중학교에서 했던 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 하나였어요. 다항식 중에서도 단항식으로 나누었던 거죠. 숫자끼리 약분하고, 지수는 뺄셈을 통해서 계산할 수 있었죠.
고등학교 과정에서 공부하는 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 두 개이상인 다항식이에요. 항이 여러 개 있다보니까 약분을 하거나 지수법칙을 적용할 수 없는 경우가 생기죠.
이럴 때 어떻게 나눗셈을 하는지 알아보죠. 차수와 계수에 주목해서 보세요.
글로 설명하기가 참 어려운 내용이라서 그림을 잘 보고 이해해보세요.
다항식의 나눗셈
숫자의 나눗셈을 먼저 해볼까요? 55 ÷ 3을 해보죠. 세로로 나누기를 할 때, 아래 그림처럼 해요.
십의 자리 숫자 5에서 3을 나누고, 나머지 2를 내려서 일의 자리 숫자 5를 붙이고, 25에서 3을 나누고, 24를 뺀 나머지 1을 쓰죠?
다항식의 나눗셈도 이렇게 해요. 차이가 있다면 숫자의 자리가 아니라 차수를 이용한다는 거예요. 나누는 식의 최고차항과 계수와 차수가 같아지도록 하는 것이 핵심이에요.
숫자는 나눗셈을 할 때, 나눠지는 수의 뒷자리에 맞게 뒤에서부터 몫을 쓰는데, 다항식의 나눗셈에서는 앞에서부터 써요.
(x2 + 3x - 4) ÷ (x - 1)을 해보죠.
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- 나눠지는 식의 최고차항은 2차고 나누는 식이 최고차항이 1차니까 나누는 식에 x를 곱하면 차수가 같아지죠?
(x - 1) × x = x2 - x - (나눠지는 식) - (나누는 식 × x) = x2 + 3x - (x - 1)x = 4x, -4는 그대로 아래로
- x - 1은 최고차항이 1차, 4x - 4도 최고차 항이 1차로 같지만 계수가 다르니까 계수를 똑같이 만들어 주려면 (x - 1) × 4 = 4x - 4
- 두 식을 빼줍니다. (4x - 4) - (x - 1) × 4 = 0
55 ÷ 3의 결과를 55 = 3 × 18 + 1로 쓰잖아요. 이 때 55를 나눠지는 수, 3을 나누는 수, 18을 몫, 1을 나머지라고 하죠? (나눠지는 수) = (나누는 수) × (몫) + (나머지)
다항식 A를 0아닌 다항식 B로 나누었을 때 몫을 Q, 나머지를 R이라고 해서 A = BQ + R (B ≠ 0)라고 써요.
위 나눗셈의 결과는 x2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0으로 쓰는 거죠. + 0은 생략해도 돼요.
30 ÷ 3을 해보면 30 = 3 × 10이라고 써요. 나머지가 0이니까 30은 3으로 나눠어 떨어진다고 하죠? 다항식에서도 나머지 R = 0이면 나누어 떨어진다고 해요. 위 보기에서 x2 + 3x - 4는 (x - 1)로 나누어 떨어진다고 해요.
숫자의 나눗셈에서 나머지는 항상 나누는 수보다 작아요. 같거나 크면 안되죠? 다항식의 나눗셈에서는 나머지는 나누는 수보다 차수가 작아요. 위 예제에서는 나누는 식은 1차식, 나머지는 상수항이니까 0차죠? 이거 주의하세요.
다음 다항식의 나눗셈을 하고, 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2x3 + 3x2 - x - 2) ÷ (x + 1)
(2) (2x3 - 5x2 + 5x - 4) ÷ (2x - 3)
나눠지는 식의 최고차항을 찾아서 나눠지는 식의 최고차항과 비교해야 해요. 이 때, 계수와 차수가 같아지도록 숫자나 문자를 곱하는 거죠.
(1)을 계산해 볼까요?
몫은 2x2 + x - 2, 나머지는 0이네요. 2x3 + 3x2 - x - 2는 x + 1로 나누어 떨어지는 군요.
(2)번을 해보죠.
몫은 x2 - x + 1, 나머지는 -1이네요.
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다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈
곱셈공식, 곱셈공식 유도
감사합니다^^
댓글 고맙습니다. ^^ 또 오세요.
(X제곱-x)-(x제곱+x) 이부분어떻게 사라졌죠
뺐으니까 없어지죠.
수의 나눗셈과 방법이 같아요. 종이에 한 단계씩 써보시면 이해가 더 빠를 겁니다.
으앙ㅠㅠㅠ머리가나빠서첨부터막히네요ㅠㅠㅠ
머리가 나빠서 막히는 건 없어요.
읽어보고 또 읽어보고 또 읽어보면 돼요.
