수학방

단리와 복리는 상용로그의 활용에서 해봤어요. 상당히 까다로운 문제였죠? 수열에서 공부하는 단리와 복리는 그보다 조금 더 까다로워요. 원리는 같은데 돈을 넣는 횟수가 많고 돈을 언제 넣느냐에 따라서 그 결과가 달라지거든요. 문제를 풀 때 돈을 넣는 횟수와 돈을 넣는 시기 두 가지를 잘 구별해야 합니다.

단리와 복리에서 돈을 넣는 횟수와 시기에 따라 결과가 왜 달라지는지 이해를 잘해야 해요. 상당히 어렵습니다. 집중해서 잘 보세요. 여기서는 상대적으로 계산이 간단한 단리를 이용해서 설명할게요.

등차수열의 활용

단리와 복리는 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 공부했었죠? 단리는 원금에 일정한 이자를 더하는 거고, 복리는 원금은 물론 이자에도 이자를 더하는 거예요.

상용로그에서 공부했던 단리, 복리와 수열에서 공부하는 단리, 복리는 기본적으로 의미는 같지만, 한 가지 중요한 차이가 있어요. 상용로그에서의 단리, 복리는 원금을 처음 딱 한 번만 입금해요. 처음에 딱 한 번만 넣고 5년이든 10년이든 일정한 지났을 때의 금액을 구하는 거죠. 수열의 단리, 복리에서는 원금을 처음에 한 번만 넣는 게 아니라 매달 또는 매년 넣어요. 첫해에 돈을 넣고, 두 번째 해에 또 넣고, 세 번째 해에 또 넣어요. 각 해에 넣는 돈에 모두 이자가 붙는 거죠.

100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 단리로 넣는다고 해보죠.

이 경우는 처음에 한 번만 넣어요. 그러니까 상용로그에서 했던 것처럼 10년 뒤의 금액을 구해보죠. 5% = 0.05네요.

1년 후: 100만 원 + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05)
2년 후: 100만 원(1 + 0.05) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 2)
3년 후: 100만 원(1 + 0.05 × 2) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 3)
10년 후: 100만 원(1 + 0.05 × 9) + 100만 원 × 0.05 = 100만 원(1 + 0.05 × 10)

결국 10년 후에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 10)이에요.

여기까지는 상용로그의 활용, 단리와 복리에서 했던 내용 그대로예요.

원리합계 - 매년 초에 입금할 때

이번에는 매년 1월 1일에 100만 원을 넣는 연이율 5%인 예금을 10년 동안 단리로 넣는다고 해보죠. 돈을 한 번만 넣는 게 아니라 매년 넣어요.

이건 한 번에 계산하려면 복잡하니까 해마다 넣는 돈을 하나씩 따로 떼서 보죠. 먼저 첫해에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 10년동안 이자가 붙어요. 다시 말해 100만 원을 연이율 5%인 예금에 10년간 넣은 거죠. 10년이 지난 뒤에 받는 돈은 위에서 구한 것처럼 100만 원(1 + 0.05 × 10)이에요.

이번에는 두 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 10년 중 1년이 지났으니까 이 100만 원은 9년 동안 이자가 붙어요. 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 9)죠.

이번에는 세 번째 해 1월 1일에 넣은 100만 원을 생각해보죠. 이 100만 원은 8년 동안 이자가 붙어요. 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 8)이죠.

이런 방법으로 구해보면, 10년째 되는 해의 1월 1일에 넣는 100만 원은 1년 동안 이자가 붙어서 100만 원(1 + 0.05 × 1)이 돼요.

총 10번의 돈을 넣었는데 이걸 순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 10), 100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 8), …, 100만 원(1 + 0.05 × 2), 100만 원(1 + 0.05 × 1)

이 수열을 거꾸로 한 번 다시 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 2), …, 100만 원(1 + 0.05 × 8), 100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 10)

어떤가요? 제1항이 100만 원(1 + 0.05 × 1)이고 마지막 항은 100만 원(1 + 0.05 × 10), 공차가 100만 원 × 0.05인 등차수열이에요.

수열의 일반항으로 표현해보죠. a_n = 100만 원(1 + 0.05 × n)

10년 뒤에 받는 돈은 총 10번 넣은 돈과 거기에 붙은 이자예요. 위 등차수열의 값을 모두 더한 돈이죠. 첫 항이 a, 마지막 항이 l인 등차수열의 합은 이므로 공식에 넣어보면 답을 구할 수 있어요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 단리로 예금했을 때: 등차수열
a_n = a(1 + rn)
원리합계는 등차수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

원리합계 - 매년 말에 입금할 때

똑같은 상황을 조금만 바꿔보죠. 다른 건 다 똑같고, 매년 말인 12월 31에 100만 원을 넣는다고 해볼까요?

예를 들어 2014년 1월 1일에 100만 원을 넣고 햇수로 10년 뒤면 2023년 12월 31일이에요. 그런데 연말인 2014년 12월 31일에 100만 원을 넣고 햇수로 10년 뒤면 2023년 12월 31이죠. 햇수로 10년이지만 정확하게 날짜로 계산하면 9년밖에 안 돼요. 그러니까 이자는 9년치 이자만 받을 수 있어요.

매년 1월 1일에 넣는 것과 매년 12월 31일 넣는 것의 차이를 이해했나요?

여기서도 매해마다 넣는 돈을 따로 떼서 생각해보죠.

