유리식에서 사용하는 "유리"라는 표현은 어디서 본 적이 있을 거예요. 바로 유리수에서 말이에요. 같은 의미입니다. 분수로 나타낼 수 있다는 뜻이에요.
이 글에서는 유리식이 무엇인지 또 유리식의 사칙연산은 어떻게 하는 지 알아볼 거에요. 유리식의 사칙연산은 유리수의 사칙연산과 방법이 같으니까 특별히 어렵지는 않아요. 유리식은 분자, 분모가 숫자가 아니라 식이라서 계산이 조금 복잡할 뿐이에요.
유리수와 유리식의 공통점과 차이점을 잘 비교해보면서 읽어보세요.
유리식과 분수식
에서 a, b가 정수(b ≠ 0)일 때 이렇게 생긴 수를 유리수라고 하지요? 유리수는 정수를 이용해서 분수꼴로 나타낼 수 있는 수를 말해요.
그런데 a, b가 정수가 아니라 다항식이면 어떻게 될까요? a, b 자리에 수가 들어있으면 유리수라고 하니까 a, b에 식이 들어있으면 유리식이라고 해요. 물론 숫자도 상수항으로 다항식의 한 종류라는 건 별도로 하고요.
유리식에서 분모인 b가 0이 아닌 상수일 때는 어떻게 될까요? 는 계수가 분수인 다항식이죠? 이처럼 유리식에서 분모가 0이 아닌 상수일 때를 다항식이라고 해요. 우리가 알고 있는 다항식이요. 만약에 분모가 1이라면 그냥 5x + 3 같은 다항식이 되고요.
그럼 상수가 아니라면 어떨까요? 은 더는 어떻게 할 수 없죠? 이처럼 유리식에서 분모가 상수가 아닌 식을 분수식이라고 합니다. 분모가 상수면 다항식이라고 하니까 분모가 상수가 아닌 분수식을 다르게 표현해서 다항식 아닌 유리식이라고도 해요. 마치 유리수에서 정수와 정수 아닌 유리수라고 하는 것처럼요.
유리식: 꼴로 생긴 식 (A, B는 다항식, B ≠ 0)
다항식: 분모가 상수인 유리식
분수식: 다항식 아닌 유리식(분모가 상수가 아닌 유리식)
유리수의 분자, 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나눠줘도 값은 바뀌지 않아요.
유리식도 같아요. 분자, 분모에 0이 아닌 같은 식을 곱하거나 같은 식으로 나누어도 값은 바뀌지 않아요.
A, B, C, D가 다항식이고, B, C, D ≠ 0일 때,
유리식의 사칙연산
유리식의 사칙연산은 유리수의 사칙연산과 똑같아요. 분수의 덧셈, 뺄셈할 때 통분과 약분을 하죠? 유리식에서도 통분과 약분을 해요. 통분은 분모를 같게 만들어주는 건데, 분모가 다항식이니까 다항식의 최소공배수를 이용해서 분모를 통분합니다. 약분도 분수에서 하는 것과 똑같아요.
분수의 곱셈, 나눗셈은 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 계산해요. 이 과정에서 약분도 하죠. 유리식도 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 연산해요. 약분도 하고요. 특히 나눗셈할 때는 역수의 곱으로 바꿔서 할 수 있으니까 역수의 곱으로 계산하세요.
유리식의 사칙연산을 하기 전에는 미리 분자, 분모를 인수분해하세요. 그래야 통분, 약분을 할 수 있어요.
유리식의 사칙연산
공통: 분자, 분모를 인수분해. 계산 과정에서 약분되면 바로바로 약분
덧셈, 뺄셈: 분모 통분 후 계산
곱셈: 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱
나눗셈: 곱셈으로 바꾸고 역수 → 분모끼리, 분자끼리 곱
다음을 계산하여라.
유리식을 계산할 때 첫 번째 해야 할 일은 인수분해예요. 무조건 해야 합니다. 그다음 덧셈, 뺄셈은 통분하고, 곱셈, 나눗셈은 분자끼리, 분모끼리 계산해요. 특히 나눗셈은 곱셈으로 바꾸고 역수를 취해요. 계산 중간에 약분할 수 있으면 바로바로 약분하고요.
