원에 내접하는 사각형의 성질을 두 가지 공부했어요. 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°라는 것과 한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다는 거지요. 그러면서 이 두 가지 성질의 역이 성립한다고 했죠? 바로 이 성질의 역이 사각형이 원에 내접하기 위한 조건이에요. 따라서 사각형이 원에 내접하기 위한 조건은 따로 공부할 게 없어요.

한가지 추가해야 할 게 있는데 그것도 이미 공부한 내용이에요. 네 점이 한 원 위에 있을 조건이죠.

이 글은 새로운 걸 공부한다기보다는 이전에 공부했던 걸 한 번 더 정리하고 넘어간다고 생각하세요.

사각형이 원에 내접하기 위한 조건

사각형의 네 점이 원 위에 있을 때

사각형은 각이 네 개 또는 점이 네 개인 도형이죠? 사각형이 원에 내접한다는 말을 다르게 하면, 네 꼭짓점이 한 원 위에 있다고 얘기할 수 있겠죠?

네 점이 한 원 위에 있을 조건은 이미 공부했잖아요. 바로 그 조건을 만족시키는 네 점을 연결하면 원에 내접하는 사각형을 그릴 수 있어요.

네 점이 한 원 위에 있을 조건을 다시 한 번 정리해 보죠.

네 점이 한 원 위에 있을 조건

네 점 A, B, C, D가 한 원위에 있을 조건
점 C, 점 D가 선분 AB에 대하여 같은 쪽에 있고
∠ACB = ∠ADB 일 때

한 쌍의 대각의 크기의 합은 180°

원에 내접하는 사각형의 성질 첫 번째에요. 한 쌍의 대각의 합이 180°라는 거죠.

원에 내접하는 사각형의 성질 1

한 외각의 크기와 내대각의 크기가 같다.

원에 내접하는 사각형의 성질 두 번째에요.

원에 내접하는 사각형의 성질 2

항상 원에 내접하는 사각형

원에 내접하는 사각형은 위에서 말한 특별한 조건을 갖춰야만 해요. 사각형 중에서 위의 조건을 항상 만족시키는 사각형들이 있어요. 바로 정사각형직사각형등변사다리꼴이에요.

정사각형과 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 90°에요. 따라서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이므로 원에 내접하는 사각형이죠.

등변사다리꼴은 두 밑각의 크기가 같고, 위에 있는 각의 크기도 서로 같아요. 위에 있는 각의 크기를 a, 밑각의 크기를 b라고 한다면 내각의 크기의 합은 2a + 2b = 360°에서 a + b = 180°가 되죠. 즉 등변사다리꼴도 대각의 크기의 합이 180°로 항상 원에 내접하는 사각형이에요.

사각형이 원에 내접하는지 확인하기
네 점이 한 원 위에 있는지 확인 - 한 변을 기준으로 하여 같은 쪽에 있는 두 각의 크기가 같은지 확인
한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인지 확인
한 외각과 내대각의 크기가 같은지 확인

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정리해볼까요

사각형이 원에 내접하기 위한 조건

  • 사각형의 네 점이 원 위에 있을 때: 한 변을 기준으로 하여 같은 쪽에 있는 두 점에 대한 원주각의 크기가 같을 때
  • 한 쌍의 대각의 크기의 합 = 180°
  • 한 외각 = 내대각
  • 정사각형, 직사각형, 등변사다리꼴은 항상 원에 내접
 
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