첫해 12월 31일에 100만 원 넣으면 9년치 이자만 받을 수 있으니까 9년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 9)

두 번째 해 12월 31일에 100만 원 넣으면 8년치 이자만 받을 수 있으니까 8년 뒤에 받는 돈은 100만 원(1 + 0.05 × 8)

마지막 열 번째 해 12월 31일에 넣는 100만 원은 그날 바로 찾으니까 이자가 안 붙어요. 100만 원(1 + 0.05 × 0)

순서대로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 9), 100만 원(1 + 0.05 × 8), …, 100만 원(1 + 0.05 × 2), 100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 0)

거꾸로 써보죠.
100만 원(1 + 0.05 × 0), 100만 원(1 + 0.05 × 1), 100만 원(1 + 0.05 × 2), …, 100만 원(1 + 0.05 × 8), 100만 원(1 + 0.05 × 9)

첫째항이 100만 원이고 마지막 항이 100만 원(1 + 0.05 × 9)인 등차수열이에요. 공차는 100만 원 × 0.05이죠.

수열의 일반항으로 표현하면 a_n = 100만 원{1 + 0.05 × (n - 1)}이에요. 10년 뒤에 받는 돈은 등차수열의 합  공식을 이용해서 구하면 되고요.

원금 a를 연이율이 r로 n년간 단리로 예금했을 때: 등차수열
매년 초에 입금하면 a_n = a(1 + rn)
매년 말에 입금하면 a_n = a{1 + r(n - 1)}
원리합계는 등차수열의 합(S_n)을 이용하여 구함

돈을 한 번만 입금하는지 매년 입금하는지 잘 살펴야 해요. 그리고 연초에 입금하는지 연말에 입금하는지도 잘 구별해야 하고요.

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등차수열에 이어 조화수열에 대해서 알아보죠. 조화수열은 등차수열과 아주 밀접한 관계가 있어요.

조화수열의 일반항을 구할 건데 이때 등차수열의 여러 성질을 이용합니다. 따라서 등차수열의 성질과 여러 내용을 잘 이해하고 있어야 해요.

조화중항이라는 것도 알아볼 거예요. 조화중항은 등차수열의 등차중항과 관계가 있으니까 등차중항에 대해서도 알고 있어야 하죠.

조화수열

등차수열은 첫째항에 일정한 수(공차)를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열이에요. 등차수열의 각 항의 역수로 이루어진 수열을 조화수열이라고 해요. 다시 말해 어떤 수열의 역수들이 등차수열을 이룰 때 이 수열을 조화수열이라고 하지요.

어떤 수열의 일반항을 a_n이라고 표현하니까 이 수열의 역수인 수열의 일반항은 이 되겠죠?

기준을 어디에 둘 것인가가 중요한데, 조화수열의 일반항을 a_n이라고 한다면 역수인 등차수열의 일반항은 이 될 것이고, 등차수열의 일반항을 a_n이라고 한다면, 조화수열의 일반항은 이 되는 거죠.

여기서는 조화수열이 중요하니까 조화수열의 일반항을 a_n, 그 역수로 된 등차수열의 일반항을 이라고 하죠.

조화수열: 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이루는 수열
조화수열: a₁, a₂, a₃, … , a_n, …
등차수얼:

조화수열의 일반항 구하기

조화수열의 역수가 등차수열이니까 이를 이용해서 조화수열의 일반항을 구해요.

제1항이 a₁, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a₁ + (n - 1)d죠?

그런데 a_n는 조화수열의 일반항이니까 등차수열의 일반항은 역수인 로 나타낼 수 있어요. 또 조화수열의 제1항을 a₁이라고 한다면 등차수열의 제1항은 이 되고요.

조화수열은 그 자체가 어떤 특징이 있는 게 아니라서 공차를 구할 수 없어요. 대신 역수인 등차수열에서는 공차를 구할 수 있죠. 공차는 등차수열에서 구하는데, 공차 d = a₂ - a₁로 구해요. 하지만 여기서도 a₁, a₂는 조화수열의 항을 나타내니까 그 역수를 이용해서 으로 구해요.

이걸 공식에 대입해보죠.

이건 조화수열의 일반항 a_n이 아니라 역수인 등차수열의 일반항 이에요. 이렇게 구한 결과의 양변을 역수로 취한 것이 우리가 구하려고 하는 조화수열의 일반항이에요.

조화수열의 일반항을 구하는 방법을 정리하면 아래와 같아요.

1. 조화수열의 일반항 a_n의 역수를 취하여 등차수열 수열의 일반항 로 바꾼다.
2. 등차수열의 일반항 공식을 이용하여 을 구한다.
3. 등차수열의 일반항 의 역수를 취하여 조화수열의 일반항 a_n으로 바꾼다.

다음 조화수열의 일반항을 구하여라.

조화수열이니까 그 역수가 등차수열을 이뤄요. 등차수열로 적어보죠.

첫째항이 2이고 공차 d = 4 - 2 = 2인 등차수열이네요.

등차수열의 일반항이 이니까 역수를 취하면 조화수열의 일반항은 이에요.

조화중항

등차수열에는 등차중항이라는 게 있었어요. 조화수열에도 조화중항이 있어요.

세 수 a, b, c가 차례로 조화수열을 이룰 때, b가 a, c의 조화중항이에요.

조화중항을 구하는 방법은 조화수열의 일반항 구할 때와 같아요. 역수를 취해서 등차중항을 구한 다음 다시 역수를 취해요.

역수를 취해보죠.

역수를 취하면 이 세 역수는 순서대로 등차수열을 이루고, 여기서 은 의 등차중항이에요. 등차중항은 두 수의 산술평균이죠?

