부등식
여러가지 연립부등식
연립부등식의 풀이는 공통해를 찾는 과정이 중요해요. 수직선을 통해서 충분히 연습해봐야 합니다.
연립방정식에서 A = B = C 꼴의 연립방정식을 푼 기억이 나죠? 어떻게 풀었나요? A = B, B = C, A = C 중 두 개를 선택해서 연립방정식으로 풀었었죠?
이렇게 생긴 게 연립부등식에서 있어요. A < B < C인데요. 방법이 약간 달라요.
이거는 무조건 A < B, B < C를 연립해서 풀어야 해요. A < C라는 식을 만들어서는 안 됩니다. A < C라는 식에서는 A와 B, B와 C 사이의 대소를 알 수가 없잖아요. 그래서 엉뚱한 답이 나오거든요.
A < B < C → A < B and B < C
3x - 2 ≤ 2x + 4 < 20 + 4x의 해를 구하여라.
A < B < C 꼴이기 때문에 A < B와 B < C로 나누어서 연립부등식을 만들어야 해요.
3x - 2 ≤ 2x + 4와 2x + 4 < 20 + 4x로 나눌 수 있겠군요.
3x - 2 ≤ 2x + 4 2x + 4 < 20 + 4x
3x - 2x ≤ 4 + 2 2x - 4x < 20 - 4
x ≤ 6 -2x < 16
x > -8
해는 x ≤ 6과 x > -8의 공통부분인 -8 < x ≤ 6이에요.
해가 특별한 연립부등식
미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 묶은 연립방정식에서는 보통 해가 한 쌍이었어요. 그런데 해가 특수한 연립방정식에서는 해가 무수히 많거나 하나도 없는 경우가 있었죠?
연립부등식에서도 보통은 해가 일정한 범위를 갖게 나오는데요, 그렇지 않은 경우가 있어요. 해가 한 개일 때도 있고 해가 하나도 없을 때도 있어요.
수직선으로 표현해보면 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.
아래 그림에서는 두 부등식의 해의 공통부분이 a라는 수로 딱 떨어져요. 이때는 x = a라는 하나의 해만 갖게 돼요.
다음에는 해가 하나도 없을 때가 있어요. 즉 공통부분이 하나도 없다는 거지요. 빈 동그라미와 까맣게 칠해진 동그라미를 잘 구별해야 해요.
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연립부등식에 대해서 배워볼까요? 연립이라는 단어는 연립방정식에서 이미 들어본 단어입니다. 방정식을 두 개 이상 묶어놓은 것이었죠. 연립부등식은 부등식을 두 개 이상 묶어놓은 걸 말해요.
연립방정식의 해는 묶여있는 방정식들을 모두 만족시키는 미지수의 값이었죠? 마찬가지로 연립부등식의 해는 묶여있는 모든 부등식을 만족시키는 해에요. 부등식들의 해의 공통부분을 찾으면 돼요.
연립방정식과 연립부등식의 차이를 알아보죠.
우리가 배운 연립방정식은 미지수가 x, y 두 개가 있었어요. 하지만 연립부등식은 미지수가 x 하나에요.
연립방정식을 풀 때는 가감법, 대입법을 이용해서 풀었는데, 이 방법들은 기본적으로 미지수의 개수를 줄이는 방법이에요. 그런데 연립부등식은 미지수가 하나니까 따로 특별한 방법이 필요한 게 아니에요.
연립부등식은 미지수도 하나고, 특별한 방법이 필요한 것이 아니라서 연립방정식보다 조금 더 쉬워요.
연립부등식의 풀이
연립방정식에서는 두 식을 한꺼번에 이용해요. 두 식을 더하거나 한 식을 다른 식에 대입하거나요.
하지만 연립부등식은 두 식을 한꺼번에 이용하지는 않아요. 식의 독립성(?)을 유지해요. 부등식별로 따로 해를 구한 다음에 공통인 부분을 찾아서 표시합니다.
- 각 부등식의 해를 구한다.
- 두 부등식의 해의 공통부분을 찾는다.
연립부등식 3x - 4 < 2x + 3 와 3x - 6 ≥ 2x - 1을 풀어라.
