일차함수의 그래프에서 웬만한 건 다 다루었어요. 일차함수 y = ax + b 그래프에서 a가 무엇을 의미하는지, a의 부호에 따라서 그리고 b의 부호에 따라서 그래프의 모양이 어떻게 바뀌는 지 등이요.

일차함수 y=ax+b 그래프의 특징

일차함수를 보면 기울기와 y절편이 바로 눈에 띄죠? 두 개의 일차함수 y = ax + b, y = cx + d가 있다고 할 때, 기울기와 y절편을 비교해서 두 일차함수의 그래프가 평행한지 일치하는지 알아보죠.

일차함수 그래프의 평행

평면에서 두 직선이 서로 만나지 않는 걸 평행이라고 해요. 그러니까 일차함수 그래프가 평행하다는 말은 서로 만나지 않는다는 뜻이죠.

y = ax + b의 그래프는 y = ax 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 것이라고 했어요. 두 그래프는 서로 만나지 않아요. 그럼 두 그래프는 평행한 것이죠. 사실 평행이동을 했으니까 당연히 평행할 수밖에 없어요.

두 함수를 비교해볼게요. x, y는 변수니까 바뀔 수 있어서 비교할 수가 없어요. a, b는 상수라서 일정하죠. 두 그래프에서 기울기가 모두 a로 같아요. 그리고 y 절편이 b와 0으로 달라요. 여기서 일차함수의 그래프가 평행하려면 어떤 조건인지 알 수 있어요.

두 일차함수 그래프가 평행하려면: 기울기가 같고, y 절편은 다르다
y = ax + b와 y = cx + d에서 a = c이고 b ≠ d → 평행

일차함수 그래프의 평행

일차함수 그래프의 일치

일차함수의 그래프가 일치한다는 건 그래프가 포개진다는 뜻이죠. 포개진다는 건 그래프에서 같은 점 위에 있다는 뜻이고요. 함수식이 같다는 얘기예요.

y = ax + b와 y = cx + d라는 두 일차함수가 일치하려면 a = c, b = d라는 것이죠.

두 일차함수의 그래프가 일치하려면: 기울기가 같고, y 절편이 같다.
y = ax + b와 y = cx + d 에서 a = c 이고 b = d → 일치

일차함수 그래프의 일치

일차함수 y = 2x + 1의 그래프와 평행인 일차함수와 일치하는 일차함수를 각각 1개씩 적으시오.

먼저 문제에서 주어진 함수에서 기울기는 2, y절편은 1이네요. 평행한 것은 기울기가 같고 y절편이 다른 함수니까 기울기는 2일 테고, y 절편은 1만 아니면 돼요. y = 2x + 2도 될 수 있고, y = 2x - 1도 될 수 있겠네요. 그 개수가 매우 많아요.

일치하는 함수는 기울기도 같고, y 절편도 같아요. 같은 식이라는 거죠. y = 2x + 1이 되겠네요. 일치하는 일차함수는 딱 한 개예요.

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정리해볼까요

두 일차함수 그래프

  • 기울기가 같고, y절편이 다르면: 평행
  • 기울기가 같고, y절편도 같으면: 일치
 
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