세 수 a, b, c가 순서대로 조화수열을 이룰 때

b는 a, c의 조화중항

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등차수열의 합 공식을 알아봤는데요. 여기서는 이 등차수열의 합 공식을 이용해서 등차수열을 구하는 방법을 알아볼 거예요. 이렇게 구한 등차수열은 어떤 특징을 가졌는지 알아보죠. 특히 등차수열의 합으로 구한 일반항에서 제1항부터 등차수열이 아닌 경우도 있으니까 이 부분을 주의해서 보세요.

그리고 등차수열의 일반항의 성질에서 일반항의 모양만 보고 공차와 제1항을 구할 수 있었죠? 마찬가지로 등차수열의 합 공식을 보고 공차와 제1항을 바로 구할 수 있어요. 어떻게 구하는지 알아보죠.

등차수열의 일반항과 등차수열 합의 관계

등차수열의 각 항을 하나씩 늘려가면서 그 합을 구해보죠.

S₁ = a₁
S₂ = a₁ + a₂ = S₁ + a₂
S₃ = a₁ + a₂ + a₃ = S₂ + a₃
S_n = a₁ + a₂ + … + a_n = S_{n - 1} + a_n

마지막 줄을 보죠.

S_n = S_{n - 1} + a_n
a_n = S_n - S_{n - 1}

등차수열의 합을 이용해서 등차수열의 일반항을 구할 수 있어요.

이 내용을 수식으로 표현하면 아래처럼 되겠죠?

그림으로 표현해볼까요?

근데 여기서 n, n - 1은 항의 수니까 양수여야 해요. n > 0, n - 1 > 0로 n > 1인 자연수 즉, n ≥ 2여야 하죠. n = 1이 빠져있으니까 일단 여기서는 제2항부터 등차수열이라는 것만 확인할 수 있어요.

그럼 제1항부터 등차수열인지 확인하려면 어떻게 해야 할까요?

a_n에 n = 1을 대입해서 S₁와 값이 같으면 제1항을 일반항으로 표시할 수 있으니까 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요. 만약에 a_n에 n = 1을 대입한 값과 S₁의 값이 다르면 제1항을 일반항으로 표시할 수 없다는 뜻으로 이 수열은 제2항부터 등차수열이에요.

등차수열 제1항부터 제n항까지의 합이 S_n일 때
a₁ = S₁
a_n = S_n - S_{n - 1}   (n ≥ 2)
(a_n에 n = 1을 대입) = S₁ → 제1항부터 등차수열
(a_n에 n = 1을 대입) ≠ S₁ → 제2항부터 등차수열

제1항이 a, 공차가 d일 때, 제1항부터 제n항까지의 등차수열의 합은 이에요. 전개해서 정리해보죠.

S_n을 전개해서 정리했더니 n에 대한 이차식이라는 걸 알 수 있어요. 상수항은 0이고요.

특히 2차항의 계수 A = 예요. 공차 d는 (이차항의 계수) ×2죠. 2A = d

a₁ = S₁인데 S₁ = A + B고요.

등차수열 일반항의 성질에서 등차수열의 일반항 a_n = An + B꼴로 n에 대한 일차식이라고 했어요. n의 계수가 공차 d고 제1항은 A + B였죠? 함께 외워두면 좋아요.

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 합 S_n = An² + Bn일 때 (n은 자연수)
  공차 d = 2A
  a₁ = S₁ = A + B

등차수열의 합 S_n = 2n² + 3n일 때 일반항 a_n과 제1항을 구하여라.

제n항 a_n = S_n - S_{n - 1}이에요. 대입해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2n² + 3n - {2(n - 1)² + 3(n - 1)}
    = 2n² + 3n - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3)
    = 2n² + 3n - 2n² + n + 1
    = 4n + 1

일반항 a_n = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a₁ = S₁이므로 a₁ = S₁ = 2 + 3 = 5

등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 공차 d = A = 4, 등차수열의 합 S_n = An² + Bn에서 공차 d = 2A = 2 × 2 = 4인 것도 추가로 확인할 수 있어요.

a_n = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a₁ = 5로 S₁과 같아요. 따라서 이 수열은 제1항부터 등차수열이에요.

등차수열의 합 S_n = 2n² + 3n + 4일 때 일반항 a_n과 제1항을 구하여라.

위 예제와 다른 점이 보이나요? 위에서는 S_n에서 상수항이 0이었는데 여기서는 4예요.

방법은 똑같으니까 한번 해보죠.

a_n = S_n - S_{n - 1}
    = 2n² + 3n + 4 - {2(n - 1)² + 3(n - 1) + 4}
    = 2n² + 3n + 4 - (2n² - 4n + 2 + 3n - 3 + 4)
    = 2n² + 3n + 4 - 2n² + n - 3
    = 4n + 1

일반항 a_n = 4n + 1 (n ≥ 2)이에요.

제1항 a₁ = S₁이므로 a₁ = S₁ = 2 + 3 + 4 = 9

a_n = 4n + 1에 n = 1을 대입하면 a₁ = 5 ≠ S₁ = 9죠? 따라서 이 수열은 제2항부터 등차수열인 수열이에요.

S_n에서 상수항 = 0이면 제1항부터 등차수열, 상수항 ≠ 0이면 제2항부터 등차수열이에요.

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이번 글에서는 등차수열의 각 항을 더한 등차수열의 합을 구할 거예요.

