'지수' 태그의 글 목록

지수함수의 최대 최소

2025.09.29
대수 목차

2025.02.26
로그의 밑 변환 공식
17

2014.04.11
로그의 성질, 로그의 성질 증명
32

2014.04.10
지수부등식, 지수부등식의 풀이
1

2014.04.08
지수방정식, 지수방정식의 풀이
12

2014.04.06
지수함수 그래프의 평행이동과 대칭이동
9

2014.04.05
지수함수, 지수함수의 그래프
18

2014.04.04
지수법칙 - 실수 지수, 정수 지수, 유리수 지수 비교
4

2014.04.02
지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수
11

2014.03.29
거듭제곱근의 성질
22

2014.03.28
거듭제곱근, 거듭제곱
8

2014.03.24
행렬의 곱셈, 행렬의 거듭제곱
8

2014.02.12
고등학교 수학 1 목차
59

2014.02.03
2014년 고1 수학 목차 - 수1, 수2
103

2014.01.23

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)는 a > 1이면 증가함수, 0 < a < 1이면 감소함수예요. 정의역이 실수 전체의 집합이면 최솟값은 0에 한없이 가까워지고, 최댓값은 그 끝을 알 수 없어요.

따라서 최대, 최소를 구한다는 건 정의역이 제한된 범위를 갖는다는 뜻이에요.

제한된 범위에서 함수의 최대, 최소를 구하는 건 1학년 때, 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대최소에서 해본 적이 있죠? 양쪽 경계나 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값을 가져요.

지수함수는 꼭짓점이 없으니 양쪽 경계에서 최댓값 또는 최솟값을 갖죠.

a > 1일 때는 지수함수가 증가함수라서 x가 증가하면 y도 증가하므로 양쪽 경계 중 작은 값에서 최솟값, 큰 값에서 최댓값을 가져요.

0 < a < 1일 때는 지수함수가 감소함수라서 x가 증가하면 y는 감소하므로 양쪽 경계 중 작은 값에서 최댓값, 큰 값에서 최솟값을 가져요.

정의역이 {x|m ≤ x ≤ n}일 때, y = a^x(a > 0, a ≠ 1)은

a > 1일 때, x = m에서 최솟값 y = a^m, x = n일 때 최댓값 y = aⁿ
0 < a < 1일 때, x = m에서 최댓값 y = a^m, x = n일 때 최솟값 y = aⁿ

-2 ≤ x ≤ 2일 때, 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) y = 5^x (2) y = $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}$ - 2

(1) 밑이 5로 1보다 크니까 증가함수예요. 경계 중 작은 값에서 최솟값을 갖고, 큰 값에서 최댓값을 가져요.

y = 5^x

x = -2일 때, 최솟값: 5^-2 = $\frac{1}{25}$

x = 2일 때, 최댓값: 5² = 25

(2) 밑이 $\frac{1}{2}$로 0보다 크고 1보다 작으니까 감소함수예요. 경계 중 작은 값에서 최댓값을 갖고, 큰 값에서 최솟값을 가져요.

y = $\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}$ - 2

x = -2일 때, 최댓값: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2-1}$ - 2 = (2^-1)^-3 - 2 = 2³ - 2 = 6

x = 2일 때, 최솟값: y = $\left(\frac{1}{2}\right)^{2-1}$ - 2 = $\frac{1}{2}$ - 2 = -$\frac{3}{2}$

지수함수를 이용한 수의 대소 비교

<< 대수 >>

지수방정식

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2015 교육과정 수학 1과 2022 교육과정 대수가 목차가 같아 하나로 작성하였습니다.

각 게시글 하단의 목차 페이지는 이용하지 말고, 이 목차 페이지에서 필요한 단원의 글만 골라서 공부하세요.

대수

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로그의 밑 변환 공식이에요. 로그에서 밑은 log 옆에 작게 쓰는 걸 말하죠? 이걸 변환시킬 수 있는 공식이에요. 이름 그대로 공식이니까 외워야겠죠?

이 로그의 밑 변환 공식을 알고 있어야 다음에 공부할 로그의 성질 두 번째도 이해할 수 있어요. 로그의 밑 변환 공식을 이용해서 로그의 성질 두 번째를 유도할 거니까요.

밑의 변환 공식을 잘 알아두면 로그의 계산을 할 때 조금 더 편리해져요. 어려운 공식은 아니고 두 개만 할 거니까 잘 봐두세요.

로그의 밑 변환 공식

로그의 밑 변환 공식은 원래 있던 로그의 밑을 새로운 밑으로 바꿀 때 원래 로그의 모양이 어떻게 바뀌는지를 공식으로 나타낸 거예요.

a^x = b를 로그로 변환해보죠.
a^x = b ⇔ log_ab = x …… ①

a^x = b의 양변을 c(c > 0, c ≠ 1)을 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 밑 변환 공식 1 증명

두 번째 줄에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요.

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 log_ca ≠ 0이에요. 따라서 양변을 log_ca로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 log_ab = x니까 식에 대입했어요.

어떤가요? 분수 꼴로 되었는데, 분모, 분자 모두 밑은 c라는 새로운 밑이에요. 분모에 있는 로그의 진수는 a, 분자에 있는 로그의 진수는 b고요. 원래 로그의 밑과 진수를 밑이 같은 새로운 로그의 나눗셈으로 바꿀 수 있다는 뜻이에요.

새로운 밑으로 사용할 숫자 c는 1이 아닌 양수라면 어떤 숫자도 괜찮아요. 가능하면 새로운 로그로 바꿨을 때 원래 로그의 밑과 진수를 없애고 실수로 바꿀 수 있는 수를 사용하면 좋지요. a, b가 거듭제곱일 때 c는 소인수를 사용하면 좋아요.

예를 들어, a = 4, b = 8이라면 a = 2², b = 2³이니까 c는 a, b의 소인수인 c = 2를 사용하는 거죠.

a = 27, b = 81이라면 a = 3³, b = 3⁴니까 c = 3을 사용하고요.

이번에는 a^x = b의 양변을 b(b > 0, b ≠ 1)를 밑으로 하는 로그를 취해보죠.

로그의 밑 변환 공식 2 증명

두 번째 줄의 좌변에서 진수의 지수는 로그 앞으로 가져올 수 있는 로그의 성질을 적용했어요. 우변에서 밑과 진수가 같으면 1이죠? log_bb = 1

세 번째 줄에서 a ≠ 1이므로 log_ba ≠ 0이에요. 따라서 양변을 log_ba로 나눌 수 있어요.

