이 글에서는 원주각과 중심각에 대해서 공부합니다.

1학년 때 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 중심각이 뭔지는 공부했어요. 중심각은 부채꼴에서 호와 반지름 두 개로 이루어진 각을 말했는데요.

이 글에서는 부채꼴이 아니라 호에 관해서 배우기 때문에 호의 중심각이라고 합니다. 호의 중심각과 부채꼴의 중심각은 그림이 똑같아요. 다만 기준을 어디에 두고 보느냐에 따라 이름이 달라지는 것 뿐이죠.

원주각의 뜻과 성질, 그리고 원주각과 중심각의 관계에 대해서 알아보죠.

원주각과 중심각의 크기

원주각은 이름 그대로 원주에 있는 각 이에요. 원주는 원의 둘레를 말하죠? 그러니까 원 위에 있는 각인데, 그냥 원 위에 있는 게 아니에요. 원 위에 가 있다면 그 나머지 부분이 있잖아요. 그 나머지 부분 위에 임의의 한 점 P를 잡고, 호의 양 끝점인 점 A, 점 B와 점 P를 연결해서 만들어진 ∠APB를 에 대한 원주각이라고 해요.

중심각에서 양 끝점인 점 A, 점 B와 원의 중심 점 O를 연결해서 만든 ∠AOB를 말합니다.

원주각과 중심각

2 × 원주각 = 중심각
원주각 = ½ 중심각

중심각은 원주각의 두 배에요. 증명해볼까요? 세 가지 경우로 나누어서 증명해보죠.

원의 중심 O가 ∠APB 내부에 있을 때

원주각과 중심각의 크기 증명 1

점 P와 점 O를 연결하는 선을 하나 그어보죠. 이 선이 원주와 만나는 점을 점 Q라고 할게요.

△OAP와 △OBP가 생기는데요.

△OAP에서  = 반지름 r이므로 △OAP는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 성질에 따라 두 밑각의 크기가 같으니까 ∠OAP = ∠OPA죠.

삼각형 외각의 크기에서 (한 외각의 크기) = (다른 두 내각의 합)이라는 걸 공부했죠? ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA

△OBP에서  = 반지름 r이므로 △OBP는 이등변삼각형이에요. ∠OBP = ∠OPB

한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB

중심각 ∠AOB = ∠AOQ + ∠BOQ = 2∠OPA + 2∠OPB = 2(∠OPA + ∠OPB) = 2∠APB입니다.

따라서 ∠AOB = 2∠APB.   (증명 끝.)

원의 중심 O가 ∠APB 외부에 있을 때

원주각과 중심각의 크기 증명 2

점 P와 점 O를 연결하는 선을 하나 긋고 이 선이 원주와 만나는 점을 점 Q라고 할게요.

△OAP와 △OBP가 생기는데요.

△OAP에서  = 반지름 r이므로 △OAP는 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 성질에 따라 두 밑각의 크기가 같으니까 ∠OAP = ∠OPA죠.

삼각형 외각의 크기에서 한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠AOQ = ∠OAP + ∠OPA = 2∠OPA

△OBP에서  = 반지름 r이므로 △OBP는 이등변삼각형이에요. ∠OBP = ∠OPB

한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠BOQ = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB

중심각 ∠AOB = ∠BOQ - ∠AOQ = 2∠OPB - 2∠OPA = 2(∠OPB - ∠OPA) = 2∠APB입니다.

따라서 ∠AOB = 2∠APB.   (증명 끝.)

원의 중심 O가 위에 있을 때

증명이 제일 쉬운데요.

원주각과 중심각의 크기 증명 3

△OBP에서  = 반지름 r이므로 △OBP는 이등변삼각형이에요. ∠OBP = ∠OPB

한 외각의 크기 = 다른 두 내각의 합이므로 ∠AOB = ∠OBP + ∠OPB = 2∠OPB = 2∠APB

∠AOB = 2∠APB    (증명 끝.)

원주각의 성질

한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 같다.

위 증명에서 세 가지 경우를 봤는데, 모두 원주각의 크기는 중심각의 절반이었어요. 세 원주각이 같다는 얘기잖아요. 원주각의 위치에 상관없이 원과 호가 같으면 원주각의 크기도 같아요.

원주각의 성질 1

지름에 대한 원주각의 크기는 90°

원주각의 성질 2

이번에는 중심각이 평각인 180°일 경우를 보죠.

중심각이 평각이 되는 경우는 지름일 때 또는 반원일 때에요. 원주각은 중심각 크기의 절반이니까 이때의 원주각은 90°가 되겠죠?

원주각의 크기가 90°라는 건 지름을 빗변으로 하는 직각삼각형이 만들어진다는 거예요. 삼각비, sin, cos, tan피타고라스의 정리와 연관된 문제가 출제된다는 것도 예상할 수 있겠죠?

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원주각의 크기와 호의 길이
[중등수학/중1 수학] - 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각
[중등수학/중1 수학] - 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합

정리해볼까요

원주각과 중심각의 크기

  • 원주각: 원에서 주어진 호를 제외한 원주 위의 한 점과 호의 양 끝점을 연결하여 얻은 각
  • 중심각: 원에서 호의 양 끝점과 원의 중심을 연결하여 얻은 각
  • 2 × 원주각 = 중심각

원주각의 성질

  • 한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
  • 지름에 대한 원주각의 크기는 90°
 
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