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보통 도형에서의 위치관계는 수직, 평행 등을 묻는데 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 그런 게 아니에요. 교점이 몇 개 생기느냐를 말하죠. 앞서 했던 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근의 내용과 비슷하니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 거의 한 쌍둥이라고 할 수 있어요.

이차함수 그래프의 대략적인 모습과 직선을 그리면 조금 더 쉽게 이해할 수 있으니까 그림도 함께 외우세요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서 했던 내용을 살짝만 바꾸면 돼요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
    = 이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

중학교 2학년 때 직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식에 대해서 잠깐 공부한 적이 있어요. x축은 식으로 나타내면 y = 0이라는 직선의 방정식으로 나타낼 수 있죠? x축도 직선이니까 이걸 확장하면 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 구할 수 있는 거죠.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)와 x축이 몇 개의 교점을 가지느냐를 알아볼 때 어떻게 했나요? x축이 y = 0이니까 이걸 이차함수 식에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식 D의 부호를 구했죠? D > 0이면 교점이 2개, D = 0이면 교점이 1개, D < 0이면 교점이 0개예요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)와 직선 y = mx + n 사이의 관계를 구할 때도 똑같아요. 직선 y = mx + n를 이차함수 y = ax² + bx + c에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식의 부호를 구하면 교점의 개수를 알 수 있어요.

ax² + bx + c = mx + n
ax² + (b - m)x + c - n = 0

위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 서로 다른 두 허근 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.

이차함수의 그래프와 직선 둘 다좌표평면 위에 있어서 실수 범위에서만 다루기니까 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.

위 내용을 표로 정리해 볼게요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계 → ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용
판별식	D > 0	D = 0	D < 0
위치관계	서로 다른 두 점에서 만난다.	한 점에서 만난다. (접한다.)	만나지 않는다.
그래프
교점의 개수	2개	1개	0개

표에서는 a > 0일 때의 그래프만 그렸는데, a < 0이면 그래프가 위로 볼록이니까 그림을 180° 뒤집으면 돼요.

이차함수 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접하고, 기울기가 1인 직선의 방정식을 구하여라.

기울기가 1이라고 했으니까 직선은 y = x + b가 되겠네요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.

이 직선이 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.

x² + 3x - 3 = x + b
x² + 2x - 3 - b = 0

D/4 = 1² - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4

따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.

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이차함수와 이차방정식은 참 많이 닮았어요. 그래서 이차함수의 그래프를 그리고 그 그래프를 통해서 이차방정식 실근의 개수를 알 수 있지요.

이 글에서는 이차함수의 그래프와 이차방정식 실근의 개수에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 이차함수 그래프를 간략하게 그릴 줄 알고 이차함수와 이차방정식의 간단한 관계만 알면 금방 이해할 수 있는 내용이에요.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프에서 그래프가 x축과 만나는 점이 있다고 해보죠. x축을 방정식으로 나타내면 y = 0이니까 교점에서의 x좌표를 구하려면 이차함수 식에 y = 0을 대입해서 구해요.

ax² + bx + c = 0이라는 식이 되고 여기서 구한 x가 이차함수 그래프와 x축의 교점의 x좌표예요. 그런데 이 식의 모양은 어디서 많이 본 모양이죠? 바로 이차방정식이에요. 즉, 이차방정식의 해가 교점의 x좌표예요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
    = 이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

교점의 x좌표와 해가 서로 같으니까 개수도 서로 같겠죠?

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축과의 교점이 2개면 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해도 두 개고, 교점이 하나면 해도 하나예요.

이차함수의 그래프와 x축과의 교점이 없으면 이차방정식의 해도 없어요. 좌표평면은 실수로만 이루어져 있으니까 정확히 말하면 실근이 없는 거죠. 수를 복소수까지 확장해보면 허근을 가져요.

이 얘기는 반대로도 할 수 있어요. 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 해가 서로 다른 두 실근이면 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축이 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차방정식의 해가 중근이면 이차함수의 그래프와 x축은 한 점에서 만나요.

이차방정식이 실근을 가지지 않으면(서로 다른 두 허근을 가지면) 이차함수의 그래프와 x축은 만나지 않아요.

이차방정식이 실근을 몇 개 가지는지는 이차방정식의 판별식을 통해서 알 수 있어요.

ax² + bx + c = 0

D = b² - 4ac

D > 0이면 서로 다른 두 실근 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0이면 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0이면 서로 다른 두 허근(실근 없음) ⇔ 만나지 않는다.

이 내용을 표로 정리해보죠. 그래프의 모양을 잘 보세요.

이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근

	D > 0	D = 0	D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프	x축과 두 점에서 만난다.	x축과 한 점에서 만난다. (접한다.)	x축과 만나지 않는다.
a > 0일 때
a < 0일 때
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해	서로 다른 두 실근	중근	서로 다른 두 허근
이차함수 ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축의 교점의 x좌표 = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

이차함수의 그래프에서 이차항의 계수인 a의 부호에 따라 그래프의 볼록한 방향이 달라지는 걸 볼 수 있어요. 판별식의 부호와 a의 부호에 따라 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 해의 개수도 알아내야 해요.

이차함수 y = x² + 2x + k + 2의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.

이차방정식 x² + 2x + k + 2 = 0에서 D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나요. D < 0이면 만나지 않죠.

D = 2² - 4 × 1 × (k + 2) > 0
4 - 4k - 8 > 0
4k < -4
k < -1

k < -1이면 서로 다른 두 점에서 만나네요.

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수학Ⅰ

1. 다항식
   • 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈
   • 곱셈공식
   • 곱셈공식의 변형
   • 다항식의 나눗셈
   • 항등식과 항등식의 성질
   • 미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법
   • 나머지정리, 인수정리
   • 조립제법 1 - 조립제법 하는 법
   • 조립제법 2 - 나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때
   • 인수분해 공식
   • 복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식
   • 인수정리를 이용한 인수분해
2. 방정식과 부등식
   • 허수와 허수단위, 복소수
   • 켤레복소수와 켤레복소수의 성질
   • 복소수의 사칙연산
   • i의 거듭제곱, 음수의 제곱근의 성질
   • 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능
   • 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이
   • 이차방정식의 판별식, 실근, 허근
   • 이차방정식 근과 계수와의 관계
   • 두 수를 근으로하는 이차방정식, 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식
   • 이차방정식의 켤레근
   • 이차방정식의 인수분해
   • 이차방정식의 실근의 부호
   • 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근
   • 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
   • 이차방정식의 실근의 위치
   • 이차함수 총정리
   • 이차함수의 최댓값과 최솟값
   • 이차함수의 최대, 최소와 활용
   • 고차방정식의 인수분해, 고차방정식의 풀이
   • 고차방정식의 풀이 - 치환, 복이차식
   • 상반방정식
   • 삼차방정식 근과 계수와의 관계
   • 삼차방정식의 허근 ω의 성질
   • 연립방정식 - 미지수가 3개인 연립일차방정식
   • 연립이차방정식의 풀이 1
   • 연립이차방정식의 풀이 2
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   • 부등식의 성질, 부등식끼리의 사칙연산
   • 부등식 ax > b의 풀이, 부정, 불능
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   • 절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2
   • 이차부등식, 이차부등식의 해
   • 판별식과 이차부등식의 해
   • 이차함수의 그래프와 이차부등식의 해
   • 해가 주어졌을 때 이차부등식 구하기
   • 이차부등식이 항상 성립할 조건
   • 연립이차부등식
3. 도형의 방정식
   • 두 점 사이의 거리
   • 선분의 내분점과 외분점
   • 좌표평면 위의 내분점과 외분점
   • 내분점과 외분점의 관계
   • 삼각형 무게중심의 좌표
   • 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기
   • 직선의 방정식 일반형과 표준형
   • 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프
   • 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
   • 두 직선의 위치관계와 일차방정식의 해의 개수
   • 교점을 지나는 직선의 방정식
   • 점과 직선 사이의 거리
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   • 원의 방정식 일반형과 표준형
   • 아폴로니오스의 원
   • 축에 접하는 원의 방정식
   • 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
   • 원과 직선의 위치관계
   • 원의 접선의 방정식 1 - 접점을 알 때
   • 원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때
   • 원의 접선의 방정식 3 - 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식
   • 점과 도형의 평행이동
   • 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점
   • 점과 도형의 대칭이동 - 직선에 대한 대칭이동
   • 부등식의 영역 - f(x) > 0, f(x) < 0
   • 부등식의 영역 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0
   • 연립부등식의 영역
   • 부등식의 영역과 최대, 최소

