'부등식' 태그의 글 목록

공통수학 1, 2 목차
4

2025.02.26
2014년 고1 수학 목차 - 수1, 수2
103

2014.01.23
삼각부등식, 삼각부등식 푸는 법
10

2013.12.30
연립부등식의 영역, 연립부등식의 영역 구하기
22

2013.09.12
부등식의 영역 2 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0
5

2013.09.10
부등식의 영역 - y > f(x), y < f(x)
2

2013.09.09
코시 슈바르츠 부등식 증명
29

2013.06.28
이차부등식, 이차부등식의 해
26

2013.06.11
절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2
27

2013.05.28
절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이
15

2013.05.09
부등식 ax > b의 풀이, 부정, 불능
6

2013.05.06
부등식의 성질, 부등식끼리의 사칙연산
32

2013.05.05
고1 수학 목차, 공통수학 목차
92

2013.02.17
실수의 대소관계, 실수의 크기비교
9

2013.01.22
부등식의 활용, 연립부등식의 활용
98

2012.06.13

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공통수학 1

공통수학 2

그리드형

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수학Ⅰ

수학Ⅱ

그리드형

원래 부등식은 방정식의 확장판이라고 생각하면 쉬워요. 따라서 삼각부등식을 풀 때는 삼각방정식을 풀 때와 같은 방법으로 푼다는 것만 잘 기억하고 있으면 돼요. 거꾸로 말해서 삼각부등식을 풀려면 삼각방정식을 풀 줄 알아야 한다는 얘기지요.

삼각부등식은 삼각함수 + 부등식이에요. 삼각부등식 문제를 풀 때는 그래프를 꼭 그려야 하는데, 이때 부등식의 영역을 응용하면 문제를 훨씬 더 쉽게 풀 수 있어요.

되게 복잡하고 어려울 것 같지만, 막상 풀어보면 그렇게 어려운 문제들은 나오지 않으니까 너무 걱정하지는 마세요.

삼각부등식

삼각방정식은 삼각함수의 각이나 각을 나타내는 식에 미지수 x를 포함한 방정식이에요. 그럼 삼각부등식은 뭘까요? 삼각부등식은 삼각함수의 각이나 각을 나타내는 식에 미지수 x를 포함한 부등식이지요.

이차방정식을 푸는 방법이나 이차부등식을 푸는 방법이나 별 차이가 없었죠? 인수분해해서 해를 구했잖아요. 이차방정식의 해는 x = α or x = β처럼 등호를 사용한다면 이차부등식은 α < x < β처럼 부등호를 사용한다는 차이뿐이었어요.

삼각부등식을 푸는 과정도 삼각방정식을 푸는 과정과 별로 차이가 없어요. 삼각방정식을 풀 때 사용했던 방법들을 그대로 사용합니다. 삼각부등식도 해가 무수히 많이 생길 수 있기 때문에 한 번의 주기(0 ≤ x < 2π)로 범위를 제한하고요.

의 해를 구하여라. (0 ≤ x < 2π)

여러 방법으로 삼각부등식을 풀어보죠.

그래프의 교점을 이용하는 방법

를 y = sinx와 라는 두 개 식으로 나누어 각각의 그래프를 그린 다음 보다 y = sinx가 위에 있는 구간을 찾으면 돼요.

삼각부등식 푸는 방법 1 - 그래프 이용

y = sinx의 그래프와 의 그래프를 그리면 두 점 , 에서 만나고 x가 이 둘 사이의 범위에 있을 때 y = sinx의 그래프가 더 위에 있어요. 따라서 의 해는 < x < 에요.

단위원을 이용하는 방법

단위원 위에서 을 지나는 점의 동경이 두 개 있는데 이 두 동경 사이의 각이 바로 삼각부등식의 해에요.

삼각부등식 푸는 방법 2 - 단위원 이용

점 P와 점 Q에서 만나네요. P일 때는 , Q일 때는 에요. 동경 사이의 각이 해가 되는데 둘 사이의 각이 두 종류가 있어요. 하나는 P에서 Q로 양의 방향(시계 반대방향)으로 동경이 이동할 때 생기는 각들이고요. 다른 하나는 Q에서 P까지 양의 방향(시계 반대방향)으로 동경이 이동할 때 생기는 각이에요.

어떤 부분이 해가 될지 모를 때에는 부등식의 영역 2 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0에서 사용했던 방법을 이용하세요. 임의의 각을 하나 대입해보는 거죠. 를 대입해보면 = 1 > 로 문제의 부등식을 만족해요. 따라서 가 들어있는 P에서 Q까지 양의 방향의 각들이 문제의 해에요. 해는 < x < 이네요.

직각삼각형을 이용하는 방법

[중등수학/중3 수학] - 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 각도에 따른 직각삼각형 각 변의 길이의 비를 외우고 있죠? 1 : 1 : , 1 : : 2인 직각삼각형의 길이의 비요. 이걸 이용하는 방법이에요.

삼각함수 값의 부호의 올 - 싸 - 탄 - 코에 따르면 sinx > 0이려면 제 1, 2 사분면위의 각이어야 해요. 제 1, 2 사분면 위에 x축을 밑변으로 하고 빗변과 높이의 비가 2 : 1인 직각삼각형을 그리세요.

삼각부등식 푸는 방법 3 - 직각삼각형 이용

두 개의 직각삼각형이 그려졌는데도 이 두 직각삼각형의 빗변 사이의 각이 해에요. 두 빗변은 단위원을 이용한 방법에서의 동경과 같은 거니까 나머지는 단위원에서 했던 방법을 그대로 사용하면 돼요.

방법은 다르지만 구한 결과는 같으니까 가장 쉽다고 생각되는 방법을 이용해서 풀 수 있게 연습하세요.

정리해볼까요

삼각부등식

삼각함수의 각 또는 각을 나타내는 식에 미지수 x가 포함된 부등식
풀이법
- 그래프의 교점을 이용
- 단위원 이용
- 직각삼각형 이용

삼각방정식, 삼각방정식 푸는 법

<< 고1 수학 목차 >>

사인법칙

그리드형

연립부등식의 영역은 부등식의 영역 두 개를 합쳐놓은 걸 말해요. 부등식을 두 개 이상 합쳐놓은 게 연립부등식이니까요.

연립부등식을 푸는 방법과 연립부등식의 영역을 구하는 방법은 근본적으로 같아요. 연립부등식에서는 수직선에 그렸다면 연립부등식의 영역에서는 좌표평면에 그림을 그린다는 차이가 있을 뿐이에요.

그래프를 그려야 해서 복잡해 보이지만 (연립부등식의 영역) = (부등식의 영역) + (연립부등식) 이라는 사실만 기억하고, 관련된 두 내용만 잘 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않을 거예요.

연립부등식의 영역

연립부등식의 풀이에서는 각각의 부등식의 해를 구하고 이를 수직선에 그려서 공통인 부분의 해를 찾았어요. 연립부등식의 영역도 똑같아요. 각각의 부등식의 영역을 그린 다음 공통인 부분을 구하면 됩니다.

f(x, y) = 0은 원의 방정식, g(x, y) = 0은 직선의 방정식이라고 한다면, f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 그래프는 아래와 같아요.

연립부등식의 영역

f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 공통부분을 칠한 오른쪽 그림이라는 연립부등식의 영역이 됩니다.

식과 부등호의 방향은 바뀌겠지만, 그 방법은 모두 같아요.

