이차함수
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이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q2012.06.30
y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형
이차함수의 그래프에 대해서 공부하고 있는데, y = a(x - p)2 + q꼴 이었어요. 이런 형태를 이차함수의 표준형이라고 해요.
이차방정식에서는 ax2 + bx + c = 0 꼴을 이차방정식의 일반형이라고 하는데, 이차함수에도 일반형이 있어요. 이차함수의 일반형은 이차방정식 우변의 0을 y로 바꾸고, 좌우변을 바꾼 y = ax2 + bx + c이에요.
이차함수의 일반형 y = ax2 + bx + c
y = ax2 + bx + c의 특징을 먼저 알아볼까요?
이차함수 y = a(x - p)2 + q의 그래프에서 그래프의 모양과 폭을 결정하는 건 뭐죠? 이차항의 계수인 a죠. 일반형에서도 이차항의 계수가 그래프의 폭과 모양을 결정합니다.
y = ax2+ bx + c에서 이차항의 계수는 a이고 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록이에요. 또 |a|가 클수록 그래프의 폭은 좁아집니다.
x절편은 y = 0일 때의 x좌표죠? y = 0을 넣어볼까요? 0 = ax2 + bx + c가 되어서 이차방정식의 해가 x절편이 되는 걸 알 수 있어요.
y절편은 x = 0일 때의 y좌표죠? x = 0을 넣어보면 y = c가 나와요.
일반형은 표준형보다 x, y 절편 찾기가 쉬워요.
표준형은 꼭짓점이나 축의 방정식, y값의 범위를 알아보기가 쉽죠. y = a(x - p)2 + q에서 꼭짓점은 (p, q)라는 걸 알 수 있잖아요.
그러니까 꼭짓점을 찾을 때는 표준형, y절편을 찾을 때는 일반형이 편하겠죠. 그래프의 모양이나 폭은 어떤 것이든 상관없고요.
그런데 함수식을 두 가지 형태로 다 주는 건 아니잖아요. 식이 표준형이면 x = 0, y = 0을 대입해서 x, y 절편을 찾을 수 있어요. 하지만 일반형일 때는 그 상태 그대로 꼭짓점이나 y값의 범위를 찾을 방법이 없죠.
그래서 일반형을 표준형으로 바꿔야 해요.
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이
일반형은 x에 관해 내림차순으로 쓰인 식이고, 표준형은 완전제곱식을 포함하고 있는 식이에요. 그러니까 완전제곱식 + 상수항의 꼴이죠.
일반형을 완전제곱식으로 바꾸는 걸 우리는 이미 해봤어요. 바로 “완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이”에서요.
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 어떻게 했는지 보죠.
- 이차항의 계수로 양변을 나눈다.
- 상수항을 우변으로 이항
을 양변에 더해준다.
- 좌변을 완전제곱식으로 인수분해: (x + p)2 = k
- 제곱근을 이용하여 해를 구한다.
x2 - 2x - 6 = 0
기억나죠? 정말 많이 해봤던 문제잖아요.
y = ax2 + bx + c를 y = a(x-p)2 + q로 바꾸기 (일반형을 표준형으로)
이차방정식에서 완전제곱식을 만들었던 것과 이차함수의 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 80% 비슷해요.
다른 건 두 가지. 위의 순서에서 2번에 있는 상수항을 우변으로 이항하는 게 없어요. 그리고 해를 구하는 게 아니니까 5번 단계가 필요 없어요. 두 단계가 줄었으니까 더 편하겠죠?
그다음에는 이차항의 계수로 양변을 나눈다고 했는데, 이걸 “이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶는다.”로 바꾸면 돼요. 인수분해한다는 얘기예요.
연습을 한번 해보죠.
y = 2x2 + 4x + 5의 꼭짓점의 좌표과 축의 방정식을 구하여라.
먼저 이차항의 계수로 이차항과 일차항을 묶어요.
y = 2(x2 + 2x) + 5
y = 2(x2 + 2x + 1 - 1) + 5
괄호 안에 있는 부분 중 앞의 세 항(x2 + 2x + 1)을 완전제곱식으로 바꿔요.
y = 2{(x + 1)2 - 1} + 5
괄호 안에는 완전제곱식과 상수항이 남아있는데, 이 상수항을 괄호 밖으로 빼네요. 이때 주의해야할 건 괄호 앞에 이차항의 계수였던 2가 있으니까 분배법칙을 이용해서 빼내야 한다는 거예요.
y = 2(x + 1)2 - 2 + 5
y = 2(x + 1)2 + 3
완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이와 거의 비슷하죠? 이렇게 표준형으로 바꿨더니 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식을 구할 수 있겠네요. 꼭짓점은 (-1, 3), 축의 방정식은 x = -1이군요.
