수학방

지수법칙 두 가지를 공부했었죠? 밑이 같은 거듭제곱의 곱일 때는 밑을 그대로 써주고 지수는 더해주는 거였고요. 거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑은 그대로 쓰고, 지수를 곱해주는 거였어요.

지수법칙 두 번째는 나눗셈과 괄호가 있을 때의 거듭제곱이에요.

나눗셈에서는 지수의 크기가 중요해요. 지수의 크기에 따라 계산 방법이 달라지거든요. 괄호가 있을 때는 분수든 아니든 상관없이 공통된 특징이 있으니 이건 쉽게 이해할 거예요.

지수법칙

2⁵ ÷ 2³을 해볼까요? 지수를 풀어서 계산(약분)한 다음, 다시 거듭제곱으로 나타내보죠.

지수만 보면 5 - 3 = 2가 되죠. 밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 빼면 돼요. 여기까지는 지수법칙 첫 번째에서 했던 밑이 같은 거듭제곱의 곱과 비슷해요. 밑이 다르거나 나눗셈이 아니면 쓸 수 없다는 것까지 같지요.

이번에는 2⁵ ÷ 2⁵을 해보죠.

위처럼 밑은 그대로 쓰고, 지수의 차를 구해보면 2⁵ ÷ 2⁵ = 2^{5 - 5} = 2⁰이 되겠지요? 여기에서 2⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요. 지수가 같으면 나누기의 결과로 지수는 0이 되고, 밑이 2든 3이든 상관없이 모든 수의 0 제곱은 1이에요.

이번에는 2³ ÷ 2⁵를 해볼까요?

밑이 같고 지수의 나눗셈이니까 밑은 그대로 쓰고, 지수끼리 빼면 2³ ÷ 2⁵ = 2^{3 - 5} = 2^-2이 돼요. 지수가 -2인데, (-)는 분수라는 걸 말해요. 지수가 2인 분수꼴이라는 뜻이죠. 나누는 수의 지수가 클 때는 분수로 쓰되, 지수는 큰 것에서 작은 걸 빼주는 거지요.

위 세 경우에서 보듯이 거듭제곱의 나눗셈은 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 크기에 따라 계산 방법이 살짝 달라져요.

a ≠ 0이고, m, n이 자연수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) a⁶ ÷ a²
(2) b⁵ ÷ b³ ÷ b²
(3) c³ ÷ c⁷

밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈에서는 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 중 어디가 큰지에 따라 달라져요. 나누어지는 수의 지수가 크면 밑은 그대로 쓰고 지수의 차, 같으면 1, 나누어지는 수의 지수가 더 작으면 분수 형태예요.

(1) 나누어지는 수의 지수가 나누는 수의 지수보다 크네요.

a⁶ ÷ a²
= a^{6 - 2}
= a⁴

(2)에서는 항이 3개지만 밑이 같으면 한꺼번에 계산할 수 있어요.
b⁵ ÷ b³ ÷ b²
= b^{5 - 3 - 2}
= b⁰
= 1

(3)은 나눠지는 수의 지수가 더 작으니까 분수로 나오겠지요.

괄호가 있을 때 지수법칙

이번에는 여러 개의 문자나 수를 한꺼번에 거듭제곱할 때 어떻게 되는지 알아보죠.

(ab)³을 볼까요? ab를 3번 곱한 건데, 원래 a × b에서 곱셈기호가 생략된 거죠.

(ab)³
= (a × b)³                                 곱셈기호 살리기
= (a × b) × (a × b) × (a × b)
= (a × a × a) × (b × b ×b )     곱셈에 대한 교환법칙
= a³ × b³
= a³b³                                      곱셈기호 생략

첫 줄과 끝줄만 보면, (ab)³ = a³b³로 괄호 안에 있는 것들을 각각 세제곱한 것과 같아요.

분수의 거듭제곱도 분자, 분모를 각각 거듭제곱한 것과 같죠.

위 두 가지를 정리해 보면, 괄호로 묶여있는 걸 거듭제곱하면 괄호 안에 있는 것들을 각각 거듭제곱한 것과 같다는 걸 알 수 있어요.

b ≠ 0이고, m이 자연수일 때

다음을 간단히 하여라.

괄호 안에 있는 건 분수든 아니든 상관없이 각각을 거듭제곱해줘야 해요.