아주 간단히 생각만 살짝 바꾸면 등차수열의 합 공식을 유도할 수 있어요. 방법은 어렵지 않으니까 그 원리를 금방 이해할 수 있을 거예요. 등차수열의 합 공식은 두 가지예요. 사실은 한 가지인데, 등차수열에서 어떤 조건을 알려주느냐에 따라 모양이 다르니까 둘의 차이를 잘 비교하세요.

문제를 활용하기에 따라서 쉬운 문제와 어려운 문제의 수준 차이가 많이 나니까 문제를 풀 때 집중해서 잘 봐야 해요.

등차수열의 합

등차수열 1, 2, 3, 4, 5, …, 10을 이루는 항들의 합을 구해볼까요?

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 …… ①

바로 계산할 수도 있는데 우변의 순서를 거꾸로 해보죠.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 …… ②

순서를 바꿔놓고 봤더니
①식의 제1항 1과 ②식의 제1항 10을 더하면 11
①식의 제2항 2와 ②식의 제2항 9를 더하면 11
①식의 제3항 3과 ②식의 제3항 8을 더하면 11
①식의 제10항 10과 ②식의 제10항 1을 더하면 11

①과 ②식은 총 열 개의 항으로 되어 있는데 같은 순서에 있는 항끼리 더하면 모두 11로 같아요. 11인 항이 10개 있으니까 그 합은 11 × 10이에요. 그런데 이건 S가 아니라 2S죠. 2로 나눠주면 S = 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 + 10을 구할 수 있어요.

식으로 정리해보죠. ①과 ② 두 식을 더해요.

① + ②
2S = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + … + (8 + 3) + (9 + 2) + (10 + 1)
2S = 11 + 11 + 11 + … + 11 + 11 + 11
2S = 11 × 10
S = 55

1부터 10까지 자연수를 모두 더하면 55가 나와요.

더해야 하는 항의 순서를 거꾸로 해서 한 번 더 더하면 그냥 더하는 것보다 훨씬 더 계산이 쉬워져요.

이번에는 등차수열 a_n의 제1항부터 제n항까지 합을 구하는데 그 합을 S_n이라고 해보죠.

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_{n - 1} + a_n

첫째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d이죠? 그리고 합을 구하는 마지막 제n항 a_n을 l이라고 해보죠.

a₁ = a
a₂ = a + d
a₃ = a + 2d
a₄ = a + 3d
a_{n - 1} = a + (n - 2)d = l - d
a_n = a + (n - 1)d = l

위 내용을 S_n에 대입해요.

S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + … + (l - 2d) + (l - d) + l …… ③

우변은 a₁부터 a_n까지 순서대로 더하는 건데 이 순서를 거꾸로 해볼까요?

S_n = l + (l - d) + (l - 2d) +  … + (a + 2d) + (a + d) + a …… ④

두 식을 더해보죠.

제1항부터 제n항까지의 합을 구했어요.

원래 마지막 항 l = a_n = a + (n - 1)d니까 대입해보면,

등차수열의 합 공식을 두 개 얻었어요. 처음 공식은 n, a, l로 이루어져 있죠? 첫째항과 마지막 항을 알 때 사용하는 공식이에요. 두 번째 공식은 n, a, d로 이루어져 있으니까 첫째항과 공차를 알 때 사용하는 공식이에요.

등차수열의 제1항부터 제n항까지의 합 S_n
첫째항이 a, 마지막 항이 l일 때:
첫째항이 a, 공차가 d일 때:

다음을 구하여라.
(1) 제10항이 17, 제20항이 37인 등차수열의 제1항부터 제20항까지의 합
(2) 두 자리 자연수 중에서 2의 배수 또는 5의 배수의 합
(3) 제1항부터 제10항까지의 합이 120, 제11항부터 제20항까지의 합이 320인 등차수열의 제21항부터 제30항까지의 합

(1)번에서 합을 구하는 끝항을 알려줬어요. 첫 항만 구하면 되겠네요.

a₁₀ = a + 9d = 17
a₂₀ = a + 19d = 37

연립해서 풀어보면 d = 2, a = -1이 나와요.

합을 구하는 등차수열의 첫 항과 끝항을 알았으니까 공식에 대입해보죠.

답은 360이네요.

(2) 두 자리 자연수니까 10 ~ 99까지의 자연수예요.

2의 배수인 수열: 10, 12, 14, …, 96, 98
5의 배수인 수열: 10, 15, 20, …, 90, 95
2의 배수이면서 5의 배수인 수열: 10, 20, 30, …, 80, 90

(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)

집합으로 표시하면 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)이에요.

2의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 98, 공차는 2예요. 등차수열의 합 공식을 이용하려면 항이 몇 개인지 구해야겠네요.

a_n = a + (n - 1)d
98 = 10 + (n - 1) × 2
98 = 10 + 2n - 2
n = 45

2의 배수의 수열의 합 =

5의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 95, 공차는 5예요. 항의 수를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
95 = 10 + (n - 1) × 5
95 = 10 + 5n - 5
n = 18

5의 배수의 수열의 합 =

10의 배수의 수열에서 첫 항은 10, 끝항은 90, 공차는 10이에요. 항의 수를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
90 = 10 + (n - 1) × 10
90 = 10 + 10n - 10
n = 9

10의 배수의 수열의 합 =

(2의 배수 또는 5의 배수의 합) = (2의 배수의 합) + (5의 배수의 합) - (10의 배수의 합)
= 2430 + 945 - 450
= 2925

(3)번은 어려운 문제니까 집중해서 잘 보세요.