한 문제 더 해보죠.
y = -x2 + 4x -2의 꼭짓점과 y절편을 구하여라.
꼭짓점은 표준형에서 y절편은 일반형에서 구하는 게 편해요.
문제의 식이 일반형이니까 y절편부터 구해보죠. 이차함수 y = ax2 + bx + c에서 x = 0일 때 y 좌표가 y절편이니까 –2네요.
꼭짓점을 구하기 위해서 일반형을 표준형으로 바꿔보죠.
꼭짓점의 좌표는 (2, 2)이고 y 절편은 -2네요.
이차함수 그래프, y = (x - p)² + q
이차함수 그래프의 평행이동 마지막입니다. 뭐 거창한 건 아니고요. 앞에서 공부했던 내용들을 한꺼번에 공부하는 거예요.
이차함수그래프를 x축으로도 평행이동 해봤고, y축으로도 평행이동 해봤어요. 이제는 x, y 축 평행이동을 동시에 하는 거예요.
y = ax2 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 이동한 그래프에 대해서 공부할 거예요. 어렵게 생각하지 마세요. 이 그래프는 y = ax2 + q와 y = a(x - p)2의 특징을 모두 갖고 있거든요.
이차함수 y = a(x - p)2 + q의 그래프
y = ax2 그래프를 y축 방향으로 먼저 q만큼 평행이동한 y = ax2 + q 그래프를 다시 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프예요. 순서를 바꿔도 상관없어요.
그래프를 x축으로 평행이동하면 x와 관련된 모든 항목이 바뀌고, y축으로 평행이동하면 y와 관련된 항목이 모두 바꿔요. 그럼 x, y로 평행이동한 그래프는 당연히 x와 y에 관련된 모든 것들이 다 바뀌겠죠π x와 관련된 항목은 p로 y와 관련된 항목은 q로 바꿔보죠.
꼭짓점은 원점 (0, 0) 이었어요. 평행이동하면 어떻게 될까요π (p, q)로 바뀌겠죠π
축의 방정식은요. x하고만 관련이 있잖아요. x = 0 에서 x = p로 바뀌고요.
y값의 범위는 y하고만 관련이 있죠π a < 0이면 y ≤ q가 될 거고, a > 0 이면 y ≥ q가 될 거예요.
이차함수 그래프의 평행이동
a > 0일 때 이차함수 그래프를 평행이동한 그래프에 관한 내용을 정리해볼까요π
| 그래프 |  |
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| y = ax2 | y = ax2 + q | y = a(x - p)2 | y = a(x - p)2 + q | |
| 꼭짓점 | (0, 0) | (0, q) | (p, 0) | (p, q) |
| 축의 방정식 | x = 0 | x = 0 | x = p | x = p |
| 증가, 감소 기준 | x > 0 x < 0 |
x > 0 x < 0 |
x > p x < p |
x > p x < p |
| y의 범위 | y ≥ 0 | y ≥ q | y ≥ 0 | y ≥ q |
이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x-p)²
이차함수 그래프가 y축으로 평행이동한 것을 공부했어요. 이 글에서는 이차함수 그래프가 x축으로 평행이동한 경우를 생각해보죠.
이차함수 그래프 y = ax2가 y축으로 q만큼 평행이동하면 y에 관련된 값인 꼭짓점의 y좌표, y의 범위 등이 바뀌죠. 그리고 y와 상관없는 꼭짓점의 x좌표, 축의 방정식 등은 그대로예요.
이차함수의 그래프가 x축 방향으로 평행이동 했을 때는 이차함수 그래프의 특징에서 어떤 값들이 어떻게 바뀌는 지 알아보죠.
이차함수 y = a(x - p)2의 그래프
일차함수든 이차함수든 x, y축 어느 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 모양은 바뀌지 않아요. 일차함수의 그래프에서 기울기나 직선인 모양은 그대로이고요. 이차함수에서도 포물선 모양과 위/아래로 볼록인 것도 그대로예요. 그래프의 폭도 바뀌지 않아요.
특히 이번에는 x축으로 p만큼 평행이동 했을 때를 볼 건데, 이때는 x에 관련된 내용이 모조리 p로 바뀝니다.
y = ax2의 그래프의 꼭짓점은 원점 (0, 0)이었어요. x 관련된 것만 바뀌니까 꼭짓점의 x좌표가 바뀌겠죠? (p, 0)이 돼요.