(1) (a³b²)²
= (a³)²(b²)²
= a^{3 × 2}b^{2 × 2}
= a⁶b⁴

(2)에서 (-a) = (-1) × a에요.
(-a)⁴ × (-b)³
= (-1)⁴a⁴ × (-1)³b³
= a⁴ × (-b³)
= -a⁴b³

함께 보면 좋은 글

지수법칙 - 곱셈, 거듭제곱
단항식의 곱셈과 나눗셈
다항식의 계산, 다항식의 덧셈과 뺄셈
단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈
곱셈공식 - 완전제곱식
곱셈공식 두 번째 - 합차공식 외

1학년 때 거듭제곱의 뜻, 거듭제곱으로 나타내기를 공부했었죠? 내용이 기억나나요? 똑같은 수를 여러 번 곱할 때, 거듭제곱을 이용해서 나타낸다고 했지요? 거듭제곱에서 곱해지는 수를 보통 크기로 쓰고, 곱하는 횟수는 오른쪽 위에 작게 쓰기로 했어요. 이때, 아래에 있는 걸 밑, 오른쪽 위에 작게 쓰여진 걸 지수라고 했지요.

지수법칙에서 지수는 바로 거듭제곱에서의 지수를 말해요.

지수법칙은 거듭제곱에서 지수를 계산하는 법칙인데, 얼마나 중요하면 이름이 공식도 아니고 법칙이겠어요. 꼭 외워야겠죠?

지수법칙

지수법칙 1 - 거듭제곱의 곱

2³ × 2⁵을 계산해볼까요? 거듭제곱으로 쓰여있는 걸 곱하기로 풀어서 계산한 다음 다시 거듭제곱으로 써 보죠.

2³ × 2⁵
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 2⁸

가운데 지수를 풀어쓴 부분을 제외하면 2³ × 2⁵ = 2⁸이 돼요. 지수만 보죠. 두 지수 3과 5를 더하면 8이죠? 이게 지수법칙의 첫 번째 입니다. 밑이 같은 두 거듭제곱의 곱은 밑은 그대로 쓰고 지수만 서로 더해주는 거죠.

위 지수법칙이 성립하려면 조건이 있어요. 밑이 같아야 하고, 두 거듭제곱이 곱셈이어야 해요. 밑이 다르거나 곱셈이 아니면 성립하지 않아요.

밑은 같지만, 곱셈이 아니라 덧셈인 경우를 보죠.

2³ + 2⁵
= (2 × 2 × 2) + (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 8 + 32
= 40
= 2³ × 5

2⁸ = 256 ≠ 2³ + 2⁵에요.

곱셈이지만 밑이 다르면 어떻게 되는지 볼까요?

2³ × 3²
= (2 × 2 × 2) × (3 × 3)
= 8 × 9
= 72

2³ × 3²에서 지수는 더하라고 했으니까 3 + 2 = 5이고, 밑은 그대로인데, 2와 3 두 개 중 어떤 걸 쓸까 고민하다가 2 × 3 = 6이니까 6으로 해서 6⁵으로 쓰는 경우가 많이 있어요. 이렇게 하면 절대로 안 돼요.

다시 정리할게요. 첫 번째 지수법칙이 성립하려면 밑이 같고, 거듭제곱의 곱셈이어야 해요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (-1)² × (-1)³
(2) a² × a³ × a⁴
(3) a³ × b² × a⁵ × b⁴

밑이 같은 거듭제곱의 곱셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 더해주는 거예요.

(1) (-1)² × (-1)³ = (-1)^{2 + 3} = (-1)⁵ = -1

(2)는 항이 세 개인데, 세 개 다 밑이 같고 곱셈이므로 지수법칙을 한꺼번에 적용할 수 있어요.
a² × a³ × a⁴ = a^{2 + 3 + 4} = a⁹

(3)은 밑이 a와 b가 섞여 있죠? a, b를 따로 계산해야 해요.
a³ × b² × a⁵ × b⁴
= a³ × a⁵ × b² × b⁴
= a^{3 + 5} × b^{2 + 4}
= a⁸ × b⁶
= a⁸b⁶
밑이 다르므로 더 이상 계산할 수 없고, 곱셈기호만 생략할 수 있어요.

지수법칙 두 번째 - 거듭제곱의 거듭제곱

지수법칙 두 번째는 거듭제곱의 거듭제곱이에요.

(2³)²를 해보죠. 2³을 통째로 하나의 문자라고 생각해보세요. (2³)²는 2³를 두 번 곱하는 거죠?

(2³)²
= (2³) × (2³)
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
= 2⁶

처음하고 끝줄만 볼까요? (2³)² = 2⁶에서 지수 2와 지수 3을 곱하면 6이 되죠?