네 번째 줄은 ①에서 log_ab = x니까 식에 대입했어요.

원래 로그에서 밑과 진수를 바꾸고 역수를 취하면 원래 로그와 같다는 걸 알 수 있어요.

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때

첫 번째 밑 변환 공식에서 b = 1이 되어도 괜찮아요. 하지만 두 번째 역수를 취하는 공식에서는 b가 로그의 밑이 되어야 하니까 1이면 안 돼요. b ≠ 1

a는 두 공식 모두에서 로그의 밑이니까 a > 0, a ≠ 1이어야 하고요.

다음을 간단히 하여라.
(1) log₄2
(2) log₂3 × log₃4

(1) 밑이 4, 진수가 2니까 4, 2의 소인수인 2를 밑으로 하는 새로운 로그를 취해보죠.

(2) 앞의 로그는 진수가 3, 뒤의 로그는 밑이 3이니까 로그의 역수를 취해서 계산해 볼까요?

로그의 밑 변환 공식 예제 풀이 2

정리해볼까요

로그의 밑 변환 공식
a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1일 때

로그의 성질

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로그의 성질 두 번째

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로그의 성질입니다. 이름이 성질이라고 해서 단순히 성질이 아니라 로그의 계산을 할 때 기본이 되는 계산 법칙이에요. 지수에 지수법칙이 있다면 로그에는 로그의 성질이 있어요.

로그의 성질에는 로그, 밑, 지수, 진수 등 나오는 게 많아서 헷갈리기 쉬워요. 그 모양을 정확하게 이해해야 해요. 비슷하게 생긴 모양의 식을 헷갈리면 안 돼요.

로그의 성질은 로그의 정의에서 로그와 거듭제곱의 관계를 이용해서 유도합니다. 따라서 이 내용도 알고 있어야 해요.

로그의 성질

a⁰ = 1, a¹ = a에요. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a⁰ = 1 ⇔ log_a1 = 0
a¹ = a ⇔ log_aa = 1

진수가 1이면 결과는 0이고 밑과 진수가 같으면 결과는 1이에요. 이게 로그의 성질 첫 번째예요.

a^x = M, a^y = N이라고 해보죠. 이 두 가지를 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a^x = M ⇔ log_aM = x …… ①
a^y = N ⇔ log_aN = y …… ②

이 두 개를 곱한 다음 로그의 정의에 맞게 변환해보죠.

a^x × a^y = a^{x + y} = MN ⇔ log_aMN = x + y

①, ②에서 log_aM = x, log_aN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면
log_aMN = log_aM + log_aN

이번에는 a^x = M을 a^y = N으로 나누고 로그로 변환해보죠.

a^x ÷ a^y = a^{x - y} = ⇔ = x - y

①, ②에서 log_aM = x, log_aN = y니까 위 식의 x, y에 대입하면

진수가 두 양수의 곱으로 되어 있으면 로그의 합으로, 진수가 두 양수의 나눗셈으로 되어 있으면 로그의 차로 바꿀 수 있어요. 로그의 성질 두 번째와 세 번째입니다.

이번에는 새로운 성질을 유도해보죠.

a^x = M = L^k이라고 해보죠.

a^x = M ⇔ log_aM = x
a^x = L^k ⇔ log_aL^k = x …… ③

③에서 log_aL^k = x니까 위 식의 x에 대입하면 log_aL^k = klog_aL이 성립해요.

진수가 지수를 가지고 있을 때 지수를 로그 앞으로 가져올 수 있다는 얘기죠. 로그의 성질 네 번째예요.

로그의 성질에서 주의해야 할 건 밑이 같아야 한다는 거예요. 지수법칙에서도 밑이 같을 때만 성립했어요. 그리고 진수가 어떻게 구성되어 있는가에 따라서 계산이 달라져요.

아래 식처럼 모양이 비슷한 다른 식에서는 성립하지 않는 성질이에요. 잘 구별하세요.

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, L > 0, k가 실수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) log₂2 + log₂4 + log₂8
(2)
(3)

(1) log₂2 + log₂4 + log₂8
= 1 + log₂2² + log₂2³
= 1 + 2log₂2 + 3log₂2
= 1 + 2 + 3
= 6

하나씩 구해서 더해도 되고 밑이 같고 로그의 합으로 되어 있으니 곱으로 바꿔서 풀 수도 있어요.

log₂2 + log₂4 + log₂8
= log₂(2 × 4 × 8)
= log₂2⁶
= 6log₂2
= 6

(2) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.

log₃2는 더 계산할 수가 없으니 그냥 뒀어요.

(3) 진수가 나눗셈으로 되어 있으니까 로그의 차로 바꿔서 풀어보죠.

log₄2는 (2)번의 log₃2와 달리 계산할 수 있으니까 계산을 끝까지 해야 해요.

정리해볼까요

로그의 성질
a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0, L > 0, k가 실수일 때

로그의 정의

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로그 밑의 변환 공식

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이차함수의 그래프와 이차부등식의 풀이에서 그래프를 그려보면 이차부등식의 해를 구하는 과정을 조금 더 쉽게 이해할 수 있었어요. 지수함수의 그래프를 그리고, 지수함수 그래프의 특징을 잘 이해한다면 지수부등식의 성질을 이해하는 데 많은 도움이 됩니다.

원래 방정식과 부등식은 사촌이죠? 그러니까 지수부등식과 지수방정식은 뜻은 물론 풀이방법도 서로 비슷해요. 지수부등식이 가지는 몇 가지 특징이 있는데 이걸 지수방정식의 풀이방법과 잘 조합한 게 지수부등식의 풀이 방법이에요.

지수부등식

지수방정식은 지수에 미지수가 있는 방정식이죠. 그럼 지수부등식은요? 지수에 미지수가 있는 부등식이에요. 방정식의 등호(=)가 부등식에서는 부등호(>, ≥, <, ≤)로 바뀐 것뿐이고요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해에서 이차함수의 그래프를 이용해서 이차부등식을 푸는 방법을 알아봤지요? 지수부등식에서도 지수함수의 그래프를 이용해서 풀면 훨씬 더 쉬워요.

먼저 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프의 특징을 간단하게 되짚어보죠.

