부등식이 뭔지, 부등식은 어떻게 푸는지 알아봤다면 이제 부등식을 실제 어떤 방법으로 활용하는지 배워봐야죠.
사실, 많은 분이 "수학 배워서 어디 써먹느냐?" 하지만 부등식의 활용만큼은 실생활에서도 많이 사용할 수 있어요. 휴대전화 요금제를 정할 때라든가 두 곳의 가게 중에서 더 싼 곳을 찾을 때도 부등식은 아주 유용합니다.
부등식의 활용은 큰 틀에서는 방정식의 활용과 같아요. 미지수 정하고 식 세우고, 푸는 순서로 이루어집니다.
일차부등식과 연립부등식에서 나오는 문제의 유형은 같아요. 식의 개수만 차이가 있을 뿐이에요.
부등식의 활용
- 미지수 결정
문제에서 구하고자 하는 것을 x로 놓는다. - 문제의 뜻에 맞게 식 세우기
문제의 조건에 맞는 식을 만드는 데 연립부등식이라면 식을 두 개 만드세요. - 부등식 풀기
부등식의 성질을 이용해서 부등식을 풀어서 해를 구합니다. - 문제의 뜻에 맞는 해 선택
문제에서 요구하는 해를 찾습니다. 문제에서 해의 범위를 준 경우는 물론 개수나 사람 수 등은 자연수가 되는 것에도 주의하세요.
한가지 주의해야 할 것은 등호에 관한 건데요. 식을 그냥 주면 크게 신경 쓰지 않아도 되지만, 식을 만들어야 할 때는 등호가 들어가야 하는지 들어가면 안 되는지를 잘 파악해야 해요.
부등식의 활용 유형
거리, 속력, 시간에 관한 문제
거리, 속력, 시간에 관한 문제는 방정식, 부등식을 가리지 않고 나오는 활용문제에요. 공식은 반드시 외워야 해요.
농도에 관한 문제
농도 문제 역시 방정식, 부등식을 가리지 않고 나오는 문제에요.
두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때
- (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
- (A + B) 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
- (A + B) 의 농도 = (A + B)의 소금의 양 ÷ (A + B) 소금물의 양 × 100
어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.
소금물 A를 가열했을 때(증발시켰을 때)
- 가열한 후의 소금양 = 가열 전 의 소금양
- 가열한 후의 소금물의 양 = 가열 전 소금물의 양 - 증발한 물의 양
예금에 관한 문제
예금에 관한 문제에서 놓치지 말아야 할 것은 처음에 가지고 있는 예금이에요. x개월 후의 예금은 (처음 예금 + x 개월 동안 입금한 금액)이에요.
현재 수정이의 예금 통장에는 12,500원, 진리의 예금 통장에는 14,000원이 예금되어 있다. 다음 달부터 매월 수정이는 1,200원씩, 진리는 900원씩 예금할 때 수정이가 예금한 돈이 진리가 예금한 돈보다 많아지는 것은 몇 개월째부터인지 구하여라.
몇 개월째부터인지 구하라고 했으니까 월을 x라고 놓아야겠네요.
수정이는 현재 12,500원을 가지고 있고, 매달 1,200원씩 예금하면, x개월 뒤에 수정이의 총 예금은 (12500 + 1200x)원이죠.
진리는 현재 14,000원을 가지고 있고, 매달 900원씩 예금했을 때, x개월 뒤의 진리의 예금은 (14000 + 900x)원이 되겠네요.
수정이의 예금이 진리의 예금보다 많아진다고 했으니까 12500 + 1200x > 14000 + 900x가 되어야 해요.
12500 + 1200x > 14000 + 900x
125 + 12x > 140 + 9x
12x - 9x > 140 - 125
3x > 15
x > 5
5보다 커야 되니까 6개월 후에 수정이의 예금이 진리의 예금보다 많아지겠네요.
물건의 개수에 관한 문제
두 개의 물건을 샀을 때, 총 수량이 나오는 경우에는 한 물건의 개수를 x개라고 하면, 다른 물건의 개수는 (총수량 - x)가 되는 걸 이용해요.