수학Ⅱ

1. 집합과 명제
   • 집합의 뜻
   • 집합에서 원소란π
   • 집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램
   • 집합의 분류 - 원소개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)
   • 집합의 원소의 개수
   • 집합의 포함관계 - 부분집합
   • 진부분집합과 부분집합의 성질
   • 부분집합 구하기, 부분집합의 개수 구하기
   • 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기
   • 부분집합, 부분집합의 개수 구하기
   • 교집합과 합집합
   • 전체집합과 여집합, 차집합
   • 집합의 연산법칙 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙
   • 집합의 연산법칙 - 드모르간의 법칙
   • 유한집합의 원소의 개수
   • 명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정
   • 명제의 참, 거짓
   • 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법
   • 필요조건, 충분조건, 필요충분조건
   • 수학에서의 정의, 증명, 정리
   • 절대부등식, 부등식의 증명에 사용되는 실수의 성질
   • 절대부등식의 증명 - 산술, 기하, 조화평균
   • 절대부등식의 증명 - 코시 슈바르cm 부등식
2. 함수
   • 함수의 정의
   • 정의역, 공역, 치역, 서로 같은 함수
   • 함수의 그래프
   • 일대일 대응, 일대일함수
   • 합성함수
   • 합성함수의 성질
   • 역함수, 역함수 구하는 방법
   • 역함수의 성질과 그래프
   • 유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산
   • 부분분수 공식, 번분수
   • 가비의 리, 비례식
   • 여러가지 유리식의 풀이
   • 유리함수
   • 유리함수 2 - 분수함수
   • 분수함수의 역함수
   • 무리식, 무리식의 연산
   • 무리함수
   • 무리함수 2
   • 무리함수의 역함수
3. 수열
   • 수열의 뜻
   • 등차수열, 등차수열의 일반항
   • 등차수열 일반항의 성질, 등차중항
   • 등차수열의 합 공식
   • 등차수열의 합과 등차수열 일반항의 관계
   • 조화수열, 조화중항
   • 등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항
   • 등비수열의 합 공식
   • 등비수열의 합과 등비수열 일반항의 관계
   • 수열의 활용 - 원리합계, 단리
   • 수열의 활용 - 원리합계, 복리
   • 여러 가지 수열의 합, 시그마(∑)
   • 시그마(∑)의 기본 성질
   • 자연수 거듭제곱의 합 공식, 유도
   • 여러 가지 수열의 합
   • 수학적 귀납법
4. 지수함수와 로그함수
   • 거듭제곱근
   • 실수인 거듭제곱근
   • 거듭제곱근의 성질
   • 지수의 확장 - 정수 지수
   • 지수의 확장 - 유리수 지수
   • 지수의 확장 - 실수 지수
   • 지수방정식과 풀이
   • 지수부등식과 풀이
   • 로그의 정의
   • 로그의 성질
   • 로그의 밑 변환 공식
   • 로그의 성질 두 번재 - 밑 변환 공식 이용
   • 상용로그, 상용로그의 지표와 가수
   • 상용로그표, 비례부분의 법칙
   • 상용로그의 활용 - 단리와 복리
   • 로그방정식
   • 로그부등식

무리함수의 역함수도 그냥 일반적인 함수의 역함수와 같아요. 가장 큰 차이가 있는 게 바로 정의역이죠. 다항함수는 실수 전체가 정의역이고 분수함수는 분모 ≠ 0인 x를 제외한 실수가 정의역이에요. 무리함수는 근호 안이 0 또는 양수인 x가 정의역이고요.

무리함수의 역함수는 이차함수인데, 이제까지 우리가 공부했던 이차함수는 실수 전체 집합을 정의역으로 하는 함수지만 무리함수의 역함수인 이차함수는 정의역이 실수 전체가 아니에요. 따라서 정의역을 따로 구해줘야 하고 꼭 함께 써줘야 합니다. 역함수의 정의역을 찾는 걸 놓치지 마세요.

무리함수의 역함수

무리함수, 무리함수의 그래프에서 살짝 얘기한 적이 있는데, 무리함수의 역함수에 대해서 알아보죠.

역함수를 구하는 방법은 역함수, 역함수 구하는 법에서 했던 것과 똑같아요. 식만 무리식이 된 것뿐이죠.

1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
3. x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.

무리함수  (a ≠ 0)의 역함수가 이차함수  (a ≠ 0)라는 건 구해봤으니까 이번에는  (a ≠ 0)의 역함수를 한 번 구해볼까요?

먼저 정의역을 구해야 하죠. a > 0이라면 정의역은 {x|x ≥ }이고, a < 0이면 정의역은 {x|x ≤ }가 되겠네요. 치역은 a의 부호와 상관없이 {y|y ≥ c}고요.

무리함수의 역함수가 이차함수가 되었어요. 정의역은 원래 함수의 치역과 같으므로 {x|x ≥ c}이에요.

일반적으로 이차함수의 정의역은 모든 실수인 데 비해 무리함수의 역함수인 이차함수의 정의역은 실수 전체가 아니니까 꼭 정의역을 따로 구해줘야 합니다.

무리함수 역함수의 성질

역함수를 구하는 과정에서 x, y를 바꾸는 과정이 있어요. 직선에 대하여 대칭이동(y = x, y = ax + b)에서 y = x에 대하여 대칭이동하면 x 대신 y, y 대신 x를 대입한다고 했죠? 즉, x와 y를 바꾸는 거예요. 따라서 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이동한 것과 같죠. 이건 무리함수의 그래프에서만 아니고 모든 함수의 역함수에서 공통된 성질이에요.

의 역함수를 구하여라.

근호 안이 0 또는 양수여야 하므로 x + 5 ≥ 0에서 정의역은 {x|x ≥ -5}이에요. 치역은 {y|y ≥ 1}이고요.

역함수의 정의역은 {x|x ≥ 1}입니다.

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이차함수의 그래프와 이차부등식의 관계예요. 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식의 해를 구하는 과정입니다. 이차함수의 그래프와 판별식을 이용해서 이차부등식의 해를 구하는 것으로 결론은 기존에 알고 있던 이차부등식의 해를 구하는 방법과 같으니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 이글을 보고 나면 이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용이 훨씬 깔끔하게 정리가 될 거예요.

이차함수, 이차방정식, 이차부등식의 관계를 파악해보고 이들이 좌표평면 위의 그래프에서 어떤 위치를 갖는지도 잘 이해해보세요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프를 이용하여 이차부등식 ax² + bx + c > 0의 해를 구하는 방법이에요. 사실 굳이 그래프를 그리지 않고도 해를 구할 수 있는데, 그래프를 그리면 좀 더 확실히 이해할 수 있죠.

여기서는 a > 0일 때만 살펴보죠. a < 0이면 양변에 (-1)을 곱해서 a > 0으로 바꿔서 생각하면 되니까요.

a > 0이면 이차함수의 그래프는 아래로 볼록이에요. 판별식 D에 따라 x축과의 교점의 개수가 달라지죠. 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서는 교점의 x좌표가 이차방정식의 해였고, 교점의 개수는 해의 개수라고 했어요.

이차부등식에서는 교점의 x좌표가 해를 구하는 경곗값이에요.

표의 그래프를 잘 보세요.

D > 0일 때, y = ax² + bx + c의 그래프는 x축과 두 점 α, β에서 만나요. x = α일 때와 x = β일 때, ax² + bx + c = 0이 되어 그래프는 x축과 만나죠. 이차부등식 ax² + bx + c > 0의 좌변은 0보다 크니까 그래프에서 x축(y = 0)보다 위에 있는 구간을 찾아야 해요. x축보다 위에 있는 구간은 x < α일 때와 x > β일 때에요. 따라서 ax² + bx + c > 0의 해는 x < α or x > β입니다.