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)의 그래프
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양수의 집합
(0, 1), (1, a)를 지난다.
x축이 점근선
a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭

치역이 양수의 집합이니까 임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0이에요.

a > 1일 때의 그래프를 볼까요? 지수 x가 증가하면 결과 y도 증가해요.

지수함수의 그래프 - a > 1일 때

지수함수 y = a^x (a > 1)의 그래프는 증가함수니까 두 지수가 있을 때 밑이 같으면 더 큰 수가 지수도 커요. a^x₁ < a^x₂이면 x₁ < x₂. 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 같아요.

0 < a < 1일 때의 그래프는 지수 x가 증가하면 결과 y는 감소해요.

지수함수의 그래프 - 0 < a < 1일 때

지수함수 y = a^x (0 < a < 1)의 그래프는 감소함수니까 두 지수가 있을 때 밑이 같으면 더 큰 수의 지수가 작아요. a^x₁ < a^x₂이면 x₁ > x₂. 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 반대예요.

정리해보죠.

임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0
a > 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ < x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향) = (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
0 < a < 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ > x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향)과 (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

지수부등식을 풀 때는 밑을 같게 한 다음 위 성질을 이용해서 풀어요.

다음 지수부등식을 풀어라.
(1)
(2)

지수부등식에서 밑이 1보다 클 때는 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 같아요. 밑이 0보다 크고 1보다 작으면 지수부등식의 부등호의 방향과 지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향이 반대고요.

(1) 우변의 무리수를 지수를 이용해서 나타내보죠.

밑이 2로 1보다 크니까 부등호의 방향이 같아요.

(2)

밑이 서로 다르니까 같게 해줘야겠네요.

밑이 0보다 크고 1보다 작으니까 부등호의 방향이 반대예요.

-x + 2 < 2x - 4
3x > 6
x > 2

이제는 항이 3개인 지수부등식을 풀어보죠. 항이 3개인 지수방정식은 어떻게 풀었나요? 지수방정식의 모양을 바꾼 후에 a^x = t로 치환해서 풀었죠? 지수부등식에서도 똑같이 치환해서 풀어요.

4 × 3^{x + 1} - 9^x - 27 > 0의 해를 구하여라.

4 × 3^{x + 1} - 9^x - 27 > 0
4 × 3^x × 3 - (3²)^x - 27> 0
-(3^x)² + 12 × 3^x - 27 > 0
(3^x)² - 12 × 3^x + 27< 0
t² - 12t + 27< 0 (∵ 3^x = t로 치환)
(t - 9)(t - 3) < 0
3 < t < 9
3 < 3^x < 9 (∵ t = 3^x)
3¹ < 3^x < 3²
1 < x < 2

밑 3이 1보다 크니까 방향은 그대로 두고 풀었더니 1 < x < 2가 나오네요.

정리해볼까요

지수부등식: 지수에 미지수가 있는 부등식

임의의 실수 x에 대하여 a^x > 0
a > 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ < x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향) = (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)
0 < a < 1일 때
- a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ > x₂
- (지수부등식의 부등호의 방향)과 (지수의 크기를 나타내는 부등호의 방향)이 반대

지수방정식, 지수방정식의 풀이

<< 수학 1 목차 >>

로그의 뜻

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지수와 지수법칙, 지수함수에 이어 지수방정식이에요. 방정식은 이제까지 정말 많이 다뤘던 거니까 생소하지는 않죠?

지수방정식은 다른 방정식에 비해서 조금 더 쉽다고 할 수 있어요. 식 자체가 고차방정식보다 단순하거든요. 그리고 이차방정식, 고차방정식은 여러 가지를 공부했는데 지수방정식은 이 글 하나만 하면 끝나니까 양도 적지요.

지수의 조건과 방정식의 풀이라는 두 가지를 잘 조합하면 의외로 쉽게 풀 수 있는 단원이니까 천천히 한 번 읽어보세요.

지수방정식

방정식은 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식이에요. 그러니까 지수방정식은 이름 그대로 지수에 미지수가 있어서 미지수에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 식을 말하죠.

지수에 미지수가 있으면 지수방정식, 지수가 아닌 밑에 미지수가 있으면 지수방정식이 아니에요. 2^x = 4는 지수에 미지수가 있으니까 지수방정식이고 x² = 4는 밑에 미지수가 있는 이차방정식이에요. 둘을 잘 구별하세요.

지수함수, 지수함수의 그래프 y = a^x에서 밑 a가 모든 실수는 아니었죠? a > 0이고 a ≠ 1이었어요. 지수방정식에서도 밑은 양수이고 1이 아니에요.

지수방정식의 풀이

3^x = 9를 어떻게 풀까요?

간단히 하면 3^x = 9 = 3²니까 x = 2라는 답을 구할 수 있어요.

두 수가 같을 때, 밑이 같으면 지수도 같아야 하죠. 반대로 생각하면 두 수가 같을 때, 지수가 같다면 밑이 같아야 같아야 하고요.

이 두 가지가 기본적인 풀이법이에요.

a^f(x) = a^g(x) → f(x) = g(x)
a^f(x) = b^f(x) → a = b

첫 번째에서 만약에 a = 1이라면 어떻게 되나요? f(x) ≠ g(x)여도 1^f(x) = 1^g(x) = 1이에요. 사실 이런 경우는 거의 없어서 별로 신경 쓰지 않아도 되지만 혹시 밑에도 미지수가 있다면 a = 1인지 아닌지 확인해봐야 해요.

두 번째에서 f(x) = 0이라면 어떻게 될까요? (양수)⁰ = 1이에요. a ≠ b여도 a^f(x) = b^f(x) = 1이 되지요. 따라서 f(x) = 0인지 아닌지도 확인해야 해요.

정리해보죠.

지수방정식: 지수에 미지수를 포함하고 있는 방정식
밑이 같을 때: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) (단, a > 0, a ≠ 1)
지수가 같을 때: a^f(x) = b^f(x) ⇔ a = b or f(x) = 0 (단, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

다음 지수방정식을 풀어라.
(1) 2^{x + 1} = 4³
(2)
(3)
(4) (x - 1)^{x + 2} = 5^{x + 2}

양변이 같을 때, 밑이 같으면 지수가 같고, 지수가 같으면 밑이 같아요. 그리고 지수가 0으로 같은지도 확인해야 하고요.

(1) 밑이 같게 식을 바꿔보죠.

2^{x + 1} = 4³
2^{x + 1} = (2²)³
2^{x + 1} = 2⁶

밑이 2로 같아요. 그러니까 지수가 같아야 하죠.

x + 1 = 6
x = 5

밑이 로 같으니까 지수를 비교해보죠.

