부등식의 성질은 자주 해왔던 거니까 잊어버리지 않았을 거예요. 여기서는 부등식의 성질을 한 번 더 정리할게요. 부등식의 성질을 이용해서 계산하는 문제보다는 개념을 이해하고 있는지 물어보는 문제가 많이 나오니까 내용을 완전히 이해하지 못하면 문제를 풀 수가 없어요. 잘 정리해놓으세요.
그리고 방정식의 해를 구할 때 방정식의 양변을 서로 더하고 뺐었죠? 부등식에서도 양변을 서로 더하거나 뺄 수 있어요. 방정식에서의 가감법과 차이가 있는데, 부등식끼리의 사칙연산을 어떻게 하는지 알아보죠.
부등식의 성질
중학교 때 부등식의 성질에 대해서 공부했어요. 고등학교에서의 부등식의 성질도 똑같아요.
허수와 허수단위에서는 대소관계를 얘기할 수 없으니까 부등식의 성질에서 사용하는 수는 모두 실수에요. 그래서 부등식의 성질은 실수의 대소관계에 대한 기본 성질과도 같아요.
세 실수 a, b, c에 대해서 아래와 같은 성질이 있어요.
- a > b, b > c ⇔ a > c
- a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
- a > b이고 c > 0 ⇔ ac > bc,
- a > b이고 c < 0 ⇔ ac < bc,
이해 안 되는 건 없죠?
부등식의 성질에서 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나눌 때만 부등호의 방향이 바뀌고 나머지는 부등호의 방향이 바뀌지 않아요.
부등호의 방향이 바뀌는 경우가 또 있는데요. 부호가 같은 두 수의 역수를 취할 때 부등호의 방향이 바꿔요. 하나는 양수고 하나는 음수라면 바뀌지 않아요. 양수인 쪽이 무조건 크니까요.
또 음수인 양변을 제곱할 때도 부등호의 방향이 바뀌어요.
-2 > -3 → (-2)2 < (-3)2
부등식끼리의 덧셈과 뺄셈
방정식의 양변을 더하거나 뺄 수 있죠? 부등식에서도 양변을 더하거나 빼요.
a < x < b, c < y < d 두 부등식을 볼까요?
먼저 덧셈부터 알아보죠.
두 부등식의 왼쪽에 있는 a < x, c < y만 보죠.
a < x 의 양변에 y를 더하면 a + y < x + y
c < y의 양변에 a를 더하면 a + c < a + y
따라서 a + c < x + y (∵ 부등식의 성질 1번)
이번에는 부등식의 오른쪽 x < b, y < d를 보죠.
x < b 의 양변에 y를 더하면 x + y < b + y
y < d의 양변에 b를 더하면 y + b < d + b
따라서 x + y < b + d (∵ 부등식의 성질 1번)
정리해보면 a < x < b, c < y < d를 더하면 a + c < x + y < b + d 가 돼요. 부등식끼리 더할 때는 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하는 거죠.
부등식끼리의 차를 볼까요? x - y = x + (-y)로 바꿔서 계산할 수 있죠?
c < y < d 에 (-1)을 곱하면 부등호의 방향이 반대로 바뀌어요. -d < -y < -c
a < x < b와 -d < -y < -c를 더하면 a - d < x - y < b - c가 돼요.
두 부등식을 세로로 놓고 계산하면 편해요. 덧셈은 그냥 아래로 더하고, 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠.
1 ≤ x < 3, 5 < y ≤ 10일 때 다음의 범위를 구하여라.
(1) x + y
(2) x - y
여기서 주의해야 할 건 등호가 있는 것과 등호가 없는 걸을 잘 보세요. 1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있어요. 따라서 이 두 개를 연산한 결과에만 등호를 넣어주고 다른 경우에는 등호를 쓰면 안 돼요.
(1) 덧셈은 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하면 돼요.
1 + 5 < x + y < 3 + 10
6 < x + y < 13
(2) 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠?
1 - 10 ≤ x - y < 3 - 5
-9 ≤ x - y < -2
1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있으니까 이 둘을 연산한 결과에 등호를 넣어줬어요.
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실수의 대소관계, 실수의 대소관계에 대한 기본 성질
복소수, 허수와 허수단위
[중등수학/중2 수학] - 부등식의 성질
부등식의 나눗셈 때문에 고민하다가 여기까지 왔습니다.
조금 이상한게 있어서요.
