이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x-p)²

이차함수 그래프가 y축으로 평행이동한 것을 공부했어요. 이 글에서는 이차함수 그래프가 x축으로 평행이동한 경우를 생각해보죠.

이차함수 그래프 y = ax²가 y축으로 q만큼 평행이동하면 y에 관련된 값인 꼭짓점의 y좌표, y의 범위 등이 바뀌죠. 그리고 y와 상관없는 꼭짓점의 x좌표, 축의 방정식 등은 그대로예요.

이차함수의 그래프가 x축 방향으로 평행이동 했을 때는 이차함수 그래프의 특징에서 어떤 값들이 어떻게 바뀌는 지 알아보죠.

이차함수 y = a(x - p)²의 그래프

일차함수든 이차함수든 x, y축 어느 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 모양은 바뀌지 않아요. 일차함수의 그래프에서 기울기나 직선인 모양은 그대로이고요. 이차함수에서도 포물선 모양과 위/아래로 볼록인 것도 그대로예요. 그래프의 폭도 바뀌지 않아요.

특히 이번에는 x축으로 p만큼 평행이동 했을 때를 볼 건데, 이때는 x에 관련된 내용이 모조리 p로 바뀝니다.

y = ax²의 그래프의 꼭짓점은 원점 (0, 0)이었어요. x 관련된 것만 바뀌니까 꼭짓점의 x좌표가 바뀌겠죠? (p, 0)이 돼요.

축의 방정식은 x = 0이었죠? x와 관련된 식이네요. 역시 x = p로 바뀝니다.

x > 0이면 x가 증가할 때 y가 증가하고, x < 0이면 x가 증가할 때 y는 감소하죠. 여기서 x의 범위도 x > p일 때 x가 증가하면 y가 증가하고 , x < p일 때 x가 증가하면 y가 감소하는 것으로 바뀌죠.

y값의 범위는 x랑 상관없죠? 그래서 바뀌지 않아요.

아래 그래프는 y = x²과 y = (x - 3)²의 그래프에요.

그래프에서 꼭짓점은 (3, 0)이고, 축의 방정식은 x = 3이네요. x > 3이면 x가 증가할 때 y가 증가하고, x < 3이면 x가 증가할 때 y는 감소하는군요. 찾을 수 있겠죠?

파란색 그래프 위의 점들이 x축 방향으로 3만큼 이동하면 오른쪽 그래프 위의 점들과 일치하죠? 양의 방향으로 3만큼 이동했으니까 x + 3을 해줘야 할 것 같은데, 식은 x - 3이 됐어요. 여기를 주의하세요. 이동한 만큼 빼주는 거예요.

x축으로 p만큼 평행이동한 이차함수 그래프는 x 대신 x - p, y축으로 q만큼 평행이동한 그래프는 y 대신 y - q를 넣어주세요.

만약 x축 방향으로 -3만큼 이동하면 y = {x - (-3)}² = (x+3)²가 돼요.

y축으로 q만큼 이동한 그래프는 원래는 y - q = ax²인데, q를 이항해서 우리가 아는 y = ax² + + q로 바꾼 거예요.

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정리해볼까요

이차함수 y = a(x - p)²의 그래프

• 이차함수 y = ax²을 x축으로 p만큼 평행이동한 그래프
• x 대신 x - p 대입
• 꼭지점: (0, 0) → (p, 0)
• 축의 방정식: x = 0 → x = p
• x < 0일 때, x가 증가하면 y 는 증가/감소 → x < p일 때, x가 증가하면 y 는 증가/감소
  x > 0일 때, x가 증가하면 y 는 증가/감소 → x > p일 때, x가 증가하면 y 는 증가/감소
• y의 범위는 그대로

이차함수 y = ax² + q의 그래프

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이차함수 y = a(x - p)² + q의 그래프

 

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