바로 지수법칙 두 번째에요. 거듭제곱의 거듭제곱은 밑은 그대로 쓰고 지수만 서로 곱해주는 거예요.

여기는 별다른 조건이 없어요. 그냥 계산하면 돼요.

곱셈에서는 교환법칙이 성립하죠? 그래서 지수 m, n의 자리를 바꿔서 계산한 (a^m)ⁿ = a^mn = a^nm = (aⁿ)^m가 성립해요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (x³)⁴
(2) (a²)³ × (a³)³
(3) (a²)³ × (b³)²

거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑을 그대로 쓰고, 지수를 곱해줘요.

(1) (x³)⁴ = x^{3 × 4} = x¹²

(2)는 (거듭제곱의 거듭제곱) 두 개가 곱해져 있어요. 지수법칙 첫 번째와 두 번째가 섞여있는 거죠. 두 번째 지수법칙을 먼저 적용한 다음 첫 번째 지수법칙을 이용해서 계산해야 합니다.
(a²)³ × (a³)³
= (a^{2 × 3}) × (a^{3 × 3})
= a⁶ × a⁹
= a^{6 + 9}
= a¹⁵

(3)도 같은 건데, 밑이 a와 b로 달라요. 주의하세요.
(a²)³ × (b³)²
= (a^{2 × 3}) × (b^{3 × 2})
= a⁶ × b⁶
= a⁶b⁶

함께 보면 좋은 글

지수법칙 - 나눗셈, 괄호, 분수
[중등수학/중1 수학] - 거듭제곱의 뜻, 거듭제곱으로 나타내기, 제곱, 세제곱
[중등수학/중1 수학] - 곱셈기호의 생략, 나눗셈 기호의 생략
[중등수학/중1 수학] - 교환법칙

최대공약수에 이어 최소공배수에요. 최소공배수가 뭔지는 다 알고 있죠?

최대공약수와 최소공배수 구하는 방법은 한 끗 차이에요. 기본적인 방법은 같으니까 그 차이만 기억한다면 어렵지 않은 부분이죠. 대신 둘을 헷갈리면 안 돼요.

또 어떤 친구들은 최대공배수, 최소공약수라는 표현을 쓰기도 하는데, 이는 잘못된 내용이니까 틀리지 않도록 주의하세요.

최소공배수 구하는 방법을 하기 전에 최대공약수, 최대공약수 구하는 방법을 미리 한번 읽어보면 더욱더 잘 이해가 될 거예요.

최소공배수

공배수는 2개 이상의 자연수의 공통된 배수죠. 이 공배수 중에서 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 해요.

공배수를 구할 때는 두 수의 배수를 죽 쓰고, 그중에 공통으로 들어있는 걸 찾았죠? 이제부터는 다른 방법을 이용할 거예요. 공배수는 최소공배수의 배수라는 성질을 이용하는 거죠.

5와 6의 공배수를 찾아볼까요?
5의 배수: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, ….
6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, …
5과 6의 공배수: 30, 60, 90, …

5와 6의 최소공배수는 30이에요. 30의 배수는 30, 60, 90, 120, … 이죠. 바로 5와 6의 공배수와 같아요. 즉 어떤 자연수의 공배수는 최소공배수의 배수라는 걸 알 수 있어요.

이제부터 공배수를 구할 때는 최소공배수만 구하고, 그 최소공배수의 배수를 구하면 되는 거예요.

최소공배수: 공배수 중 가장 작은 공배수
둘 이상의 자연수의 공배수 = 최소공배수의 배수

최소공배수 구하는 방법

최소공배수를 구하는 방법은 두 가지에요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 방법이에요.

공약수로 나누기

방법은 최대공약수 구하는 방법과 같아요. 두 수를 적고, 서로소가 나올 때까지 계속 공약수로 나누는 거지요. 차이가 있다면 최대공약수에서는 공약수들만 곱했는데, 최소공배수는 공약수에 서로소까지 곱하는 거예요.

60과 48의 최소공배수를 구해볼까요?

위처럼 됐는데, 최대공약수는 왼쪽에 있는 2² × 3 = 12이에요.
최소공배수는 2² × 3에 아래에 있는 서로소(5, 4)까지 곱해서 2² × 3 × 5 × 4 = 2⁴ × 3 × 5 = 240이지요.

만약에 세 자연수의 최소공배수를 구하려 한다면 조금 달라져요.

