사각형에는 외접원이나 내접원이 항상 있는 게 아니라서 사각형의 외접원, 내접원이라는 표현은 잘 쓰지 않아요. 대신 원에 내접하는 사각형, 원에 외접하는 사각형 이렇게 쓰죠.

원의 외접사각형의 성질에서는 대변의 길이의 합이 같다는 걸 공부했어요. 그리고 그 역도 성립한다고 했죠. 이 글에서 공부할 원에 내접하는 사각형의 성질도 그 역이 성립하니까 잘 알아두면 좋아요.

원에 내접하는 사각형의 성질은 다음에 공부할 사각형이 원에 내접하기 위한 조건과 똑같기 때문에 여기서 잘 해놓으면 다음 글은 식은 죽 먹기에요.

원에 내접하는 사각형의 성질

한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°

원에 내접하는 사각형은 그 모양에 상관없이 한 쌍의 대각의 합은 항상 180°에요.

원에 내접하는 사각형의 성질 1

원의 중심 O에서 점 B와 점 D에 반지름을 그어볼까요?

그런 다음 호BCD를 보세요. 이 호에 대한 원주각은 ∠A에요. 원주각과 중심각의 크기에 따라 중심각 ∠BOD = 2∠A가 되겠죠?

호BAD에 대한 원주각은 ∠C에요. 마찬가지로 중심각 ∠BOD = 2∠C고요. ∠A의 중심각과 똑같은 ∠BOD지만 방향이 반대죠?

두 중심각을 더하면 360°가 돼요. 2∠A + 2∠C = 360°
∠A + ∠C = 180°

점 O에서 점 A와 점 C에 반지름을 그어서 같은 방법을 이용하면 ∠B + ∠D = 180°가 되는 것도 알 수 있어요.

한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다.

삼각형에서는 한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 크기의 합이었는데, 원에 내접하는 사각형에서도 비슷한 성질이 있어요.

여기서는 한 외각의 크기가 다른 내각의 크기의 합과 같은 게 아니라 내각의 대각의 크기와 같아요. 내각의 대각이기 때문에 그 외각의 내대각이라고 합니다. 헷갈리기 쉬운데 대내각이 아니라 내대각이에요.

원에 내접하는 사각형의 성질 2

∠DCE를 한 외각이라고 하면, ∠DCB는 내각이죠. 그리고 ∠DCB의 대각인 ∠A가 내대각이에요.

∠A + ∠DCB = 180°   (∵ 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°) ……… ①
∠DCB + ∠DCE = 180°   (∵ 평각) ……… ②

① - ② 하면
∠A - ∠DCE = 0
∠A = ∠DCE

한 외각과 그 내대각의 크기가 같음을 알 수 있어요.

원에 내접하는 사각형의 성질
한 쌍의 대각의 크기의 합 = 180°
한 외각의 크기 = 내대각의 크기

다음 그림을 보고 x° + y°를 구하여라.
원에 내접하는 사각형의 성질 예제

원에 내접하는 성질을 이용한 문제에요. 첫 번째 성질은 한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°라는 것, 두 번째는 한 외각과 그 내대각의 크기가 같다는 거지요.

∠B + ∠D = 180°에서 ∠B = 90°이므로 ∠D = y° = 90°

∠DCB를 기준으로 외각인 ∠DCE와 내대각인 ∠A가 같으므로 x° = 70°

x° + y° = 90° + 70° = 160°

함께 보면 좋은 글

원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질
원주각의 크기와 호의 길이
네 점이 한 원 위에 있을 조건
사각형이 원에 내접하기 위한 조건
원의 외접사각형, 외접사각형의 성질

정리해볼까요

원에 내접하는 사각형의 성질

  • 한 쌍의 대각의 크기의 합 = 180°
  • 외각 = 내대각
 
신고