연립부등식의 영역
각각의 부등식의 영역을 그린다.
두 부등식의 영역의 공통부분(교집합)을 구한다.

곱으로 표시된 연립부등식의 영역

이번에는 연립부등식이 조금 다른 형태인데요.

f(x, y)·g(x, y) < 0이라는 부등식이에요.

두 식을 곱해서 0보다 작다는 얘기는 부호가 서로 반대라는 얘기예요. 하나가 양수이면 다른 하나는 음수여야 하죠.

총 네 개의 부등식의 영역 그러니까 두 개의 연립부등식의 영역이 생겼어요. or이니까 연립부등식의 영역 두 개를 합한 거예요.

좀 복잡하지만, 집합으로 나타내보면 다음과 같아요.
[{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}] ∪ [{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}]

곱으로 표시된 연립부등식의 영역

이번에는 f(x, y)·g(x, y) > 0을 보죠.

어떤 두 식을 곱해서 0보다 크다는 말은 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 하죠?

역시 마찬가지로 네 개의 부등식의 영역, 두 개의 연립부등식이 생겼어요. or이니까 역시 각각의 연립부등식의 영역을 구한 다음 서로 합쳐야 하죠.

부등식의 영역을 네 개가 구해야 하고, 어떤 건 교집합, 어떤 건 합집합이어서 상당히 복잡하죠? 쉽게 구하는 방법이 있어요.

곱으로 표시된 연립부등식의 영역 구하는 순서

f(x, y) = 0, g(x, y) = 0의 도형의 방정식을 그린다.
경계선 위에 있지 않은 임의의 점을 처음 부등식에 대입한다. 계산이 편리한 (0, 0), (1, 0) 등
조건에 맞는 영역을 칠한다.
- 대입한 점이 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역
- 대입한 점이 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역

다음 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내어라.
(1)
(2) (x + y - 1)(x² + y² - 4) < 0

x² + y² < 4의 영역은 왼쪽 그림이고 x + y - 1< 0의 영역은 가운데, 이 둘의 공통부분이 오른쪽 그림이에요.

연립부등식의 영역 예제 1 풀이

(2) 번. (x + y - 1)(x² + y² - 4) < 0

두 개의 연립부등식의 영역으로 나눠서 구해도 되고, 점을 대입해서 영역을 구해도 돼요. x + y - 1 = 0과 x² + y² - 4 = 0의 그래프를 좌표평면에 그렸더니 네 개의 영역으로 나뉘어졌어요.

연립부등식의 영역 예제 1 풀이 1

(0, 0)은 경계선 위에 있지 않으므로 점을 대입해보면
(0 + 0 - 1)(0² + 0² - 4) < 0
4 < 0

부등식을 만족하지 않으므로 (0, 0)이 포함되어 있지 않은 ①번 영역과 ① 영역의 건너뛴(이웃하지 않은) ③ 영역이 구하는 영역이 되겠네요.

연립부등식의 영역 예제 1 풀이 2

정리해볼까요

연립부등식의 영역

각각의 부등식을 영역을 구한 다음 그 공통부분
곱으로 표시된 연립부등식의 영역
도형의 방정식을 그린 다음 임의의 점을 부등식에 대입
- 부등식을 만족하면 해당 영역 및 이웃하지 않은 영역
- 부등식을 만족하지 않으면 점이 속하지 않은 영역 및 이웃하지 않는 영역

부등식의 영역 2 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0

<< 수학 1 목차 >>

부등식의 영역의 최대, 최소

그리드형

앞서 부등식의 영역 - y > f(x), y < f(x)에서는 직선과 이차함수 등 y = f(x) 꼴의 식을 이용하는 부등식의 영역에 대해서 알아봤는데요. 이번에는 f(x, y) = 0 꼴의 식을 이용하는 부등식의 영역에 대해서 알아볼 거예요.

부등식의 모양만 다를 뿐 원리나 그리는 방법 등은 같아요. 특히, 마지막에 나오는 부등식의 영역 그리는 순서는 그래프의 모양과 상관없이 모든 부등식의 영역을 구할 때 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.

다음에 공부할 연립부등식의 영역을 구하려면 이 글의 내용을 꼭 이해하고 넘어가야 해요.

원의 내부와 외부를 나타내는 부등식

원의 방정식 표준형은 (x - a)² + (y - b)² = r²이죠. 좌변은 임의의 점 (x, y)에서 (a, b)까지의 거리를 제곱한 거고 우변은 반지름의 제곱이죠. 즉 원의 방정식은 (a, b)로부터 r만큼의 거리에 있는 점들을 말하는 거예요.

그렇다면 (x - a)² + (y - b)² > r²은 무슨 뜻일까요? (a, b)로부터 r보다 더 먼 거리에 있는 점들을 얘기하죠?

부등식의 영역 - 점과 원점 사이의 거리

그림의 P(x₁, y₁)에서 원의 중심 C(a, b)까지의 거리는 반지름 r보다 더 커요. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 식으로 나타내보죠.

즉 원 밖의 임의의 점에서는 (x - a)² + (y - b)² > r²이 성립해요. 거꾸로 말해 (x - a)² + (y - b)² > r²이 성립하는 점들은 원의 바깥쪽에 있다는 거지요.

부등식의 영역 - f(x, y) > 0

같은 방법으로 (x - a)² + (y - b)² < r²이 성립하는 점들은 원의 안쪽에 있다는 걸 알 수 있어요.

부등식의 영역 - f(x, y) < 0

원의 내부와 외부를 나타내는 부등식
(x - a)² + (y - b)² > r²의 영역은 (x - a)² + (y - b)² = r²의 바깥쪽
(x - a)² + (y - b)² < r²의 영역은 (x - a)² + (y - b)² = r²의 안쪽

부등식 f(x, y) > 0, f(x, y) < 0의 영역

도형의 방정식을 f(x, y) = 0으로 나타내잖아요? 그래서 이를 이용한 부등식은 f(x, y) > 0 또는 f(x, y) < 0으로 표시합니다.

이 부등식의 영역을 나타내는 순서는 다음과 같아요.

좌표평면에 f(x, y) = 0의 그래프를 그린다.
- 등호가 포함되어 있으면 실선
- 등호가 포함되어있지 않으면 점선
f(x, y) = 0 위에 있지 않은 임의의 점의 좌표를 대입한다.
조건에 맞는 영역을 칠한다.
- 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역
- 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역

2단계에서 임의의 점은 (0, 0), (1, 0)처럼 계산을 쉽게 할 수 있는 점들이 좋아요.

다음 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내어라.
(1) x² + y² > 9
(2) (x - 2)² + (y - 1)² < 16

일단 f(x, y) = 0의 그래프를 그리고 임의의 점을 대입한 다음 부등식을 만족하면 점이 있는 영역, 부등식을 만족하지 않으면 점이 속하지 않은 영역을 칠하면 돼요.

(1)에 (0, 0)을 대입해보면 0 + 0 > 9로 부등식을 만족하지 않아요. 따라서 (0, 0)이 속하지 않은 영역을 칠해야 해요. 원의 방정식인데, 좌변이 우변인 반지름의 제곱보다 크기 때문에 원의 바깥쪽을 바로 칠해도 되고요.

부등식의 영역 예제 풀이. x2 + y2 > 9

(2)에 (0, 0)을 대입하면 (-2)² + (-1)² < 16으로 부등식을 만족하죠. 따라서 (0, 0)이 속한 영역을 칠하면 되겠네요. 원의 방정식인데, 좌변이 우변인 반지름의 제곱보다 작기 때문에 원의 안쪽을 바로 칠해도 되고요.

