 나누는 식 = 0이 되는 x = 를 이용해야 해요.

(2x³ - 5x² + 5x - 4) ÷ (2x - 3)을 해보죠. 나누는 식 = 0이 되게 하는 x = 이고, f(x)의 계수는 2 -5 5 -4에요.

조립제법 - 나누는 식의 x 계수가 1이 아닐 때

몫은 2x² - 2x + 2, 나머지는 -1이 나왔네요.

이 문제는 다항식의 나눗셈 마지막 예제에서 해봤던 문제인데, 그 결과를 비교해보죠.

몫은 x² - x + 1, 나머지는 -1이네요.

나머지는 같은데, 몫이 다르죠?

왜냐하면, 조립제법에서 x = 을 넣어서 했죠? f(x)를 (2x - 3)으로 나눈 게 아니라 (x - )으로 나눈 결과라서 그래요.

두 경우 모두 나누는 식 = 0이 되게 하는 x는 같지만 식은 다르잖아요. 이런 차이때문에 몫이 달라지는 거예요.

R = -1로 같으니까 (나누는 식 × 몫) 부분만 보죠.

원래 우리가 구하려고 했던 몫이 x² - x + 1이라는 걸 알 수 있어요.

매번 이렇게 할 수는 없잖아요. 간단하게 구하는 방법이 있어요.

조립제법 - 나누는 식의 계수가 1이 아닐 때

우리가 구하려고 했던 Q(x)인데, 조립제법을 통해서 구한 건 aQ(x)인 거죠. 따라서 조립제법으로 구한 몫을 나누는 식의 x의 계수로 나눠주면 원래 구하려고 했던 몫을 구할 수 있어요.

(2x² - 2x + 2) ÷ 2 = x² - x + 1

나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때 조립제법
조립제법의 방법은 같음.
진짜 몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)

f(x)를 x - 3으로 나눈 몫이 2x² - 4x + 2이고 나머지는 1이라고 한다. f(x)를 (2x - 6)으로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

f(x) = (x - 3)(2x² - 4x + 2) + 1이네요. 전개해서 f(x)를 구한 다음에 (2x - 6)으로 나누는 조립제법을 해야겠지요?

설마 진짜로 이렇게 하는 학생은 없겠죠? x - 3 = 0을 0이 되게 하는 x와 2x - 6 = 0이 되게 하는 x가 같으니까 조립제법과 실제 나눗셈 사이의 관계를 이용하면 되는 문제에요. 굳이 전개할 필요가 없어요.

f(x) = (x - 3)(2x² - 4x + 2) + 1
= (2x - 6)Q(x) + R

어떤 방법을 이용하든 나머지는 같으니까 R = 1이에요.

(x - 3)(2x² - 4x + 2) = (2x - 6)Q(x)
(x - 3)(2x² - 4x + 2) = 2(x - 3)Q(x)
Q(x) = (2x² - 4x + 2) ÷ 2
Q(x) = x² - 2x + 1

몫은 x² - 2x + 1, 나머지는 1

몫 = (조립제법으로 얻은 몫) ÷ (나누는 식의 x 계수)으로 바로 구해도 돼요.

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