축의 방정식은 x = 0이었죠? x와 관련된 식이네요. 역시 x = p로 바뀝니다.
x > 0이면 x가 증가할 때 y가 증가하고, x < 0이면 x가 증가할 때 y는 감소하죠. 여기서 x의 범위도 x > p일 때 x가 증가하면 y가 증가하고 , x < p일 때 x가 증가하면 y가 감소하는 것으로 바뀌죠.
y값의 범위는 x랑 상관없죠? 그래서 바뀌지 않아요.
아래 그래프는 y = x2과 y = (x - 3)2의 그래프에요.
그래프에서 꼭짓점은 (3, 0)이고, 축의 방정식은 x = 3이네요. x > 3이면 x가 증가할 때 y가 증가하고, x < 3이면 x가 증가할 때 y는 감소하는군요. 찾을 수 있겠죠?
파란색 그래프 위의 점들이 x축 방향으로 3만큼 이동하면 오른쪽 그래프 위의 점들과 일치하죠? 양의 방향으로 3만큼 이동했으니까 x + 3을 해줘야 할 것 같은데, 식은 x - 3이 됐어요. 여기를 주의하세요. 이동한 만큼 빼주는 거예요.
x축으로 p만큼 평행이동한 이차함수 그래프는 x 대신 x - p, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프는 y 대신 y - q를 넣어주세요.
만약 x축 방향으로 -3만큼 이동하면 y = {x - (-3)}2 = (x+3)2가 돼요.
y축으로 q만큼 이동한 그래프는 원래는 y - q = ax2인데, q를 이항해서 우리가 아는 y = ax2 + + q로 바꾼 거예요.
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이차함수 그래프의 특징
이차함수 그래프의 평행이동, y = ax2 + q
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이차함수 그래프의 대칭이동
이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q
일차함수에서 우리는 제일 처음에 y = ax 에 대해서 공부했어요. 그리고 y = ax 그래프를 y축으로 b만큼 평행이동 시킨 y = ax + b 그래프를 공부했고요.
이차함수에서 y = ax2 그래프를 공부했으니 y축으로 평행이동한 그래프를 공부해야겠죠? 그게 바로 y = ax2 + q예요.
그래프를 평행이동 하면 그래프의 모양은 바뀌지 않아요. 그러니까 폭도 그대로이고, 위로/아래로 볼록한 것도 그대로에요.
일차함수의 그래프에서도 그래프의 기울기나 모양이 바뀌지는 않았어요.
이차함수 y = ax2 + q의 그래프
y = ax2 + q 그래프는 y = ax2 를 y축으로 q만큼 이동한 그래프에요.
y축에 대해서 q만큼 평행이동 했으니까 y와 관련된 항목들만 바꿔요.
y축 대칭이어서 축의 방정식은 x = 0이었어요. 축의 방정식은 x만 있고 y와 상관없죠? 그래서 축의 방정식은 x = 0 그대로예요.
x가 증가할 때 y가 증가/감소하는 구간도 역시 x > 0 일 때와 x < 0 일 때, 즉 x의 범위에 따라 달라지는 거니까 y와는 상관없어요. 그대로예요.
꼭짓점은 원점(0, 0)에서 (0, q)로 바뀝니다. y축으로 이동했으니 꼭짓점의 y좌표도 이동해야겠죠?
y축으로 평행이동 하면 y값의 범위도 바뀌어야 해요. a > 0이라면 y ≥ q가 될 거고, a <0이라면 y ≤ q가 돼요.
기억하세요. y = ax2가 y축 방향으로 q만큼 이동한 y = ax2 + q는 y 관련된 항목, 꼭짓점의 y좌표, y값의 범위만 바뀌고, 다른 것은 그대로라는 걸요.
이차함수 그래프의 특징
이번에는 이차함수 그래프의 특징에 대해서 알아볼 거예요. 이차함수 그래프 그리기에서 잠깐 봤지만 이차함수 그래프는 직선이 아니라 곡선, 정확히는 포물선이에요. 가운데 뾰족한 부분이 있고 그 양쪽은 서로 대칭인 모양이죠.
일차함수 y = ax에서 a를 기울기라고 했는데, 이차함수에서는 기울기라는 표현을 쓰지 않아요. 대신 이차항의 계수라고 그냥 편하게 부르면 돼요.
y = x²의 그래프를 그려보았는데요, 이번에는 x²의 계수가 1이 아닌 2, 3…… 일 때 그래프의 특징에 대해서 알아보죠. 또 a의 부호에 따라 그래프가 어떻게 달라지는 지도 알아봐요.
y = ax² 그래프의 성질 (a > 0일 때)
이차함수니까 당연히 a≠0이에요.