이야 교재로만볼때는 힘든데 이렇게보니 좋군요 고맙습니다
교재에는 한 번에 정리가 되어 있나 보죠.? 한 단계를 끊어서 보는 게 도움이 된 듯 하네요.
정말정말 감사해요 ^^
저도 댓글 남겨주셔서 정말정말 감사해요.^^
와 정말 좋네요
예습 열심히 하세요. ㅎㅎ
짱짱이해잘되용 감사해여
예습도 같이 해야 살아요. ㅎㅎ
수학공부하다가 생각이 안나서 찾다가 왔는데 이해도잘되고 좋네요
감사합니다~
또 생각나지 않는게 생기면 찾아오세요. ㅎㅎ
진짜 설명자세하다.. 짱감사 (현고1)
근데 2번에서 빨간색으로 x2-x가 왜마이너스가됫죠?
원래 나눗셈을 할 때 그렇게 하잖아요. 제일 위에 있는 숫자의 나눗셈과 비교해서 이해하면 쉬워요.
으악 저절로 눌러져버렸네요. 수학 마스터하려고 여기서 중학교과정부터 부족한부분 채우고 있어요. 감사합니다
부족한 부분 꽉꽉 채우고 가세요. ㅎㅎ
와 저는 검정고시준비생인데 정말 이해잘되고 좋네요ㅎㅎ 감사합니다~~
검정고시는 기본 원리와 공식만 잘 이해하면 합격할 수 있습니다. 꼭 좋은 결과가 있길 바랍니다.
왜 다항식의 나눗셈에서 몫은 앞에서 부터 쓸까요?
어차피 교환법칙이 성립하니까 순서는 상관없어요.
비밀댓글입니다
3x^3-5x^2+5 ÷ x^2-2x+5 를 계산하려고
하는데 잘 안되네요 도와주실수 있나요?
식의 차수만 다를 뿐, 최고차항의 계수와 차수를 같게 만들어준다는 기본적인 원리는 같아요.
제일 처음에 3x를 곱하는 것을 시작으로 해서 본문의 방법대로 따라해 보세요.
덕분에 여럿 도움 받고 갑니다!
아직도 도움 드릴 게 여럿 남았으니 또 찾아와주세요.
비밀댓글입니다
천천히 하시면 됩니다.
문제를 많이 풀어보는 게 좋긴 하지만 공부를 계속하면 당연히 풀어보는 문제 수가 많아지니까 따로 문제를 많이 풀어보지 않아도 상관없지요.
시험을 목적으로 하시는 거라면 모르겠지만 공부 그 자체가 목적이시라면 계산 틀리는 건 지엽적인 문제니 특별히 신경쓰지 않으셔도 될 것 같아요.
수학학원에서 배웠을 땐 잘 이해가 안됐는데 이 글 보고 바로 이해했어요. 감사합니다!
여기는 온라인 수학 학원이에요. ㅎㅎ
수학방님 안녕하세요. 사이트 자주 방문하는 사람인데요. 수학은 배우면 배울수록
그 의문이 끝없고 , 재미는 더하여 가는것 같습니다.
얼마전 의문덩어리 문제를 보고 질문 드리고자 다항식의 곱셈/나눗셈과 관련된 문제를 가져왔습니다. 네이버 지식인에 올려도 다 납득이 안가게 풀길래 수학방님께 질문 드립니다. 교과서 문제인데 해설이 없고 답만 있더라구요.
x^2+x-1=0일 때 , x^4-3x^3-8x^2+x+10의 값을 구하시오.
이것을 네이버 지식인 답변자들은 그냥 사차식을 x^2+x-1으로 나누어서 ,A=BQ+R꼴로
나타내라고 하는데요.저는 이게 말이안된다고 봅니다 .X^2+X-1이 0인데 왜 그것으로 나누어서 푸느냐고 물어보면 , 정말 말도안되는 엉뚱한 답만 돌아옵니다.
나누어서 A=BQ+R로 나타내는 것에 의미가 있다고 봅니다. 몫을 B로 생각했을 때 B=0인 것을 이용하면 결국 R만 남게 되는거죠. R은 상수로 나타낼 수 있을 거에요.
모르는 값을 구하려고, 이미 알고 있는 값을 포함하는 식으로 모양을 바꾸는 과정이에요.
그러면 값을 알고 있는 식이 포함된 부분의 값도 알 수 있잖아요.
식이 특정한 값을 가지고 있더라도 식 자체로 계산하는 것이 더 의미를 가지는 경우라고 할 수 있죠.
조앙ㅇ요
고마워ㅇ요.
다항식 나누기 다항식은 다항식이라고 할 수 없을 거 같은데 맞나요?
다항식 나누기 다항식은 다항식 곱하기 다항식으로 바꿀 수 있으니 다항식이라고 할 수 있어요.