부등식이 뭔지, 부등식은 어떻게 푸는지 알아봤다면 이제 부등식을 실제 어떤 방법으로 활용하는지 배워봐야죠.

사실, 많은 분이 "수학 배워서 어디 써먹느냐?" 하지만 부등식의 활용만큼은 실생활에서도 많이 사용할 수 있어요. 휴대전화 요금제를 정할 때라든가 두 곳의 가게 중에서 더 싼 곳을 찾을 때도 부등식은 아주 유용합니다.

부등식의 활용은 큰 틀에서는 방정식의 활용과 같아요. 미지수 정하고 식 세우고, 푸는 순서로 이루어집니다.

일차부등식과 연립부등식에서 나오는 문제의 유형은 같아요. 식의 개수만 차이가 있을 뿐이에요.

부등식의 활용

  1. 미지수 결정
    문제에서 구하고자 하는 것을 x로 놓는다.
  2. 문제의 뜻에 맞게 식 세우기
    문제의 조건에 맞는 식을 만드는 데 연립부등식이라면 식을 두 개 만드세요.
  3. 부등식 풀기
    부등식의 성질을 이용해서 부등식을 풀어서 해를 구합니다.
  4. 문제의 뜻에 맞는 해 선택
    문제에서 요구하는 해를 찾습니다. 문제에서 해의 범위를 준 경우는 물론 개수나 사람 수 등은 자연수가 되는 것에도 주의하세요.

한가지 주의해야 할 것은 등호에 관한 건데요. 식을 그냥 주면 크게 신경 쓰지 않아도 되지만, 식을 만들어야 할 때는 등호가 들어가야 하는지 들어가면 안 되는지를 잘 파악해야 해요.

부등식의 활용 유형

거리, 속력, 시간에 관한 문제

거리, 속력, 시간에 관한 문제는 방정식, 부등식을 가리지 않고 나오는 활용문제에요. 공식은 반드시 외워야 해요.

거리, 속력, 시간 공식

농도에 관한 문제

농도 문제 역시 방정식, 부등식을 가리지 않고 나오는 문제에요.

두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때

  • (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
  • (A + B) 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
  • (A + B) 의 농도 = (A + B)의 소금의 양 ÷ (A + B) 소금물의 양 × 100

어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.

소금물 A를 가열했을 때(증발시켰을 때)

  • 가열한 후의 소금양 = 가열 전 의 소금양
  • 가열한 후의 소금물의 양 = 가열 전 소금물의 양 - 증발한 물의 양

예금에 관한 문제

예금에 관한 문제에서 놓치지 말아야 할 것은 처음에 가지고 있는 예금이에요. x개월 후의 예금은 (처음 예금 + x 개월 동안 입금한 금액)이에요.

현재 수정이의 예금 통장에는 12,500원, 진리의 예금 통장에는 14,000원이 예금되어 있다. 다음 달부터 매월 수정이는 1,200원씩, 진리는 900원씩 예금할 때 수정이가 예금한 돈이 진리가 예금한 돈보다 많아지는 것은 몇 개월째부터인지 구하여라.

몇 개월째부터인지 구하라고 했으니까 월을 x라고 놓아야겠네요.

수정이는 현재 12,500원을 가지고 있고, 매달 1,200원씩 예금하면, x개월 뒤에 수정이의 총 예금은 (12500 + 1200x)원이죠.
진리는 현재 14,000원을 가지고 있고, 매달 900원씩 예금했을 때, x개월 뒤의 진리의 예금은 (14000 + 900x)원이 되겠네요.

수정이의 예금이 진리의 예금보다 많아진다고 했으니까 12500 + 1200x > 14000 + 900x가 되어야 해요.

12500 + 1200x > 14000 + 900x
    125 + 12x > 140 + 9x
       12x - 9x > 140 - 125
                3x > 15
                x > 5

5보다 커야 되니까 6개월 후에 수정이의 예금이 진리의 예금보다 많아지겠네요.

물건의 개수에 관한 문제

두 개의 물건을 샀을 때, 총 수량이 나오는 경우에는 한 물건의 개수를 x개라고 하면, 다른 물건의 개수는 (총수량 - x)가 되는 걸 이용해요.