함께 보면 좋은 글
부분분수 공식, 번분수
가비의 리, 비례식 푸는 법
여러가지 유리식의 풀이
무리식, 무리식의 연산
분수식에대한 설명에서 분모가 상수가 아닌 식을 분수식이라고 한다면 'x(x+1)/x = x+1'과 같이 분모와 분자가 약분되어 다항식이 되는경우도 분수식이라고 불러야 하는 오류가 생깁니다.
분수식은 '다항식으로 나타낼 수 없는식'이라고 표현하는 것이 더 좋겠네요.
약분은 당연히 해야하는 거니까 의미를 둘 필요가 없죠.
2/2, 4/2를 약분하지 않으니까 정수 아닌 유리수라고 부르지는 않죠.
약분과 동류항 정리는 기본으로 한 후에 판단을 하는 겁니다.
학교다닐때 공부를 다시 하고 있는거라서 어디서 배웠는지 몰라 거기다 질문달았는데 여기있군요.
고1때 저런설명은 없고 그냥 문제들만 나와서요
그런데 1/(x+1) 이라는 분수가 실제로 표현 가능한가요?
1/x 이면 피자를 x개로 나눈것중에 한개라는 표신데 1/(x+1) 이라니 이게 실생활에도 있는지 궁금하네요
고1때 다 설명이 되어 있어요. 개념설명없이 문제만 있는 문제집을 보신 거겠죠.
1/(x+1)은 피자를 (x+1)로 나눈 것 중에 하나라는 뜻이죠.
교과서 본거 맞습니다.
뒤에 찾아보니 나오더군요.
실수라는 단원, 책으로는 2번째단원 문제에
분모가 2루트+1 이나 x+1 인 분수가 있어서
중학교때 나온 내용인줄 알았습니다.
죄송합니다.
괄호는 빼고 읽으시면 됩니다. 식이 안써져서 분모를 구분시킬려고 해놓은 거고요.
x+1 로 나눴다는게 만약 x가 8이라면
8+1 로 나눈것중에 한개 9개중에 1개로 보는게 맞는건가요?
아니면 8개로 나눈것중에 1개 + 1 로 보는게 맞는건가요?
9개 중에 한 개죠. 대입하면 돼요.
선생님 덕분에 막힘 없이 수학공부하고 잇어요 감사합니다^ㅡ^
막힘없이 공부하다보면 자신감이 생길 거예요. 그때는 수학 성적이 확 오른답니다. ^-^
선생님질문있어요~~~
분모가 변하지않는상수이면 다항식이라하고
미지수가있어서 변하면 분수식이라하는데
왜 이름을나누어서 약속한건가요..?
그분수식에 근이있으면 그건분수식이아닌가요
그냥식자체만을 분수식이라하는건가요..?
모르겠어요 ㅠㅠ
두 식의 모양이 다르니까 당연히 다른 이름으로 불러야죠.
근의 유무와 상관없이 식 자체가 분수식이에요.
이차방정식은 근이 있던 없던 그냥 이차방정식이잖아요.
감사합니다^^
댓글 고맙습니다.
5x+3/2x-1은 왜 더 이상 어떻게 할 수가 없죠?
5x+3/2x-1 = 5x/(2x-1)+3/(2x-1)으로 나타낼 수는 없는 건가요?
그럼 + 연결된 다항식이 되지 않나요?
분모가 상수가 아니라는 뜻이에요.
아 감사합니다 명료하네요!
네, 내용 자체가 명료하니까 설명도 명료하게 했어요.
비밀댓글입니다
이차함수의 최대 최소, 부등식의 영역 등을 활용해서 구할 수 있지요.
선생님~~
저희 아이가 공부를 하는데 헷갈려해서요.
1/x는 항이 아니라고 하신 것 같은데, 분수식에서는 이런 각각의 식들을 뭐라고 부르나요?
1/x는 1나누기 x기 때문에 항이 아니다. 항은 수 또는 문자가 곱셈으로만 이루어진 식이라고 읽은 것 같습니다.
1나누기 x = 1곱하기 1/x
b/a=d/c에서 c가 미지수일때는 어떻게 푸나요 ㅠㅠ