D = 0일 때 그래프는 x축과 한 점에서 만나요. 이 점을 α라고 해보죠. ax² + bx + c > 0은 x축보다 위에 있는 구간을 해로 갖는데, x축과 만나는 한 점 x = α를 빼고는 모두 x축보다 위에 있어요. 따라서 해는 x ≠ α인 모든 실수예요.

D < 0일 때 그래프는 x축과 만나지 않아요. 따라서 모든 구간에서 그래프가 x축보다 위에 있으니까 해는 모든 실수예요.

ax² + bx + c < 0의 해는 x축보다 아래에 있는 구간을 찾으면 되겠죠? D > 0일 때는 α < x < β, D = 0일 때와 D < 0일 때는 해가 없어요.

이차방정식에서는 복소수에서 해를 구했으니까 허근을 근으로 봤지만, 이차부등식에서는 실수 범위에서만 해를 구해요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해 (a > 0, α ≤ β)

	D > 0	D = 0	D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프
ax2 + bx + c = 0의 해	x = α or x = β 서로 다른 두 실근	x = α 중근	실수인 해는 없다. 서로 다른 두 허근
ax2 + bx + c > 0	x < α or x > β	x ≠ α인 모든 실수	모든 실수
ax2 + bx + c ≥ 0	x ≤ α or x ≥ β	모든 실수	모든 실수
ax2 + bx + c < 0	α < x < β	해는 없다.	해는 없다.
ax2 + bx + c ≤ 0	α ≤ x ≤ β	x = α	해는 없다.

이 내용은 이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용과 같아요. 그때는 식을 이용해서 해를 구했다면 이번에는 이차함수의 그래프를 이용해서 해를 구했다는 차이가 있을 뿐이죠.

이차부등식의 해를 구하는 게 생각나지 않을 때는 이차함수의 그래프를 그리고 x축과의 관계를 보고 해를 구할 수 있어요.

이차부등식 x² + (k + 1) x + 4 > 0의 해가 모든 실수일 때 실수 k의 범위를 구하여라.

x² + (k + 1)x + 4 >0 0의 해가 모든 실수라는 말은 항상 성립한다는 얘기예요.

문제에서 이차부등식의 부등호에 등호가 포함되어 있지 않고 최고차항이 양수이므로 아래로 볼록이에요. 이런 꼴의 이차부등식이 모든 실수를 해로 가지려면 그래프가 x축보다 항상 위에 있는 경우로 위 표에서 제일 오른쪽 그림이 되겠죠. 따라서 D < 0이어야 합니다.

(k + 1)² - 4 × 1 × 4 < 0
k² + 2k + 1 - 16 < 0
k² + 2k - 15 < 0
(k - 3)(k + 5) < 0

-5 < k < 3

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x축도 직선이죠? 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 이용하여 이차함수의 그래프와 x축의 위치관계를 알아볼 거예요. 이 둘 사이의 위치관계를 통해서 이차방정식의 근의 개수를 파악할 수 있어요. 결국, 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근이 어떤 관계가 있는지 확인할 수 있죠.

이차함수의 그래프와 x축의 모습을 간략하게 그릴 수 있으면 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근 사이의 관계를 이해하는 데 훨씬 도움이 돼요.

이차함수의 그래프와 x축의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서 이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n 사이의 위치관계를 구해봤어요. ax² + bx + c = mx + n에서 판별식 D를 구해서 관계를 구했죠.

이번에는 이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 x축 사이의 관계를 알아볼 거예요. x축은 직선의 방정식으로 나타내면 y = 0이죠. x축도 직선이니까 같은 방법을 이용하여 판별식 D를 구해보죠.

ax² + bx + c = 0

D = b2 - 4ac

D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나요.
D = 0이면 한 점에서 만나죠. (접한다.)
D < 0이면 만나지 않아요.

여기까지는 쉬워요.

그런데 식을 다시 한 번 보세요. ax² + bx + c = 0은 어떤 모양인가요? 바로 이차방정식의 일반형이죠? 그러니까 이차함수의 그래프와 x축의 관계는 이차방정식으로 나타낼 수 있는 거예요. x축과의 교점이 바로 이차방정식의 해가 되는 겁니다.

D > 0이어서 서로 다른 두 점에서 만나면 해가 2개가 되는 거고, D = 0으로 한 점에서 만나면 해가 하나인 경우예요. 이차방정식의 해가 1개인 경우는 중근일 때죠. D < 0이어서 만나지 않을 때는 해가 없어요. 실수범위에서만 구하기 때문에 해가 없는 거고 복소수까지 생각한다면 D < 0일 때의 해는 서로 다른 두 허근이에요.

이건 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 했던 내용이지요.

D > 0일 때와 D = 0일 때 실근을 갖는데, 이 실근은 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표에요.

이 내용을 표로 정리해보죠. 그래프의 모양을 잘 보세요.

이차함수의 그래프와 x축과의 위치관계

	D > 0	D = 0	D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프	x축과 두 점에서 만난다.	x축과 한 점에서 만난다. (접한다.)	x축과 만나지 않는다.
a > 0일 때
a < 0일 때
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해	서로 다른 두 실근	중근	서로 다른 두 허근
이차함수 ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축의 교점의 x좌표 = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

이차항의 계수인 a의 부호에 따라 그래프의 볼록한 방향이 달라지는 걸 볼 수 있어요. 판별식의 부호와 a의 부호에 따라 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 해의 개수도 알아내야 해요.

이차함수 y = x² + (k + 1)x + k + 1의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.

이차방정식 x² + (k + 1)x + k + 1 = 0에서 D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나요. D < 0이면 만나지 않죠.

D = (k + 1)² - 4 × 1 × (k + 1) > 0
k² + 2k + 1 - 4k - 4 > 0
k² - 2k - 3 > 0
(k + 1)(k - 3) > 0

k < -1 or k > 3

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일차함수와 직선의 방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이차함수도 방정식으로 바꿀 수 있어요. 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차방정식과 일차방정식의 관계로 바꿀 수 있죠. 이 관계를 이용해서 둘의 위치관계를 구해요.

이런 방법은 원과 직선의 위치관계에서도 했던 방법이에요. 일차식을 이차식에 대입한 다음에 판별식을 이용하는 거죠. 원의 방정식이 이차함수로 바꿨다는 것만 다르고 나머지는 똑같으니까 별로 어렵지 않을 거예요.

그래프를 그리지 않고 식만 보고 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 파악할 수 있도록 해보세요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 원과 직선의 위치관계에서 했던 방법을 그대로 가져다 쓰면 돼요.

이차함수 y = ax² + bx + c는 ax² + bx + c - y = 0이라는 식으로 바꿀 수 있고, 이건 x 관한 이차방정식이죠? y = mx + n은 mx + n - y = 0으로 바꿀 수 있고, 이건 일차방정식이에요. 이 둘을 연립하면 연립이차방정식의 풀이에 따라 해를 구할 수 있어요. 하지만 위치관계에서는 해가 중요한 게 아니고 해의 개수가 중요해요.

이차함수 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)와 직선 y = mx + n을 연립해서 푼 해가 바로 그래프에서의 교점이에요. 해가 2개이면 교점이 2개, 해가 하나이면 교점도 하나죠.

ax² + bx + c = mx + n
ax² + (b - m)x + c - n = 0

연립하면 위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 해가 2개 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 해가 1개 ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다.(접한다.)
D < 0 ⇔ 허근 ⇔ 해가 0개 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.

실수 범위에서만 다루기때문에 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.

위 내용을 표로 정리해 볼게요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계 → ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용
판별식	D > 0	D = 0	D < 0
위치관계	서로 다른 두 점에서 만난다.	한 점에서 만난다.(접한다.)	만나지 않는다.
그래프
교점의 개수	2개	1개	0개

x² + 3x - 3의 그래프와 접하고, y = x + 1과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 서로 평행한 직선은 기울기가 같아요. y = x + 1과 평행하다고 했으니 구하는 직선은 y = x + b가 되겠네요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.