③에 보면 15, 12, 10이라는 숫자가 있는데, 세 숫자의 공약수가 아닌 2로 나눴지요? 세 수에서 공약수를 찾을 수 없을 때는 두 수를 선택해서 둘의 공약수로 나눠주는 거예요. 그럼 두 수는 공약수로 나누고, 나뉘지 않는 다른 한 수는 그냥 그대로 쓰면 돼요. 15, 12, 10을 2로 나눴더니 15는 그대로 12는 6, 10은 5로 되었지요?

④에서도 마찬가지예요. 15, 6, 5라는 세 숫자는 공약수가 없어요. 그래서 15와 6만 공약수인 3으로 나눠주고 5는 나뉘지 않으니까 그대로 5에요.

⑤ 5, 2, 5에서는 5로 나눈 거지요.

숫자가 세 개일 때는 세 수에서 모두 서로소가 나올 때까지 계속 나누는 거예요.

60, 48, 40의 최소공배수는 2⁴ × 3 × 5 = 240이네요.

지수이용

지수를 이용할 거니까 숫자를 소인수분해를 해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.

최대공약수는 공통인 소수를 쓰되, 지수가 작은 걸 썼죠? 최소공배수는 달라요. 공통이든 아니든 모든 소수를 다 쓰되, 공통인 건 지수가 큰 걸 써요.

60과 48의 최소공배수를 지수를 이용하여 구해보죠.

일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 2² × 3 × 5, 48 = 2⁴ × 3이죠.

이제는 소수별로 비교해볼게요.

2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 2²이고 48에는 2⁴에요. 48에 있는 2의 지수가 더 크네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.

최소공배수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 큰 걸 쓰고, 공통이 아닌 소수는 모두 다 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 2⁴이 지수가 크죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 1로 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 48에는 들어있지 않지만 60에는 들어있으니까 5도 쓰고요. 최종적으로 60과 48의 최소공배수는 2⁴ × 3 × 5네요.

첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.

최소공배수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수와 서로소를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 높은 수들과 공통되지 않은 모든 소수 곱. 소인수분해가 된 형태로 나왔을 때 사용

다음의 두 수의 최소공배수를 구하여라. (1) 72, 126       (2) 2² × 5³ × 7, 2³ × 7²

(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.

최소공배수는 왼쪽에 있는 공약수와 아래에 있는 소수들의 곱이므로 2 × 3² × 4 × 7 = 2³ × 3² × 7

(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 2²과 2³중 지수가 큰 건 2³
5는 한쪽에만 들어있으니까 쓰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 7²이니까 지수가 큰 7²을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최소공배수는 2³ × 5³ × 7²이에요.

함께 보면 좋은 글

소수와 합성수, 소수의 뜻, 합성수의 뜻
소인수분해, 소인수분해 하는 법, 소인수 뜻
소인수분해를 이용하여 약수 구하기, 약수 개수 구하기
최대공약수, 최대공약수 구하는 방법
최대공약수와 최소공배수의 활용
최대공약수와 최소공배수의 관계

이번에는 최대공약수에 대해서 더 알아볼 거예요.

이제까지는 최대공약수를 구할 때 일단 약수를 모두 구해놓고 그중에서 가장 큰 걸 찾았잖아요. 약수를 모두 구해야 하는 아주 귀찮은 방법이죠. 약수를 다 찾지 못했거나 공약수를 잘 골라내지 못하면 틀리게 되는 방법이기도 하고요.

공약수와 최대공약수를 구할 때 아주 편리한 방법이 있어요. 이 방법을 이용하면 귀찮은 과정도 줄어들고, 공약수를 빼먹을 확률도 줄어들죠.

최대공약수의 성질과 최대공약수를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

최대공약수

최대공약수의 뜻과 성질

공약수는 두 개 이상의 자연수의 공통된 약수에요. 이 공약수 중에서 가장 큰 공약수를 바로 최대공약수라고 하지요.

최대공약수를 알면 공약수를 쉽게 구할 수 있어요. 최대공약수의 약수가 공약수거든요. 최대공약수를 먼저 구하고 그다음 최대공약수의 약수를 구하는 방법을 알아보죠.

예를 들어 12와 18의 최대공약수를 알아볼까요?
12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18

두 수의 공약수는 1, 2, 3, 6이고 이 중 가장 큰 공약수, 최대공약수가 6이에요. 그런데 이 6의 약수가 바로 1, 2, 3, 6이지요. 이 네 숫자는 12와 18의 공약수와 같아요. 어떤 두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수와 같다는 걸 알 수 있어요.