제1항부터 제10항까지, 제11항부터 제20항까지, 제21항부터 제30항까지 세 개의 식을 세워야 해요.

제1항부터 제10항까지 합이 120이니까 이걸 이용해서 식을 세워보죠.

첫째항이 a, 공차가 d일 때 등차수열의 합:

제11항부터 제20항까지의 합은 제11항을 제1항으로 하고, 제20항을 제10항으로 하는 새로운 등차수열 b_n을 생각할 수 있겠죠?

b₁ = a₁₁ = a + 10d
b₁₀ = a₂₀ = a + 19d

(a₁₁ ~ a₂₀까지의 합) = (b₁ ~ b₁₀까지의 합)

a와 d에 대한 연립방정식이 되었어요.

a = 3, d = 2가 나오네요.

a₂₁ = c₁, a₃₀ = c₁₀인 새로운 수열 c_n을 이용해서 제21항부터 제30항까지의 합을 구해보죠.

(a₂₁ ~ a₃₀까지의 합) = (c₁ ~ c₁₀까지의 합)

c₁ = a₂₁ = a + 20d = 3 + 20 × 2 = 43
c₁₀ = a₃₀ = a + 29d = 3 + 29 × 2 = 61

제21항부터 제30항까지의 합은 520이네요.

이걸 새로운 수열 b_n, c_n를 생각하지 않고 조금 다르게 풀어볼까요? 합과 합의 관계를 이용하는 거예요.

제1항부터 제10항까지의 합은 위에서와 똑같이 구해요.

제11항부터 제20항까지의 합을 구하는 과정을 아래처럼 생각할 수 있겠죠?

(a₁₁ ~ a₂₀까지의 합) = (a₁ ~ a₂₀까지의 합) - (a₁ ~ a₁₀까지의 합)

마찬가지로 a와 d에 대한 연립방정식을 만들 수 있어요.

여기서도 a = 3, d = 2가 나와요.

마지막 제21항부터 제30항까지의 합을 구하는 과정도 위처럼 합을 이용해서 나타낼 수 있어요.

(a₂₁ ~ a₃₀까지의 합)
= (a₁ ~ a₃₀까지의 합) - (a₁ ~ a₂₀까지의 합)

답은 똑같이 520이 나와요.

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등비수열의 합

등차수열의 일반항에 대해서 조금 더 자세히 알아보죠.

등차수열의 일반항에서 식만 보고 별 계산 없이 곧바로 공차와 첫째항을 구할 수 있어요. 어떻게 이게 가능하지 알아볼 거예요. 어떤 일반항을 보고 이게 등차수열인지 아닌지 확인하는 방법도 알아볼 거고요.

그리고 등차중항이라는 것도 알아볼 건데, 등차중항의 뜻과 등차중항을 이용해서 등차수열을 구하는 방법까지 알아보죠.

등차수열 일반항의 성질

첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요. 전개해서 정리해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = dn + a - d
a_n = An + B

등차수열의 일반항은 a_n = An + B꼴로 쓸 수 있어요. 이게 무슨 말이냐면 n의 계수 A가 공차 d라는 거예요.

n = 1을 대입해서 제1항을 구해보죠.

a_n = An + B
a₁ = A + B

지금까지는 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항 a_n을 구했어요. 이제는 반대로 등차수열의 일반항을 알면 첫째항과 공차를 구할 수 있다는 뜻이에요.

• 등차수열의 일반항 a_n = An + B일 때 (n은 자연수)
  공차 d = A
  a₁ = A + B
• 등차수열의 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때
  공차 d = n의 계수
  a₁ = (n의 계수) + (상수항)

등차수열의 일반항 a_n = 2n + 3일 때 첫째항과 공차를 구하여라. (n은 자연수)

첫째항을 n = 1을 대입해서 구할 수 있어요.

a₁ = 2 × 1 + 3 = 5

원래대로 공차를 구하려면 어떻게 할까요? a₂를 구해서 d = a₂ - a₁로 구하겠죠?

d = a₂ - a₁ = 2 × 2 + 3 - (2 × 1 + 3) = 7 - 5 = 2

첫째항은 5, 공차는 2네요.

공식으로 바로 구해보죠. 일반항이 자연수 n에 대한 일차식일 때 공차 d는 n의 계수, 첫째항은 (n의 계수) + (상수항)이에요.

a_n = 2n + 3 = An + B

공차 d = A = 2
첫째항 a₁ = A + B = 2 + 3 = 5

이런저런 계산할 필요없이 바로 구할 수 있죠?

등차수열 증명

등차수열이라는 말없이 그냥 일반항만 알려줬을 때 이 수열이 등차수열인지 아닌지 알 수 있을까요?

어떤 수열의 일반항이 a_n = 3n + 1일 때 이 수열은 등차수열일까요? 아닐까요?

등차수열인지 알아보는 가장 기본은 공차가 있는지 알아보는 거예요. 공차는 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이를 비교해보면 되죠? 등차수열은 한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정한데 이걸 식으로 나타내면 a_{n + 1} - a_n = d에요. 이 d가 공차죠.

a_{n + 1} - a_n
3 × (n + 1) + 1 - (3 × n + 1)
= 3n + 3 + 1 - 3n - 1
= 3

n + 1항과 바로 앞 n항의 차이가 상수 3으로 일정해요. 따라서 이 수열은 등차수열이에요.

