부등식의 성질은 자주 해왔던 거니까 잊어버리지 않았을 거예요. 여기서는 부등식의 성질을 한 번 더 정리할게요. 부등식의 성질을 이용해서 계산하는 문제보다는 개념을 이해하고 있는지 물어보는 문제가 많이 나오니까 내용을 완전히 이해하지 못하면 문제를 풀 수가 없어요. 잘 정리해놓으세요.
그리고 방정식의 해를 구할 때 방정식의 양변을 서로 더하고 뺐었죠? 부등식에서도 양변을 서로 더하거나 뺄 수 있어요. 방정식에서의 가감법과 차이가 있는데, 부등식끼리의 사칙연산을 어떻게 하는지 알아보죠.
부등식의 성질
중학교 때 부등식의 성질에 대해서 공부했어요. 고등학교에서의 부등식의 성질도 똑같아요.
허수와 허수단위에서는 대소관계를 얘기할 수 없으니까 부등식의 성질에서 사용하는 수는 모두 실수에요. 그래서 부등식의 성질은 실수의 대소관계에 대한 기본 성질과도 같아요.
세 실수 a, b, c에 대해서 아래와 같은 성질이 있어요.
- a > b, b > c ⇔ a > c
- a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
- a > b이고 c > 0 ⇔ ac > bc,
- a > b이고 c < 0 ⇔ ac < bc,
이해 안 되는 건 없죠?
부등식의 성질에서 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나눌 때만 부등호의 방향이 바뀌고 나머지는 부등호의 방향이 바뀌지 않아요.
부등호의 방향이 바뀌는 경우가 또 있는데요. 부호가 같은 두 수의 역수를 취할 때 부등호의 방향이 바꿔요. 하나는 양수고 하나는 음수라면 바뀌지 않아요. 양수인 쪽이 무조건 크니까요.
또 음수인 양변을 제곱할 때도 부등호의 방향이 바뀌어요.
-2 > -3 → (-2)2 < (-3)2
부등식끼리의 덧셈과 뺄셈
방정식의 양변을 더하거나 뺄 수 있죠? 부등식에서도 양변을 더하거나 빼요.
a < x < b, c < y < d 두 부등식을 볼까요?
먼저 덧셈부터 알아보죠.
두 부등식의 왼쪽에 있는 a < x, c < y만 보죠.
a < x 의 양변에 y를 더하면 a + y < x + y
c < y의 양변에 a를 더하면 a + c < a + y
따라서 a + c < x + y (∵ 부등식의 성질 1번)
이번에는 부등식의 오른쪽 x < b, y < d를 보죠.
x < b 의 양변에 y를 더하면 x + y < b + y
y < d의 양변에 b를 더하면 y + b < d + b
따라서 x + y < b + d (∵ 부등식의 성질 1번)
정리해보면 a < x < b, c < y < d를 더하면 a + c < x + y < b + d 가 돼요. 부등식끼리 더할 때는 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하는 거죠.
부등식끼리의 차를 볼까요? x - y = x + (-y)로 바꿔서 계산할 수 있죠?
c < y < d 에 (-1)을 곱하면 부등호의 방향이 반대로 바뀌어요. -d < -y < -c
a < x < b와 -d < -y < -c를 더하면 a - d < x - y < b - c가 돼요.
두 부등식을 세로로 놓고 계산하면 편해요. 덧셈은 그냥 아래로 더하고, 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠.
1 ≤ x < 3, 5 < y ≤ 10일 때 다음의 범위를 구하여라.
(1) x + y
(2) x - y
여기서 주의해야 할 건 등호가 있는 것과 등호가 없는 걸을 잘 보세요. 1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있어요. 따라서 이 두 개를 연산한 결과에만 등호를 넣어주고 다른 경우에는 등호를 쓰면 안 돼요.
(1) 덧셈은 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하면 돼요.
1 + 5 < x + y < 3 + 10
6 < x + y < 13
(2) 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠?
1 - 10 ≤ x - y < 3 - 5
-9 ≤ x - y < -2
1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있으니까 이 둘을 연산한 결과에 등호를 넣어줬어요.
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