4,500원으로 한 자루에 150원인 연필과 200원인 볼펜을 합하여 25자루를 사려고 한다. 볼펜을 연필보다 많이 사려고 할 때, 볼펜은 몇 자루를 사면 되는지 구하여라.
볼펜을 몇 자루 살 수 있는지를 물어봤으니까 볼펜의 개수를 x라고 할게요. 총 25자루를 산다고 했으니까 연필은 (25 - x) 자루가 되겠네요. 그런데 볼펜의 개수가 연필의 개수보다 많이 사려고 하니까 x > 25 - x라는 식을 세울 수 있어요.
연필과 볼펜을 사는데 드는 총비용은 200x + 150(25 - x)원일 텐데 가진 돈이 4,500원이니까 4,500원보다는 적어야겠죠. 단, 이때 4,500원이 되어도 괜찮으니까 등호가 있어도 되겠군요.
200x + 150(25 - x) ≤ 4500
두 개의 부등식이 만들어졌어요. 연립부등식 문제네요.
x > 25 - x 200x + 150(25 - x) ≤ 4500
2x > 25 4x + 3(25 - x) ≤ 90
x > 12.5 4x + 75 - 3x ≤ 90
x ≤ 15
12. 5 < x ≤ 15이고 개수는 자연수여야 하므로, 볼펜은 13, 14, 15 자루를 살 수 있어요.
과부족 문제
과부족 문제는 부등식의 풀이에서 어려운 유형이에요.
어느 반 학생들이 의자에 앉으려고 한다. 한 의자에 4명씩 앉으면 7명이 앉지 못하고, 6명씩 앉으면 의자 2개가 남을 때 의자의 개수는 최대 몇 개인지 구하여라.
의자의 개수를 구하라고 했으니까 x라고 놓을게요.
의자의 개수도 모르지만 학생 수도 몰라요. 그러니까 학생 수를 먼저 구해보죠. "한 의자에 4명씩 앉으면 7명이 앉지 못하고"에서 학생 수를 알 수 있어요. (4x + 7)명
이제부터가 중요해요. 한 의자에 6명씩 앉으면 2개가 남는다고 했는데요. 이 말이 꼭 모든 의자에 6명씩 앉았다는 뜻은 아니에요. 학생이 앉은 마지막 의자에는 6명을 다 채우지 못할 수도 있거든요. 한 명이 앉아있을 수도 있고 두 명이 앉아있을 수도 있고, 6명이 다 앉아있을 수도 있어요. 또 한 명이 앉아있다 하더라도 의자를 사용했으니까 남은 의자는 아니겠죠?
마지막 의자를 뺀 다른 의자에는 모두 6명씩 앉았을 테니까 그 학생 수는 6(x - 3)이 될 거예요. x - 3에서 3은 남은 의자 2개, 마지막 의자 1개를 나타냅니다.
마지막 의자에 한 명이 앉았을 때는 학생 수가 가장 적을 때, 6명이 앉아있으면 학생 수가 가장 많을 때죠? 그런데 학생 수는 4x + 7이니까 이걸 식으로 나타내면
6(x - 3) + 1 ≤ 4x + 7 ≤ 6(x - 3) + 6
6(x - 3) + 1 ≤ 4x + 7 4x + 7 ≤ 6(x - 3) + 6
6x - 18 + 1 ≤ 4x + 7 4x + 7 ≤ 6x - 18 + 6
2x ≤ 24 -2x ≤ -19
x ≤ 12 x ≥ 9.5
9.5 ≤ x ≤ 12 이므로 의자의 최대 개수는 12개가 되네요.
다시 강조하지만 과부족 문제에서는 마지막 의자의 학생 수를 계산하는 부분에 주의하세요.
연속하는 세 수에 관한 문제
연속하는 세수에서는 가운데 수를 x로 놓으면 돼요.
연속하는 세 자연수(정수): x - 1, x, x + 1
연속하는 세 홀수(짝수): x - 2, x, x + 2
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감사합니다
오늘 이해했네요
내일시험인데
고맙습니다
시험 100점 받으세요.
