이제부터는 이차함수를 공부할 건데요. 이차함수뿐 아니라 이차함수를 중심으로 해서 이차방정식, 이차부등식 등 다른 이차식과의 관계를 공부할 거예요. 그래서 그 전에 공부했던 이차식들에 대해서 정확히 이해하고 있어야 해요. 이차방정식과 이차부등식은 고등학교에 올라와서 공부했으니까 이 글에서는 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수의 내용에 대해서 간단히 총정리를 해보죠.
중요한 내용만 요약할 건데, 생각나지 않는 내용이나 이런 결과가 나오는 이유를 모르겠다면 관련 글을 보면서 이해해보세요. 다음 단원을 공부하려면 이 내용이 필수니까 절대로 잊어버려서는 안 돼요.
이차함수
함수 y = f(x)에서 우변 f(x)가 x에 관한 이차식일 때 이 함수를 이차함수라고 해요.(이차함수의 뜻)
- 일반형: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
- 표준형: y = a(x - p)2 + q (a ≠ 0)
x의 이차항의 계수 a > 0이면 아래로 볼록한 그래프이고, a < 0이면 위로 볼록한 그래프죠. |a|가 커질수록 그래프의 폭이 좁아지고요. (이차함수 그래프의 특징)
표준형에서 꼭짓점의 좌표는 (p, q)예요. 축의 방정식은 x = p이고, y값의 범위는 y ≥ q이에요. (이차함수 그래프, y = a(x - p)2 + q)
일반형은 표준형으로 바꾼 후에 꼭짓점을 찾죠. 축의 방정식과 y값의 범위도 마찬가지고요. 일반형에서는 x, y절편을 찾기 쉬워요 x절편은 ax2 + bx + c = 0의 해이고, y절편은 c예요. (y = ax2 + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형)
이차함수의 그래프를 보고 계수의 부호를 구하는 것도 했어요. (이차함수 계수 부호 찾기)
표준형 y = a(x - p)2 + q에서
- a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요.
- 아래로 볼록이면 a > 0
- 위로 볼록이면 a < 0
- p와 q의 부호는 꼭짓점의 좌표를 보고 판단해요.
- 꼭짓점이 제 1 사분면에 있으면 p > 0, q > 0
- 꼭짓점이 제 2 사분면에 있으면 p < 0, q > 0
- 꼭짓점이 제 3 사분면에 있으면 p < 0, q < 0
- 꼭짓점이 제 4 사분면에 있으면 p > 0, q < 0
일반형 y = ax2 + bx + c에서 a, b, c의 부호를 구하는 방법이에요.
- a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요. 표준형에서와 똑같아요.
- 아래로 볼록이면 a > 0
- 위로 볼록이면 a < 0
- b의 부호는 좌동우이
- 그래프의 대칭축이 y축의 왼쪽에 있으면 a와 b의 부호가 같고
- 그래프의 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 달라요.
- c는 y절편의 위치를 보고 판단해요.
- y절편이 x축 위에 있으면 c > 0
- y절편이 x축 아래에 있으면 c < 0
이차함수의 식을 구하는 방법도 했어요. (이차함수 식 구하기)
- 꼭짓점의 좌표(p, q)와 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - p)2 + q에 (m, n) 대입
- 축이 방정식 x = p와 다른 두 점의 좌표 (x1, y1), (x2, y2)를 알려줬을 때: y = a(x - p)2 + q에 두 점의 좌표 대입
- 세 점의 좌표(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)를 알려줬을 때: y = ax2 + bx + c에 세 점의 좌표를 대입
- x축과의 교점(α, 0), (β, 0)과 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - α)(x - β)에 (m, n)을 대입
이차함수에서 최댓값과 최솟값은 꼭짓점의 y좌표에서 정해져요. 보통은 실수 전체에서 구하니까 최댓값과 최솟값 중 하나만 갖게 되지요. (이차함수의 최댓값과 최솟값)
- a > 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최솟값
- a < 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최댓값
여기까지가 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수에요. 정리해놓으니까 양이 별로 안되네요. 그러니까 절대로 잊어버려서는 안돼요.
함께 보면 좋은 글
이차함수의 뜻, 이차함수란?
