무리함수의 역함수도 그냥 일반적인 함수의 역함수와 같아요. 가장 큰 차이가 있는 게 바로 정의역이죠. 다항함수는 실수 전체가 정의역이고 분수함수는 분모 ≠ 0인 x를 제외한 실수가 정의역이에요. 무리함수는 근호 안이 0 또는 양수인 x가 정의역이고요.
무리함수의 역함수는 이차함수인데, 이제까지 우리가 공부했던 이차함수는 실수 전체 집합을 정의역으로 하는 함수지만 무리함수의 역함수인 이차함수는 정의역이 실수 전체가 아니에요. 따라서 정의역을 따로 구해줘야 하고 꼭 함께 써줘야 합니다. 역함수의 정의역을 찾는 걸 놓치지 마세요.
무리함수의 역함수
무리함수, 무리함수의 그래프에서 살짝 얘기한 적이 있는데, 무리함수의 역함수에 대해서 알아보죠.
역함수를 구하는 방법은 역함수, 역함수 구하는 법에서 했던 것과 똑같아요. 식만 무리식이 된 것뿐이죠.
- 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
- y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f-1(y)
- x와 y를 바꾼다. → y = f-1(x)
- 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.
무리함수 (a ≠ 0)의 역함수가 이차함수
(a ≠ 0)라는 건 구해봤으니까 이번에는
(a ≠ 0)의 역함수를 한 번 구해볼까요?
먼저 정의역을 구해야 하죠. a > 0이라면 정의역은 {x|x ≥ }이고, a < 0이면 정의역은 {x|x ≤
}가 되겠네요. 치역은 a의 부호와 상관없이 {y|y ≥ c}고요.
무리함수의 역함수가 이차함수가 되었어요. 정의역은 원래 함수의 치역과 같으므로 {x|x ≥ c}이에요.
일반적으로 이차함수의 정의역은 모든 실수인 데 비해 무리함수의 역함수인 이차함수의 정의역은 실수 전체가 아니니까 꼭 정의역을 따로 구해줘야 합니다.
무리함수 역함수의 성질
역함수를 구하는 과정에서 x, y를 바꾸는 과정이 있어요. 직선에 대하여 대칭이동(y = x, y = ax + b)에서 y = x에 대하여 대칭이동하면 x 대신 y, y 대신 x를 대입한다고 했죠? 즉, x와 y를 바꾸는 거예요. 따라서 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이동한 것과 같죠. 이건 무리함수의 그래프에서만 아니고 모든 함수의 역함수에서 공통된 성질이에요.
의 역함수를 구하여라.
근호 안이 0 또는 양수여야 하므로 x + 5 ≥ 0에서 정의역은 {x|x ≥ -5}이에요. 치역은 {y|y ≥ 1}이고요.
역함수의 정의역은 {x|x ≥ 1}입니다.
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무리함수 공부하는데 큰 도움이 됬어요.
수학이 재밌어져요!!
앞으로도 계속 재미있어야 하는데 안 그럴까봐 걱정이네요.!!
역함수의 성질을 잘 알게되었어요.
역함수의 성질은 무리함수뿐 아니라 모든 역함수에서 공통이니까 잘 알아두면 좋죠.
초4인데 벌써 여기까지 공부를 하나요?
무리함수의 역함수와 원함수와의 교점은 항상 y=x 상에서만 생기나요?
본문에 있는 것처럼 무리함수뿐 아니라 모든 함수와 그 역함수의 교점은 항상 y = x위에서 생겨요.
지금 정신차려서 공부하는중입니다 모르는거 있을때마다 수학방님이 저에게 많은 도움이 되네요
많은 도움을 드릴 수 있어서 저도 좋네요.
안녕하세요 .. 항상 감사히 잘보고있습니다 다름이 아니라 질문이 하나있습니다 .
무리함수의 역함수를 구할때 x랑 y랑 바꾸는건 이해가 갑니다 .
그걸 다시 y에 관한 관계식으로 바꿀때 양변에 제곱을 하잖아요 .
제곱을 하기전에 왜 y축 대칭이동한 루트밖에 있는수를 좌변으로 이항한 다음에 제곱하는지 이해가 안갑니다 ..
제가 기본적인 수학개념이 잘 안다져있어서 기초적인걸 잘모릅니다 설명해주세요 .
감사합니다
y = f(x)의 역함수를 구하려면 x에 대하여 풀어야 하죠? x = (....) 꼴로 풀려면 근호 안의 x를 제곱해서 근호 밖으로 꺼내야해요. 그런데 루트 밖에 있는 수를 그냥 둔 상태에서 제곱하면 또다시 근호 안에 x가 들어있는 항이 생기잖아요. 그럼 제곱한 의미가 없죠.
깔끔합니다
제가봐서 이해햇다면 다른분들은 더 쉬웟겟죠
고맙습니다
이제까지 꾸준히 해와서 그런 거예요. 꾸준히 공부하지 않은 분이라면 어렵게 느껴질 겁니다.
좋은 글 감사합니다.
그런데 y=f(x)와 그 역함수의 교점이 항상 y=x위에서 생기는 것은 아니니 수정 부탁드립니다. 학교 시험에서도 이를 노리고 출제하는 경우가 있으며, 이제는 교과서에도 이 명제가 거짓이라는 것을 많이 언급하고있습니다.
1. y=f(x)가 증가함수일때, y=f(x)와 그의 역함수가 교점이 존재한다면 y=x위에서만 만난다. 이는 참인 명제입니다.
2. y=1-x^2 (x>=0)인 경우처럼 감소함수의 경우 그의 역함수와의 교점이 y=x위에서가 아니라 y=-x-a에서 생길 수 있습니다.
루트기호를 타이핑치기 어려워 다른 문제에 대해 올리기 힘들지만 수학을 연구하시는 분이니 연구해보시기바랍니다
공부가 좀 부족하네요. ㅠㅠ
내용은 수정하겠습니다.
이해가 잘 됬어용!!!
엥? 초2인데 이게 이해가 돼요?
이해가 잘 되네요 다음에도 이용해볼까 합니다.