부등식의 영역 예제 풀이. (x - 2)2 + (y - 1)2 < 16

정리해볼까요

부등식의 영역 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0

좌표평면에 f(x, y) = 0의 그래프를 그린다.
- 등호가 포함되어 있으면 실선
- 등호가 포함되어있지 않으면 점선
f(x, y) = 0 위에 있지 않은 임의의 점의 좌표를 대입한다.
조건에 맞는 영역을 칠한다.
- 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역
- 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역

부등식의 영역 1 - y > 0, y < 0

<< 수학 1 목차 >>

연립부등식의 영역

그리드형

중학교 때, 일차부등식의 풀이에서는 부등식의 해를 수직선 위에 나타냈었잖아요. 부등식의 영역은 부등식을 만족하는 점을 수직선이 아니라 좌표평면에 나타내는 거예요.

설명은 되게 복잡한 것 같지만 식을 그냥 들여다보면 금방 알 수 있을 거예요.

부등식은 등식에서 등호만 부등호로 바뀐 거잖아요. 그래서 부등식의 영역을 그릴 때 등식을 이용해서 그려요. 여기서 이용하는 등식은 이차함수, 직선의 방정식과 원의 방정식 등이에요. 따라서 이들 도형의 방정식을 좌표평면에 나타낼 줄 알아야 해요.

부등식의 영역

x에 대한 일차부등식을 만족하는 x를 수직선에 나타냈던 것처럼 x, y에 대한 부등식을 만족하는 점 (x, y)를 좌표평면에 나타내는데, 이 점 전체의 집합을 부등식의 영역이라고 합니다.

부등식 y > x, y < x의 영역

일차부등식의 영역 1

y = x 그래프와 y축에 평행한 직선, 세 점 P(x, y), Q(x₁, y₁), R(x₂, y₂)이 있어요.

점 P(x, y)는 y = x 그래프 위의 점이니까 x좌표와 y좌표가 같아요.
y = x …… ①

점 Q(x₁, y₁)를 한 번 보죠. y축에 평행한 직선 위에 있으므로 점 P의 x좌표와 점 Q의 x좌표는 같아요.
x = x₁ …… ②

점 Q의 y좌표인 y₁은 x좌표인 x₁보다 크죠?
y₁ > x₁ …… ③

①, ②, ③에 의해서 y₁ > x₁ = x = y이므로 y₁ > y에요.

y축에 평행한 직선에서 y₁ > y가 되는 점 Q는 엄청나게 많겠죠? 점 P보다 위에 있는 점들은 모두 이 조건을 만족하니까요.

y축에 평행한 직선을 왼쪽, 오른쪽으로 움직이면 엄청나게 많은 점 Q를 찾을 수 있고, 이런 점들을 모두 모으면 하나의 영역으로 표시되는데 이게 바로 위 그래프에서 파란색으로 표시된 부분이에요.

이번에는 점 R(x₂, y₂)를 보죠. y축에 평행한 직선 위에 있으므로 점 R의 x좌표 x₂는 점 P의 x좌표와 같아요.
x₂ = x …… ④

점 R의 y좌표 y₂는 x좌표 x₂보다 작고요.
y₂ < x₂ …… ⑤

①, ④, ⑤에 의해서 y₂ < x₂ = x = y이므로 y₂ < y가 돼요.

마찬가지로 y축에 평행한 직선을 왼쪽, 오른쪽으로 옮기면 엄청나게 많은 점 R을 찾을 수 있고 이 점들을 모두 모으면 하나의 영역으로 표시할 수 있어요.

y > x가 나타내는 영역은 y = x 그래프의 위쪽이고,
y < x가 나타내는 영역은 y = x 그래프의 아래쪽이에요.

부등식 y > f(x), y < f(x)의 영역

일차부등식의 영역 2

y = ax + b의 그래프에요.

같은 방법을 이용하면 y > ax + b를 만족하는 점들의 영역과 y < ax + b를 만족하는 점들의 영역을 찾을 수 있어요.

그래프에서 y = ax + b를 실선이 아닌 점선으로 표시했는데, 이건 y > ax + b, y < ax + b에 등호가 들어있지 않기 때문이에요. 일차부등식의 풀이에서 수직선 위에 부등식을 그릴 때 점을 까맣게 칠하면 ≤, ≥를 나타내고, 하얗게 그리면 <, >를 나타냈던 것과 같아요.

이차부등식의 영역

이차함수 그래프 y = ax² + bx + c와 부등식 y > ax² + bx + c, y < ax² + bx + c의 영역을 나타낸 것입니다.

y > f(x)가 나타내는 영역: y = f(x) 그래프의 윗부분
y < f(x)가 나타내는 영역: y = f(x) 그래프의 아랫부분
부등호에 등호가 없으면 y = f(x)는 점선으로 표시

부등식의 영역 그리는 순서

기준이 되는 도형의 방정식 y = f(x)의 그래프를 그린다.
이때, 주어진 식의 부등호에 등호가 없으면 점선, 등호가 있으면 실선
해당 영역을 색으로 칠한다.
- y > f(x) 또는 y ≥ f(x)이면 그래프보다 위쪽 영역
- y < f(x) 또는 y ≤ f(x)이면 그래프보다 아래쪽 영역

정리해볼까요

부등식의 영역

좌표평면에서 x, y에 대한 부등식을 만족하는 점 (x, y)를 좌표로 하는 점 전체의 집합
y > f(x) → y = f(x)의 윗부분
y < f(x) → y = f(x)의 아랫부분
부등식에 등호가 없으면 y = f(x)의 그래프를 점선으로

대칭이동 - 직선에 대한 대칭이동

<< 수학 1 목차 >>

부등식의 영역 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0

그리드형

1학기 마지막이네요. 마지막이니까 짧게 한 가지만 하고 금방 끝내죠.

이번 시간에는 절대부등식 중에서 코시 슈바르츠 부등식이라는 걸 공부할 거예요. 코시 슈바르츠 부등식은 코시와 슈바르츠라는 두 사람이 만들고 발전시킨 절대부등식이에요. 두 사람의 이름을 따서 부르지요.

산술, 기하평균처럼 계산할 때 자주 사용하는 절대부등식이니까 왜 항상 성립하는지를 증명할 수 있어야 하고, 공식도 외우고 있어야 해요.

코시 슈바르츠 부등식

이게 외우기가 살짝 헷갈리는데, 문자 그대로 외우기보다는 문자의 위치와 차수를 이용해서 그림처럼 외우는 게 조금 더 잘 외워질 거예요. 부등호의 왼쪽은 모두 제곱인 항이고, 부등호의 오른쪽은 완전제곱식이에요.

코시 슈바르츠 부등식

(ay = bx일 때 등호 성립)

이 부등식이 진짜로 항상 참인 절대부등식인지 증명해볼까요? 양변을 전개해서 정리해보죠

(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²
a²x² + a²y² + b²x² + b²y² ≥ a²x² + 2abxy + b²y²
a²y² - 2abxy + b²x² ≥ 0
(ay - bx)² ≥ 0

등식이 성립하니까 이 부등식은 참이에요. 그리고 ay - bx = 0일 때 즉 ay = bx이면 등호가 성립하고요.

다음을 구하여라.
(1) x² + y² = 5일 때, x + 3y의 최댓값과 최솟값
(2) m² + 4n² = 4일 때, 4m + 6n의 최댓값과 최솟값

코시-슈바르츠 부등식 (a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²의 자리에 대입해보죠.