일반항 a_n이 주어졌을 때 등차수열인지 알아보는 방법
한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 일정하면 등차수열
a_{n + 1} - a_n = d

위에서 했던 등차수열 일반항의 성질과 묶어서 생각해보죠. 일반항이 a_n = 3n + 1로 자연수 n에 대한 1차식이에요. 그러니까 공차는 n의 계수인 3이고 첫째항은 (3 + 1) = 4인 등차수열인 거죠.

등차중항

세 수 a, b, c가 있다고 해보죠. 세 수가 이 순서대로 등차수열을 이룬다면 어떤 조건이 있어야 할까요?

한 항에서 바로 앞항을 뺀 차이가 같아야 해요.

b - a = c - b
2b = a + c

가운데 있는 b가 앞과 뒤에 있는 a, c의 산술평균이면 세 수가 순서대로 등차수열을 이뤄요. 이때 b를 a와 c의 등차중항이라고 해요. 두 항의 가운데 있는 항이니까 중항이죠.

등차수열 1, 3, 5, 7, 9, …에서 1과 5의 등차중항은 3이고, 5와 9의 등차중항은 7이에요.

세 수 a, b, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때

b는 a, c의 등차중항 (a와 c의 산술평균)

다음 세 수가 순서대로 등차수열일 때, x를 구하여라.
(1) 5, x, 13
(2) 8, 3x, x²

숫자가 3개밖에 안되니까 그냥 구할 수도 있겠지만 등차중항을 이용해서 문제를 풀어보죠.

(1)에서는 x가 5와 13의 등차중항이에요. 등차중항은 산술평균이죠?

(2)에서는 3x가 8과 x²의 등차중항이에요.

x = 2 or 4

8, 6, 4 또는 8, 12, 16인 등차수열이네요.

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수열이 뭔지 알았으니까 이제 수열의 종류에는 무엇이 있는지 알아보죠.

첫 번째로 공부할 수열은 등차수열이에요. 등차수열에서는 공차라는 용어를 사용하는데 공차가 무엇을 의미하는지를 알고 공차를 구할 수만 있으면 등차수열 전부를 이해했다고 할 수 있어요. 그런데 공차를 구하는 건 매우 쉬워요.

수열에는 일반항이라는 게 있어요. 공차를 이용해서 등차수열의 일반항을 구하는 방법도 알아볼 거예요.

등차수열

1, 2, 3, 4, 5, 6, …는 자연수를 늘어놓은 수열이죠? 어떤 규칙이 있을까요? 제1항은 1이고 제2항부터는 바로 앞의 항보다 1이 더 크죠?

2, 4, 6, 8, 10, …은 짝수를 늘어놓은 수열인데 제1항은 2고 제2항부터는 바로 앞의 항보다 2가 커요.

이처럼 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻은 항으로 이루어진 수열을 등차수열이라고 하고 더해지는 일정한 수를 공차라고 해요.

2, 4, 6, 8, 10, …을 보죠.

제1항 = 2
제2항 = 제1항 + 2 = 4
제3항 = 제2항 + 2 = 6
제4항 = 제3항 + 2 = 8

여기서는 각 항에 2를 더해서 새로운 항을 얻었으니까 공차는 2예요.

등차수열에서 등차(等差)는 차이가 같다는 말이에요. 제1항과 제2항의 차이, 제2항과 제3항의 차이, …, 제(n - 1)항과 제n항의 차이, …가 같아요. 이 차이가 바로 공차예요.

다시 2, 4, 6, 8, 10, …을 보죠.

제1항 = 2
제2항 - 제1항 = 4 - 2 = 2
제3항 - 제2항 = 6 - 4 = 2
제4항 - 제3항 = 8 - 6 = 2

각 항과 바로 앞의 항의 차이가 모두 2로 같아요. 그러니까 공차가 2인 거죠.

등차수열은 Arithmetic Progression을 줄여서 A.P라고 하고 공차(Common Difference)는 d라고 나타내요.

등차수열: 첫째항에 일정한 수를 더해서 얻어진 항으로 이루어진 수열
공차(d): 각 항에 더해지는 일정한 수
a_n = a_{n - 1} + d
d = a_n - a_{n - 1}

등차수열의 일반항

수열의 일반항을 a_n으로 나타내니까 위 내용을 a_n으로 써보죠. d는 공차고, n은 항의 순서니까 자연수예요.

a₁ = a₁
a₂ = a₁ + d
a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d
a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) + d = a₁ + 4d
a_n = a_n-1 + d = {a₁ + (n - 2)d} + d = a₁ + (n - 1)d

마지막 줄을 보면 등차수열의 일반항 a_n = a₁ + (n - 1)d라는 걸 알 수 있어요. 첫째항과 공차를 알면 등차수열의 일반항을 구할 수 있다는 거예요.

첫째항이 a, 등차가 d인 등차수열의 일반항
a_n = a + (n - 1)d      (단, n은 자연수)

다음 등차수열의 일반항을 구하여라.
(1) a₁ = 20, d = -2
(2) a₂ = -10, a₆ = 10
(3) 3, 9, 15, 21, 27, …

제1항이 a이고 공차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요.

