일반 삼각형 변의 길이 구하기

일반삼각형에서 세 변의 길이를 구하는 방법을 알아보죠.

그런데 아무 삼각형이나 세 변의 길이를 구할 수 있는 게 아니에요. 몇 가지 조건이 있어야 해요. 삼각형의 세 가지 합동조건 알고 있죠?. 세 변의 길이가 같을 때, 두 변과 그 끼인 각이 같을 때, 한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때지요.

일반삼각형에서 세 변의 길이를 구할 수 있는 조건도 같아요. 그중 하나인 세 변의 길이를 알 때는 문제의 목적에 맞지 않으니까 나머지 두 개의 조건만 있으면 되겠죠? 두 변의 길이와 끼인 각을 알 때, 한 변의 길이와 양 끝각을 알 때요.

직각삼각형 변의 길이를 구할 때와 마찬가지로 각의 크기를 안다는 건 그 각의 삼각비를 안다는 거에요.

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

두 변의 길이를 알고 있으니까 나머지 의 길이만 구하면 되겠네요.

삼각형의 높이와 넓이에서 했던 방법과 비슷해요. 제일 먼저 삼각형의 한 점에서 수선을 내려서 두 개의 직각삼각형으로 나누어야 해요.

이때 어떤 점에서 수선을 내릴 것인지가 중요한데요. 여러 가지로 표현할 수 있겠지만, 길이를 아는 한 변과 크기를 아는 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내리면 돼요. 여기서는 점 A와 점 C 둘 중 아무 데서나 대변으로 수선을 내려도 되는 거지요.

점 A에서 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 할게요. ∠B와 가 한 삼각형 안에 포함되었죠?

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 변 길이 구하기

△ABH와 △ACH가 생겼어요.

△ABH에서

△ACH에서
가 됩니다.

△ACH에서 높이와 밑변의 길이를 구했으므로 빗변인 의 길이는 피타고라스의 정리로 구할 수 있어요.

이거는 공식 아니에요. 외울 필요가 없어요. 구하는 과정만 잘 이해하면 됩니다.

길이를 아는 한 변과 크기를 아는 각이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그어 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
삼각비를 이용하여 작은 직각삼각형의 높이와 밑변의 길이를 구한다.
다른 작은 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용하여 빗변의 길이를 구한다.

다음 △ABC에서 a = 8cm, c = 5cm, ∠B = 60°일 때 의 길이를 구하여라.
두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때

두 변의 길이와 그 사이의 끼인각의 크기를 알려줬네요.

길이를 알려준 변과 크기를 알려준 각이 한 직각삼각형이 되도록 수선을 그어보죠. 점 A에서 대변으로 그었더니 아래 그림처럼 되었어요.

△ABH에서

의 길이를 구했으니까 △ACH에 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때에요. 길이를 구해야하는 변이 두 개네요.

여기서 제일 먼저 해야 할 게 있어요. 두 개의 각의 크기를 알려줬어요. 삼각형 내각의 합은 180°에요. 이 걸 이용하면 다른 한 내각의 크기도 알 수 있겠죠? ∠A = 180° - (∠B + ∠C)이죠. 결국, 두 개의 각의 크기를 알려줬다는 건 세 개 모두 알려준 거나 마찬가지에요.

이번에도 마찬가지로 보조선을 그어서 두 개의 직각삼각형으로 나눠야해요. 방법은 위와 같아요. 길이를 아는 변과 크기를 아는 한 각이 직각삼각형에 포함되도록 보조선을 그으면 됩니다.

점 C에서 대변으로 수선을 내리고 수선의 발을 점 H라고 해보죠. ∠B와 가 한 직각삼각형안에 포함되었네요.