(1) a = 1, b = 3이네요.

(1² + 3²)(x² + y²) ≥ (x + 3y)²
(1 + 9)(x² + y²) ≥ (x + 3y)²
10 × 5 ≥ (x + 3y)²
50 ≥ (x + 3y)²
- ≤ x + 3y ≤

x + 3y의 최댓값은 , 최솟값은 -

(2) 4n² = (2n)²인데, 헷갈리니까 m = x, 2n = y로 치환하죠. 식을 다시 써보면 x² + y² = 4일 때 4x + 3y의 최대, 최소를 구하는 문제예요. 이때 a = 4, b = 3이네요.

(4² + 3²)(x² + y²) ≥ (4x + 3y)²
(16 + 9)(x² + y²) ≥ (4x + 3y)²
25 × 4 ≥ (4x + 3y)²
100 ≥ (4x + 3y)²
-10 ≤ 4x + 3y ≤ 10
-10 ≤ 4m + 6n ≤ 10

4m + 6n의 최댓값은 10, 최솟값은 -10이군요.

정리해볼까요

코시-슈바르츠 부등식

(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²
ax = by 일 때 등호 성립

산술, 기하, 조화평균 <<

고1 수학 목차

>> 두 점사이의 거리

그리드형

일차방정식을 공부하고 나면 이차방정식을 공부했어요. 일차함수를 공부하고 나면 이차함수를 공부했고요. 일차부등식을 공부했지요? 그러니까 이제는 이차부등식을 공부할 차례예요.

이차부등식의 풀이는 일차부등식의 풀이와 많이 달라요. 오히려 이차방정식과 관련된 내용이 많이 나옵니다. 이차방정식에서 등호만 부등호로 바뀐 게 이차부등식이니까요. 앞서 공부했던 이차방정식의 여러 가지 특징을 잘 기억하세요.

이차부등식이 무엇인지 이차부등식의 해는 어떻게 구하는지 알아보죠.

이차부등식, 이차부등식의 해

모든 항을 좌변으로 이항했을 때 좌변의 최고차항이 이차인 부등식을 이차부등식이라고 해요. ax² + bx + c > 0으로 표시하죠. 이때 이차부등식이 되려면 a ≠ 0이어야 해요. 물론 부등호는 >, ≥ < ≤ 총 네 가지가 있고요.

이차방정식의 해를 구할 때 인수분해를 했었죠? 이차부등식의 해를 구할 때도 인수분해를 합니다.

모든 항을 좌변으로 이항
동류항 정리
인수분해

일단 먼저 인수분해를 하세요. 다음 단계는 조금 복잡하니까 잘 보시고요.

이차부등식의 해 - (x - α)(x - β) > 0

이차항의 계수가 1이고 (x - α)(x - β) > 0 (α < β)으로 인수분해되는 이차부등식이 있다고 해보죠. (x - α)와 (x - β)라는 두 식을 곱해서 양수가 되려면 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 해요.

둘 다 양수일 때, x - α > 0 and x - β > 0
- x - α > 0
 x > α
- x - β > 0
 x > β
α < β 이므로 x > β
둘 다 음수일 때, x - α < 0 and x - β < 0
- x - α < 0
 x < α
- x - β < 0
 x < β
α < β 이므로 x < α

α < β일 때,
(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β

이차식이 0보다 클 때는 이차식을 0으로 만드는 두 수(α, β) 중 작은 수(α)보다 작거나 큰 수(β)보다 큰 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

이차부등식의 해 - (x - α)(x - β) < 0

이번에는 이차항의 계수가 1이고 (x - α)(x - β) < 0 (α < β)으로 인수분해되는 이차부등식이 있다고 해보죠. 두 식을 곱해서 음수가 되려면 두 식의 부호가 서로 반대여야 하죠.

x - α > 0 and x - β < 0 일 때
- x - α > 0
 x > α
- x - β < 0
 x < β
α < β 이므로 α < x < β
x - α < 0 and x - β > 0 일 때
- x - α < 0
 x < α
- x - β > 0
 x > β
α < β이므로 해 없음.

α < β일 때,
(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

이차식이 0보다 작을 때는 이차식을 0으로 만드는 두 수(α, β) 중 작은 수(α)와 큰 수(β) 사이의 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

이차항의 계수가 1일 때를 살펴봤는데요. 1이 아닐 때는 인수분해에만 영향을 미치지 해를 구하는 과정은 위와 똑같아요.

다음 이차부등식의 해를 구하여라.
(1) x² - 3x + 2 < 0
(2) 2x² + 6x - 20 ≥ 0

이차부등식의 해를 구하려면 일단 인수분해를 하죠. 그리고 각 항을 0으로 만드는 두 수를 구하고요.

(1) x² - 3x + 2 < 0
(x - 1)(x - 2) < 0

이차식이 0보다 작으니까 좌변을 0으로 만드는 두 수에서 작은 것과 큰 것 사이의 해를 가져요. 이차식을 0이 되게 하는 수는 1과 2이므로 해는 1 < x < 2가 됩니다.

(2) 2x² + 6x - 20 ≥ 0
2(x² + 3x - 10) ≥ 0
2(x - 2)(x + 5) ≥ 0

앞에 있는 2는 양수라서 식의 부호에 영향을 미치지 않죠? 이차식이 0이 되는 수는 2, -5이고 이차식이 0보다 크네요. 이때는 작은 수보다 작고, 큰 수보다 큰 해를 가지므로 x ≤ -5 또는 x ≥ 2가 해입니다.

정리해볼까요

이차부등식: 모든 항을 좌변으로 이항했을 때 최고차항의 차수가 2차인 부등식

모든 항을 좌변으로 이항
동류항 정리
인수분해
α < β일 때,
(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β

절댓값 기호를 포함한 부등식

<< 수학 1 목차 >>

판별식과 이차부등식의 해

그리드형

절댓값 기호를 포함한 부등식은 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나누어서 계산해요.

이 글에서는 절댓값 기호가 두 개 있을 때의 풀이법이에요. 한 개 있을 때와 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 작을 때로 나눠서 푸는데, 절댓값 기호가 두 개가 있으니까 총 네 가지 경우의 수가 생기겠죠?

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 해봤던 내용이에요. 등호만 부등호로 바뀐 거니까 잘 이해하길 바라요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질의 성질에서 절댓값 기호가 있을 때는 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나눠서 한다고 했죠?

절댓값 기호가 두 개인 부등식에서는 조건의 개수만 많아진 것일 뿐 원리는 같아요.

절댓값 기호를 포함한 부등식은 아래와 같은 순서대로 문제를 풀어요.

절댓값안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
부등식의 해를 구한다.
부등식의 해가 ③에서 적용한 x의 범위 조건에 맞는지 확인
해가 조건을 만족시키는 경우에만 부등식의 해
각 범위에서 구한 모든 해가 문제의 답

|2x - 6| - |x - 6| > 0를 한 번 풀어보죠.

먼저 |2x - 6|부터 보죠.
2x - 6 ≥ 0 → x ≥ 3
2x - 6 < 0 → x < 3

이번에는 |x - 6|을 볼까요?
x - 6 ≥ 0 → x ≥ 6
x - 6 < 0 → x < 6

총 네 가지 경우가 생기는데, 이걸 수직선에 그려보면 아래처럼 돼요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 - 수직선

3과 6 사이에 겹치는 부분이 생기죠? 이 부분은 하나로 합치는 거예요. 원래는 범위가 네 개였는데, 세 개로 줄어든 거죠.

