이제는 삼각비를 이용해서 사각형의 넓이를 구하는 방법을 알아볼 거예요

일반적인 사각형의 넓이는 (밑변) × (높이)에요. 여기서는 밑변의 길이와 높이를 알져주지 않고 다른 조건들을 알려준 사각형의 넓이를 구하는 걸 해볼 거예요. 물론 삼각비를 이용해서요.

삼각비를 이용해서 사각형의 넓이를 구할 때는 평행사변형의 성질을 이용합니다. 따라서 2학년 때 공부했던 평행사변형의 성질, 평행사변형과 넓이에 대해서 미리 읽어보세요.

사각형의 넓이는 삼각형의 넓이 공식 유도 방법과 비슷하니까 하나만 잘 해놓으면 두 개를 다 이해할 수 있어요.

평행사변형의 넓이

평행사변형의 넓이를 구할 때는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알려줍니다. 삼각형의 넓이를 구할 때도 이 두 가지를 알려줬었죠?

높이를 구하여 평행사변형의 넓이 구하기

평행사변형의 넓이 구하기 - 삼각비의 활용

삼각형의 넓이를 구할 때 크기를 알려준 한 각과 길이를 알려준 한 변이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요. 여기서도 마찬가지로 수선을 내려요. 점 A에서 변 BC에 수선을 내렸다고 해볼게요.

평행사변형의 넓이 구하기 2 - 삼각비의 활용

평행사변형 ABCD의 높이는 △ABH의 높이 즉, 와 같아요. 는△ABH에서 삼각비를 이용해서 구할 수 있죠.

평행사변형의 높이를 알아냈으니 넓이를 구할 수 있겠죠?

그런데 ∠B가 아니라 ∠A를 가르쳐줬다면 어떻게 할까요? ∠A는 둔각이에요. 둔각의 삼각비는 모르니까 예각으로 바꿔야겠죠? 2학년 때 배운 건데, 평행사변형의 성질에서 이웃하는 두 내각의 합은 180°라는 성질을 이용해요. 이 성질을 이용하면 ∠B = 180° - ∠A가 되니까 예각인 ∠B를 알 수 있어요.

평행사변형의 대변은 길이가 같으니까 중 두 변의 길이를 고르고, 예각인 B를 끼인각으로 하면 평행사변형의 넓이를 구할 수 있어요.

두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이

삼각형의 넓이를 이용하여 평행사변형의 넓이 구하기 

높이를 구하지 않고 다른 방법으로 평행사변형의 넓이를 구해볼까요?

평행사변형에 대각선을 그어보세요. 삼각형 두 개로 나누어져요. 평행사변형과 넓이에서 대각선으로 나누어진 두 삼각형은 넓이가 같다는 걸 배웠어요. 그러니까 삼각형의 넓이를 구해서 두 배 해주면 되겠죠?

삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이에서 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각의 크기가 x°인 삼각형의 넓이는 라고 했지요? x°가 둔각일 때는 였고요.

똑같은 삼각형이 두 개 있으니까 두 배 해주면 돼요.

두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이

결국, 어떤 방법을 이용하던 결과는 같아요. 평행사변형의 넓이 공식은 삼각형의 넓이 공식에 2를 곱해주면 됩니다.

다음 그림에서 a = 4cm, b = 6cm, ∠A = 120°일 때 평행사변형 ABCD의 넓이를 구하여라.
평행사변형의 넓이 구하기 - 삼각비의 활용

두 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬는데, 그 각이 둔각이에요. 둔각일 때는 180°에서 빼서 예각을 만들어서 사용하면 돼요.

사각형의 넓이

이번에는 평행사변형이 아니라 그냥 막 생긴 사각형의 넓이에요. 여기서는 어떤 조건을 알려 주냐면 두 대각선의 길이와 대각선의 교각의 크기를 알려줘요.

삼각비의 활용 - 사각형의 넓이 1

이 사각형의 넓이를 구할 때는 그냥 구할 수 없어요. 우리가 알고 있는 사각형으로 변신을 시켜야 해요. 어떤 사각형이냐면 바로 위에서 배웠던 평행사변형으로 변신시키는 거죠.

위 사각형에서 대각선 와 평행하고 점 A를 지나는 평행선을 그어요. 또, 와 평행하고 점 C를 지나는 평행선도 긋고요. 이번에는 와 평행하고, 점 B를 지나는 평행선과 점 D를 지나는 평행선을 그어요.

삼각비의 활용 - 사각형의 넓이 2

총 네 개의 평행선을 긋는데, 이 평행선들이 만나서 사각형이 생기죠? 이 사각형을 □EFGH라고 할게요. 이 □EFGH은 와 에 평행한 선들로 이루어졌죠? 따라서 에요. 평행사변형이라는 얘기죠.

□AEFC는 평행사변형 →
□HEBD도 평행사변형 →
그 속의 작은 사각형들도 모두 평행사변형 → ∠AEB = x°

작은 평행사변형 네 개가 생기는데, 모두 대각선으로 나누어져 있죠? 각각의 작은 평행사변형을 둘로 나눈 삼각형 네 개를 붙여놓은 게 처음에 넓이를 구하려고 했던 □ABCD에요. 작은 삼각형은 작은 평행사변형의 넓이의 절반이므로(평행사변형과 넓이) □ABCD의 넓이는 □EFGH의 넓이의 절반인 걸 알 수 있어요.

□EFGH는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알고 있으니까 공식으로 구할 수 있고, 이걸 2로 나눈 게 □ABCD의 넓이에요. 

여기서도 마찬가지로 두 대각선의 교각이 둔각이면 180° - x°를 해서 예각을 만들어야 해요. 

두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 x°인 사각형의 넓이

다음 그림에서 a = 4cm, b = 6cm, x° = 60°일 때 □ABCD의 넓이를 구하여라.
삼각비의 활용 - 사각형의 넓이 1

두 대각선의 길이와 교각의 크기를 알려줬어요. 이 교각이 예각이죠. 따라서 공식에 대입해보면

함께 보면 좋은 글

삼각비, sin, cos, tan
특수한 각의 삼각비, 30°,45°, 60°
직각삼각형 변의 길이 - 삼각비 이용
일반 삼각형 변의 길이 구하기
예각삼각형의 높이 - 삼각비
둔각삼각형의 높이 - 삼각비의 활용
삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이
[중등수학/중2 수학] - 평행사변형의 성질, 평행사변형의 특징
[중등수학/중2 수학] - 평행사변형과 넓이

정리해볼까요
  • 평행사변형의 넓이: 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각의 크기가 x°일 때
  • 사각형의 넓이: 두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 x°일 때
 
신고