이제까지는 약수를 구하고, 공약수를 찾은 다음 최대공약수를 찾았죠. 지금부터는 반대로 최대공약수를 먼저 찾고, 최대공약수의 약수를 구해서 공약수를 찾아요.

최대공약수에서 또 하나 알아야 할 건 서로소에요. 두 수의 공약수가 1밖에 없을 때 이 두 수를 서로소라고 합니다. 이때는 공약수가 1밖에 없으니까 최대공약수가 1이라고도 표현하지요.

최대공약수: 공약수 중 가장 큰 공약수
최대공약수의 약수 = 공약수
서로소: 공약수가 1뿐인 2개 이상의 자연수, 최대공약수가 1

최대공약수 구하는 방법

최대공약수를 구하는 방법은 두 가지가 있어요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 거예요.

최대공약수 구하는 방법 첫 번째 - 공약수로 나누기

소인수분해 어떻게 했나요? 수를 쓰고, 소수가 나올 때까지 소수로 계속 나눴잖아요. 최대공약수를 구할 때도 이와 비슷하게 해요. 나뉘는 수가 2개 이상이라는 게 다르죠. 나누는 수는 꼭 공약수여야만 하는 게 제일 중요해요.

바로 이 나누는 수들의 곱이 최대공약수입니다.

60과 48의 최대공약수를 구해보죠.

60과 48의 공약수인 2로 두 수를 나눴더니 30, 24가 됐어요. 다시 2로 나누니까 15, 12가 됐고요. 15와 12의 공약수인 3으로 나눴더니 5, 4가 됐어요. 5와 4는 공약수가 1밖에 없는 서로소에요. 더는 나눌 수가 없으니 멈추세요.

왼쪽에 쓰여 있는 나누는 수가 2, 2, 3인데요. 이 세 수를 곱한 2 × 2 × 3 = 2² × 3 = 12가 60과 48의 최대공약수에요.

한 가지 좋은 건 소인수분해와 달리 나누는 수는 소수가 아니어도 상관없어요.

60과 48의 공약수 중 6을 이용했더니 계산이 조금 더 짧아졌죠? 마찬가지로 공약수는 왼쪽에 있는 나누는 수의 곱이므로 6 × 2 = 12에요. 소수로 나누지 않아도 최대공약수는 똑같죠?

최대공약수 구하는 방법 두 번째 - 지수이용

두 번째는 지수를 이용하는 방법이에요. 지수를 이용할 거니까 소인수분해해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.

60과 48의 최대공약수를 지수를 이용하여 구해보죠.

일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 2² × 3 × 5, 48 = 2⁴ × 3이죠.

이제는 소수별로 비교해 볼게요.

2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 2²이고 48에는 2⁴이에요. 60에 있는 2의 지수가 더 작네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.

최대공약수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 작은 걸 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 2²이 지수가 더 작죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 60에는 들어있지만 48에는 없으니까 빼고요. 최종적으로 60과 48의 최대공약수는 2² × 3이에요.

첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.

최대공약수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 낮은 수들의 곱. 소인수분해된 형태로 나왔을 때 사용

다음의 두 수의 최대공약수를 구하여라.
(1) 72, 126      (2) 2² × 5³ × 7, 2³ × 7²

(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.

최대공약수는 왼쪽에 있는 공약수들의 곱이므로 2 × 3²

(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 2²와 2³중 지수가 작은 건 2²
5는 한쪽에만 들어있으니까 건너뛰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 7²이니까 지수가 작은 7을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최대공약수는 2² × 7이에요.

함께 보면 좋은 글

소수와 합성수, 소수의 뜻, 합성수의 뜻
소인수분해, 소인수분해 하는 법, 소인수 뜻
소인수분해를 이용하여 약수 구하기, 약수 개수 구하기
최소공배수, 최소공배수 구하는 방법
최대공약수와 최소공배수의 활용
최대공약수와 최소공배수의 관계

2를 네 번 더하면 2 + 2 + 2 + 2고 이걸 곱하기 기호를 쓰면 2 × 4로 쓸 수 있어요. 곱하기는 똑같은 수를 여러 번 더하는 걸 간단히 표현할 수 있지요.

2 + 2 = 2 × 2
2 + 2 + 2 = 2 × 3
2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4

그러면 2를 네 번 곱한다고 생각해보죠. 2 × 2 × 2 × 2예요. 이것도 간단하게 표현할 방법이 있으면 좋겠죠? 물론 쉽게 쓰는 방법이 있어요.