이 직선이 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.

x² + 3x - 3 = x + b
x² + 2x - 3 - b = 0

D/4 = 1² - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4

따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.

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이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법 두 번째에요. 이번에는 이차함수뿐 아니라 다른 식의 최대, 최소를 구하는 방법도 알아볼 거예요. 이차함수의 최대, 최소를 구하는 방법과 조금 다르긴 하지만 한 번에 정리한다고 생각하세요. 새로운 건 아니고 전부터 많이 사용했던 성질들을 이용하므로 너무 어려워하지 마세요.

그리고 이차함수의 최대, 최소를 활용하는 문제도 풀어볼 거예요. 이차함수의 활용은 중학교 때 해본 것과 완전히 똑같아요. 대신에 최대, 최소를 구하는 방법이 조금 어려워질 뿐이죠. 최대, 최소 구하는 방법만 제대로 알고 있으면 돼요.

이차함수의 최대, 최소

조건식이 있을 때 이차함수의 최대, 최소

x, y에 관한 조건식과 최대, 최소를 구하는 식 두 개를 알려주는 경우예요. 이때는 조건식을 한 문자에 관해 정리해서 다른 식에 대입해요.

실수 x, y에 대하여 x² + y² = 4일 때, 2x + y²의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

조건식이 x² + y² = 4이네요. 한 문자에 관해서 정리해보죠.
y² = 4 - x²

2x + y² = 2x + 4 - x² = -x² + 2x + 4 = -(x - 1)² + 5

위로 볼록한 이차함수이므로 최댓값 5만 가질까요? 아니에요. 왜냐하면, 조건식에서 x의 범위를 구할 수 있거든요.

(실수)² ≥ 0이므로 y² = 4 - x² ≥ 0이에요.
4 - x² ≥ 0
x² - 4 ≤ 0
(x + 2)(x - 2) ≤ 0
-2 ≤ x ≤ 2

정의역이 -2 ≤ x ≤ 2이고, 이차함수의 꼭짓점 (1, 5)가 정의역에 포함되므로 양쪽 경곗값과 꼭짓점에서의 y값을 비교해서 최대, 최소를 구해야 해요. 최댓값은 x = 1일 때 5, 최솟값은 x = -2일 때 -4네요.

완전제곱식이 포함된 이차식의 최대, 최소

x, y가 실수라는 조건이 있는 이차식의 최대, 최소는 실수의 성질을 이용해요. 이차식을 완전제곱식으로 바꾸는 거죠. (실수)² ≥ 0이니까 (실수 x, y를 포함하는 완전제곱식)² ≥ 0이에요.

x, y가 실수일 때, x² + 2x + y² + 6y + 5의 최솟값을 구하여라.

x, y가 실수니까 식을 완전제곱식으로 바꿔보죠.
x² + 2x + y² + 6y + 5
= (x + 1)² + (y + 3)² - 1 - 9 + 5
= (x + 1)² + (y + 3)² - 5

(x + 1)² ≥ 0이고 (y + 3)² ≥ 0이므로 (x + 1)² + (y + 3)² - 5 ≥ -5이에요. 따라서 답은 -5이네요.

산술, 기하, 조화평균

이외에도 절대부등식 - 산술, 기하, 조화평균에서도 양수인 두 수의 합과 곱 사이의 관계를 통해서 합의 최솟값이나 곱의 최댓값을 구했었죠?

a > 0, b > 0일 때

(등호는 a = b일 때 성립)

이것까지 기억해두세요.

이차함수의 최대, 최소의 활용

이차함수의 활용은 중학교 3학년 때 했던 이차함수의 활용과 달라지지 않아요. 다만, 최대, 최소를 구하는 방법에 앞서 공부한 이차함수의 최댓값과 최솟값이 추가될 뿐이에요.

이차함수의 활용 푸는 순서

1. x, y 정하기
   문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다.
2. x, y의 범위 구하기
   문제의 조건에 맞는 x, y의 범위를 구한다.
3. 함수식 만들기
   x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다.
4. 답 구하기
   함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다.
5. 확인하기
   구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

길이가 40cm인 끈으로 직사각형을 만들려고 한다. 직사각형의 넓이가 최대가 될 때의 가로, 세로 길이를 구하여라.

2(가로 길이 + 세로 길이) = 둘레의 길이이므로 직사각형의 가로 길이를 x라고 한다면 세로 길이는 20 - x에요. 넓이를 y라고 해보죠.

가로 길이 x는 길이니까 0보다 커요.

세로 길이도 마찬가지로 0보다 커야 하고요. 20 - x > 0 → x < 20

따라서 x의 범위는 0 < x < 20가 되겠네요.

y = x(20 - x)
y = 20x - x²
y = -x² + 20x
y = -(x² - 20x)
y = -(x - 10)² + 100

이차함수에서 (10, 100)이 x의 범위 0 < x < 20 사이에 있으니까 꼭짓점에서 최댓값을 가져요. 답은 가로 10cm, 세로 10cm네요.

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이제부터는 이차함수에 대해서 본격적으로 시작할 거예요.

이 글에서는 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아볼 거예요. x의 범위가 실수 전체일 때와 특정한 범위가 주어졌을 때에 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법입니다.

이차함수의 그래프를 그리지 않고, 최댓값과 최솟값을 구하는 방법이니까 잘 알아두세요.

이차함수의 최댓값과 최솟값

이차함수 y = a(x - p)² + q의 함숫값 중에서 가장 큰 값을 최댓값, 가장 작은 값을 최솟값이라고 해요.

x의 범위가 실수 전체인 이차함수의 최댓값과 최솟값은 a의 부호를 생각하면 쉽게 구할 수 있어요.

이차함수 y = a(x - p)² + q 이차항의 계수 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록이에요. 꼭짓점이 가장 아래에 있고, 양쪽 옆으로는 끝없이 위로 올라가는 모양이죠.

꼭짓점에서 가장 값이 적으니까 꼭짓점에서 함숫값이 최솟값이죠. 그런데 양쪽 옆으로는 값이 커지는데 끝도 없이 커져요. 그래서 최댓값은 구할 수 없어요.

이번에는 a < 0일 때를 생각해보죠.

a < 0이면 그래프는 위로 볼록이에요. 꼭짓점에서 가장 높이 있고, 양쪽 옆으로 가면서 아래로 내려가는 모양이죠.

꼭짓점에서 가장 높으니까 이때의 함숫값이 최댓값이에요. 양쪽 옆으로는 값이 계속 작아지는데 어디가 끝인지 모르죠. 그래서 최솟값은 구할 수 없어요.

a > 0이면 x = p일 때 최솟값 q
a < 0이면 x = p일 때 최댓값 q

이제는 조금 다른 게 x의 범위가 실수 전체가 아니라 특정한 범위를 갖는 거예요. 따라서 최댓값과 최솟값을 모두 가져요.

아래는 y = a(x - p)² + q의 그래프인데, x의 범위가 α ≤ x ≤ β에요. y = a(x - p)² + q의 그래프 중에서, α와 β 사이의 부분만 떼서 생각해보죠. 꼭짓점 x = p일 때 최댓값이 q이에요. x = β일 때 f(β)가 최솟값이네요.

이번에는 다른 y = a(x - p)² + q의 그래프를 보죠. 마찬가지로 α ≤ x ≤ β의 범위를 가져요.

a > 0이니까 꼭짓점 x = p일 때 최솟값이어야 하는데, 그래프를 잘 보니 x = p는 α ≤ x ≤ β의 범위에 들어있지 않아요. 따라서 이 경우는 꼭짓점에서 최솟값이 아니죠. 이 그래프에서 최솟값은 x = α일 때 f(α)이고, 최댓값은 x = β일 때 f(β)에요.

