이번에는 이차함수 그래프를 대칭이동 시켜볼꺼에요. 선대칭, 점대칭 이런 용어 들어보셨죠?
우리는 선대칭을 이용할 건데, 그렇다고 아무 선이나 막 그어서 대칭시키는 게 아니에요. 좌표평면에 우리가 자주 보는 선이 두 개 있어요. 바로 x축과 y축이에요. 이차함수 그래프를 두 선에 대칭 시키는 걸 공부할 겁니다.
이차함수 그래프를 평행이동할 때 그래프의 폭과 모양은 바뀌지 않았어요. 이차함수 그래프를 대칭이동 시킬 때는 모양은 바뀌지만 폭은 그대로예요. 즉 그래프를 평행, 대칭이동 시켜도 그래프의 폭은 바뀌지 않는다는 걸 미리 알아두세요.
이차함수 그래프의 x축 대칭이동
아래는 y = (x-1)2 + 1 그래프와 이 그래프를 x축에 대칭 시킨 그래프입니다.
y = (x-1)2 + 1에서 a = 1이라서 아래로 볼록한 그래프인데, 대칭이동 시켰더니 위로 볼록이 되었어요. 그래프의 폭은 같으니까 1인데, 위로 볼록이니까 음수여야하죠? 그래서 a = -1이에요.
점들을 보세요. (1, 1)이 (1, -1)로, (2, 2)가 (2, -2)로, (3, 5)가 (3, -5)로 바뀌었죠? 이차함수 그래프를 x축에 대하여 대칭시켰더니 어떻게 되나요? x값은 그대로인데, y 값들만 부호가 반대로 되었죠?
이차함수 그래프를 x축에 대하여 대칭이동 시키면 y의 부호가 반대가 돼요. 즉, y 대신에 -y를 넣어주면 돼요.
y = (x - 1)2 + 1에 y = -y를 넣어주면
-y = (x - 1)2 + 1
y = -(x - 1)2 - 1
위의 식에서 a가 1에서 -1로 부호가 바뀌었죠? 그리고 q의 부호도 바뀌었어요.
y = a(x - p)2 + q에 y대신 -y 대입
-y = a(x - p)2 + q
y = -a(x - p)2 - q
이차함수 그래프의 y축 대칭이동
아래는 y = (x - 3)2 + 1의 그래프에요.
y축에 대칭이동 시켰어도 그래프는 그대로 위로 볼록한 모양이에요. a 값의 변화가 없다는 얘기에요.
점을 한 번 살펴볼께요. (3, 1)이 (-3, 1)로, (4, 2)가 (-4, 2)로, (5, 5)가 (-5, 5)로 바뀌었어요. y는 그대로인데, x는 부호가 반대로 바뀌었죠? 따라서 함수식에서도 x 대신 -x를 넣어주면 돼요.
y = (x-3)2 + 1에 x = -x를 대입해보죠.
y = (-x - 3)2 + 1
y = {-(x + 3)}2 + 1
y = (x + 3)2 + 1
x = -x를 대입했더니, 완전제곱식 부분의 부호가 반대로 바뀌었죠? 뒤에 q 부분은 바뀌지 않았어요.
y = a(x - p)2 + q에 x대신 -x대입
y = a(-x - p)2 + q
y = a{-(x + p)}2 + q
y = a(x + p)2 + q
이차함수 그래프의 평행이동과 대칭이동
이차함수의 평행이동과 대칭이동을 잘 비교해서 차이를 알아야 해요.
이차함수의 평행이동
이차함수 y = ax2의 그래프를 x축으로 p만큼 평행이동 시키면 x 대신 x - p 대입
y = ax2 → y = a(x - p)2
이차함수 y = ax2의 그래프를 y축으로 q만큼 평행이동 시키면 y 대신 y - q 대입
y = ax2 → y - q = ax2 → y = ax2 + q
이차함수 y = ax2의 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 평행이동 시키면 x 대신 x - p, y 대신 y - q 대입
y = ax2 → y - q = a(x - p)2 → y = a(x - p)2 + q
이차함수 그래프의 대칭이동
이차함수 y = a(x - p)2 + q의 그래프를 x축에 대칭이동 시키면 y 대신 -y 대입
y = a(x - p)2 + q → y = -a(x - p)2 - q
이차함수 y = a(x - p)2 + q의 그래프를 y축에 대칭이동 시키면 x 대신 -x 대입
y = a(x - p)2 + q → y = a(x + p)2 + q
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이차함수 그래프 그리기
이차함수 그래프의 특징
이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q
이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x-p)²
비밀댓글입니다
원리가 간단하고든요. 그것만 이해하면 금방이에요.
아이공 찾던게 드디어 여기있네요ㅎㅎㅎㅎ감사합니다~
잘 찾으셨네요. ㅎㅎ
혹시 다른 것 필요할 지 모르니까 http://mathbang.net/25를 참고하세요.
문제집 보다 설명이 부족해서...여기 들렀는데 설명이 잘 되있네요..ㅎㅎ 감사합니다!
문제집에는 문제 위주로 되어 있어서 설명이 부족할 수 밖에 없어요. 책을 만든 목표가 다르니 어쩔 수 없지요.
안녕하세요.
그래프 대칭 이동..
아래 풀이가 이해 되지 않아 질문 드립니다.
y = a(x - p)^2 + q 에 y 대신 -y 대입
-y = a(x - p)^2 + q
-(y) = (a(x - p)^2 + q) <-- 좌변 우변항에 모두 곱하기 -1 을 해서 아래 결과가 되는게 맞는건가요?
(y) = -(a(x - p)^2 + q)
y = -a(x - p)^2 - q
올려 주신 자료 너무 잘보고 있습니다.
감사합니다~.
네
이해가 더 잘되는 것같아요~감사합니다~
평행이동과 대칭이동만 잘 구별하면 그다지 어려운 내용이 아니라서 이해가 잘 되는 거예요.
설명너무 잘해주시네요감사합니다 ㅎㅎ
이해가 잘 되나요? ㅎㅎ
머리에 잘들어 오는것 같아요 이제 수학방 많이 찾아 보겠습니다 갑사합니다
네, 자주 봬요. ㅎ
비밀댓글입니다
쌤,기초적이라 넘 민망하지만;;
y=[-（×+3）]^2+1
에서요.갑자기 마이너스가 사라지는 요술이ㅎ
이건 어디로 간건가요?
(-1)을 제곱하면 그냥 1이니까 생략할 수 있잖아요.
원점에 대한 대칭이동이 문제에 나와있는데 그건 어떻게 해야 하나요??
(원점에 대한 대칭이동)
= (x축에 대한 대칭이동) + (y축에 대한 대칭이동)
따라서 x -> -x, y -> -y를 대입하시면 돼요.
헐.....
이거 제가 찾던 내용인데.... 친절한 답글까지 너무 감사드려요!
감사합니다~~~~
그러면 이차함수를 원점을 기준으로 대칭이동 하면 식이 어떻게 되나요?
위에 댓글에서 답을 찾으셨네요. ㅋ
y=a(x-p)²+q에서 원점에 대해 대칭이동하면 어떤 식이 나오나요? 식을 정확히 써주세요 y=a(x-p)²+q 처럼요.. 윗댓 봐도 이해가 안돼서 쓰는 글입니다
x축에 대칭이동했을 때 변화를 적용한 후에 y축에 대칭이동했을 때의 변화를 적용하면 돼요.
2가지 방법을 모두 사용하는 거지요.