2x + 4 = -2
x = -3

밑이 5로 같으니까 지수를 비교해보죠.

(4) 밑이 다르고 지수가 같아요. 이때는 지수가 0으로 같을 때와 밑이 같을 때로 나눠서 봐야 하죠.

ⅰ) 지수가 0일 때

x + 2 = 0
x = -2

ⅱ) 지수가 0이 아니고 밑이 같을 때

x - 1 = 5
x = 6

x = -2 or 6

이제까지는 항이 2개일 때를 봤어요. 항이 3개일 때도 있는데 풀이법이 달라요. 항이 3개면 치환을 이용해서 풀어요.

식에서 a^x = t로 치환하고 t에 대한 방정식을 푸는 거죠. 단 a > 0이고 a ≠ 1이니까 a^x > 0이라서 t > 0이에요.

지수방정식의 풀이법 2
a^x = t로 치환 (t > 0). (a > 0, a ≠ 1)

4^x + 2^{x + 2} - 16 = 16의 해를 구하여라.

항이 3개 이상인데 상수항을 계산하면 항이 3개예요. 치환할 수 있게 정리해보죠.

4^x + 2^{x + 2} - 16 = 16
(2²)^x + 2² × 2^x - 32 = 0
(2^x)² + 4 × 2^x - 32 = 0

여기서 2^x = t로 치환해보죠.

t² + 4t - 32 = 0
(t - 4)(t + 8) = 0
t = 4 or -8

2^x = 4 or -8

2^x = 4
2^x = 2²
x = 2

2^x = -8
2^x > 0이므로 2^x = -8이 될 수 없다.

따라서 해는 x = 2

정리해볼까요

지수방정식: 지수에 미지수를 포함하고 있는 방정식

지수방정식의 풀이

밑이 같을 때: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x) (단, a > 0, a ≠ 1)
지수가 같을 때: a^f(x) = b^f(x) ⇔ a = b or f(x) = 0 (단, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)
항이 3개 일 때: a^x = t로 치환 (t > 0). (a > 0, a ≠ 1)

지수의 확장 - 실수

<< 수학 2 목차 >>

지수부등식

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지수함수 그래프의 평행이동과 지수함수 그래프의 대칭이동이에요. 중학교 3학년 때 이차함수 그래프의 평행이동과 대칭이동을 공부했었죠? 함수의 종류만 달라졌을 뿐 그래프의 평행이동, 대칭이동이라는 건 똑같아요.

게다가 도형의 평행이동, 대칭이동은 1학년 때 공부했잖아요. 이 내용을 그냥 지수함수의 그래프에 적용한 것뿐이에요.

새로운 내용도 아니고 이미 공부했던 걸 아주 살짝 확장하는 것이니까 그냥 한 번 죽 읽어보세요.

지수함수 그래프의 평행이동

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 평행이동하면 어떻게 될까요? 점과 도형의 평행이동에서 했던 내용을 그대로 지수함수의 그래프에 적용해보죠.

일단 평행이동을 하더라도 그래프의 모양은 바뀌지 않아요.

점을 평행이동하면 이동한 만큼 원래 점의 좌표에 더해줘요. (x, y)라는 점을 x축으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 그 결과는 (x + p, y + q)예요.

도형의 평행이동에서 f(x, y) = 0을 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 f(x - p, y - q) = 0이 된다고 했어요. x 대신 x - p, y 대신 y - q를 대입하죠.

f(x, y) = 0의 평행이동
x축 방향으로 p만큼 평행이동: x 대신 x - p. f(x - p, y) = 0
y축 방향으로 q만큼 평행이동: y 대신 y - q. f(x, y - q) = 0
x축으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동: x 대신 x - p, y 대신 y - q. f(x - p, y - q) = 0

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프는 어떤 특징이 있었나요? 그래프 자체뿐 아니라 꼭 지나는 점이 있었어요. (0, 1)과 (1, a)죠. 이 점도 평행이동하죠? 이동한 만큼 더해줘요.

그리고 점근선이 있었죠? 점근선은 x축 즉 y = 0이라는 직선이었어요. 이 직선은 x축 방향으로 평행이동해도 똑같아요. y축 방향으로 평행이동할 때는 y = 0 대신 y - p = 0이니까 y = p가 되지요.

지수함수 y = a^x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p를 넣어줘요.
y = a^x → y = a^{x - p}
(0, 1) → (p, 1), (1, a) → (1 + p, a)
점근선: y = 0 → y = 0

지수함수 y = a^x의 그래프를 y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q를 넣어요.
y = a^x → y - q = a^x → y = a^x + q
(0, 1) → (0, 1 + q), (1, a) → (1, a + q)
점근선: y = 0 → y - q = 0 → y = q

지수함수 y = a^x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 x 대신 x - p, y 대신 y - q를 넣어줘요.
y = a^x → y - q = a^{x - p} → y = a^{x - p} + q
(0, 1) → (p, 1 + q), (1, a) → (1 + p, a + q)
점근선: y = 0 → y - q = 0 → y = q

이건 외우는 게 아니라 뭐가 어떻게 바뀌는지, 원래 식에 뭘 대입해야 하는지만 알면 돼요.

지수함수 y = a^x (a > 1) 그래프의 평행이동
y = a^x의 그래프	y = a^{x - p}의 그래프
y = a^x + q의 그래프	y = a^{x - p} + q의 그래프

a > 1일 때의 그래프만 있는데 0 < a < 1일 때도 똑같아요.

지수함수 그래프의 대칭이동

이번에는 지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를 대칭이동하면 어떻게 되는지 알아보죠.

이것 역시 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동에서 했던 내용을 지수함수의 그래프에 적용하는 거예요.

f(x, y)= 0의 대칭이동
x축에 대하여 대칭이동: y 대신 -y. f(x, -y) = 0
y축에 대하여 대칭이동: x 대신 -x. f(-x, y) = 0
원점에 대하여 대칭이동: x 대신 -x, y 대신 -y. f(-x, -y) = 0

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 1)의 그래프를
x축에 대하여 대칭이동 하면 -y = a^x → y = -a^x
y축에 대하여 대칭이동 하면 y = a^-x
원점에 대하여 대칭이동 하면 -y = a^-x → y = -a^-x

지수함수의 그래프에서 y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이라는 걸 공부했었죠?