위에 정리대로 하자면, 경계값끼리 나눈다음 가장 작은 수와
큰수가 범위가 된다고 되어있는데...
가령 -1<a<1 이고, -1<b<1 이면...
-1<a÷b<1 이라는 결론이 나오지 않나요?
그런데, a=3/4 이고, b=1/2 이면...a÷b는 1보다 큰수가 되어서
경계값을 벗어나지 않나요?
너무 헷갈려서 그럽니다. 가능하시다면..답글좀..^^
차차차님 글을 보고 헷갈려서 찾아보다 설명이 잘 되어있는거 같아서 올려봅니다 ㅎㅎ
http://m.kin.naver.com/mobile/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=178309106&qb=67aA65Ox7IudIOuCmOuIl+yFiA==&enc=utf8§ion=kin&rank=2&search_sort=0&spq=0
윗분말대로 나눗셈에서는 끝점으로 하면 않될것 같내요(0이 포함되서) 1/y의 범위를 구한다음 곱으로 해석하는게 적절할것 같아요
좋은정보감사합니다ㅎㅎ
시험공부하는데힘이되네요:-)
시험 잘 보시기 바랍니다.
부등식의 곱셈설명하실때 ab,ad,bc,bd 중 가장 작은거와 가장 큰값 사이라고 하셨는데 ab가 아니라 ac 인 거 아닌가요??
ac네요.
감사합니다 ㅎㅎ
댓글 고맙습니다. ㅎㅎ
개념원리(고등수학 상)에 곱셈과 나눗셈에도
(ac,ad,bc,bd랑a/c,a/d,b/c,b/d 단, 나눗셈에선 0<c<y<d,c<y<d<0인 경우만)
음수 양수 다 가능하다고 나오는데 여기는 양수만 가능하다고 적혀있네요...
뭐가 맞는거죠?
?? 곱셈과 나눗셈은 덧셈과 뺄셈의 세로방식과 똑같은데요?
같은 경우도 있고, 다른 경우도 있어요.
항상 감사합니다 혼자공부하는데 정말 도움많이되네요 ^^
혼자 하는 거 아닌데요. 저랑 같이 하는 건데요. ^^
부등식 뺄셈할때 (노란색 박스)a,c가 0보다 커야하는 조건이 있지않나요?
아 곱셈 나눗셈일때네요 ㅎㅎ
a, b(c가 아니라) > 0이 아니어도 상관없어요.
a = -1, b = -2, c = 2 라면 a > b, c > 0이죠?
ac = -2, bc = -4, a > b -> ac > bc
a/c = -1/2, b/c = -1, a > b -> a/c > b/c
a = 1, b = -1, c = 2라해도 성립합니다.
ac = 2, bc = -2, ac > bc
a/c = 1/2, b/c = -1/2, a/c > b/c
볼때마다 챡을 사고싶은생각이 드네요!!!
그런데 집에 개념서가 너무 많아서..ㅎㅎ
책으로 어장 관리 중이시군요. ㅎㅎ
감사합니다.
댓글 고맙습니다.
'따라서 이 두개를 연산한 결과에만 등호를 넣어주고 다른 경우에는 등호를 쓰면 안돼요'라고 쓰셨는데 그런 이유가 있나요? 직선과 화살표로 나타내도 도저히 이해가 안되네요...
x = 1이 될 수 있지만 y = 5가 될 수 없어요.
x + y는 6보다 크니까 등호가 없어야 겠죠?
x = 1, y = 10이 될 수 있으므로 x - y = -9가 될 수 있어서 등호가 포함될 수 있고요.
등호가 있는 두 수의 연산 결과에만 등호를 넣고, 등호가 들어있지 않은 수가 하나라도 있으면 그 결과에 등호를 넣으면 안된다는 뜻이에요.
음.. 그럼
1<=x<3
5<=y<10
이 경우라면
1 - (9.x) = (-8.x) < -9 이니 x-y의 최솟값에 -9가 포함될 수 없으므로 등호를 빼고,
(2.x) - 5 = (-2.x) < -2 이니 x-y의 최댓값에 -2가 포함될 수 없으므로 등호를 빼서
저는 -9< x-y <-2 가 답이라고 생각하는데, 제가 제대로 이해한 게 맞나요?
네, 제대로 이해하셨어요.
혹시 덧셈이나 뻴셈이 아니라 곱셈이나 나눗셈이 어떻게되나요?