아래는 y = x²의 그래프예요. 그래프를 보면서 특징을 하나씩 적어볼게요. a = 1이긴 하지만 a가 2, 3, 4, …여도 특징은 같아요.
그래프를 보면 알겠지만, 그래프는 아래로 튀어나온 모양이죠? 이걸 아래로 볼록한 모양이라고 표현해요.
그리고 원점 (0, 0)을 지나요. 원점을 기준으로 양쪽이 서로 대칭이에요. 이렇게 뾰족한 점을 꼭짓점이라고 해요.
꼭짓점 양쪽의 그래프를 잘 살펴보면 서로 대칭인 것을 알 수 있어요. 선대칭인데, 이 대칭이 되는 선을 대칭축이라고 불러요. 대칭축은 y축이네요. y축을 식으로 나타내면 x = 0이죠. 이 x = 0을 축의 방정식이라고 불러요. 대칭축을 방정식으로 표현했다는 얘기예요.
대칭축을 기준으로 해서 오른쪽 부분은 x가 증가하면 y도 증가하죠. 그런데 축의 왼쪽 부분은 x가 증가하면 y가 감소해요.
x와 y의 범위는 따로 얘기하지 않는다면 실수 전체를 말합니다. 그런데 실제로 y 값들이 실수 전체인가요? 아니죠. y는 원점에서 가장 작고 그 외에는 0보다 커요. 따라서 y값의 범위는 y ≥ 0이에요.
아래는 y = x²와 y = 2x² 그래프를 함께 그린 건데, 계수가 커질수록 그래프는 y축에 가까워지죠? 일차함수 y = ax + b (a > 0)에서도 a가 커지면 그래프는 y축에 점점 가까워졌어요. 이차함수에서는 이걸 폭이 좁아진다고 표현합니다. 즉, a가 커질수록 그래프의 폭이 좁아진다고 하죠.
y = ax² 그래프의 성질 (a < 0일 때)
이번에는 a < 0인 y = -x² 그래프를 보고 특징을 알아보죠.
y = x2의 그래프와 마찬가지로 원점을 지나고, 이 원점을 꼭짓점으로 해요.
y = -x2그래프는 위쪽에 뾰족한 부분이 있죠? 그래서 위로 볼록이라고 해요.
y = x2와 마찬가지로 y축에 대해서 대칭이죠. 그러니까 축의 방정식도 x = 0으로 같아요.
그래프를 보면 가장 큰 y값이 0이고 나머지는 0보다 작죠? 그래서 y값의 범위는 y ≤ 0이에요.
아래는 y = -x2와 y = -2x2 그래프를 함께 그린 건데, 계수가 작아질수록 그래프는 y축에 가까워지죠? 폭이 좁아져요.
계수인 a 가 0보다 클 때는 a가 커지면 폭이 좁아진다고 했는데, a < 0일 때는 계수가 작아져야 폭이 좁아져요. 이걸 한 번에 표현하면 a의 절댓값이 커지면 그래프의 폭이 좁아진다고 할 수 있어요. 일차함수에서도 y = ax + b에서 a의 절댓값이 커지면 그래프는 y축에 가까워지는 걸 알 수 있었어요
y = ax² 그래프의 특징
| a > 0 | a < 0 | |
| 꼭짓점 | 원점(0, 0) | |
| 축의 방정식 | y축 (x = 0) | |
| 그래프의 폭 | |a|가 커질수록 폭은 좁아진다. | |
| 볼록한 방향 | 아래로 볼록 | 위로 볼록 |
| x < 0 일 때 | x 증가 → y 감소 | x 증가 → y 증가 |
| x > 0 일 때 | x 증가 → y 증가 | x 증가 → y 감소 |
y의 범위 |
{y|y ≥ 0} | {y|y ≤ 0} |
이차함수 y = 2x²에 대한 설명으로 틀린 것은?
① 원점을 꼭짓점으로 한다.
② x > 0일 때 x가 증가하면 y도 증가한다.
③ y축에 대하여 대칭이다.
④ 위로 볼록한 포물선이다.
⑤ 제 1, 2사분면을 지난다.