이 글에서는 곱하기를 여러 번 했을 때 좀 더 쉽고 간단하게 표시하는 방법인 거듭제곱에 대해서 공부할 거예요.

거듭제곱

거듭제곱

우선, 2를 4번 곱한 걸 부르는 이름이 있겠죠? 똑같은 수나 문자를 여러 번 곱한 걸 거듭제곱이라고 해요. 3을 3번 곱하거나 4를 10번 곱하는 것도 거듭제곱이라고 하지요.

2 × 2 = 2²
2 × 2 × 2 = 2³
2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴

위 단락의 마지막 줄 오른쪽을 보면 4는 2보다 조금 더 위에 작게 썼지요? 거듭제곱은 이렇게 표현합니다.

(곱하는 수)는 보통 크기로 쓰고, (곱한 횟수)는 (곱하는 수)의 오른쪽 위에 작게 써요.

거듭제곱: 같은 수나 문자를 거듭하여 곱한 것
같은 수를 여러 번 더하기 → (더하는 수) × (더한 횟수)
같은 수를 여러 번 곱하기 → (곱하는 수)^{(곱한 횟수)}

만약에 3을 5번 곱하면 3 × 3 × 3 × 3 × 3이죠. 이걸 거듭제곱으로 써보면 3이 곱하는 수고, 5가 곱한 횟수니까 3⁵으로 쓸 수 있는 거예요.

숫자를 여러 번 곱한 것뿐 아니라 문자를 여러 번 곱한 것도 표시할 수 있어요. a라는 문자를 10번 곱해볼까요? 여기서 곱하는 문자는 a이고, 곱한 횟수는 10이니까 a¹⁰이라고 쓸 수 있어요.

거듭제곱으로 표시했을 때 아래에 있는 (곱한 숫자)를 밑이라고 부르고, 오른쪽 위에 있는 (곱한 횟수)를 지수라고 불러요.

(곱하는 수)^{(곱한 횟수)} → 밑^지수

위 그림에서는 밑이 2고 지수가 4죠.

3⁵에서는 밑이 3이고, 지수가 5예요.

2⁴은 2의 4제곱이라고 읽어요. 3¹⁰은 3의 10제곱이라고 읽고요. 그리고 5², 6²처럼 2제곱은 5의 2제곱, 6의 2제곱이 아니라 2를 빼고 그냥 5의 제곱, 6의 제곱이라고 읽어요.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.
(1) 5 × 5 × 5 × 5
(2) 10 × 10 × 10 × 10 × 10

(1)번은 5를 4번 곱했으니까 5⁴이고, (2)번은 10을 5번 곱했으니까 10⁵이에요.

분수와 소수의 거듭제곱

분수와 소수의 거듭제곱에서는 괄호를 사용해요.

예를 들어서 로 쓰면 마치 분자인 2만 3번 곱하고 분모 5는 곱하지 않은 거라고 오해할 수 있어요. 그래서 괄호로 묶어서 으로 써야 합니다.

소수도 마찬가지예요. 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.1³으로 쓸 수 있어요. 소수에서는 괄호를 쓰지 않아도 틀린 건 아니에요. 하지만 괄호를 쳐주면 식이 조금 더 명확해지죠. 0.1³으로 쓰지 말고, (0.1)³으로 쓰도록 버릇을 들이세요.

여러 수의 거듭제곱

하나의 수만 여러 번 곱한 게 아니라 여러 수가 여러 번 곱해져 있는 경우를 볼까요? 여러 수가 섞여 있을 때는 같은 수끼리만 거듭제곱으로 표시해요. 서로 다른 숫자끼리는 거듭제곱으로 표현할 수 없어요. 거듭제곱은 같은 수나 문자를 거듭 곱한 것을 말하니까 당연한 얘기죠.

3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5에서 3이 곱해진 부분과 5가 곱해진 부분을 나눠보죠. 그러면 3을 4번 곱한 부분과 5를 2번 곱한 부분으로 나눌 수 있죠? 각각을 거듭제곱으로 표현해서 3⁴ × 5²으로 쓸 수 있어요.

주의해야 해요. 3과 5가 곱해져 있다고 3⁵ 이렇게 쓰면 안 돼요.

a × a × a × b × b = a³ × b²으로 쓸 수 있지요.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.
(1) 4 × 4 × 4 × 4 × 10 × 10 × 10
(2)

(1)번은 4가 4번, 10이 3번 곱해져 있으니까 4⁴ × 10³

(2)번은 가 3번, 0.5가 2번 곱해져 있으니까