3x - 4 < 2x + 3 3x - 6 ≥ 2x - 1
3x - 2x < 3 + 4 3x - 2x ≥ -1 + 6
x < 7 x ≥ 5
각 부등식의 해를 구했으니까 이제 공통인 부분을 찾아야 하는데, 수직선으로 표시해보면 쉽게 알 수 있어요.
연립부등식의 해 - 수직선으로 구하기
제일 오른쪽에서 보라색으로 표시된 부분이 바로 두 부등식의 공통부분 즉, 연립부등식의 해에요. 5 ≤ x < 7
각각의 해를 수직선에 그린 뒤 두 수직선을 합치면 되는데, 실제로 문제를 풀 때는 수직선 하나에 함께 그리세요. 높이를 다르게 해서 구분하면 되니까요.
나중에 익숙해지면 수직선을 그리지 않고 바로 구할 수도 있어요.
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이번에 공부할 여러 가지 일차부등식은 복잡한 일차방정식의 풀이, 복잡한 연립방정식의 풀이에서 배웠던 내용과 비슷해요.
복잡한 연립방정식에서 우리 어떻게 했죠? 괄호가 있으면 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 계수가 소수나 분수이면 적당한 수를 곱해서 정수로 바꿔줬었죠? 이번에 배울 내용도 바로 그거에요.
복잡한 식을 계산하기 쉽고 간단하게 방법을 공부할 거예요. 복잡한 식을 간단하게 바꾼 다음에 기존에 알고 있던 방법대로 일차부등식을 풀면 되지요.
괄호가 있는 일차부등식 - 분배법칙을 이용해서 전개
괄호가 있는 일차부등식은 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 동류항끼리 계산해서 해를 구해요.
3(x + 2) < 2(x - 3) + 1의 해를 구하여라.
괄호가 있으니까 전개해보죠.
3(x + 2) < 2(x - 3) + 1
3x + 6 < 2x - 6 + 1
3x - 2x < -6 + 1 - 6
x < -11
계수가 분수인 일차부등식 - 분모의 최소공배수를 곱한다.
계수가 분수인 일차부등식에는 분수의 분모의 최소공배수를 양변에 곱해주세요. 계수를 정수로 만들어 계산하는 거예요.
분수의 분모가 2, 3, 4, 3으로 최소공배수는 12네요. 양변에 12를 곱해보죠.
계수가 소수인 일차부등식 - 10의 거듭제곱을 곱한다.
계수가 소수이면 10의 거듭제곱(10, 100, 1000)을 곱하여 계수를 정수로 바꿔서 계산합니다.
0.1x + 0.06 < 0.03x - 0.5의 해를 구하여라.
소수 둘째 자리까지 있는 계수가 있으니까 100을 곱해줘야 소수가 없어지고 정수만 남겠네요. 양변에 100을 곱해보죠.
0.1x + 0.06 < 0.03x - 0.5
100(0.1x + 0.06) < 100(0.03x - 0.5)
10x + 6 < 3x - 50
10x - 3x < -50 - 6
7x < -56
x < -8
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일차부등식의 풀이
부등식, 부등식의 뜻, 부등식의 성질에서 부등식이 무엇인지 부등식은 어떤 성질이 있는지 알아봤어요.
이제는 부등식의 성질을 이용해서 부등식의 해를 구해볼 거예요.
우리가 공부할 건 부등식 중에서도 일차부등식이에요. 일차부등식 뭔지 알 것 같죠? 일차방정식에서 "일차"가 뭘 뜻하는지 알고 있잖아요. 일차부등식에서도 같아요. 모든 항을 좌변으로 옮기고 우변에 0을 둔 상태에서 미지수의 차수가 일차인 부등식을 일차부등식이라고 해요.
ax + b < 0 or ax + b ≤ 0 or ax + b > 0 or ax + b ≥ 0 (단, a ≠ 0)
일차방정식의 풀이
먼저 일차방정식의 풀이를 한 번 정리해보죠.
일차방정식 어떻게 풀었나요? 미지수가 있는 항은 좌변으로 상수항은 우변으로 이항이라는 걸 해요. 그리고 미지수의 계수로 양변을 나눠서 미지수 x를 구하죠?
일차방정식 4x + 5 = 2x + 3의 해를 구하여라.
4x + 5 = 2x + 3
4x - 2x = 3 - 5
2x = -2
x = -1
일차부등식의 풀이
일차부등식도 일차방정식처럼 좌변에 미지수가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항하고 미지수의 계수로 양변을 나눠서 해를 구해요.