(1) 제1항과 공차를 알려줬네요. 공식에 바로 넣어보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = 20 + (n - 1) × (-2) = -2n + 22

(2)번은 공차를 알려주지 않았네요. 두 번째 항과 여섯 번째 항을 알려줬어요. 이 두 항을 일반항 공식에 넣어서 공차를 구해보죠.

a_n = a + (n - 1)d
a₂ = a + (2 - 1)d = -10
a + d = -10

a_n = a + (n - 1)d
a₆ = a + (6 - 1)d = 10
a + 5d = 10

두 식을 연립해서 풀면 a = -15, d = 5가 나와요.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = -15 + (n - 1) × 5
a_n = 5n - 20

(3)번은 그냥 수열을 그대로 적어줬네요. 공차는 연속된 항 두 개를 아무거나 골라서 뒤의 항에서 앞의 항을 빼주면 구할 수 있어요.

d = a₂ - a₁ = 9 - 3 = 6

제1항이 3, 공차가 6이네요.

a_n = a + (n - 1)d
a_n = 3 + (n - 1) × 6
a_n = 6n - 3

등차수열 4, 7, 10, 13, …에서 처음으로 100보다 커지는 항은 몇 번째 항인지 구하여라.

먼저 일반항을 구해야 겠네요.

d = a₂ - a₁ = 7 - 4 = 3

a_n = a + (n - 1)d = 4 + (n - 1) × 3 = 3n + 1

a_n = 3n + 1 > 100
3n > 99
n > 33

n은 자연수니까 33보다 큰 34일 때 100보다 크네요. 따라서 답은 34항입니다.

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수학 목차

1. 행렬
   • 행렬, 행렬의 뜻, 정사각행렬
   • 행렬의 성분, 두 행렬이 서로 같을 조건
   • 행렬의 덧셈과 뺄셈, 행렬의 덧셈에 대한 성질
   • 영행렬, 행렬의 덧셈에 대한 항등원과 역원
   • 행렬의 실수배, 행렬의 실수배에 대한 성질
   • 행렬의 곱셈, 행렬의 거듭제곱
   • 행렬의 곱셈에 대한 성질
   • 단위행렬, 행렬의 곱셈에 대한 항등원
   • 케일리-해밀턴 정리
   • 역행렬, 역행렬 공식
   • 역행렬의 성질
   • 역행렬과 연립일차방정식
   • 연립일차방정식이 해를 가질 조건
   • 행렬과 그래프 - 그래프
   • 행렬과 그래프 - 그래프를 행렬로 나타내기
2. 지수함수와 로그함수
   • 거듭제곱근
   • 실수인 거듭제곱근
   • 거듭제곱근의 성질
   • 지수의 확장 - 정수 지수
   • 지수의 확장 - 유리수 지수
   • 지수의 확장 - 실수 지수
   • 지수함수와 그 그래프
   • 지수함수 그래프의 평행이동
   • 지수방정식과 풀이
   • 지수부등식과 풀이
   • 로그의 정의
   • 로그의 성질
   • 로그의 밑 변환 공식
   • 로그의 성질 두 번재 - 밑 변환 공식 이용
   • 상용로그, 상용로그의 지표와 가수
   • 상용로그표, 비례부분의 법칙
   • 상용로그의 활용 - 단리와 복기
   • 로그함수와 그래프
   • 로그함수 그래프의 평행이동
   • 로그방정식
   • 로그부등식
3. 수열
   • 수열의 뜻
   • 등차수열, 등차수열의 일반항
   • 등차수열 일반항의 성질, 등차중항
   • 등차수열의 합 공식
   • 등차수열의 합과 등차수열 일반항의 관계
   • 조화수열, 조화중항
   • 등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항
   • 등비수열의 합 공식
   • 등비수열의 합과 등비수열 일반항의 관계
   • 수열의 활용 - 원리합계, 단리
   • 수열의 활용 - 원리합계, 복리
   • 여러 가지 수열의 합, 시그마(∑)
   • 시그마(∑)의 기본 성질
   • 자연수 거듭제곱의 합 공식, 유도
   • 여러 가지 수열
   • 수학적 귀납법
   • 알고리즘과 순서도
4. 수열의 극한
   • 무한수열의 극한
   • 무한급수

고등학교 교육과정이 자주 바뀌어 학년별 목차보다 단원별 목차가 더 효율적이라 판단되어 목록을 일부 수정합니다.

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수학Ⅰ

1. 다항식
   • 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈
   • 곱셈공식
   • 곱셈공식의 변형
   • 다항식의 나눗셈
   • 항등식과 항등식의 성질
   • 미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법
   • 나머지정리, 인수정리
   • 조립제법 1 - 조립제법 하는 법
   • 조립제법 2 - 나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때
   • 인수분해 공식
   • 복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식
   • 인수정리를 이용한 인수분해
2. 방정식과 부등식
   • 허수와 허수단위, 복소수
   • 켤레복소수와 켤레복소수의 성질
   • 복소수의 사칙연산
   • i의 거듭제곱, 음수의 제곱근의 성질
   • 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능
   • 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이
   • 이차방정식의 판별식, 실근, 허근
   • 이차방정식 근과 계수와의 관계
   • 두 수를 근으로하는 이차방정식, 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식
   • 이차방정식의 켤레근
   • 이차방정식의 인수분해
   • 이차방정식의 실근의 부호
   • 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근
   • 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
   • 이차방정식의 실근의 위치
   • 이차함수 총정리
   • 이차함수의 최댓값과 최솟값
   • 이차함수의 최대, 최소와 활용
   • 고차방정식의 인수분해, 고차방정식의 풀이
   • 고차방정식의 풀이 - 치환, 복이차식
   • 상반방정식
   • 삼차방정식 근과 계수와의 관계
   • 삼차방정식의 허근 ω의 성질
   • 연립방정식 - 미지수가 3개인 연립일차방정식
   • 연립이차방정식의 풀이 1
   • 연립이차방정식의 풀이 2
   • 부정방정식
   • 부등식의 성질, 부등식끼리의 사칙연산
   • 부등식 ax > b의 풀이, 부정, 불능
   • 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이
   • 절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2
   • 이차부등식, 이차부등식의 해
   • 판별식과 이차부등식의 해
   • 이차함수의 그래프와 이차부등식의 해
   • 해가 주어졌을 때 이차부등식 구하기
   • 이차부등식이 항상 성립할 조건
   • 연립이차부등식
3. 도형의 방정식
   • 두 점 사이의 거리
   • 선분의 내분점과 외분점
   • 좌표평면 위의 내분점과 외분점
   • 내분점과 외분점의 관계
   • 삼각형 무게중심의 좌표
   • 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기
   • 직선의 방정식 일반형과 표준형
   • 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프
   • 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
   • 두 직선의 위치관계와 일차방정식의 해의 개수
   • 교점을 지나는 직선의 방정식
   • 점과 직선 사이의 거리
   • 원의 방정식
   • 원의 방정식 일반형과 표준형
   • 아폴로니오스의 원
   • 축에 접하는 원의 방정식
   • 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
   • 원과 직선의 위치관계
   • 원의 접선의 방정식 1 - 접점을 알 때
   • 원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때
   • 원의 접선의 방정식 3 - 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식
   • 점과 도형의 평행이동
   • 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점
   • 점과 도형의 대칭이동 - 직선에 대한 대칭이동
   • 부등식의 영역 - f(x) > 0, f(x) < 0
   • 부등식의 영역 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0
   • 연립부등식의 영역
   • 부등식의 영역과 최대, 최소