어떤 경우든 최대, 최소는 꼭짓점 또는 양쪽 경계에서 생겨요. 그래서 세 경우의 값만 구하면 돼요. 세 경우를 구해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 게 최솟값이죠. 대신에 꼭짓점 x = p가 x의 범위인 α ≤ x ≤ β에 들어있는지만 확인하면 되죠.

이차함수의 최대, 최소

• 꼭짓점 x = p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있을 때: f(p), f(α), f(β) 중 가장 작은 값이 최솟값, 가장 큰 값이 최댓값
• 꼭짓점 x = p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있지 않을 때: f(α), f(β) 중 작은 값이 최솟값, 큰 값이 최댓값

다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) y = -(x + 1)² + 3 (-2 ≤ x ≤ 2)
(2) y = 2(x - 1)² - 4 (3 ≤ x ≤ 5)

이차함수는 꼭짓점 또는 양쪽 경계에서 최댓값과 최솟값을 가져요. 꼭짓점의 함숫값과 양쪽 경계의 함숫값을 비교해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이죠. 단, 꼭짓점이 x의 범위에 포함되지 않는다면 꼭짓점의 함숫값은 빼야 해요.

(1) 번의 x = -1은 x의 범위 -2 ≤ x ≤ 2에 포함되므로 꼭짓점의 함숫값과 양쪽 경곗값의 세 값을 비교해야겠네요.
x = -1일 때, y = 3
x = -2일 때, y = 2
x = 2일 때, y = -6

3이 가장 크고 -6이 가장 작으므로 최댓값은 3, 최솟값은 -6입니다.

(2) 번은 꼭짓점 x = 1은 x의 범위 3 ≤ x ≤ 5에 포함되지 않아요. 따라서 양쪽 경곗값의 크기를 비교해서 최댓값과 최솟값을 구해야 해요.
x = 3일 때, y = 4
x = 5일 때, y = 28

최솟값은 4, 최댓값은 28입니다.

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이제부터는 이차함수를 공부할 건데요. 이차함수뿐 아니라 이차함수를 중심으로 해서 이차방정식, 이차부등식 등 다른 이차식과의 관계를 공부할 거예요. 그래서 그 전에 공부했던 이차식들에 대해서 정확히 이해하고 있어야 해요. 이차방정식과 이차부등식은 고등학교에 올라와서 공부했으니까 이 글에서는 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수의 내용에 대해서 간단히 총정리를 해보죠.

중요한 내용만 요약할 건데, 생각나지 않는 내용이나 이런 결과가 나오는 이유를 모르겠다면 관련 글을 보면서 이해해보세요. 다음 단원을 공부하려면 이 내용이 필수니까 절대로 잊어버려서는 안 돼요.

이차함수

함수 y = f(x)에서 우변 f(x)가 x에 관한 이차식일 때 이 함수를 이차함수라고 해요.(이차함수의 뜻)

• 일반형: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
• 표준형: y = a(x - p)² + q (a ≠ 0)

x의 이차항의 계수 a > 0이면 아래로 볼록한 그래프이고, a < 0이면 위로 볼록한 그래프죠. |a|가 커질수록 그래프의 폭이 좁아지고요. (이차함수 그래프의 특징)

표준형에서 꼭짓점의 좌표는 (p, q)예요. 축의 방정식은 x = p이고, y값의 범위는 y ≥ q이에요. (이차함수 그래프, y = a(x - p)² + q)

일반형은 표준형으로 바꾼 후에 꼭짓점을 찾죠. 축의 방정식과 y값의 범위도 마찬가지고요. 일반형에서는 x, y절편을 찾기 쉬워요 x절편은 ax² + bx + c = 0의 해이고, y절편은 c예요. (y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형)

이차함수의 그래프를 보고 계수의 부호를 구하는 것도 했어요. (이차함수 계수 부호 찾기)

표준형 y = a(x - p)² + q에서

• a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요.
  • 아래로 볼록이면 a > 0
  • 위로 볼록이면 a < 0
  
  
• p와 q의 부호는 꼭짓점의 좌표를 보고 판단해요.
  • 꼭짓점이 제 1 사분면에 있으면 p > 0, q > 0
  • 꼭짓점이 제 2 사분면에 있으면 p < 0, q > 0
  • 꼭짓점이 제 3 사분면에 있으면 p < 0, q < 0
  • 꼭짓점이 제 4 사분면에 있으면 p > 0, q < 0
  
  

일반형 y = ax² + bx + c에서 a, b, c의 부호를 구하는 방법이에요.

• a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요. 표준형에서와 똑같아요.
  • 아래로 볼록이면 a > 0
  • 위로 볼록이면 a < 0
  
  
• b의 부호는 좌동우이
  • 그래프의 대칭축이 y축의 왼쪽에 있으면 a와 b의 부호가 같고
  • 그래프의 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 달라요.
  
  
• c는 y절편의 위치를 보고 판단해요.
  • y절편이 x축 위에 있으면 c > 0
  • y절편이 x축 아래에 있으면 c < 0
  
  

이차함수의 식을 구하는 방법도 했어요. (이차함수 식 구하기)

• 꼭짓점의 좌표(p, q)와 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - p)² + q에 (m, n) 대입
• 축이 방정식 x = p와 다른 두 점의 좌표 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 알려줬을 때: y = a(x - p)² + q에 두 점의 좌표 대입
• 세 점의 좌표(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)를 알려줬을 때: y = ax² + bx + c에 세 점의 좌표를 대입
• x축과의 교점(α, 0), (β, 0)과 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - α)(x - β)에 (m, n)을 대입

이차함수에서 최댓값과 최솟값은 꼭짓점의 y좌표에서 정해져요. 보통은 실수 전체에서 구하니까 최댓값과 최솟값 중 하나만 갖게 되지요. (이차함수의 최댓값과 최솟값)

• a > 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최솟값
• a < 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최댓값

여기까지가 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수에요. 정리해놓으니까 양이 별로 안되네요. 그러니까 절대로 잊어버려서는 안돼요.

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이번에는 이차함수 그래프를 대칭이동 시켜볼꺼에요. 선대칭, 점대칭 이런 용어 들어보셨죠?

우리는 선대칭을 이용할 건데, 그렇다고 아무 선이나 막 그어서 대칭시키는 게 아니에요. 좌표평면에 우리가 자주 보는 선이 두 개 있어요. 바로 x축과 y축이에요. 이차함수 그래프를 두 선에 대칭 시키는 걸 공부할 겁니다.

이차함수 그래프를 평행이동할 때 그래프의 폭과 모양은 바뀌지 않았어요. 이차함수 그래프를 대칭이동 시킬 때는 모양은 바뀌지만 폭은 그대로예요. 즉 그래프를 평행, 대칭이동 시켜도 그래프의 폭은 바뀌지 않는다는 걸 미리 알아두세요.

이차함수 그래프의 x축 대칭이동

아래는 y = (x-1)² + 1 그래프와 이 그래프를 x축에 대칭 시킨 그래프입니다.

y = (x-1)² + 1에서 a = 1이라서 아래로 볼록한 그래프인데, 대칭이동 시켰더니 위로 볼록이 되었어요. 그래프의 폭은 같으니까 1인데, 위로 볼록이니까 음수여야하죠? 그래서 a = -1이에요.

점들을 보세요. (1, 1)이 (1, -1)로, (2, 2)가 (2, -2)로, (3, 5)가 (3, -5)로 바뀌었죠? 이차함수 그래프를 x축에 대하여 대칭시켰더니 어떻게 되나요? x값은 그대로인데, y 값들만 부호가 반대로 되었죠?

이차함수 그래프를 x축에 대하여 대칭이동 시키면 y의 부호가 반대가 돼요. 즉, y 대신에 -y를 넣어주면 돼요.

y = (x - 1)² + 1에 y = -y를 넣어주면
-y = (x - 1)² + 1
y = -(x - 1)² - 1

위의 식에서 a가 1에서 -1로 부호가 바뀌었죠? 그리고 q의 부호도 바뀌었어요.

y = a(x - p)² + q에 y대신 -y 대입
-y = a(x - p)² + q
y = -a(x - p)² - q

이차함수 그래프의 y축 대칭이동

아래는 y = (x - 3)² + 1의 그래프에요.

y축에 대칭이동 시켰어도 그래프는 그대로 위로 볼록한 모양이에요. a 값의 변화가 없다는 얘기에요.

