삼각형의 바깥쪽 세 변의 길이를 구하는 방법을 알아봤으니 이제 삼각형 높이를 알아볼 차례네요.

직각삼각형이라면 직각이 생기는 곳의 변의 길이가 높이이기 때문에 쉽게 구할 수 있어요.

이 글에서 다룰 내용은 직각삼각형이 아니라 일반삼각형, 그중에서도 예각삼각형에서 높이를 구하는 방법이에요. 여기서도 일반 삼각형 변의 길이 구하기에서와 마찬가지로 수선을 긋는 게 중요해요.

예각삼각형에서 높이를 구하는 방법을 잘 알아야 둔각삼각형의 높이도 구할 수 있어요.

예각삼각형의 높이 구하기

예각삼각형은 세 각의 크기가 모두 예각인 삼각형이에요. 예각삼각형의 높이를 구할 때도 삼각형의 합동조건과 같은 조건이 필요해요. 단 삼각비를 이용할 거니까 각을 알려줘야겠죠?

따라서 예각삼각형의 높이를 구할 수 있는 조건은 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때와 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때 두 가지에요.

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

예각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

△ABC에서 두 변의 길이와 그 끼인각을 알려줬네요.

높이를 구하기 위해서 수선을 내려야하는데요. 일반 삼각형 변의 길이 구하기에서 수선을 내릴 때 어떻게 했나요? 크기를 알려준 각과 길이를 알려준 변이 한 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요. 여기서도 마찬가지에요.

점 A에서 대변으로 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

예각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

△ABH만 보세요. 직각삼각형이에요. 삼각비의 정의에서 봤던 그 삼각형이죠? 직각삼각형 변의 길이 구하기에서 이미 해봤던 거예요.

△ABC에서 a = 5cm, c = 4cm, ∠B = 60° 일 때 높이를 구하여라.
예각삼각형의 높이 - 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

점 A에서 변 BC로 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠. △ABC의 높이는 △ABH에서 변 AH의 길이와 같아요.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

예각삼각형의 높이 - 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

한 변의 길이와 양 끝각을 알려줬네요.

이 경우에 수선을 긋는 방법은 다른 경우와 달라요. 이때는 길이를 알려준 변이 밑변이 되도록 수선을 그어요. 즉 길이를 알려준 변이 둘로 나뉘도록 하는 거죠. 양 끝각이 아닌 다른 각에서 수선을 내린다고 말해도 되겠네요.

각각의 직각삼각형에서 원래 알려준 각이 아닌 새롭게 만들어진 각을 기준각으로 정하는 것이 핵심이에요.

예각삼각형의 높이 - 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때 2

△ABH에서 삼각형 세 내각의 합에 의해 90° + ∠BAH + ∠B = 180°이므로 ∠BAH = 90° - ∠B가 돼요. △ABH에서 삼각비를 구하는 기준각을 이 ∠BAH로 하면 변 AH는 밑변이 돼요. 여기서는 높이가 변 BH가 되죠.

△ACH에서 삼각형 세 내각의 합에 의해 90° + ∠CAH + ∠C = 180° 이므로 ∠CAH = 90° - ∠C가 돼요. △ACH에서 삼각비를 구하는 기준각을 이 ∠CAH로 하면 변 AH는 밑변이 돼요. 여기서는 높이가 변 CH가 되죠.

이제는 원래의 큰 삼각형으로 돌아와서요. △ABC에서 밑변 BC의 길이는 변 BH + 변 CH죠.

이 식을 정리하면 h를 구할 수 있어요.

다음 그림을 보고 △ACH의 높이 h를 구하여라.

△ABH에서에서 ∠BAH = 30°이므로 이 각을 기준각으로 하면
 

또 △ACH에서에서 ∠CAH = 45°이므로 이 각을 기준각으로 하면

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정리해볼까요

예각삼각형의 높이

  • 두 변의 길이와 끼인 각을 알 때
    길이를 알려준 변과 크기를 알고 있는 각이 한 직각삼각형이 되도록 수선을 내린 후 삼각비의 정의를 이용
  • 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때
    양 끝각이 아닌 각에서 수선을 내려 작은 직각삼각형 두 개로 나누어 각각의 삼각형에서 삼각비를 적용
    새로 만들어진 각을 기준각으로
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