이제부터는 이차함수를 공부할 건데요. 이차함수뿐 아니라 이차함수를 중심으로 해서 이차방정식, 이차부등식 등 다른 이차식과의 관계를 공부할 거예요. 그래서 그 전에 공부했던 이차식들에 대해서 정확히 이해하고 있어야 해요. 이차방정식과 이차부등식은 고등학교에 올라와서 공부했으니까 이 글에서는 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수의 내용에 대해서 간단히 총정리를 해보죠.
중요한 내용만 요약할 건데, 생각나지 않는 내용이나 이런 결과가 나오는 이유를 모르겠다면 관련 글을 보면서 이해해보세요. 다음 단원을 공부하려면 이 내용이 필수니까 절대로 잊어버려서는 안 돼요.
이차함수
함수 y = f(x)에서 우변 f(x)가 x에 관한 이차식일 때 이 함수를 이차함수라고 해요.(이차함수의 뜻)
- 일반형: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
- 표준형: y = a(x - p)2 + q (a ≠ 0)
x의 이차항의 계수 a > 0이면 아래로 볼록한 그래프이고, a < 0이면 위로 볼록한 그래프죠. |a|가 커질수록 그래프의 폭이 좁아지고요. (이차함수 그래프의 특징)
표준형에서 꼭짓점의 좌표는 (p, q)예요. 축의 방정식은 x = p이고, y값의 범위는 y ≥ q이에요. (이차함수 그래프, y = a(x - p)2 + q)
일반형은 표준형으로 바꾼 후에 꼭짓점을 찾죠. 축의 방정식과 y값의 범위도 마찬가지고요. 일반형에서는 x, y절편을 찾기 쉬워요 x절편은 ax2 + bx + c = 0의 해이고, y절편은 c예요. (y = ax2 + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형)
이차함수의 그래프를 보고 계수의 부호를 구하는 것도 했어요. (이차함수 계수 부호 찾기)
표준형 y = a(x - p)2 + q에서
- a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요.
- 아래로 볼록이면 a > 0
- 위로 볼록이면 a < 0
- p와 q의 부호는 꼭짓점의 좌표를 보고 판단해요.
- 꼭짓점이 제 1 사분면에 있으면 p > 0, q > 0
- 꼭짓점이 제 2 사분면에 있으면 p < 0, q > 0
- 꼭짓점이 제 3 사분면에 있으면 p < 0, q < 0
- 꼭짓점이 제 4 사분면에 있으면 p > 0, q < 0
일반형 y = ax2 + bx + c에서 a, b, c의 부호를 구하는 방법이에요.
- a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요. 표준형에서와 똑같아요.
- 아래로 볼록이면 a > 0
- 위로 볼록이면 a < 0
- b의 부호는 좌동우이
- 그래프의 대칭축이 y축의 왼쪽에 있으면 a와 b의 부호가 같고
- 그래프의 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 달라요.
- c는 y절편의 위치를 보고 판단해요.
- y절편이 x축 위에 있으면 c > 0
- y절편이 x축 아래에 있으면 c < 0
이차함수의 식을 구하는 방법도 했어요. (이차함수 식 구하기)
- 꼭짓점의 좌표(p, q)와 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - p)2 + q에 (m, n) 대입
- 축이 방정식 x = p와 다른 두 점의 좌표 (x1, y1), (x2, y2)를 알려줬을 때: y = a(x - p)2 + q에 두 점의 좌표 대입
- 세 점의 좌표(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)를 알려줬을 때: y = ax2 + bx + c에 세 점의 좌표를 대입
- x축과의 교점(α, 0), (β, 0)과 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - α)(x - β)에 (m, n)을 대입
이차함수에서 최댓값과 최솟값은 꼭짓점의 y좌표에서 정해져요. 보통은 실수 전체에서 구하니까 최댓값과 최솟값 중 하나만 갖게 되지요. (이차함수의 최댓값과 최솟값)
- a > 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최솟값
- a < 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최댓값
여기까지가 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수에요. 정리해놓으니까 양이 별로 안되네요. 그러니까 절대로 잊어버려서는 안돼요.
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