이차함수 그래프 그리기
이차함수 그래프의 특징
이차함수 그래프의 평행이동, y = ax2 + q
이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)2
이차함수 그래프, y = a(x - p)2 + q
이차함수 그래프의 대칭이동
y = ax2 + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형
이차함수 식 구하기
y = ax2 + bx + c에서 a, b, c 부호 구하기, 이차함수 계수 부호 찾기
이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대 최소
이차함수의 활용
공부에 이해가됏어요 감사합니다
이 글 하나만 이해하면 3학년 이차함수 다 이해했다고 봐도 상관없어요. ㅎㅎ
잘 보고 갑니다, 그런데 그래프의 이동에 관련된 내용은 없네요.
이 글은 간단히 정리만 해놓은 글이에요. 그래프에 관한 이동은 본문 중간중간에 있는 링크나 제일 아래 "함께 보면 좋은 글"에 있는 링크를 참고하세요.
헷갈리고 있었는데 좋은 글 감사합니다 :)
사실 정리해놓고 보면 별 거 아니죠? 앞으로는 헷갈리지 마세요.
어려워요 ㅜㅜ
이건 총정리 된 거라서 그런가 봐요. "함께 보면 좋은 글"에 있는 링크를 보면 조금 더 자세히 설명되어 있으니까 읽어보세요.
감사합니다 수학방쌤님 ㅎㅎㅎ ㅠ
기초가 많이 약해서 네이버에 개념검색하다 우연히 들어왔네용 ㅎㅎ . 양질의 포스팅 써주시느라 수고하시네요 ㅠ 덕분에 몰랐던 개념들도 인강없이 바로바로 알 수 있게되서 좋아요 ㅎㅎㅎ. 감사합니다 ^^ ㅎㅎ.!
텍스트만으로 이해하는 건 한계가 있으니까 인강을 들으면서 그래프에서 직접 확인해보세요. ebs처럼 무료인 인강 들으시면 도움이 많이 될 거예요.
햇갈렷는데 다시 바로잡네여 선행에 많은 도움되네요!!!!!!!!!!!!!!!!...?
선행 겸 복습 겸 하는 내용이에요. ㅎㅎ
우와 ㅎㅎ 정말 감사해요 정말 요약 정리 잘 해 놓으신 듯해요! 대단!!
다른 글들도 잘 정리된 게 많으니까 함께 보고 가세요. ㅎㅎ
이차함수일반형에서표준형으로고치는과정을설명한글도있나요??
이l차함수의 일반형(http://mathbang.net/63)에 있어요. 다른 글들은 메뉴의 학년별 목차를 참고하세요.
이제야 이해가 되네요. 항상 포스팅 감사합니다~ ^^
링크된 글들도 같이 읽어보면 더 쉽게 이해가 될 거예요.
혹시 일반식 이차함수에서 꼭짓점을 바로 구하는 식을 배운거 같은데
알려주실수 있나요?
y = ax^2 + bx + c일 때, (-b/2a, -(b^2-4ac)/4 ) 이거 말인가요?
역함수의성질 겨우겨우 넘어와서 여기에선 살짝 쉽게 넘어갑니다 이차함수 총복습 해주셨네요
다 공부했던 거니까 그냥 간단하게 짚고 넘어가는 가죠.
이차함수 시험을 망쳐서 이차함수 공부를 하려 했지만 시간상 처음부터 끝까지 세세하게 강의를 듣지 못해서 걱정됐는데 이 총정리를 보니까 그나마 머릿속에서 정리가 되네요. 감사합니다!
간단하게 주요 내용만 정리했는데, 도움이 되셨군요. 다음에는 시험보기 전에 한 번 둘러보세요.
대표문제는 혹시 없나요?
대표문제 유형 같은 거요
a의 절댓값이라 해주세요 폭 좁아지는거 걍 a라하시네 뇨ㅠ
|a|라고 되어 있잖아요.
2013이랑 지금 달라진거없죠?? 힛
교육과정이 달라진 거지 교육내용은 그다지 달라지지 않았어요. 용어 몇 개 달라졌습니까 주의하세요.
수학방 늘 감사하게 잘 보고있습니다! 혹시 15개정 수1,2도 다루실 생각 있으신가요?
15계정 중학과정도 다 못했는 걸요. ㅠㅠ
바뀐 양을 보면 수1, 2보다 중학과정이 더 적거든요.