점을 한 번 살펴볼께요. (3, 1)이 (-3, 1)로, (4, 2)가 (-4, 2)로, (5, 5)가 (-5, 5)로 바뀌었어요. y는 그대로인데, x는 부호가 반대로 바뀌었죠? 따라서 함수식에서도 x 대신 -x를 넣어주면 돼요.

y = (x-3)² + 1에 x = -x를 대입해보죠.
y = (-x - 3)² + 1
y = {-(x + 3)}² + 1
y = (x + 3)² + 1

x = -x를 대입했더니, 완전제곱식 부분의 부호가 반대로 바뀌었죠? 뒤에 q 부분은 바뀌지 않았어요.

y = a(x - p)² + q에 x대신 -x대입
y = a(-x - p)² + q
y = a{-(x + p)}² + q
y = a(x + p)² + q

이차함수 그래프의 평행이동과 대칭이동

이차함수의 평행이동과 대칭이동을 잘 비교해서 차이를 알아야 해요.

이차함수의 평행이동

이차함수 y = ax²의 그래프를 x축으로 p만큼 평행이동 시키면 x 대신 x - p 대입
     y = ax² → y = a(x - p)²
이차함수 y = ax²의 그래프를 y축으로 q만큼 평행이동 시키면 y 대신 y - q 대입
     y = ax² → y - q = ax² → y = ax² + q
이차함수 y = ax²의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동 시키면 x 대신 x - p, y 대신 y - q 대입
     y = ax² → y - q = a(x - p)² → y = a(x - p)² + q

이차함수 그래프의 대칭이동

이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프를 x축에 대칭이동 시키면 y 대신 -y 대입
      y = a(x - p)² + q → y = -a(x - p)² - q
이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프를 y축에 대칭이동 시키면 x 대신 -x 대입
      y = a(x - p)² + q → y = a(x + p)² + q

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이차함수의 마지막 이차함수의 활용입니다. 이차함수는 1학기의 마지막 단원이니까 오늘 내용만 하면 1학기 수학이 다 끝나네요.

활용은 모든 단원에서 하지만 원리는 같아요. 구하는 미지수가 뭔지 찾고, 식 세우고, 계산하는 거죠.

이차함수의 활용은 그런 면에서 이차방정식의 활용과 비슷한 유형의 문제가 많이 나와요. 이차방정식의 활용을 열심히 공부했던 학생이라면 어렵지 않게 느껴질 겁니다.

이차함수의 활용

이차함수의 활용 푸는 순서

1. x, y 정하기
   문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다.
2. 함수식 만들기
   x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다.
3. 답 구하기
   함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다.
4. 확인하기
   구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

함수의 활용 문제에서 대부분 변하는 값을 x로 놓아요. 시간이라든가 길이 같은 게 되죠. 그리고 x에 따라 바뀌는 종속적인 값을 y로 놓아요. 시간에 따라 바뀌는 온도, 가로 길이에 따라 바뀌는 넓이 같은 거죠.

이차함수의 활용에서는 최대, 최소를 구하는 문제가 많이 나오거든요. 최대/최소를 직접 구하거나 최댓값, 최솟값을 가질 때 변수의 값을 구하는 문제요. 따라서 일반형이 아닌 표준형을 많이 사용해요.

또 표준형 y = a(x - p)² + q에서 a에 따라서 최댓값, 최솟값 중 하나만 가지니까 a의 부호도 잘 보죠.

두 수의 합을 주고 곱을 구하는 문제

두 수의 합의 관계식을 주고, 곱의 최댓값을 구하거나 곱이 최대일 때 두 수를 구하는 문제 유형이에요.

실제로 두 수를 주는 건 아니고 두 수의 관계식을 주는 거죠. 예를 들어 두 수의 합이 10이다. 두 수의 차가 20이다 이런 식으로요.

한 수를 x라고 놓으면 다른 수는 관계식에서 구할 수 있어요. 두 수의 합이 10일 때, 한 수를 x라고 놓으면 다른 한 수는 10 - x가 되는 거지요. x(10 – x)는 두 수의 곱이 되겠죠?

합이 16인 두 수의 곱이 가장 클 때 그때의 두 수와 곱의 최댓값을 구하여라.

한 수를 x라고 놓으면 다른 한 수는 16 - x가 되겠죠? 곱은 x(16 - x)가 될 거고요.

y = x(16 - x)
y = 16x - x²
y = -x² + 16x
y = -(x² - 16x)
y = -(x² - 16x + 8² - 8²)
y = -(x - 8)² + 64

x = 8일 때 곱이 최대가 되고 그 때 곱은 64네요. 한 수가 8이니까 다른 한 수는 16 - 8 = 8이겠고요. 답은 두 수는 8, 8, 곱의 최댓값은 64가 되겠습니다.

도형의 둘레, 넓이 문제

자주 나오는 유형 중 하나가 도형의 둘레와 넓이에 관한 문제예요. 이 유형도 위의 유형과 같아요. 도형의 둘레는 가로, 세로 길이의 합이고 도형의 넓이는 가로, 세로 길이의 곱이잖아요.

둘레의 길이가 36cm인 사각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 가로, 세로 길이를 구하여라.

가로, 세로 길이를 구하라고 했으니까 가로를 x, 세로를 y로 놓으면 될까요? 그렇게 하지 않아요. 가로를 x로 놓으면 가로 x에 따라 바뀌는 넓이를 y로 놓는 거예요.

가로를 x라고 놓으면 세로는 둘레의 길이에서 구할 수 있어요. 둘레는 2 × (가로 + 세로) = 36이니까 세로 길이는 18 - x네요.

직사각형의 넓이는 가로 × 세로니까 y = x (18 - x)라는 함수식을 세울 수 있어요

y = x(18 - x)
y = -x² + 18x
y = -(x² - 18x)
y = -(x² - 18x + 9² - 9²)
y = -(x - 9)² + 81

x = 9일 때 최댓값 81을 가지므로 가로가 9cm일 때 넓이가 최대예요. 가로가 9cm니까 세로는 18 - 9 = 9cm군요.

가로, 세로 길이가 모두 9cm인 정사각형일 때 넓이가 최대네요.

이차함수에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법입니다.

함수의 최댓값과 최솟값은 바로 y값을 말하는 거지요. 따라서 y의 범위를 구하면 돼요. y의 범위를 구해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이죠.

일반적으로 x의 범위가 주어지지 않으면 x는 실수 전체라고 생각해요. 범위가 주어졌을 때는 그 범위에 맞게 해야겠지요. 또 범위가 주어지지 않더라도 사람 수나 길이 등은 양수나 자연수라는 것도 잊으면 안돼요.

최대, 최소를 구할 때는 y의 범위를 바로 알 수 있는 이차함수의 표준형을 이용해요. 일반형으로 나와 있으면 표준형으로 고쳐요.y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형

이차함수 최솟값

이차함수의 그래프를 생각해보죠. y = a(x - p)² + q에서 a > 0이라고 해보죠. 그래프는 어떻게 되나요? a > 0이면 그래프는 아래로 볼록인 모양이에요. 아래로 볼록이니까 그래프에서 가장 아래에 있는 곳의 y값은 꼭짓점의 y좌표예요. 꼭짓점의 y좌표는 q잖아요. 따라서 y의 범위가 y ≥ q죠. y는 q보다 크니까 최솟값은 q예요.

그럼 최댓값은 얼마일까요? 그래프를 다시 한 번 보죠. 대칭축을 기준으로 또는 꼭짓점을 기준으로 좌우 양쪽으로 가면 갈수록 y는 커져요. x축의 오른쪽으로 얼마나 갈 수 있을까요? 끝도 없이 가겠죠? 그렇다면 그에 해당하는 y값도 끝도 없이 커질 거예요. x축 왼쪽으로도 마찬가지죠. 무슨 말이냐면 y가 끝을 알 수 없는 값을 가진다는 거예요. 그래서 그 끝을 알 수 없으므로 최댓값이라는 게 존재하지 않는 거죠.