중요한 차이가 있다면 미지수의 계수로 양변을 나눌 때 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다는 거예요.
일차부등식 x - 3 > 5x + 5의 해를 구하여라.
x - 3 > 5x + 5
x - 5x > 5 + 3 (∵ 좌변에 x 항, 우변에 상수항이 오도록 이항)
-4x > 8 (∵ 좌변과 우변을 각각 동류항 정리)
x < -2 (∵ 미지수의 계수로 양변을 나눔. 계수가 음수이면 부등호 방향이 바뀜)
일차부등식의 풀이는 부등식의 성질에서 나온 것처럼 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 것만 주의하면 일차방정식의 풀이법과 완전히 같아요.
일차부등식의 해와 수직선
방정식에서는 그 해가 x = 2처럼 하나였기 때문에 그냥 쓰면 되는데, 부등식의 해는 좀 다른 모양이죠? x<2는 1도 되고 0도 되고 -1도 되고, 
그래서 그냥 쓰는 것도 좋지만 그림으로 나타내는 방법도 있어요. 수직선 위에 표시하는 방법인데요.
- 일단 수직선을 가로로 하나 그어요.
- 그리고 부등식을 푼 해의 숫자를 적습니다. 그다음 숫자에 작은 동그라미를 그리세요. 이때 부등호가 <, >면 그냥 동그라미를, ≤, ≥면 까만 동그라미를 그리세요.
- 동그라미에서 위쪽으로 직선을 그립니다. 그리고 가로선을 하나 더 그을 건데요, 부등호가 <이면 왼쪽으로 >이면 오른쪽으로 선을 그으세요.
- 위에서 그린 선과 처음에 그었던 수직선 사이의 부분을 색칠(빗금)하세요.
x<2를 수직선에 나타내는 방법이에요. 부등호가 <이기 때문에 2위의 동그라미는 색칠되어 있지 않아요. 그리고 미지수가 2보다 작기 때문에 왼쪽으로 선을 그었어요. 2보다 작은 수인 1, 0, -1 등이 2보다 왼쪽에 있으니까 선을 왼쪽으로 긋는 거예요.
아래는 x ≥ 4를 수직선에 나타내는 방법이에요. 부등호가 ≥라서 4위의 동그라미에 색칠했고요. x가 4보다 크니까 오른쪽으로 선을 그었어요.
해를 수직선에 그리는 방법뿐 아니라 그림을 보고 해를 알아내는 것도 중요해요. 위 그림을 보고 x ≥ 4를 나타내는 것이라는 걸 알 수 있어야 한다는 얘기에요.
2x - 3 ≤ 5x - 9의 해를 구하고, 수직선에 나타내어라.
2x - 3 ≤ 5x - 9
2x - 5x ≤ -9 + 3
-3x ≤ -6
x ≥ 2
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부등식의 성질
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부등식의 성질
부등식이란 무엇인지 이해하셨나요?
부등식을 이해할 때 등식과 비교해서 이해하면 좀 더 쉽게 이해할 수 있어요. 등식과 부등식은 이름에서 알 수 있듯이 사촌(?) 관계에요. 등호 대신 부등호를 사용하는 게 부등식이죠.
부등식과 등식이 비슷한 부분이 있는데, 같은 부분은 그대로 이해하면 되고, 다른 부분만 조금 더 생각하면 돼요. 두 가지 빼면 등식의 성질과 완전히 같아요. 등식의 성질을 다 알고 있겠지만 한 번 더 정리해보죠.
등식의 성질
- 등식의 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
a = b이면 a + c = b + c - 등식의 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
a = b이면 a - c = b - c - 등식의 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
a = b이면 ac = bc - 등식의 양변을 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
a = b이면 a ÷ c = b ÷ c (c ≠ 0)
등식에서는 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누어도 등식은 성립하는 성질이 있어요. 부등식에도 비슷한 성질이 있어요.
부등식의 성질
부등식의 양변에 똑같은 수를 더할 때: 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
8 > 4라는 부등식을 이용해보죠.
위 부등식의 양변에 똑같이 2를 더해볼까요? 8 + 2 > 4 + 2는 10 > 6이 되어서 부등호의 방향이 그대로예요. 양변에 음수를 더해볼까요? 8 + (-2) > 4 + (-2)을 하면 6 > 2이 되어서 부등호의 방향은 역시 바뀌지 않아요.