이것도 역시 외우는 게 아니라 뭐가 어떻게 바뀌는지 식에 어떻게 대입해야 하는지만 알면 돼요.

지수함수 y = a^x (a > 1) 그래프의 대칭이동
y = a^x의 그래프	y = a^-x의 그래프
y = -a^x의 그래프	y = -a^-x의 그래프

a > 1일 때의 그래프만 있는데 0 < a < 1일 때도 똑같아요.

정리해볼까요

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 0) 그래프의 평행이동

x축 방향으로 p만큼 평행이동: x 대신 x - p. y = a^x → y = a^{x - p}
y축 방향으로 q만큼 평행이동하면: y 대신 y - q. y = a^x → y - q = a^x → y = a^x + q
x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동: x 대신 x - p, y 대신 y - q. y = a^x → y - q = a^{x - p} → y = a^{x - p} + q

지수함수 y = a^x (a > 0, a ≠ 0) 그래프의 대칭이동

x축에 대하여 대칭이동: y 대신 -y. -y = a^x → y = -a^x

^-x

지수함수, 지수함수의 그래프

<< 수학 1 목차 >>

지수방정식

그리드형

지수법칙에 이어 지수함수예요. 지수함수는 이름 그대로 지수를 이용한 함수예요.

x가 증가할 때 y는 증가하는지 감소하는지, 그래프가 어느 방향으로 향하는지, 반드시 지나는 점이 있는지 등 함수의 그래프를 공부할 때 알아야 하는 성질이 몇 가지 있죠? 지수함수의 그래프에서도 똑같이 그런 특징들을 알아볼 거예요.

그러니까 지수함수는 앞에서 했던 지수가 실수일 때 지수법칙, 일반적인 함수와 그래프의 두 내용이 섞여서 나와요. 이미 알고 있는 두 내용이니까 잘 읽어보면 이해하는 게 그렇게 어렵지는 않을 거예요.

지수함수

a > 0일 때, 임의의 실수 x에 대하여 a^x는 그 값이 하나만 있어요. x에 대하여 한 개의 값만 대응하니까 함수라고 할 수 있죠.

이 y = a^x를 a를 밑으로 하는 지수함수라고 해요.

만약에 a = 1이면 y = 1이라는 상수함수가 되죠? 그래서 지수함수에서는 a ≠ 1이에요.

실수인 거듭제곱근에서 a < 0이고 n이 짝수일 때 y = 를 만족하는 실수는 없다고 했어요. 그러니까 a < 0도 안 돼요.

그래서 지수함수에서는 a > 0이라는 조건이 붙어요.

지수함수
실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)를 a를 밑으로 하는 지수함수라 한다.

지수함수의 그래프

y = a^x에서 x = 0이면 y = 1이죠? x = 1이면 y = a예요. 즉, y = a^x의 그래프는 a와 관계없이 무조건 (0, 1), (1, a)라는 두 점을 지나요.

a > 1일 때를 보죠.

a = 2라고 해볼까요?

…
2^-3 =
2^-2 =
2^-1 =
2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
…

지수가 커지면 커질수록 그 결과도 커져요. 반대로 지수가 작아지면 작아질수록 결과도 작아지죠. 하지만 0보다는 커요.

지수 x가 커지면 y도 커지니까 오른쪽 위로 향하는 그래프죠. 지수 x가 작아지면 y도 작아지는데, 0에 한없이 가까워지기만 할 뿐 0보다는 커요. 그래프가 점점 가까워지는 직선을 점근선이라 하죠? x축이 점근선이에요.

지수함수의 그래프 - a > 1일 때

0 < a < 1일 때를 볼까요?

a = 이라고 해보죠.

지수가 작아지면 작아질수록 그 결과는 커져요. 반대로 지수가 커지면 커질수록 결과는 작아지죠. 하지만 0보다는 커요.

지수 x가 커지면 y도 커지니까 오른쪽 아래로 향하는 그래프죠. 여기서도 x축이 점근선이에요.

지수함수의 그래프 - 0< a < 1일 때

y = 2^x와 y = 의 값을 잘 보세요.

밑이 역수일 때 지수인 x의 부호가 반대면 y값이 같아요. 즉 밑이 역수인 두 지수함수는 y축에 대하여 대칭인 걸 알 수 있어요.

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)의 그래프
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양수의 집합
(0, 1), (1, a)를 지난다.
x축이 점근선
a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭

정리해볼까요

지수함수: 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)를 a를 밑으로 하는 지수함수

지수함수 y = a^x(a > 0, a ≠ 1)의 그래프

정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양수의 집합
(0, 1), (1, a)를 지난다.
x축이 점근선
a > 1일 때, x가 증가하면 y도 증가
0 < a < 1일 때, x가 증가하면 y는 감소
y = a^x의 그래프와 의 그래프는 y축에 대하여 대칭

지수법칙

<< 수학 1 목차 >>

지수함수 그래프의 평행이동

그리드형

지수법칙 마지막 지수가 실수일 때예요. 사실 지수법칙은 별거 없어요. 중학교 때 공부했던 지수법칙과 똑같아요. 단지 지수의 종류가 달라지는 것뿐이에요.

그렇다고 결과만 알아서는 안 되겠죠. 지수의 종류가 달라져도 어떻게 해서 지수법칙이 성립하는지도 알고 있어야 해요.

끝으로 이제까지 공부했던 지수법칙에서 지수의 종류에 따라 조건들이 어떻게 달라지는지도 비교해보죠.

지수법칙 - 실수 지수

이제 지수가 실수일 때를 알아보죠. 지수가 유리수일 때는 지수의 확장 - 유리수 지수에서 알아봤으니까 지수가 무리수일 때만 알아보면 되겠죠?

지수가 무리수인 을 구해볼까요?

= 1.414… 예요. 에 가까워지는 유리수 1, 1.4, 1.41, 1.414, …가 3의 지수라고 해보죠.

3¹, 3^1.4, 3^1.41, 3^1.414, …처럼 될 텐데 이 값들은 일정한 값이 가까워지는데 이 일정할 값을 로 정의할 수 있어요.

이처럼 지수가 무리수일 때도 a^x을 정의할 수 있죠.

지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에서 밑이 양수고, 지수가 유리수일 때 지수법칙이 성립했어요. 여기서는 밑이 양수이고 지수가 실수일 때의 지수법칙이 성립해요.

a > 0, b > 0이고 x, y가 실수일 때
a^xa^y = a^{x + y}
a^x ÷ a^y = a^{x - y}
(a^x)^y = a^xy
(ab)^x = a^xb^x

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

지수법칙을 그대로 적용하면 돼요.