• a > 0인 이차함수의 최솟값은 x = p일 때, y = q
• 최댓값은 구할 수 없다.

이차함수의 최댓값

이번에는 y = a(x - p)² + q에서 a < 0이라고 해볼게요. 그래프는 위로 볼록한 모양이에요. 위로 볼록한 그래프에서 가장 높은 곳에 있는 점은 꼭짓점이죠? y값의 범위가 y ≤ q예요. 최댓값이 q라는 얘기죠.

최솟값은 x축 양쪽으로 가면 갈수록 작아져서 가장 작은 값을 알 수 없어요. 최솟값은 구할 수 없어요.

• a < 0인 이차함수의 최솟값은 x = p일 때, y = q
• 최솟값은 구할 수 없다.

이차함수 y = a(x - p)² + q에서 x의 범위가 주어지지 않으면 이차함수는 최댓값 또는 최솟값 중 하나만
a > 0이면 최솟값만
a < 0이면 최댓값만
최댓값/최솟값은 꼭짓점의 y 좌표. x = p일 때 y = q

x의 범위가 주어졌을 때 최대, 최소

보통 흔한 경우는 아닌데, x의 범위가 주어질 때가 있어요. 문제에서 x의 범위를 따로 주는 건 아니고 사람 수라든가 길이, 개수 이런 식으로 특정한 범위를 가질 수밖에 없는 값들이 주어지요. 예를 들어서 20명의 사람이 있는데, 어쩌고 저쩌고에서는 “0 ≤ x ≤ 20인 자연수”라는 범위를 갖는 거죠

이럴 때도 기본적으로 a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값을 갖는 건 같아요. 이건 바뀌지 않아요. 추가로 x 범위의 경계에서 최대, 최소를 가질 수 있다는 건데요.

a > 0이면 꼭짓점에서 최솟값, 양쪽 경계 중 한 곳에서 최댓값을 가져요.
a < 0이면 꼭짓점에서 최댓값, 양쪽 경계 중 한 곳에서 최솟값을 가져요.

물론 식에 양쪽 경계의 값을 넣어서 나온 결과를 비교할 수도 있는데요. 간단하게 구하려면 축의 방정식 즉, 꼭짓점의 x좌표에서 더 먼 쪽에서 최대/최소를 가져요.

이차함수식에서 미지수를 구하면 함수식을 완성시킬 수 있어요. 그런데 이차함수 식을 구하는 것이 아니라 계수의 부호를 판별하는 유형의 문제도 자주 나와요. 이번 글에서는 이차함수의 계수의 부호를 알아내는 방법을 공부합니다.

부호를 구하는 데 무작정 구할 수는 없죠? 바로 그래프를 보고 부호를 판단해야 해요.

이차함수는 두 가지 유형으로 표현하죠? 하나는 표준형, 다른 하나는 일반형 이렇게요.

두 가지 유형에서 계수의 부호을 어떻게 구하는 지 알아볼까요?

y = a(x-p)² + q에서 a, p, q 부호 찾기

이차함수의 표준형에서 계수는 a, p, q 에요.

가장 먼저 알 수 있는 건 a에요. a는 그래프의 모양을 보고 판단합니다. 어떤 모양이요? 어디로 볼록한 지를 보는 거죠.

a < 0 이면 그래프는 위로 볼록이고 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록이에요. 그러니까 그래프가 아래로 볼록이면 a > 0이고, 위로 볼록이면 a < 0인 거죠.

그 다음은 p, q인데요. p, q는 뭐죠? 그래프의 꼭짓점의 좌표에요. 그러니까 꼭짓점이 어디에 있는지 보면 p, q의 부호를 알 수 있겠죠? 꼭짓점이 1사분면에 있다면 p > 0, q > 0 이런 식으로요.

y = a(x-p)² + q에서 a, p, q의 부호
a는 그래프가 볼록한 방향: 그래프가 위로 볼록하면 a < 0, 그래프가 아래로 볼록하면 a > 0
p는 꼭짓점의 x좌표의 위치: y축 왼쪽이면 p < 0, y축 오른쪽이면 p > 0
q는 꼭짓점의 y좌표의 위치: x축 아래면 q < 0, x축의 위면 q > 0

아래 y = a(x-p)² + q의 그래프를 보고 a, p, q의 부호를 구하여라.

왼쪽에 있는 그래프 먼저 볼까요?

그래프가 아래로 볼록이니까 a > 0이고요. 꼭짓점이 3사분면에 있어요. 3사분면(x<0, y<0)에 있으니까 p < 0, q < 0 이에요.

오른쪽 그래프는 위로 볼록이네요. 그래서 a < 0이고, 꼭짓점이 1사분면에 있으니까 p > 0, q > 0이에요.

y = ax² + bx + c에서 a, b, c 부호 구하기

먼저 a부터 부호를 구해보면요. 이차항의 계수인 a는 위에서와 마찬가지로 그래프의 모양, 즉 볼록한 방향을 보고 판단합니다. 똑같아요. 위로 볼록이면 a < 0, 아래로 볼록이면 a > 0이지요.

그 다음에는 c를 볼까요? c는 y 절편이에요. 따라서 y 절편이 x축 위면 c > 0, y 절편이 x축 아래면 c < 0이 되지요.

a와 c는 그래프를 보면 바로 알 수 있겠죠? 문제는 b인데, 이건 좀 복잡해요.

y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형에서 일반형 함수식을 표준형으로 바꾸는 법을 알아봤어요. 이 때는 a, b, c에 숫자가 있었는데, 이걸 숫자가 아닌 문자 그대로 바꾸면 어떻게 되나면요. 어쩌고 저쩌고가 돼요.

꼭짓점의 x 좌표 그러니까 축의 방정식이 가 되거든요. 따라서 꼭짓점의 x좌표가 어디인지를 보면 b의 부호를 알 수 있어요.

가 y축의 왼쪽에 있다고 해보죠.

이게 무슨 말이냐면 b를 2a로 나눴더니 양수가 된다는 말은 둘의 부호가 서로 같다는 뜻이죠. a와 b의 부호가 같은데, a의 부호는 그래프의 볼록한 방향에서 알 수 있으니 b의 부호도 알 수 있는 거죠.

가 y축의 오른쪽에 있다고 해보죠.

이번에는 b를 2a로 나눈 게 음수가 됐어요. 둘의 부호가 서로 반대라는 뜻이죠. 마찬가지로 a는 그래프의 볼록한 방향으로 알 수 있고, b는 a와 반대 부호를 가진다는 걸 알 수 있겠죠.

이거를 좌동우이라는 말로 표현해요. 그러니까 대칭축이 y축의 왼쪽에 있으면 a와 b의 부호가 같고, 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 다르다라는 말이에요.

y = ax² + bx + c에서 a, b, c 부호
a는 그래프가 볼록한 방향: 그래프가 위로 볼록하면 a < 0, 그래프가 아래로 볼록하면 a > 0
b는 좌동우이: 대칭축이 y축의 왼쪽이면 a, b의 부호가 같고, 대칭축이 y축의 오른쪽이면 a, b의 부호가 반대
c는 y절편: y절편이 x축보다 위에 있으며 c > 0, y절편이 x축보다 아래 있으면 c < 0

아래 y = ax² + bx + c의 그래프를 보고 a, b, c의 부호를 구하여라..

왼쪽에 있는 그래프 먼저 볼까요?

그래프가 아래로 볼록이니까 a > 0이고요. 대칭축이 y축 왼쪽에 있죠? 좌동우이니까 b의 부호는 a의 부호와 같아요. a > 0이니까 b > 0이네요. y절편이 x축보다 아래 있어서 c < 0이에요.

답은 a > 0, b > 0, c < 0 입니다.

오른쪽 그래프는 위로 볼록이니까 a < 0이고요. 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으니까 a와 b의 부호가 반대에요. 따라서 b > 0이죠. y절편은 x축보다 아래 있어서 c < 0입니다.