와 진짜 쩌신다 오늘시험인데 감사용
오늘 시험이에요? 긴장하지 말고 열심히 푸세요.
과부족 문제 질문드립니다. 궁금한 것 2가지 입니다.
6(n-3)+1 과 6(n-3)+6이 되는 과정에 대한 제 이해가 맞는 건지 좀 봐주세요~ 먼저 6(n-3)과 6n-18은 같은거죠 샘? 분배법칙으로 단지 푼거니까. 여기서 -18은 남은 의자 2개와 맨 마지막 의자 1개에 앉을 수 있는 학생수가 18명인데 빈 의자니까 빼주고 그치만 여기서 맨 마지막 의자에는 하나 앉을 경우와 여섯이 다 앉을 경우가 있으니까 1을 더하고 6을 더해 6(n-3)+1 ,6(n-3)+6이 되는거 맞나요??
다른 하나는 부등호 사용에 관한 건데요. 왜 이상 부호를 쓰는 건지가 궁금합니다. 초과 부호는 안 되는 건가요??
행복한 저녁 되세요 감사합니다~! ^^
1. 분배법칙을 해서 나온 -18은 계산에 필요한 부분이지 식을 세울 때 필요한 부분은 아닙니다. 하지만 -18이 의미하는 건 지금 이해한 게 맞아요. 순서가 바뀌었네요.
6(x-3)에서 x - 3은 전체 의자 개수 x에서 남은 의자 2개, 여섯명이 다 앉아있는지 확신할 수 없는 의자 1개를 뺀 걸 말해요. 의미는 똑같으니까 이렇게 이해해보세요.
"그치만" 이후의 부분은 제대로 이해한 겁니다.
2. 초과를 이용해서 식을 세울 수도 있어요. 대신 식이 조금 달라지겠죠?
6(x - 3) < 4x + 7 < 6(x - 2) + 1
2번 답해주신 식을 풀어 X값을 구해보면 12로 같아서 초과를 이용해서도 해가 도출된다고는 알겠으나 그 식이 어떻게 유도됐는지 이해가 잘 안갑니다..ㅜ 이해력이 좀 부족합니다...ㅎ 왜그렇게 나온건지 알 수 있을까요~~ 부탁드립니다 __
감사함니다
궁금한게 있는대여 도형 높이 같은것은 어떻게구하나요?
높이는 밑변 또는 밑변의 연장선에서 대각까지의 거리예요. 아무 변이나 밑변을 하나 선택하고 그 다음에 높이를 구할 수 있죠.
네
정가,원가에 대한건 없나요? 이게 가장 어렵던데...
정가, 원가가 좀 어렵죠?
활용을 하는 방법은 같으니까 문제가 없더라도 응용해보세요.
과부족문제때문에 수포자 될뻔했는데 감사해요
수포자는 앙대요.~~ ㅋㅋ
근데 과부족에서 부호는 어떻게 알 수 있는거죠? 7(x-2)+1 같은 건 다 구했는데 중간에 부호를 어떻게 해야할지 모르겠어서..ㅠ
이거는 어쩔 수 없이 문제를 풀면서 감을 익히는 수밖에 없어요.
중학교 2학년 과외 준비 중인데, 선생님 글 덕분에 항상 도움 많이 받고 있습니다. 오늘은 이 부분 진도 나가려구요~ 과부족 문제는 저도 조금 어려웠는데 설명 잘 해주셨네요. 감사합니다 ^^
과부족이 다른 유형보다보다 개념 잡기가 어려워서 힘든 유형이죠.
남은 진도도 함께해요.
중2과정을 다하고도 다시 이글을 봤는데 도무지 한부분이 이해가 안갑니다 ㅠㅠ
과부족 문제에서(위의 예시문제)
4명씩 앉으면 7명이남아 4x+7이라는 것 맞지요?