절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 거 기억나나요? 절댓값 안이 0이 되게 하는 숫자들을 경계로 해서 범위를 나누면 돼요. 절댓값 안이 0이 되는 숫자는 3, 6이니까 이 두 수를 이용해서 범위를 구한 것과 같은 거죠.

x < 3, 3 ≤ x < 6, 6 ≤ x의 세 가지 경우의 해를 구해볼까요

x < 3일 때 (2x - 6 < 0, x - 6 < 0)
|2x - 6| - |x - 6| > 0
-(2x - 6) + (x - 6) > 0
-2x + 6 + x - 6 > 0
-x > 0
x < 0
조건에서 x < 3이므로 ∴ x < 0
3 ≤ x < 6일 때 (2x - 6 ≥ 0, x - 6 < 0)
|2x - 6| - |x - 6| > 0
2x - 6 + (x - 6) > 0
2x - 6 + x - 6 > 0
3x - 12 > 0
3x > 12
x > 4
조건에서 3 ≤ x < 6이므로 ∴ 4 < x < 6
x ≥ 6 일 때 (2x - 6 > 0, x - 6 ≥ 0)
|2x - 6| - |x - 6| > 0
2x - 6 - (x - 6) > 0
2x - 6 - x + 6 > 0
x > 0
조건에서 x ≥ 6이므로 ∴ x ≥ 6

세 가지 경우를 나눠서 각 조건에 맞는 해를 구했어요. 이 세 가지 해 모두가 문제의 답이에요. x < 0 or 4 < x < 6 or x ≥ 6이에요. 그런데 4 < x < 6과 x ≥ 6은 합칠 수 있겠죠?

따라서 답은 x < 0 or x > 4예요.

|x + 1| + |3 - x| - 6 > 0의 해를 구하여라.

|x + 1|부터 보죠.
x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
x + 1 < 0 → x < -1

이번에는 |3 - x|을 볼까요?
3 - x ≥ 0 → x ≤ 3
3 - x< 0 → x > 3

총 네 개의 범위가 생기는데, 겹치는 걸 하나로 합치면 x < -1, -1 ≤ x ≤ 3, 3 < x 세 가지 범위가 생겨요.

x < -1 일 때 (x + 1 < 0, 3 - x > 0)
|x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
-(x + 1) + 3 - x - 6 > 0
-x - 1 + 3 - x - 6 > 0
-2x - 4 > 0
2x < -4
x < -2
조건에서 x < -1이므로 ∴ x < -2
-1 ≤ x ≤ 3 일 때 (x + 1 ≥ 0, 3 - x ≥ 0)
|x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
x + 1 + 3 - x - 6 > 0
-2 > 0
해 없음.
x > 3일 때 (x + 1 > 0, 3 - x < 0)
|x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
x + 1 - (3 - x) - 6 > 0
x + 1 - 3 + x - 6 > 0
2x - 8 > 0
2x > 8
x > 4
조건에서 x > 3이므로 ∴ x > 4

세 가지 해가 모두 해이므로 x < -2 or x > 4가 답입니다.

정리해볼까요

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

절댓값안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
부등식의 해를 구한다.
부등식의 해가 ③에서 적용한 x의 범위 조건에 맞는지 확인
해가 조건을 만족시키는 경우에만 부등식의 해
각 범위에서 구한 모든 해가 문제의 답

절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이

<< 고등수학 상 목차 >>

이차부등식

그리드형

절댓값이 들어있는 식은 기본적으로 절댓값 안의 부호가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어요. 해당 조건에 맞게 식을 전개하고 각각의 해를 찾아서 답을 구하죠.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이는 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이와 거의 비슷해요. 방정식이 부등식으로 바뀐 것뿐이에요. 다만, 부등식은 해가 딱 하나로 떨어지지 않아서 방정식보다는 조금 더 어려워요. 수직선을 그려보는 것도 이해하는 데 도움이 될 겁니다.

절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질에서 문제를 어떻게 풀었었나요? 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눴죠? 그리고 각 조건에 맞게 식을 전개해서 해를 구했어요. 각 조건과 구해진 해의 공통부분이 답이 되는데, 조건이 두 개니까 조건별로 나온 해가 모두 답이에요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이도 위와 같은 방법으로 해를 구해요. 여기에 연립부등식, 연립부등식의 풀이를 섞어 놓은 거예요.

|ax + b| > m (m > 0)의 해를 구해볼까요?

ⅰ) ax + b ≥ 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때)
|ax + b| > m
ax + b > m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b > m이죠? (∵ 0 < m < ax + b)

ⅱ) ax + b < 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 작을 때)
|ax + b| > m
-(ax + b) > m
ax + b < -m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b < -m이죠? (∵ ax + b < -m < 0)

결국 |ax + b| > m의 해를 구할 때는 따로 조건을 나누지 않고 ax + b < -m 또는 ax + b > m의 해를 구하면 돼요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 1

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 절댓값 안의 부호의 범위와 상관없이 그냥 구했던 것처럼 여기서도 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.

이번에는 |ax + b| < m (m > 0)일 때를 볼까요?

ⅰ) ax + b ≥ 0일 때
|ax + b| < m
ax + b < m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 0 ≤ ax + b < m이죠? (∵ m > 0)

ⅱ) ax + b < 0일 때
|ax + b| < m
-(ax + b) < m
ax + b > -m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 -m < ax + b < 0이죠? (∵ -m < 0)

이 두 개를 연립해보면 -m < ax + b < m이 돼요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2

여기서도 마찬가지로 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 (a, b, m은 실수, m > 0)
|ax + b| > m → ax + b < -m 또는 ax + b > m
|ax + b| < m → -m < ax + b < m

식에 있는 부등호를 잘 보세요. 이 방향에 따라 해가 달라져요.

다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) |2x + 4| > 8
(2) |x - 2| + 4 < 6
(3) |4x - 2| ≥ 10

절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 크면 해는 -m보다 작고 m보다 커요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 작으면 해는 -m과 m사이고요.

(1) |2x + 4| > 8

절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크네요.

2x + 4 > 8
2x > 4
x > 2

2x + 4 < -8
2x < -12
x < -6

따라서 해는 x < -6 or x > 2

(2) 좌변에 절댓값, 우변에 상수 꼴로 바꿔준 다음 계산해요.

|x - 2| + 4 < 6
|x - 2| < 2

정리했더니 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 작아요.

-2 < x - 2 < 2
0 < x < 4

(3) 부등호가 어떤 건지는 상관없어요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크거나 같으므로 클 때와 똑같은 방법으로 풀면 됩니다.

|4x - 2| ≥ 10

4x - 2 ≤ -10
4x ≤ -8
x ≤ -2

4x - 2 ≥ 10
4x ≥ 12
x ≥ 3

따라서 해는 x ≤ -2 or x ≥ 3

정리해볼까요

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

|ax + b| > m (m > 0) → ax + b < -m 또는 ax + b > m
|ax + b| < m (m > 0) → -m < ax + b < m

연립일차부등식

<< 고등수학 상 목차 >>

절댓값 기호가 포함된 부등식의 풀이 2

그리드형

그냥 부등식이라고만 되어 있다면 이 부등식의 계수가 0일 수도 있고, 아닐 수도 있어요. 그래서 일반적인 부등식의 풀이 방법으로는 풀면 안 돼요. 우리가 공부한 부등식은 일차부등식이었으니까요.