부등식의 양변에서 똑같은 수를 뺄 때: 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
이번에는 양변에서 같은 수를 빼보죠. 2를 빼 볼게요. 8 - 2 > 4 - 2는 6 > 2가 되어서 부등호가 그대로예요. 음수를 빼 볼게요. 8 - (-2) > 4 - (-2)은 10 > 6이 되어서 마찬가지로 부등호가 그대로군요.
부등식의 양변에 똑같은 수를 곱할 때: 양수를 곱하면 그대로, 음수를 곱하면 바뀐다.
자 이번에는 같은 수를 곱해볼게요. 8 × 2 > 4 × 2은 16 > 8이 되어서 부등호가 그대로예요. 음수를 곱해보죠. 좌변은 8 × (-2) = -16, 우변은 4 × (-2) = -8이 돼요. 부등호가 어떻게 되어야 하죠? -16 < -8처럼 부등호가 바뀌어야 참이죠?
부등식의 양변을 똑같은 수로 나눌 때: 양수로 나누면 그대로, 음수로 나누면 바뀐다.
나누기를 해보죠. 8 ÷ 2 > 4 ÷ 2 는 부등호 방향이 그대로예요. 음수인 (-2)로 나눠볼까요? 8 ÷ (-2)과 4 ÷ (-2) 중 어떤 게 더 큰가요? -4 < -2가 되어야 참이 되네요.
위의 내용을 다 이해했다면 이것만 기억하세요.
부등식의 성질
부등식의 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나눌 때만 부등호의 방향이 바뀐다. 그 외에는 그대로이다
a < b일 때 다음 괄호에 알맞은 부등호를 넣어라.
(1) a+5 ( ) b+5
(2) a-3 ( ) b-3
(3) 10a ( ) 10b
(4) -2a ( ) -2b
(5) -5a + 9 ( ) -5b + 9
(1)에서 a < b 이고, 양변에 같은 수인 5를 더했으므로 부등호의 방향은 바뀌지 않고, 그대로 즉, a + 5 < b + 5가 되고요.
(2)도 마찬가지로 양변에서 같은 수를 뺐으므로 부등호의 방향이 그대로예요. a - 3 < b - 3
(3)은 양변에 양수인 10을 곱했으니까 부등호의 방향이 그대예요. 10a < 10b
(4)는 양변에 음수인 -2를 곱했어요. 그러니까 부등호의 방향이 바꿔야겠죠? -2a > -2b
(5)에는 항이 두 개가 되었는데, a, b의 계수가 바뀐 것 즉, -5를 곱해준 계산이 먼저예요. 음수인 -5를 곱했으니 부등호가 바뀌겠죠? -5a > -5b가 돼요. 거기에 양변에 9를 더했으니까 부등호의 방향은 그대로 즉, -5a + 9 > -5b + 9가 돼요.
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부등식, 부등식의 뜻
이제부터 부등식에 대해서 공부할 거예요.
부등식을 공부하기 전에 먼저 1학년 때 공부했던 등식을 한 번 짚고 넘어갈게요.
등식이라는 건 등호(=)를 가운데 두고, 등호 양쪽에 숫자와 식을 써서 양쪽이 서로 같음을 나타내는 식이죠.
부등식은 등호 대신에 부등호 (>, <, ≥, ≤)를 가운데 두고 양쪽에 숫자와 식을 써서 크기를 비교하는 식이에요. 부등호의 사용에 대해서는 1학년 때 아주 잠깐 공부했었어요.
등식에서 등호 왼쪽에 있는 숫자와 식을 좌변이라고 하고 오른쪽에 있는 식을 우변이라고 해요. 부등식에서 똑같이 부등호의 왼쪽에 있는 식과 문자를 좌변이라고 하고 오른쪽에 있는 숫자와 식을 우변이라고 해요. 또 좌변과 우변을 한꺼번에 양변이라고 불러요.
