앞서 부등식의 영역 - y > f(x), y < f(x)에서는 직선과 이차함수 등 y = f(x) 꼴의 식을 이용하는 부등식의 영역에 대해서 알아봤는데요. 이번에는 f(x, y) = 0 꼴의 식을 이용하는 부등식의 영역에 대해서 알아볼 거예요.
부등식의 모양만 다를 뿐 원리나 그리는 방법 등은 같아요. 특히, 마지막에 나오는 부등식의 영역 그리는 순서는 그래프의 모양과 상관없이 모든 부등식의 영역을 구할 때 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.
다음에 공부할 연립부등식의 영역을 구하려면 이 글의 내용을 꼭 이해하고 넘어가야 해요.
원의 내부와 외부를 나타내는 부등식
원의 방정식 표준형은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2이죠. 좌변은 임의의 점 (x, y)에서 (a, b)까지의 거리를 제곱한 거고 우변은 반지름의 제곱이죠. 즉 원의 방정식은 (a, b)로부터 r만큼의 거리에 있는 점들을 말하는 거예요.
그렇다면 (x - a)2 + (y - b)2 > r2은 무슨 뜻일까요? (a, b)로부터 r보다 더 먼 거리에 있는 점들을 얘기하죠?
그림의 P(x1, y1)에서 원의 중심 C(a, b)까지의 거리는 반지름 r보다 더 커요. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 식으로 나타내보죠.
즉 원 밖의 임의의 점에서는 (x - a)2 + (y - b)2 > r2이 성립해요. 거꾸로 말해 (x - a)2 + (y - b)2 > r2이 성립하는 점들은 원의 바깥쪽에 있다는 거지요.
같은 방법으로 (x - a)2 + (y - b)2 < r2이 성립하는 점들은 원의 안쪽에 있다는 걸 알 수 있어요.
원의 내부와 외부를 나타내는 부등식
(x - a)2 + (y - b)2 > r2의 영역은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2의 바깥쪽
(x - a)2 + (y - b)2 < r2의 영역은 (x - a)2 + (y - b)2 = r2의 안쪽
부등식 f(x, y) > 0, f(x, y) < 0의 영역
도형의 방정식을 f(x, y) = 0으로 나타내잖아요? 그래서 이를 이용한 부등식은 f(x, y) > 0 또는 f(x, y) < 0으로 표시합니다.
이 부등식의 영역을 나타내는 순서는 다음과 같아요.
- 좌표평면에 f(x, y) = 0의 그래프를 그린다.
- 등호가 포함되어 있으면 실선
- 등호가 포함되어있지 않으면 점선
- f(x, y) = 0 위에 있지 않은 임의의 점의 좌표를 대입한다.
- 조건에 맞는 영역을 칠한다.
- 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역
- 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역
2단계에서 임의의 점은 (0, 0), (1, 0)처럼 계산을 쉽게 할 수 있는 점들이 좋아요.
다음 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내어라.
(1) x2 + y2 > 9
(2) (x - 2)2 + (y - 1)2 < 16
일단 f(x, y) = 0의 그래프를 그리고 임의의 점을 대입한 다음 부등식을 만족하면 점이 있는 영역, 부등식을 만족하지 않으면 점이 속하지 않은 영역을 칠하면 돼요.
(1)에 (0, 0)을 대입해보면 0 + 0 > 9로 부등식을 만족하지 않아요. 따라서 (0, 0)이 속하지 않은 영역을 칠해야 해요. 원의 방정식인데, 좌변이 우변인 반지름의 제곱보다 크기 때문에 원의 바깥쪽을 바로 칠해도 되고요.
(2)에 (0, 0)을 대입하면 (-2)2 + (-1)2 < 16으로 부등식을 만족하죠. 따라서 (0, 0)이 속한 영역을 칠하면 되겠네요. 원의 방정식인데, 좌변이 우변인 반지름의 제곱보다 작기 때문에 원의 안쪽을 바로 칠해도 되고요.
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