여기서 공부할 부등식 ax > b의 풀이에는 일차부등식일 때와 일차부등식이 아닐 때의 풀이를 모두 함께 적용해야 해서 아주 까다롭죠. 하지만 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능에서 했던 것과 비슷하니까 아주 생소한 내용은 아니에요. 여기에서도 부정과 불능이라는 용어도 그대로 사용해요. 두 가지를 비교하면서 공부하는 것도 좋을 것 같군요.

부등식 ax > b의 풀이

부등식의 해를 구할 때 양변을 미지수의 계수로 나누죠? 그런데 부등식 ax > b에서는 a = 0일 수도 있고 a ≠ 0일 수도 있어요. a ≠ 0이면 알고 있던 대로 양변을 a로 나눠서 풀면 되는데, a = 0이면 양변을 a로 나눠서 계산하면 안 돼요. 그래서 a = 0일 때와 a ≠ 0일 때를 나눠서 구해야 해요

a ≠ 0일 때

ax > 0에서 a ≠ 0이면 그냥 일차부등식이므로 일차부등식의 풀이에 따라 양변을 a로 나눠서 해를 구하면 돼요. 부등식의 성질에서 부등식의 양변을 어떤 수로 나눌 때 양수인지 음수인지에 따라 부등호의 방향이 바뀐다고 했어요. 그래서 a > 0, a < 0일 때 두 가지 경우를 모두 구해야 하죠.

a > 0이면
ax > b
x >
a < 0이면
ax > b
x <

a = 0일 때

a = 0이면 양변을 a로 나눌 수 없어요. 이때는 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능에서 했던 것처럼 b의 부호를 따져서 구해요. 다만 부등식이니까 b > 0, b = 0, b < 0일 때로 나눠요.

b > 0일 때
ax > b
0x > b
좌변 ax = 0인데, 우변 b > 0이므로 우변이 더 커요. 그런데 좌변이 더 크다고 되어 있으므로 만족하는 해가 없죠. (불능)
b = 0일 때
ax > b
0x > b
좌변 ax = 0인데, 우변 b = 0이므로 양변이 같아요. 그런데 좌변이 더 크다고 되어 있으므로 만족하는 해가 없어요. (불능)
b < 0일 때
ax > b
0x > b
좌변 ax = 0이고, 우변 b < 0이므로 x와 상관없이 좌변이 더 커요. 따라서 해는 모든 실수(부정)

b > 0일 때와 b = 0일 때가 해가 모두 불능으로 같네요.

부등식 ax > b의 풀이

x에 대한 부등식 ax + 9 < a² + 3x를 풀어라.

먼저 Ax > B의 꼴로 정리한 다음에 A ≠ 0일 때(A > 0, A < 0)와 A = 0일 때(B > 0, B = 0, B < 0)를 나누어 구해야 해요.

ax + 9 < a² + 3x
(a - 3)x < a² - 9
(a - 3)x < (a + 3)(a - 3)

a - 3 ≠ 0일 때 → a ≠ 3일 때
- a - 3 > 0이면 a > 3
 (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
 x < a + 3
- a - 3 < 0이면 a < 3
 (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
 x > a + 3
a - 3 = 0일 때 → a = 3일 때
a = 3이면 우변 (a + 3)(a - 3) = 0으로 양수, 음수일 때는 해보지 않아도 되네요.
(a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
0x < 0
해가 없다.(불능)

정리해볼까요

부등식 ax > b의 풀이

a ≠ 0일 때
- a > 0이면 x >
- a < 0이면 x <
a = 0일 때
- b > 0이면 불능
- b = 0이면 불능
- b < 0이면 부정

부등식의 성질

<< 수학 1 목차 >>

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

그리드형

부등식의 성질은 자주 해왔던 거니까 잊어버리지 않았을 거예요. 여기서는 부등식의 성질을 한 번 더 정리할게요. 부등식의 성질을 이용해서 계산하는 문제보다는 개념을 이해하고 있는지 물어보는 문제가 많이 나오니까 내용을 완전히 이해하지 못하면 문제를 풀 수가 없어요. 잘 정리해놓으세요.

그리고 방정식의 해를 구할 때 방정식의 양변을 서로 더하고 뺐었죠? 부등식에서도 양변을 서로 더하거나 뺄 수 있어요. 방정식에서의 가감법과 차이가 있는데, 부등식끼리의 사칙연산을 어떻게 하는지 알아보죠.

부등식의 성질

중학교 때 부등식의 성질에 대해서 공부했어요. 고등학교에서의 부등식의 성질도 똑같아요.

허수와 허수단위에서는 대소관계를 얘기할 수 없으니까 부등식의 성질에서 사용하는 수는 모두 실수에요. 그래서 부등식의 성질은 실수의 대소관계에 대한 기본 성질과도 같아요.

세 실수 a, b, c에 대해서 아래와 같은 성질이 있어요.

a > b, b > c ⇔ a > c
a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
a > b이고 c > 0 ⇔ ac > bc,
a > b이고 c < 0 ⇔ ac < bc,

이해 안 되는 건 없죠?

부등식의 성질에서 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나눌 때만 부등호의 방향이 바뀌고 나머지는 부등호의 방향이 바뀌지 않아요.

부등호의 방향이 바뀌는 경우가 또 있는데요. 부호가 같은 두 수의 역수를 취할 때 부등호의 방향이 바꿔요. 하나는 양수고 하나는 음수라면 바뀌지 않아요. 양수인 쪽이 무조건 크니까요.

또 음수인 양변을 제곱할 때도 부등호의 방향이 바뀌어요.
-2 > -3 → (-2)² < (-3)²

부등식끼리의 덧셈과 뺄셈

방정식의 양변을 더하거나 뺄 수 있죠? 부등식에서도 양변을 더하거나 빼요.

a < x < b, c < y < d 두 부등식을 볼까요?

먼저 덧셈부터 알아보죠.

두 부등식의 왼쪽에 있는 a < x, c < y만 보죠.

a < x 의 양변에 y를 더하면 a + y < x + y
c < y의 양변에 a를 더하면 a + c < a + y
따라서 a + c < x + y (∵ 부등식의 성질 1번)

이번에는 부등식의 오른쪽 x < b, y < d를 보죠.

x < b 의 양변에 y를 더하면 x + y < b + y
y < d의 양변에 b를 더하면 y + b < d + b
따라서 x + y < b + d (∵ 부등식의 성질 1번)

정리해보면 a < x < b, c < y < d를 더하면 a + c < x + y < b + d 가 돼요. 부등식끼리 더할 때는 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하는 거죠.

부등식끼리의 차를 볼까요? x - y = x + (-y)로 바꿔서 계산할 수 있죠?

c < y < d 에 (-1)을 곱하면 부등호의 방향이 반대로 바뀌어요. -d < -y < -c

a < x < b와 -d < -y < -c를 더하면 a - d < x - y < b - c가 돼요.

부등식끼리의 사칙연산 - 합과 차

두 부등식을 세로로 놓고 계산하면 편해요. 덧셈은 그냥 아래로 더하고, 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠.

1 ≤ x < 3, 5 < y ≤ 10일 때 다음의 범위를 구하여라.
(1) x + y
(2) x - y

여기서 주의해야 할 건 등호가 있는 것과 등호가 없는 걸을 잘 보세요. 1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있어요. 따라서 이 두 개를 연산한 결과에만 등호를 넣어주고 다른 경우에는 등호를 쓰면 안 돼요.