4,500원으로 한 자루에 150원인 연필과 200원인 볼펜을 합하여 25자루를 사려고 한다. 볼펜을 연필보다 많이 사려고 할 때, 볼펜은 몇 자루를 사면 되는지 구하여라.

볼펜을 몇 자루 살 수 있는지를 물어봤으니까 볼펜의 개수를 x라고 할게요. 총 25자루를 산다고 했으니까 연필은 (25 - x) 자루가 되겠네요. 그런데 볼펜의 개수가 연필의 개수보다 많이 사려고 하니까 x > 25 - x라는 식을 세울 수 있어요.

연필과 볼펜을 사는데 드는 총비용은 200x + 150(25 - x)원일 텐데 가진 돈이 4,500원이니까 4,500원보다는 적어야겠죠. 단, 이때 4,500원이 되어도 괜찮으니까 등호가 있어도 되겠군요.
200x + 150(25 - x) ≤ 4500

두 개의 부등식이 만들어졌어요. 연립부등식 문제네요.

x > 25 - x                                       200x + 150(25 - x) ≤ 4500
2x > 25                                               4x + 3(25 - x) ≤ 90
 x > 12.5                                               4x + 75 - 3x ≤ 90
                                                                              x ≤ 15

12. 5 < x ≤ 15이고 개수는 자연수여야 하므로, 볼펜은 13, 14, 15 자루를 살 수 있어요.

과부족 문제

과부족 문제는 부등식의 풀이에서 어려운 유형이에요.

어느 반 학생들이 의자에 앉으려고 한다. 한 의자에 4명씩 앉으면 7명이 앉지 못하고, 6명씩 앉으면 의자 2개가 남을 때 의자의 개수는 최대 몇 개인지 구하여라.

의자의 개수를 구하라고 했으니까 x라고 놓을게요.

의자의 개수도 모르지만 학생 수도 몰라요. 그러니까 학생 수를 먼저 구해보죠. "한 의자에 4명씩 앉으면 7명이 앉지 못하고"에서 학생 수를 알 수 있어요. (4x + 7)명

이제부터가 중요해요. 한 의자에 6명씩 앉으면 2개가 남는다고 했는데요. 이 말이 꼭 모든 의자에 6명씩 앉았다는 뜻은 아니에요. 학생이 앉은 마지막 의자에는 6명을 다 채우지 못할 수도 있거든요. 한 명이 앉아있을 수도 있고 두 명이 앉아있을 수도 있고, 6명이 다 앉아있을 수도 있어요. 또 한 명이 앉아있다 하더라도 의자를 사용했으니까 남은 의자는 아니겠죠?

마지막 의자를 뺀 다른 의자에는 모두 6명씩 앉았을 테니까 그 학생 수는 6(x - 3)이 될 거예요. x - 3에서 3은 남은 의자 2개, 마지막 의자 1개를 나타냅니다.

마지막 의자에 한 명이 앉았을 때는 학생 수가 가장 적을 때, 6명이 앉아있으면 학생 수가 가장 많을 때죠? 그런데 학생 수는 4x + 7이니까 이걸 식으로 나타내면
6(x - 3) + 1 ≤ 4x + 7 ≤ 6(x - 3) + 6

6(x - 3) + 1 ≤ 4x + 7                                       4x + 7 ≤ 6(x - 3) + 6
6x - 18 + 1 ≤ 4x + 7                                       4x + 7 ≤ 6x - 18 + 6
        2x ≤ 24                                                       -2x ≤ -19
        x ≤ 12                                                         x ≥ 9.5

9.5 ≤ x ≤ 12 이므로 의자의 최대 개수는 12개가 되네요.

다시 강조하지만 과부족 문제에서는 마지막 의자의 학생 수를 계산하는 부분에 주의하세요.

연속하는 세 수에 관한 문제

연속하는 세수에서는 가운데 수를 x로 놓으면 돼요.

연속하는 세 자연수(정수): x - 1, x, x + 1
연속하는 세 홀수(짝수): x - 2, x, x + 2

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정리해볼까요

부등식의 활용

  1. 문제에서 구하고자 하는 것을 x로 놓는다.
  2. 문제에 맞게 부등식을 세운다.
  3. 부등식을 푼다.
  4. 문제의 조건에 맞는 해를 찾는다.
 
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