이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법 두 번째에요. 이번에는 이차함수뿐 아니라 다른 식의 최대, 최소를 구하는 방법도 알아볼 거예요. 이차함수의 최대, 최소를 구하는 방법과 조금 다르긴 하지만 한 번에 정리한다고 생각하세요. 새로운 건 아니고 전부터 많이 사용했던 성질들을 이용하므로 너무 어려워하지 마세요.
그리고 이차함수의 최대, 최소를 활용하는 문제도 풀어볼 거예요. 이차함수의 활용은 중학교 때 해본 것과 완전히 똑같아요. 대신에 최대, 최소를 구하는 방법이 조금 어려워질 뿐이죠. 최대, 최소 구하는 방법만 제대로 알고 있으면 돼요.
이차함수의 최대, 최소
조건식이 있을 때 이차함수의 최대, 최소
x, y에 관한 조건식과 최대, 최소를 구하는 식 두 개를 알려주는 경우예요. 이때는 조건식을 한 문자에 관해 정리해서 다른 식에 대입해요.
실수 x, y에 대하여 x2 + y2 = 4일 때, 2x + y2의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
조건식이 x2 + y2 = 4이네요. 한 문자에 관해서 정리해보죠.
y2 = 4 - x2
2x + y2 = 2x + 4 - x2 = -x2 + 2x + 4 = -(x - 1)2 + 5
위로 볼록한 이차함수이므로 최댓값 5만 가질까요? 아니에요. 왜냐하면, 조건식에서 x의 범위를 구할 수 있거든요.
(실수)2 ≥ 0이므로 y2 = 4 - x2 ≥ 0이에요.
4 - x2 ≥ 0
x2 - 4 ≤ 0
(x + 2)(x - 2) ≤ 0
-2 ≤ x ≤ 2
정의역이 -2 ≤ x ≤ 2이고, 이차함수의 꼭짓점 (1, 5)가 정의역에 포함되므로 양쪽 경곗값과 꼭짓점에서의 y값을 비교해서 최대, 최소를 구해야 해요. 최댓값은 x = 1일 때 5, 최솟값은 x = -2일 때 -4네요.
완전제곱식이 포함된 이차식의 최대, 최소
x, y가 실수라는 조건이 있는 이차식의 최대, 최소는 실수의 성질을 이용해요. 이차식을 완전제곱식으로 바꾸는 거죠. (실수)2 ≥ 0이니까 (실수 x, y를 포함하는 완전제곱식)2 ≥ 0이에요.
x, y가 실수일 때, x2 + 2x + y2 + 6y + 5의 최솟값을 구하여라.
x, y가 실수니까 식을 완전제곱식으로 바꿔보죠.
x2 + 2x + y2 + 6y + 5
= (x + 1)2 + (y + 3)2 - 1 - 9 + 5
= (x + 1)2 + (y + 3)2 - 5
(x + 1)2 ≥ 0이고 (y + 3)2 ≥ 0이므로 (x + 1)2 + (y + 3)2 - 5 ≥ -5이에요. 따라서 답은 -5이네요.
산술, 기하, 조화평균
이외에도 절대부등식 - 산술, 기하, 조화평균에서도 양수인 두 수의 합과 곱 사이의 관계를 통해서 합의 최솟값이나 곱의 최댓값을 구했었죠?
a > 0, b > 0일 때
(등호는 a = b일 때 성립)
이것까지 기억해두세요.
이차함수의 최대, 최소의 활용
이차함수의 활용은 중학교 3학년 때 했던 이차함수의 활용과 달라지지 않아요. 다만, 최대, 최소를 구하는 방법에 앞서 공부한 이차함수의 최댓값과 최솟값이 추가될 뿐이에요.
이차함수의 활용 푸는 순서
- x, y 정하기
문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다. - x, y의 범위 구하기
문제의 조건에 맞는 x, y의 범위를 구한다. - 함수식 만들기
x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다. - 답 구하기
함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다. - 확인하기
구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.
길이가 40cm인 끈으로 직사각형을 만들려고 한다. 직사각형의 넓이가 최대가 될 때의 가로, 세로 길이를 구하여라.
2(가로 길이 + 세로 길이) = 둘레의 길이이므로 직사각형의 가로 길이를 x라고 한다면 세로 길이는 20 - x에요. 넓이를 y라고 해보죠.
가로 길이 x는 길이니까 0보다 커요.
세로 길이도 마찬가지로 0보다 커야 하고요. 20 - x > 0 → x < 20
따라서 x의 범위는 0 < x < 20가 되겠네요.
y = x(20 - x)
y = 20x - x2
y = -x2 + 20x
y = -(x2 - 20x)
y = -(x - 10)2 + 100
이차함수에서 (10, 100)이 x의 범위 0 < x < 20 사이에 있으니까 꼭짓점에서 최댓값을 가져요. 답은 가로 10cm, 세로 10cm네요.
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