(1) 덧셈은 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하면 돼요.

1 + 5 < x + y < 3 + 10
6 < x + y < 13

(2) 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠?

1 - 10 ≤ x - y < 3 - 5
-9 ≤ x - y < -2

1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있으니까 이 둘을 연산한 결과에 등호를 넣어줬어요.

정리해볼까요

부등식의 성질: 세 실수 a, b, c에 대하여

a > b, b > c ⇔ a > c
a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
a > b이고 c > 0 ⇔ ac > bc,
a > b이고 c < 0 ⇔ ac < bc,

부등식끼리의 사칙연산

a < x < b, c < y < d일 때
a + c < x + y < b + d
a - d < x - y < b - c

부정방정식

<< 수학 1 목차 >>

부등식 ax + b > 0의 풀이

그리드형

2013년 이전 고등학교 1학년 수학목차입니다. (2012년, 2011년, 2010, …… 등에도 해당)

2014년 이후 고등학교 1학년은 2014년 고1 수학 목록을 참고하세요.

그리드형

실수라는 수를 알아봈으니까 두 실수중에 어떤 것이 더 큰지 알수도 있어야겠죠? 기본적으로 실수 = 유리수 + 무리수이므로 실수의 대소관계 = 유리수의 대소관계 + 무리수의 대소관계에요. 여기까지는 알고있죠?

거기에 새로운 걸 하나 추가할꺼에요. 새로운 방법이긴 하지만 그게 별로 어렵지는 않아요. 아주 간단히 뺄셈을 하면 되거든요.

어떻게 하면 뺄셈으로 실수의 대소관계를 알 수 있는 지와 뺄셈으로 안될 때는 또 어떤 방법을 이용하는지도 공부해보죠. 참고로 뺄셈으로 할 수는 있는데, 현재 단계에서는 뺄셈 자체가 안되는 경우가 있어서 다른 방법을 사용하는 거에요.

실수의 대소관계

실수의 대소관계는 유리수의 대소관계 + 제곱근의 대소관계에요.

실수의 대소관계에서 제일 먼저 해야할 일은 부호를 비교하는 거예요. 음수 < 0 < 양수의 순서죠. 숫자를 볼 필요도 없이 부호만 가지고도 대소를 알 수 있어요.

만약에 부호가 양수라면 숫자가 큰 게 커요. 무리수라면 근호안의 숫자가 큰 게 크죠. 부호가 모두 음수라면 숫자가 작은 게 크죠. 무리수는 근호안의 숫자가 작은 음수가 더 커요.

이게 우리가 알고 있는 수의 크기 비교죠.

이번에는 다른 방식으로 접근해 볼꺼에요.

a, b가 실수일 때
a - b > 0 이면 a > b
a - b = 0 이면 a = b
a - b < 0 이면 a < b

간단한 내용이에요. a - b > 0 은 부등호가 있는 부등식이잖아요. -b를 이항하면 a > b가 되죠? 반대로 a > b에서 b를 좌변으로 이항하며 a - b > 0이 되고요. 둘이 왜 같은 뜻인지 알겠죠?

두 수의 차를 이용해서 실수의 대소관계를 알아볼 수 있어요. 어떤 두 수가 있다면 한 수에서 다른 수를 빼서 결과의 부호를 보는 거죠. 결과가 양수이면 앞의 수가 크고, 0이면 둘이 같고, 음수이면 뒤의 수가 더 커요.

5와 3이 있어요. 5 - 3 > 0이므로 앞에 있는 5가 뒤에 있는 3보다 큰 걸 알 수 있지요. 5와 8에서는 5 - 8 < 0이므로 뒤에 있는 8이 더 크죠.

제곱근의 근삿값을 이용하는 방법도 있어요. 다른 근삿값은 상관없지만 가장 많이 사용하는 아래 세 가지 경우는 외워두는 게 편리해요.

1 + 와 의 크기를 비교해볼까요? 차를 이용하면 (1 + ) - 이 되는데 이거는 0보다 큰 지 작은 지 알 수가 없어요. 이 때 근삿값을 이용하세요.
1 + ≒ 1 + 1.414 = 2. 414
≒ 2.236
따라서 1 + 가 더 크네요.

한 실수에서 다른 실수를 뺏을 때, 실수의 유리수 부분이 없어지거나 무리수 부분(제곱근)이 없어질 때는 차를 이용하면 좋고, 그렇지 않은 경우에는 근삿값을 대입해서 대소관계를 알아보는 게 좋아요. 제곱근의 뺄셈은 나중에 공부할 텐데, 그 때까지 덮어두죠.

실수의 대소관계
실수의 부호를 보고 판단
두 실수의 차의 부호를 이용
제곱근의 근삿값을 대입

다음 괄호 안에 알맞는 부등호를 넣어라.
(1) 3 - ( ) - 3
(2) 2 + ( ) + 2
(3) 5 ( ) 3 +

실수의 대소관계를 파악할 때 첫번째는 두 실수의 부호를 먼저 살펴보는 거에요. 두 번째는 한 실수에서 다른 실수를 빼서 그 결과의 부호를 보고 실수의 대소관계를 알 수 있어요. 결과가 양수이면 앞에 게 큰 거, 결과가 음수이면 뒤에 것이 큰 거에요. 세번째는 근삿값을 직접 대입해서 그 결과를 보고 알 수도 있고요.

(1)번은 두 실수를 빼도 유리수 부분이 없어지지않으니까 대신 근삿값을 대입해보죠.

3 - ≒ 3 - 1.732 = 1.268
- 3 ≒ 1.732 - 3 = -1.268

3 - > - 3

(2)번은 차를 이용해보죠.

2 + - ( + 2)
= 2 + - - 2
= -
≒ 1.732 - 1.414
= 0.318 > 0

따라서 2 + > + 2

(3)번도 빼보죠.

5 - (3 + )
= 5 - 3 -
= 2 -
≒ 2 - 1.414
= 0.586 > 0

따라서 5 > 3 +

정리해볼까요

실수의 대소관계

실수의 부호를 보고 판단
두 실수의 차의 부호를 이용
- a - b > 0 이면 a > b
- a - b = 0 이면 a = b
- a - b < 0 이면 a < b
제곱근의 근삿값을 대입

실수와 수직선, 제곱근을 수직선 위에 나타내기 <<

중3 수학 목차

>> 제곱근의 곱셈과 나눗셈

그리드형

부등식이 뭔지, 부등식은 어떻게 푸는지 알아봤다면 이제 부등식을 실제 어떤 방법으로 활용하는지 배워봐야죠.

사실, 많은 분이 "수학 배워서 어디 써먹느냐?" 하지만 부등식의 활용만큼은 실생활에서도 많이 사용할 수 있어요. 휴대전화 요금제를 정할 때라든가 두 곳의 가게 중에서 더 싼 곳을 찾을 때도 부등식은 아주 유용합니다.

부등식의 활용은 큰 틀에서는 방정식의 활용과 같아요. 미지수 정하고 식 세우고, 푸는 순서로 이루어집니다.

일차부등식과 연립부등식에서 나오는 문제의 유형은 같아요. 식의 개수만 차이가 있을 뿐이에요.