지수법칙 - 지수가 실수일 때 예제 풀이 1

지수법칙 - 지수가 실수일 때 풀이 2

지수법칙 - 지수가 실수일 때 예제 풀이 3

지수법칙 비교

이제까지 지수법칙에서 지수가 정수일 때, 유리수일 때, 실수일 때를 공부했어요. 지수법칙 자체만 보면 계산 방식은 같아요. 밑이 같고 곱하기면 지수끼리 합, 밑이 같고 나누기면 지수끼리 차, 거듭제곱은 지수끼리 곱이죠.

하지만 지수의 종류에 따라 밑이 달라요. 그 차이를 비교해보죠. 외워야 하는 건 아닌데 그래도 알아두세요.

왜 이런 조건들이 붙는지는 지수의 확장 - 음의 지수, 정수 지수, 지수의 확장 - 유리수 지수, 지수법칙에 나와 있어요.

지수법칙 - 지수와 밑의 조건
지수의 조건	밑 a, b의 조건
지수 m, n이 자연수일 때
지수 m, n이 정수일 때	a ≠ 0, b ≠ 0
지수 r, s가 유리수일 때	a > 0, b > 0
지수 x, y가 실수일 때	a > 0, b > 0

정리해볼까요

지수법칙 - a > 0, b > 0이고 x, y가 실수일 때

^x

^y

^{x + y}

a^x ÷ a^y = a^{x - y}
(a^x)^y = a^xy
(ab)^x = a^xb^x

지수의 확장 - 유리수 지수

<< 수학 2 목차 >>

지수방정식과 풀이

그리드형

중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 다 기억하고 있죠? 지수가 자연수일 때 성립하는 법칙이었죠.

이 글에서는 중학교 때 공부했던 지수법칙을 조금 더 확장해보죠. 지수가 0이나 음의 정수일 때는 어떻게 되는지 알아볼 거예요.

지수가 양의 정수(자연수)에서 정수 전체로 넓혀지지만, 지수법칙의 방법이 달라지거나 새로운 법칙이 나오는 게 아니니까 생각보다 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

공식으로 외우는 건 어려울 수 있어도 실제 계산을 해보면 훨씬 더 쉽다는 걸 느낄 거예요.

지수의 확장 - 정수 지수

중학교 때 공부했던 지수법칙부터 정리해보죠. 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

m, n이 자연수일 때

a^m × aⁿ = a^{m + n}

(a^m)ⁿ = a^mn = (aⁿ)^m

(ab)^m = a^mb^m

지수 m, n이 자연수일 때였어요. 이제는 m, n이 자연수가 아니라 0이거나 음의 정수일 때는 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요.

지수법칙 첫 번째 a^m × aⁿ = a^{m + n}에서 a ≠ 0이고 m = 0이라고 해보죠.

a⁰ × aⁿ = a^{0 + n} = aⁿ

양변을 aⁿ로 나눠볼까요?

a⁰ × aⁿ = aⁿ
a⁰ = 1 (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0일 때, a⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요.

이번에는 m = -n일 때를 보죠.

a^m × aⁿ = a^-n × aⁿ = a^{-n + n} = a⁰ = 1

이번에도 양변을 aⁿ로 나눠요.

a^-n × aⁿ = 1
a^-n = (∵ 양변 ÷ aⁿ)

a ≠ 0이고, n이 양의 정수일 때
a⁰ = 1, a^-n =

0은 0이고 -n은 음의 정수죠? 그러니까 이제부터는 지수가 양의 정수(자연수)뿐 아니라 0, 음의 정수일 때도 지수법칙을 활용할 수 있어요.

0이 아닌 수의 0제곱은 1이에요. 계산할 때 지수가 음의 정수면 숫자는 역수로 바꾸고 지수는 양의 정수로 바꿔서 하면 쉬워요. a^-n =

(-1)⁰ = 1, 2⁰ = 1,

지금까지는 a^m ÷ aⁿ에서 나눗셈 기호 앞, 뒤에 있는 수에서 어느 쪽이 지수가 더 크냐 작으냐를 따져서 계산했잖아요. 앞으로는 그럴 필요가 없어요.

a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}로 바로 계산해서 지수에 맞게 값을 고쳐주면 되는 거예요.

지수가 자연수일 때, 0일 때, 음수일 때를 한 번에 합쳐서 지수가 정수일 때로 정리해보죠.

a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때
a^maⁿ = a^{m + n}
a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)^m = a^mb^m

참고로 a = 0이고 지수 m이 자연수인 경우인 0², 0³등은 정의할 수 있어요. 0 × 0 = 0, 0 × 0 × 0 = 0이죠. 하지만 지수 m이 0이거나 음수인 경우인 0⁰, 0^-1, 0^-2 등은 정의하지 않아요. 네이버캐스트 - 0의 0제곱은?

다음을 간단히 하여라.
(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
(2) (a²b^-3)⁴

(1) (a²)³ × a⁴ ÷ a^-5
= a⁶ × a⁴ ÷ a^-5
= a^{6 + 4 - (-5)}
= a¹⁵

(2) (a²b^-3)⁴
= (a²)⁴(b^-3)⁴
= a⁸b^-12
=

정리해볼까요

지수의 확장 - 지수가 정수일 때

a ≠ 0, b ≠ 0이고, m, n이 정수일 때
a^maⁿ = a^{m + n}
a^m ÷ aⁿ = a^{m - n}
(a^m)ⁿ = a^mn
(ab)^m = a^mb^m

거듭제곱근의 성질

<< 수학 1 목차 >>

지수의 확장 - 유리수 지수, 실수 지수

그리드형

거듭제곱근의 성질에 대해서 알아볼 거예요. 여기서 공부할 거듭제곱근의 성질은 앞으로 계속 공부할 거듭제곱근의 기본이 되는 성질이에요.

내용이 복잡해서 조금 어려울 수도 있지만, 꼭 이해하고 넘어가야 하는 내용이에요. 한 번 읽어서는 이해가 안될수도 있으니 여러 번 꼼꼼히 읽어보세요.

중3 때 공부했던 제곱근의 성질과 비슷한 점도 있고, 중2 때 공부했던 지수법칙을 확장했다고 생각하면 조금 쉽게 공부할 수 있을 거예요.