원점을 지나고 y축에 대해 대칭인 것은 a와 상관없는 이차함수 y = ax2그래프의 특징이에요. 그래서 1번과 3번은 맞아요.
y = 2x2는 a가 0보다 크네요. 그래프의 모양을 생각해보죠. x > 0 인 곳은 그래프에서 오른쪽 부분이에요. 오른쪽 부분은 x가 커지면 y도 함께 커져요. 따라서 2번은 맞아요.
a > 0이니까 아래로 볼록한 곡선이죠? 4번은 틀렸네요.
y값의 범위가 y ≥ 0이니까 1, 2 사분면을 지나는 것도 맞아요.
따라서 틀린 것은 4번이네요
이차함수 그래프 그리기
이차함수 그래프 그리는 방법을 알아볼꺼에요. 아주 간략하게 그리는 거고, 꼭지점과 y절편 등을 이용해서 그리는 건 나중에 다시 더 배울 거예요.
일차함수의 그래프는 두 점을 찍은 다음 그 점들을 직선으로 연결해서 그래프를 그렸어요.
일차함수 그래프 그리기
하지만 이차함수는 조금 달라요. 직선이 아니거든요.
이차함수의 가장 기본이 되는 y = x²의 그래프를 그려 보자고요.
y = x²의 그래프 그리기
y = x²에 x = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...을 대입하면 y = ..., 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, ...가 나와요. 이 점들을 순서쌍을 나타내면 (-3, 9), (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)가 되겠네요. xy 좌표평면에 찍으면 아래처럼 돼요.
딱 봐도 직선으로 연결할 수는 없겠죠? 그럼 어떻게 하느냐? 각 점들이 최대한 매끄럽게 되도록 곡선으로 연결해줍니다. 정확히는 포물선 모양이에요.
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원점은 뾰족한 모양이 되고 양쪽으로 곡선 모양이네요.
점을 많이 찍으면 그리기가 더 수월해요. 하지만 좌표 구하기가 더 어렵죠.
y = -x²의 그래프 그리기
y = -x²에 x = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...을 대입하면 y = ..., -9, -4, -1, 0, -1, -4, -9, ...가 나와요. 이 점들을 순서쌍을 나타내면 (-3, -9), (-2, -4), (-1, -1), (0, 0), (1, -1), (2, -4), (3, -9)가 되죠. 마찬가지로 점을 표시하고 매끄럽게 곡선으로 연결하면 돼요.
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이차함수의 뜻, 이차함수란?
이차방정식에 이어 이차함수에요.
1학년 때 함수를 공부했고, 2학년 때는 일차함수와 그래프를 공부했죠. 이제는 이차함수와 그래프를 공부할 거예요. 식은 똑같은 데 차수만 높아지는 거니까 겁먹을 필요 없어요.
일차방정식과 이차방정식의 차이는 뭐였죠? 미지수 x의 차수가 일차냐 이차냐의 차이였어요. 마찬가지로 일차함수와 이차함수의 차이도 x에 관한 식의 차수가 일차냐 이차냐 차이에요. 차수가 일차면 일차함수, 이차면 이차함수지요.
일차함수는 y = ax + b (a ≠ 0, a, b 는 상수)였어요. 이차함수는 우변이 x에 관한 이차식이니까 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c는 상수)겠죠?
이차방정식인지 아닌지 확인할 때, 괄호는 풀고 동류항을 다 정리한 후에 차수가 일차인지 이차인지 확인했었죠? 이차함수에서도 괄호는 다 풀고 동류항 계산을 다 한 다음에 차수를 확인합니다.
다음 중 이차함수 인것은?
(1) y = 2x + 6
(2) y = 2x2 + 3x + 1
(3) y = 2(x - 3)2
(4) x2 + 3x + 2 = 0
(5) y = 2(x - 2)2 + 3 - 2x2
(1)은 우변 x의 최고차항이 1차니까 일차함수고요.
(2)는 우변이 x에 관한 이차식이니까 이차함수가 맞아요.
(3) 역시 우변을 전개해보면 y = 2x2 - 12x + 18이어서 이차함수가 맞고요.
(4)는 이차식이긴 하지만 함수가 아닌 방정식이어서 이차방정식이네요.
(5)는 우변을 정리해보면 y = 2x2 - 8x + 8 + 3 - 2x2 = -8x + 11이여서 차수가 1인 일차함수네요.
따라서 이차함수인 것은 (2), (3)입니다.
중3 수학 목차
중학교 3학년 수학 목차입니다.
각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.
- 실수와 식의 계산
- 인수분해
- 이차방정식
- 이차함수
- 통계
- 삼각비
- 원의 성질