답은 a < 0, b > 0, c < 0이네요.

이제 이차함수의 그래프와 그래프의 평행이동에 대해서 알아봤으니까 식 구하는 걸 한 번 해보죠. 일차함수 식 구하는 것도 기억이 나나요?

일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기, 그래프를 보고 직선의 방정식 구하기

일차함수에서 처럼 여러가지 특징을 가지고 또는 그래프에서 특징들을 알아낸 다음에 이차함수를 구하는 방법에 대해서 알아볼까요.

이차함수는 y = a(x-p)² + q도 쓰고, y = ax² + bx + c로도 써요. 이차함수 식을 구한다는 얘기는 a, p, q를 구하거나 a, b, c를 구한다는 얘기가 되겠죠.

점의 좌표를 주고 이차함수를 구하라고 하는데요. 이차함수가 특정한 점을 지난다는 얘기는 점의 좌료를 식의 x, y에 대입하면 식이 참이 된다는 뜻이에요. 그래서 점의 좌표를 식에 넣어서 미지수를 구하게 돼요.

꼭짓점의 좌표와 다른 한 점의 좌표를 알 때

이차함수의 표준형 y = a(x-p)² + q에서 꼭짓점은 (p, q)에요. 이걸 거꾸로 하면 꼭짓점이 (p, q)이면 그 함수식은 y = a(x-p)² + q가 된다는 얘기죠.

우리가 알고 싶은 건 a, p, q인데, p, q는 꼭짓점의 좌표에서 알았으니 이제 a만 알면 되겠죠? 이 a를 구하려면 꼭짓점과 함께 주어진 점의 좌표를 위 식에 대입하세요. 문자는 a만 남게되니까 일차방정식으로 풀 수 있어요.

꼭짓점의 좌표가 (1, 2)이고 (2, 4)를 지나는 포물선을 구하여라.

꼭짓점의 좌표가 (1, 2)면 이차함수 표준형은 y = a(x-1)² + 2가 돼요. 여기에 x = 2, y = 4를 대입해볼까요?
4 = a(2-1)² + 2
4 = a + 2
a = 2

a를 구했어요. 따라서 구하는 이차함수 식은 y = 2(x-1)² + 2가 됩니다.

축의 방정식 x = p와 다른 두 점의 좌표를 알 때

축의 방정식은 바로 꼭짓점의 x 좌표와 같아요. 꼭짓점의 x좌표가 1이라면 축의 방정식은 x = 1이 돼요. 꼭짓점의 x좌표가 10이라면 축의 방정식은 x = 10이 되고요. 꼭짓점의 x좌표를 알려준 것과 축의 방정식을 알려준 것은 결국 같은 정보를 준 겁니다.

y = a(x-p)² + q에서 꼭짓점의 x좌표인 p를 구했으니 이제 a와 q만 구하면 되겠죠? 이 함수식에 서로 다른 두 점의 좌표를 각각 대입하세요. 그러면 미지수가 a와 q가 있는 연립방정식이 돼요. 연립방정식을 가감법과 대입법을 이용해서 풀면 a, q를 구할 수 있겠죠?

연립방정식의 풀이법 - 가감법 1, 연립방정식의 풀이법 - 가감법 두 번째, 연립방정식의 풀이법 - 대입법

축의 방정식이 x = -1이고 (-1, 2), (1, -2)를 지나는 이차함수를 구하여라.

축의 방정식이 x = -1이니까 함수식은 y = a(x+1)² + q가 돼요. 여기에 두 점의 좌표를 대입해보죠.

2 = a(-1+1)² + q, -2 = a(1+1)² + q라는 두 식이 나오네요.

따라서 구하는 이차함수는 y = -(x+1)² + 2가 됩니다.

서로 다른 세 점의 좌표를 알 때

세 점의 좌표를 알 때는 이차함수의 표준형이 아닌 일반형 y = ax² + bx + c를 사용해요. 표준형 y = a(x-p)² + q을 사용하면 p가 제곱이 되어서 구하기가 귀찮거든요.

여기에서는 a, b, c 세 개의 미지수 값을 구해야합니다.

두 점의 좌표를 넣으면 식이 두 개인 연립방정식이 돼죠? 그럼 세 점의 좌표를 넣으면 어떻게 될까요? 식이 세 개인 연립방정식이 돼요. 하지만 미지수가 세개이고 식이 세개인 연립방정식을 푸는 방법을 배우지 않았어요. 그래서 점의 좌표를 줄 때 형식상으로는 세 점의 좌표인 것처럼 보이지만 실제로는 두 점의 좌표만 줍니다.

바로 y 절편을 주기 때문이죠. y = ax² + bx + c에서 c는 y절편이라는 걸 알아요. 그래서 점의 좌표를 줄 때 c를 바로 알 수 있도록 (0, c)라는 점을 줍니다. 제일 먼저 y절편을 이용해서 c를 구해요. 그럼 식에서 모르는 문자는 a, b 두 개죠? 다음에 다른 두 점의 좌표를 식에 넣으세요. 그러면 연립방정식이 돼요.

뭐라고요? x = 0인 점의 좌표를 먼저 찾는 게 중요하다고요.

이해하셨나요? 예제를 볼까요?

세 점 (0, 0), (1, 2), (-1, 4)를 지나는 이차함수를 구하여라.

세 점을 줬는데요. 그중에 주목해야할 점은 바로 (0, 0)이에요. 주의하세요. 원점이 주어졌다고 해서 그게 꼭짓점은 아니에요.

(0, 0)만 먼저 y = ax² + bx + c에 대입해보죠.
0 = a × 0² + b × 0 + c
c = 0

c = 0이므로 식은 y = ax² + bx가 돼요. 이제 미지수는 a, b 두 개만 남았잖아요. 두 점의 좌표를 대입해보죠.

2 = a + b, 4 = a - b 라는 연립방정식이 됐어요. 연립해서 풀어보면 a = 3, b = -1이 돼요.

따라서 구하는 이차함수 식은 y = 3x² - x입니다.

x축과의 두 교점과 다른 한 점을 알 때

x축과의 교점의 좌표를 두 개를 알려줘요. 그게 무슨 의미인지 알아보죠. x 축과의 교점이라는 말은 y = 0이라는 뜻이에요. 이걸 식으로 써보면 0 = ax² + bx + c가 되는 거죠. 이게 뭐죠? 이차방정식이잖아요. 즉 이차방정식의 두 근을 알려주고 식을 구하라는 문제가 같은 형식인 거죠.

합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식 구하기에서 공부했던 내용인데, 다시 정리해보죠.

우변의 0을 y로 바꾸면 돼요.

두 근은 바로 x축과의 교점의 좌표이니까 모르는 건 a만 남겠죠? 이 a는 교점이 아닌 다른 한 점의 좌표를 대입해서 구할 수 있어요.

다만 문제에서 x축과의 교점이라고 얘기해주지 않아요. 그냥 세 점의 좌표만 주는데, 세 점의 좌표 중에서 y = 0인 좌표가 두 개있으면 이 유형의 문제인 것이죠.

세 점 (0, 6), (3, 0), (-2, 0)을 지나는 이차함수를 구하여라.

세 점의 좌표 중 y = 0인 좌표 (3, 0), (-2, 0)을 찾아내야 해요. 이 점을 찾아냈으면 식으로 써봐야겠죠? y = a(x-3)(x+2)라고 놓을 수 있겠군요.

그 다음에 위 식에 (0, 6)을 대입하세요. 6 = a(0-3)(0+2)에서 a = -1인 걸 알 수 있어요.

식으로 쓰면 y = -(x-3)(x+2)인데, 이차함수는 표준형 또는 일반형으로 표현하기때문에 식을 전개해보죠. y = -x² + x + 6이 되는 군요.

그런데, 위 세 점을 자세히 보면 (0, 6)이라는 x = 0인 점의 좌표가 주어졌어요. 따라서 위에서 했던 y = ax² + bx + c에 c = 6으로 놓고 다른 두 점의 좌표를 대입해서 연립방정식으로 풀어도 돼요.