거듭제곱근의 성질

n이 2 이상의 정수일 때, 은 n 제곱해서 a가 되는 실수예요. 그러니까 를 n번 곱한 는 a가 되겠죠?

= a

= 2죠? 제곱근 안에 있는 제곱인 수는 근호 밖으로 꺼낼 수 있어요. 그럼 처럼 n 제곱근호 안에 있는 n 제곱인 수도 거듭제곱근 밖으로 꺼낼 수 있겠죠? 어떻게 꺼내는지 알아볼까요?

aⁿ에 n 제곱근호를 씌운 을 구해보죠. a의 n 거듭제곱근과 a에 n 거듭제곱근호을 씌운 것의 차이는 이해하죠? 2의 제곱근은 ±고, 2에 근호를 씌운 건 그냥 예요.

실수인 거듭제곱근에서 a가 양수인지 음수인지, n이 짝수인지 홀수인지에 따라 실수 a의 n 제곱근을 구했었어요.

xⁿ = a일 때 실수인 거듭제곱근
	a > 0	a = 0	a < 0
n이 짝수		0	없다.
n이 홀수

저 표를 말로 정리해보면 다음과 같아요.

양수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 양수, 음수 2개)
음수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 없음
양수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 1개)
음수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 음수 (n 제곱근은 1개)

여기서는 a가 aⁿ으로 바뀌었어요. 그러니까 a의 부호와 n에 따라 aⁿ의 부호가 어떻게 바뀌는지가 중요하죠.

a > 0이고 n이 짝수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로 = a
a < 0이고 n이 짝수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로 = -a
a > 0이고 n이 홀수면 aⁿ은 양수 → 양수 aⁿ에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 양수 → > 0이므로 = a
a < 0이고 n이 홀수면 aⁿ은 음수 → 음수 aⁿ에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 음수 → < 0이므로 = a

되게 복잡해 보이는데 간단히 말해서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 결과는 원래 수와 같은 부호라는 거예요. 한 가지 덧붙이자면 n이 짝수든 음수든 0은 그냥 0이고요.

에서 a = 3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 3이에요. = 3
에서 a = -3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 a 앞에 (-)를 붙여야 해요. = -(-3) = 3
에서 a = 3이고 n = 5로 홀수예요. 원래 수와 부호가 같으니까 결과는 3이에요. = 3
에서 a = -3으로 음수고 n = 5로 홀수예요. 결과는 원래 수와 부호가 같은 음수인 -3이에요. = -3

n이 짝수일 때 는 무조건 양수예요. a > 0이면 = a라는 거죠. n이 홀수일 때는 원래 부호 그대로니까 a > 0이면 = a예요. 그러니까 a > 0이면 n이 짝수이든 홀수이든 상관없이 은 무조건 양수 a라는 거예요.

a > 0이면 = a

거듭제곱의 성질 - 지수법칙 이용

중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 기억나죠? 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수

중학교 3학년 때는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부했었고요.

이었어요. 제곱근을 곱할 때는 그냥 숫자끼리 곱하고 근호를 씌워주면 됐었죠? 제곱근의 나눗셈도 마찬가지로 숫자끼리 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었어요. 거듭제곱근에서도 같은 성질이 있는지 알아보죠.

a > 0, b > 0, n이 2 이상의 정수일 때를 n 제곱해보죠.

지수법칙과 위에서 했던 = a 두 가지를 이용했어요. a > 0, b > 0이니까 > 0, > 0으로 > 0이에요.

이번에는 ab에 n제곱근을 씌운 를 보죠. a > 0, b > 0이니까 ab > 0이에요. 양수에 n 제곱근호을 씌우면 그 결과는 양수예요. 따라서 는 양수 ab의 양의 n 제곱근이죠.

는 양수고, n 제곱하면 ab가 돼요. ab의 양의 n 제곱근은 이니까 결국 둘은 같은 거죠.

=

이와 비슷한 방법으로 아래 공식들을 증명할 수 있어요.

a > 0, b > 0, m, n이 2 이상의 정수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)

(1) 에서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 원래 수의 부호예요.

= 3 + 4 - 5 - (-6)
= 8

정리해볼까요

거듭제곱근의 성질

= a
a > 0이면 = a

a > 0, b > 0, m, n이 2 이상의 정수일 때

실수인 거듭제곱근

<< 수학 1 목차 >>

음수인 지수, 유리수 지수

그리드형

거듭제곱근에 대해서 공부할 거예요. 거듭제곱근은 이름에서 알 수 있듯이 거듭제곱과 관련된 내용이에요. 거듭제곱이 나오면 당연히 지수법칙이 따라오고요. 또, 이름 뒷부분에 제곱근이라는 게 있으니까 제곱근과도 관련된 내용도 나와요. 따라서 거듭제곱, 지수법칙, 제곱근의 의미 등 중학교에서 공부했던 내용에 대해서 잘 이해하고 있어야 해요.

반대로 말해서 거듭제곱, 지수법칙, 제곱근의 의미를 잘 이해하고 있다면 쉽게 공부할 수 있는 내용이에요.

거듭제곱근

거듭제곱과 지수법칙

거듭제곱과 지수법칙에 대해서 간단히 정리해보죠.

거듭제곱은 어떤 수를 반복해서 곱하는 것을 말해요.

2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, …

거듭제곱으로 표시했을 때 아래에 있는 (곱한 숫자)를 밑, 오른쪽 위에 잇는 (곱한 횟수)를 지수라고 하죠.

거듭제곱
(곱하는 수)^{(곱한 횟수)} → 밑^지수

이런 지수에는 특별한 법칙이 성립하고 이를 지수법칙이라고 해요.

m, n이 자연수일 때
a^m × aⁿ = a^{m + n}
(a^m)ⁿ = a^mn

거듭제곱근

제곱근은 뭔가요? 제곱해서 실수 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 하죠?

x² = a ⇔ x =

그럼 세제곱해서 a가 되는 수도 있겠죠? 그런 수를 바로 a의 세제곱근이라고 해요.

y³ = a

2² = (-2)² = 4이므로 4의 제곱근은 ±2죠.
2³ = 8이므로 8의 실수인 세제곱근은 2에요.
2⁴ = (-2)⁴ = 16이므로 16의 실수인 네제곱근은 ±2죠.

이처럼 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …이 있는데, 이를 통틀어서 거듭제곱근이라고 해요.