| 등식 | 부등식 |
|---|---|
| = | > < ≥ ≤ |
| 서로 같다 | 크다, 작다, 크거나 같다, 작거나 같다. |
| 2 = 2 | 3 > 2 |
| x = 2 | x > 2 |
| x + 4 = 2 | x + 4 > 2 |
부등식의 표현
등식은 크기가 같은 것만 있어서 표현하기가 쉬워요. 하지만 부등호는 네 가지나 있으니까 그 각각의 부등호가 나타내는 뜻을 정확히 이해하는 게 중요해요.
| 표현 | A 기준 | B 기준 |
|---|---|---|
| A < B | A는 B보다 작다 A는 B 미만 |
B는 A보다 크다 B는 A 초과 |
| A > B | A는 B보다 크다 A는 B 초과 |
B는 A보다 작다 B는 A 미만 |
| A ≤ B | A는 B보다 작거나 같다 A는 B 이하 A는 B보다 크지 않다. |
B는 A보다 크거나 같다 B는 A 이상 B는 A보다 작지 않다 |
| A ≥ B | A는 B보다 크거나 같다 A는 B 이상 A는 B보다 작지 않다. |
B는 A보다 작거나 같다 B는 A 이하 B는 A보다 크지 않다 |
특히 "크지 않다"와 "작지 않다"에 주의하세요.
다음을 부등식으로 나타내시오.
(1) 어떤 수의 3배는 10보다 작다.
(2) 어떤 수의 7배에 2를 더한 것은 30보다 크지 않다
(1)에서 어떤 수를 모르니까 x라고 하면 어떤 수의 3배는 3x라고 할 수 있어요. 3x가 10보다 작으니까 부등호는 <를 사용해야겠네요. 그래서 답은 3x < 10이군요.
(2)는 마찬가지로 어떤 수의 7배니까 7x, 여기에 2를 더하면 7x + 2에요. 그런데 크지 않다는 건 뭘 뜻하죠? 작거나 같은 거예요. 그래서 부등호는 ≤를 써야겠죠. 7x + 2 ≤ 30이 되겠네요.
부등식의 참, 거짓
예를 들어서 3 > 2라는 부등식이 있어요. 이 부등식에서 좌변과 우변의 크기비교가 제대로 되었다면 이 부등식은 참이에요. 이 부등식은 참이네요.
그럼 3 ≥ 2라는 부등식은 어떨까요? 역시 참이네요.
3 < 2라는 부등식을 보죠. 3은 2보다 큰데 부등호는 "작다"를 나타내는 <가 쓰여 있네요. 부등식은 틀렸어요. 그래서 이때는 거짓이라고 해요.
부등식의 해
부등식의 해는 방정식의 해처럼 부등식이 참이 되게 하는 미지수의 값을 말해요.
부등식을 푼다는 말은 부등식이 참이 되게 하는 값, 즉 해를 구한다는 뜻이고요. 방정식에서도 사용했던 용어들이니 어렵지는 않죠?
부등식 x - 4 < 2 의 해를 모두 구하여라. (단, x는 자연수)
x가 자연수라고 했으니 x = 1부터 식에 대입해 보죠.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 식 | -3 < 2 | -2 < 2 | -1 < 2 | 0 < 2 | 1 < 2 | 2 < 2 | 3 < 2 |
| 참/거짓 | 참 | 참 | 참 | 참 | 참 | 거짓 | 거짓 |
위 표에서 보면 1 ~ 5까지는 부등식이 참이고, 6보다 크면 거짓이니까 이 부등식의 해는 x = 1 또는 x = 2 또는 x = 3 또는 x = 4 또는 x = 5네요.
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중2 수학 목차
중학교 2학년 수학 목차입니다.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 유리수
- 식의 계산
- 연립방정식
- 부등식
- 일차함수
- 도형의 성질
- 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건
- 직각삼각형의 합동, 직각삼각형의 합동 조건
- 각의 이등분선의 성질 - 직각삼각형의 합동조건 이용
- 삼각형의 외심, 삼각형 외심의 성질
- 삼각형 외심의 위치, 삼각형 외심의 활용
- 삼각형의 내심, 삼각형 내심의 성질
- 삼각형 내심의 활용
- 삼각형의 외심과 내심 비교, 차이
- 평행사변형의 정의 평행사변형의 성질
- 평행사변형이 되는 조건
- 평행사변형과 넓이
- 직사각형의 성질과 직사각형이 되는 조건
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- 정사각형의 성질과 정사각형이 되는 조건
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- 도형의 닮음
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- 확률