부등식의 활용

미지수 결정
문제에서 구하고자 하는 것을 x로 놓는다.
문제의 뜻에 맞게 식 세우기
문제의 조건에 맞는 식을 만드는 데 연립부등식이라면 식을 두 개 만드세요.
부등식 풀기
부등식의 성질을 이용해서 부등식을 풀어서 해를 구합니다.
문제의 뜻에 맞는 해 선택
문제에서 요구하는 해를 찾습니다. 문제에서 해의 범위를 준 경우는 물론 개수나 사람 수 등은 자연수가 되는 것에도 주의하세요.

한가지 주의해야 할 것은 등호에 관한 건데요. 식을 그냥 주면 크게 신경 쓰지 않아도 되지만, 식을 만들어야 할 때는 등호가 들어가야 하는지 들어가면 안 되는지를 잘 파악해야 해요.

부등식의 활용 유형

거리, 속력, 시간에 관한 문제

거리, 속력, 시간에 관한 문제는 방정식, 부등식을 가리지 않고 나오는 활용문제에요. 공식은 반드시 외워야 해요.

거리, 속력, 시간 공식

농도에 관한 문제

농도 문제 역시 방정식, 부등식을 가리지 않고 나오는 문제에요.

두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때

(A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
(A + B) 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
(A + B) 의 농도 = (A + B)의 소금의 양 ÷ (A + B) 소금물의 양 × 100

어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.

소금물 A를 가열했을 때(증발시켰을 때)

가열한 후의 소금양 = 가열 전 의 소금양
가열한 후의 소금물의 양 = 가열 전 소금물의 양 - 증발한 물의 양

예금에 관한 문제

예금에 관한 문제에서 놓치지 말아야 할 것은 처음에 가지고 있는 예금이에요. x개월 후의 예금은 (처음 예금 + x 개월 동안 입금한 금액)이에요.

현재 수정이의 예금 통장에는 12,500원, 진리의 예금 통장에는 14,000원이 예금되어 있다. 다음 달부터 매월 수정이는 1,200원씩, 진리는 900원씩 예금할 때 수정이가 예금한 돈이 진리가 예금한 돈보다 많아지는 것은 몇 개월째부터인지 구하여라.

몇 개월째부터인지 구하라고 했으니까 월을 x라고 놓아야겠네요.

수정이는 현재 12,500원을 가지고 있고, 매달 1,200원씩 예금하면, x개월 뒤에 수정이의 총 예금은 (12500 + 1200x)원이죠.
진리는 현재 14,000원을 가지고 있고, 매달 900원씩 예금했을 때, x개월 뒤의 진리의 예금은 (14000 + 900x)원이 되겠네요.

수정이의 예금이 진리의 예금보다 많아진다고 했으니까 12500 + 1200x > 14000 + 900x가 되어야 해요.

12500 + 1200x > 14000 + 900x
125 + 12x > 140 + 9x
12x - 9x > 140 - 125
3x > 15
x > 5

5보다 커야 되니까 6개월 후에 수정이의 예금이 진리의 예금보다 많아지겠네요.

물건의 개수에 관한 문제

두 개의 물건을 샀을 때, 총 수량이 나오는 경우에는 한 물건의 개수를 x개라고 하면, 다른 물건의 개수는 (총수량 - x)가 되는 걸 이용해요.

4,500원으로 한 자루에 150원인 연필과 200원인 볼펜을 합하여 25자루를 사려고 한다. 볼펜을 연필보다 많이 사려고 할 때, 볼펜은 몇 자루를 사면 되는지 구하여라.

볼펜을 몇 자루 살 수 있는지를 물어봤으니까 볼펜의 개수를 x라고 할게요. 총 25자루를 산다고 했으니까 연필은 (25 - x) 자루가 되겠네요. 그런데 볼펜의 개수가 연필의 개수보다 많이 사려고 하니까 x > 25 - x라는 식을 세울 수 있어요.

연필과 볼펜을 사는데 드는 총비용은 200x + 150(25 - x)원일 텐데 가진 돈이 4,500원이니까 4,500원보다는 적어야겠죠. 단, 이때 4,500원이 되어도 괜찮으니까 등호가 있어도 되겠군요.
200x + 150(25 - x) ≤ 4500

두 개의 부등식이 만들어졌어요. 연립부등식 문제네요.

x > 25 - x 200x + 150(25 - x) ≤ 4500
2x > 25 4x + 3(25 - x) ≤ 90
x > 12.5 4x + 75 - 3x ≤ 90
x ≤ 15

12. 5 < x ≤ 15이고 개수는 자연수여야 하므로, 볼펜은 13, 14, 15 자루를 살 수 있어요.

과부족 문제

과부족 문제는 부등식의 풀이에서 어려운 유형이에요.

어느 반 학생들이 의자에 앉으려고 한다. 한 의자에 4명씩 앉으면 7명이 앉지 못하고, 6명씩 앉으면 의자 2개가 남을 때 의자의 개수는 최대 몇 개인지 구하여라.

의자의 개수를 구하라고 했으니까 x라고 놓을게요.

의자의 개수도 모르지만 학생 수도 몰라요. 그러니까 학생 수를 먼저 구해보죠. "한 의자에 4명씩 앉으면 7명이 앉지 못하고"에서 학생 수를 알 수 있어요. (4x + 7)명

이제부터가 중요해요. 한 의자에 6명씩 앉으면 2개가 남는다고 했는데요. 이 말이 꼭 모든 의자에 6명씩 앉았다는 뜻은 아니에요. 학생이 앉은 마지막 의자에는 6명을 다 채우지 못할 수도 있거든요. 한 명이 앉아있을 수도 있고 두 명이 앉아있을 수도 있고, 6명이 다 앉아있을 수도 있어요. 또 한 명이 앉아있다 하더라도 의자를 사용했으니까 남은 의자는 아니겠죠?

마지막 의자를 뺀 다른 의자에는 모두 6명씩 앉았을 테니까 그 학생 수는 6(x - 3)이 될 거예요. x - 3에서 3은 남은 의자 2개, 마지막 의자 1개를 나타냅니다.

마지막 의자에 한 명이 앉았을 때는 학생 수가 가장 적을 때, 6명이 앉아있으면 학생 수가 가장 많을 때죠? 그런데 학생 수는 4x + 7이니까 이걸 식으로 나타내면
6(x - 3) + 1 ≤ 4x + 7 ≤ 6(x - 3) + 6

6(x - 3) + 1 ≤ 4x + 7 4x + 7 ≤ 6(x - 3) + 6
6x - 18 + 1 ≤ 4x + 7 4x + 7 ≤ 6x - 18 + 6
2x ≤ 24 -2x ≤ -19
x ≤ 12 x ≥ 9.5

9.5 ≤ x ≤ 12 이므로 의자의 최대 개수는 12개가 되네요.

다시 강조하지만 과부족 문제에서는 마지막 의자의 학생 수를 계산하는 부분에 주의하세요.

연속하는 세 수에 관한 문제

연속하는 세수에서는 가운데 수를 x로 놓으면 돼요.

연속하는 세 자연수(정수): x - 1, x, x + 1
연속하는 세 홀수(짝수): x - 2, x, x + 2

정리해볼까요

부등식의 활용

문제에서 구하고자 하는 것을 x로 놓는다.
문제에 맞게 부등식을 세운다.
부등식을 푼다.
문제의 조건에 맞는 해를 찾는다.

여러가지 연립부등식 <<

중2 수학 목차

>> 일차함수의 뜻

그리드형

부등식

공통수학 1

공통수학 2

수학Ⅰ

수학Ⅱ

삼각부등식

그래프의 교점을 이용하는 방법

단위원을 이용하는 방법

직각삼각형을 이용하는 방법

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