삼차방정식의 허근 ω 오메가의 성질에서 ω는 x³ = 1의 한 허근이었죠? 여기서 x는 세제곱해서 1이 되는 수니까 x는 1의 세제곱근이에요.

xⁿ = a일 때
x는 a의 n 제곱근
(a는 실수, n은 2 이상의 자연수)

다음을 구하여라.
(1) -1의 세제곱근 (2) 81의 네제곱근

(1) x³ = -1
x³ + 1 = 0
(x + 1)(x² - x + 1) = 0
-1의 세제곱근은 -1,

(2) x⁴ = 81
x⁴ - 81 = 0
(x² + 9)(x² - 9) = 0
(x + 3i)(x - 3i)(x + 3)(x - 3) = 0

81의 네제곱근은 ±3, ±3i

정리해볼까요

거듭제곱근

xⁿ = a일 때
x는 a의 n 제곱근
(a는 실수, n은 2 이상의 자연수)
a의 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …을 통틀어서 거듭제곱근

행렬과 그래프 - 그래프를 행렬로 나타내기

<< 수학 1 목차 >>

실수인 거듭제곱근

그리드형

행렬의 곱셈은 행렬의 실수배에 비하면 훨씬 어려워요. 행렬을 곱할 수 있는 조건이 있어 이 조건을 만족하지 않으면 곱셈을 하지 못하는 경우도 있어요.

게다가 계산방식도 매우 까다롭죠. 도형 문제처럼 행렬을 그리고 자리와 위치를 이용해서 계산 방식을 이해하도록 노력하세요. 행렬의 곱셈 계산은 연습을 많이 해봐야 해요. 교과서나 문제집에 있는 문제를 많이 풀어보세요.

또, 행렬도 숫자나 문자처럼 거듭제곱으로 나타낼 수 있는데 어떤 경우에 어떻게 나타내는지 알아보죠.

행렬의 곱셈

두 행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같을 때, 행렬A의 제i행의 각 성분과 행렬 B의 제j열의 각 성분을 그 순서대로 곱하여 더한 것을 (i , j)성분으로 하는 행렬을 두 행렬 A와 B의 곱이라 하고 기호로 AB와 같이 나타내요.

행렬의 곱셈

그림에서 보면 행렬 A는 m × k 행렬이고 행렬 B는 k × n 행렬이에요. (행렬 A의 열의 개수 k) = (행렬 B의 행의 개수 k)이므로 두 행렬을 곱할 수 있어요. 행렬 A와 행렬 B를 곱한 결과인 행렬 AB는 m × n행렬이에요. × 기호의 앞에 있는 행렬의 행의 개수와 × 기호 뒤에 있는 행렬의 열의 개수를 따르죠.

그럼 반대로 B × A를 구할 수 있을까요? ×기호 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 두 행렬을 곱할 수 있어요.

B는 k × n 행렬이고 A는 m × k 행렬로 (B의 열의 개수 n) ≠ (A의 행의 개수 m)이므로 이 경우에 BA라는 행렬을 얻을 수는 없습니다.

A × B를 구해보죠.

A는 2 × 3 행렬, B는 3 × 2 행렬이므로 AB는 2 × 2 행렬이에요. 각 성분을 구해볼까요?

행렬의 곱셈 2

선으로 연결된 것끼리 곱한 값들을 더해요. 이런 과정을 반복하는 거죠.

행렬 AB의 (1, 1) 성분은 행렬 A의 제1행 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁

행렬 AB의 (1, 2) 성분은 행렬 A의 제1행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂

행렬 AB의 (2, 1) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁

행렬 AB의 (2, 2) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂

정리해보죠.

좀 복잡해 보이죠? 문자로 되어있어서 그렇지 문제에는 숫자로 나오니까 실제로 해보면 이보다는 조금 더 쉬워요.

행렬의 곱셈
(× 기호 앞의 행렬의 열의 개수) = (× 뒤에 있는 행렬의 행의 개수)일 때만 곱셈 가능
(×) 기호 앞에 있는 행렬의 제i행과 (×) 기호 뒤에 있는 행렬의 제j열의 성분을 차례대로 곱하여 더한 값이 (i, j)성분

행렬의 거듭제곱

숫자와 문자의 거듭제곱처럼 행렬 A를 여러 번 곱하는 걸 행렬의 거듭제곱이라고 해요. 행렬의 거듭제곱도 지수를 이용해서 표현하지요.

2 × 2 = 2²
a × a = a²
A × A = A²

여기서 한 가지 알아둘 게 있어요.

A² = A × A에서 × 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 × 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 행렬의 곱셈을 할 수 있어요. 여기서는 같은 행렬을 곱하므로 결국 이 행렬은 행의 개수와 열의 개수가 같은 정사각행렬이라는 걸 알 수 있어요.

즉, 행렬의 거듭제곱은 정사각행렬에서만 정의할 수 있다는 얘기예요.

행렬의 거듭제곱
정사각행렬만
지수를 이용해서 표현. A², A³, …

일 때, 행렬의 곱셈을 할 수 있는 것과 없는 것을 나누고 행렬의 곱셈을 할 수 있으면 곱한 결과를 구하여라.
(1) A × B
(2) B × A
(3) A²
(4) B²

(1) A는 2 × 2 행렬, B는 2 × 3 행렬로 곱한 결과는 2 × 3 행렬이 되겠네요.

(2) B는 2 × 3 행렬, A는 2 × 2 행렬로 (앞에 있는 행렬의 열의 개수 3) ≠ (뒤에 있는 행렬의 행의 개수 2)로 행렬의 곱셈을 할 수 없어요.

(3) A는 2 × 2의 정사각행렬이므로 거듭제곱을 할 수 있어요.

(4) B는 2 × 3 행렬로 정사각행렬이 아니므로 거듭제곱을 할 수 없어요.

정리해볼까요

행렬의 곱셈

(× 기호 앞의 행렬의 열의 개수) = (× 뒤에 있는 행렬의 행의 개수)일 때만 곱셈 가능
(×) 기호 앞에 있는 행렬의 제i행과 (×) 기호 뒤에 있는 행렬의 제j열의 성분을 차례대로 곱하여 더한 값이 (i, j)성분

행렬의 거듭제곱

정사각행렬만
지수를 이용해서 표현. A², A³, …

행렬의 실수배, 행렬의 실수배에 대한 성질

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행렬의 곱셈에 대한 성질

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