그런데 6명씩 앉으면 의자 2개가 남는다
그래서 2개를 제외하고 나머지 1개 몇명 앉을지 모르는 의자 1개를 뺐으니 6(x-3) 그리고 최소 1명 최대 6명이니 6(x-3)+1, 6(x-3)+6 이두개가 나오는 거 까지는 이해가 갑니다...
그런데 왜 6(x-3)+1이 4x+7보다 작고 6(x+3)+6보다 작은지 이해가 안갑니다
다른 과부족 문제에서도 주개수(이문제에서는 4x+7)를 중간에 두고 변하는 수를 양옆에 두어 수를 비교하기에 저는 그냥 무시하고 그렇게 풀었으나 어디에도 왜 이렇게 부등식을 세웠는지에 대한 설명이 없네요;;
도와주세요 ㅠㅠ
아 다시보니 4x+7을 통째로 학생수로 바꾸니 이해가 되네요ㅋㅋ
좋은글 언제나 감사합니다 ㅎㅎ
해결하셨군요. ㅎㅎ
수학방 사랑합니다 제가 지금 중2인데 중1때부터 많은 도움을 받다고 이렇게 한번 댓글 남기네요 감사합니다.
고등학생 될 때까지 도움이 될 수 있도록 노력할게요.
수학방 감사합니다 제가 소금물의 농도가 많이 어려웠는데 수학방 덕분에 완벽히 이해하고 가네요
소금물 농도 문제는 방정식, 부등식 가리지 않고 나오는 문제니 절대 잊어버리지 마세요.
유형을 몇개 더 추가 해주실 수 있나요? 수학 다른건 다 괜찮은데 일차방적식의 활용?이나 일차부등식의 활용이 너무 어렵네요.. 말 알아 듣는 것도 어려우니...ㅠㅠㅠ
유형이 너무 많아서 다 추가할 수가 없어요. ㅠㅠ
사랑해요 수학방님 수학 처음부터 다시 하는데 수학방님 만큼 제대로 정리한 곳 찾기 힘들어요 ㅠ
이제 다른데 찾으러 다니시니 마시고 여기서 계속 같이 공부해요.
와 역시 수학방님은 설명을 잘하시네요 과부족 문제에서 조금 버벅거렸는데 설명이 잘되있어서 이해버렸네요
또 찾아올게요 ^^
과부족 문제는 정말 어려운 유형이에요.
시간이 조금 지난 뒤에 확실히 기억나는지 다시 풀어보세요.
유리한 방법 선택하는 문제는 어떻게 풀어야하나요??
과부족 문제 명쾌한 해설 감사합니다
이거 좀 어렵지 않았나요? ㅎㅎ
첨에 학원에서 대충 들었을 때는 헷갈렸었는데 고등과정에서도 부등식이 좀 나오다 보니까 제대로 알고 넘어가야겠다 싶어서 이걸 보며 좀 오래 고민한 결과 어떻게 푸는지 터득했어요 감사합니다 ^^^^
6프로의 소금물과 12 프로의 소금물을 섞어서 농도가 8프로 이상인 소금물 600g을 만들려고 할때, 6프로의 소금물은 최대 몇 g 까지 석을 수 있는지 구하시오 라는 문제에 대해서 풀이과정과 문제설명 좀 해주실 수 있나요?
6%의 소금물과 12%의 소글물을 섞어서 8% 이상의 소금물 600g을 만드니까
6%의 소금물의 양을 xg 이라고 하면 12% 소금물의 양은 (600 - x)g이라고 할 수 있겠죠?
농도가 8% 이상이라는 말은 두 소금물을 합한 소금물에 있는 소금의 양이 8% 소금물에 있는 소금의 양보다 같거나 많다는 뜻이잖아요.
소금의 양을 이용해서 부등식을 세워 보세요.
0.08 * x + 0.12(600 - x) >= 0.08 * 600
해가 없는 부등식 해가 무수히 많은 부등식 이거는 없나요 ?
혹시 이거 말씀하시는 건가요?
http://mathbang.net/360
연립부등식에서 해가 없는 경우에 대한 설명은 있어요.
https://mathbang.net/42