일차함수와 직선의 방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이차함수도 방정식으로 바꿀 수 있어요. 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차방정식과 일차방정식의 관계로 바꿀 수 있죠. 이 관계를 이용해서 둘의 위치관계를 구해요.

이런 방법은 원과 직선의 위치관계에서도 했던 방법이에요. 일차식을 이차식에 대입한 다음에 판별식을 이용하는 거죠. 원의 방정식이 이차함수로 바꿨다는 것만 다르고 나머지는 똑같으니까 별로 어렵지 않을 거예요.

그래프를 그리지 않고 식만 보고 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 파악할 수 있도록 해보세요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 원과 직선의 위치관계에서 했던 방법을 그대로 가져다 쓰면 돼요.

이차함수 y = ax2 + bx + c는 ax2 + bx + c - y = 0이라는 식으로 바꿀 수 있고, 이건 x 관한 이차방정식이죠? y = mx + n은 mx + n - y = 0으로 바꿀 수 있고, 이건 일차방정식이에요. 이 둘을 연립하면 연립이차방정식의 풀이에 따라 해를 구할 수 있어요. 하지만 위치관계에서는 해가 중요한 게 아니고 해의 개수가 중요해요.

이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)와 직선 y = mx + n을 연립해서 푼 해가 바로 그래프에서의 교점이에요. 해가 2개이면 교점이 2개, 해가 하나이면 교점도 하나죠.

ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b - m)x + c - n = 0

연립하면 위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 - 판별식 D

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 해가 2개 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 해가 1개 ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다.(접한다.)
D < 0 ⇔ 허근 ⇔ 해가 0개 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.

실수 범위에서만 다루기때문에 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

위 내용을 표로 정리해 볼게요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계
→ ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용
판별식 D > 0 D = 0 D < 0
위치관계 서로 다른 두 점에서 만난다. 한 점에서 만난다.(접한다.) 만나지 않는다.
그래프 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 - 서로 다른 두 점에서 만난다. 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 - 한 점에서 만난다. (접한다.) 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 - 만나지 않는다.
교점의 개수 2개 1개 0개

x2 + 3x - 3의 그래프와 접하고, y = x + 1과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 서로 평행한 직선은 기울기가 같아요. y = x + 1과 평행하다고 했으니 구하는 직선은 y = x + b가 되겠네요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.

이 직선이 y = x2 + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.

x2 + 3x - 3 = x + b
x2 + 2x - 3 - b = 0

D/4 = 12 - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4

따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.

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정리해볼까요

이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계

  • ax2 + (b - m)x + c - n= 0의 판별식 D
  • D > 0 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
  • D = 0 ⇔ 한 점에서 만난다.(접한다.)
  • D < 0 ⇔ 만나지 않는다.
 
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