수학Ⅱ

1. 집합과 명제
   • 집합의 뜻
   • 집합에서 원소란π
   • 집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램
   • 집합의 분류 - 원소개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)
   • 집합의 원소의 개수
   • 집합의 포함관계 - 부분집합
   • 진부분집합과 부분집합의 성질
   • 부분집합 구하기, 부분집합의 개수 구하기
   • 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기
   • 부분집합, 부분집합의 개수 구하기
   • 교집합과 합집합
   • 전체집합과 여집합, 차집합
   • 집합의 연산법칙 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙
   • 집합의 연산법칙 - 드모르간의 법칙
   • 유한집합의 원소의 개수
   • 명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정
   • 명제의 참, 거짓
   • 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법
   • 필요조건, 충분조건, 필요충분조건
   • 수학에서의 정의, 증명, 정리
   • 절대부등식, 부등식의 증명에 사용되는 실수의 성질
   • 절대부등식의 증명 - 산술, 기하, 조화평균
   • 절대부등식의 증명 - 코시 슈바르cm 부등식
2. 함수
   • 함수의 정의
   • 정의역, 공역, 치역, 서로 같은 함수
   • 함수의 그래프
   • 일대일 대응, 일대일함수
   • 합성함수
   • 합성함수의 성질
   • 역함수, 역함수 구하는 방법
   • 역함수의 성질과 그래프
   • 유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산
   • 부분분수 공식, 번분수
   • 가비의 리, 비례식
   • 여러가지 유리식의 풀이
   • 유리함수
   • 유리함수 2 - 분수함수
   • 분수함수의 역함수
   • 무리식, 무리식의 연산
   • 무리함수
   • 무리함수 2
   • 무리함수의 역함수
3. 수열
   • 수열의 뜻
   • 등차수열, 등차수열의 일반항
   • 등차수열 일반항의 성질, 등차중항
   • 등차수열의 합 공식
   • 등차수열의 합과 등차수열 일반항의 관계
   • 조화수열, 조화중항
   • 등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항
   • 등비수열의 합 공식
   • 등비수열의 합과 등비수열 일반항의 관계
   • 수열의 활용 - 원리합계, 단리
   • 수열의 활용 - 원리합계, 복리
   • 여러 가지 수열의 합, 시그마(∑)
   • 시그마(∑)의 기본 성질
   • 자연수 거듭제곱의 합 공식, 유도
   • 여러 가지 수열의 합
   • 수학적 귀납법
4. 지수함수와 로그함수
   • 거듭제곱근
   • 실수인 거듭제곱근
   • 거듭제곱근의 성질
   • 지수의 확장 - 정수 지수
   • 지수의 확장 - 유리수 지수
   • 지수의 확장 - 실수 지수
   • 지수방정식과 풀이
   • 지수부등식과 풀이
   • 로그의 정의
   • 로그의 성질
   • 로그의 밑 변환 공식
   • 로그의 성질 두 번재 - 밑 변환 공식 이용
   • 상용로그, 상용로그의 지표와 가수
   • 상용로그표, 비례부분의 법칙
   • 상용로그의 활용 - 단리와 복리
   • 로그방정식
   • 로그부등식

공식을 몰라도 열심히만 하면 풀 수 있는 수학 문제를 소개할께요.

경우의 수 문제 푸는 법에서 소개한 것과 비슷하게, 정말로 근성과 끈기만 있다면 누구든지 풀 수 있는 문제에요. 문제만 제대로 이해하고 그림만 제대로 그리고 숫자만 잘 세면 어렵지 않게(?) 풀 수 있으니까 한 번 도전해보세요.

그림의 주인공은 문제를 정말 정말 열심히 풀었는데, 아쉽게도 틀렸어요. 글자가 작아서 어디에서 잘못되었는지 확인할 수가 없네요.

근성으로 푸는 수학문제

조금 더 쉬운 방법으로 풀어보죠. 그림 속의 사각형을 보면서 둘레의 길이를 구해볼까요? 둘레의 길이니까 실선으로 표시된 부분의 길이만 구해야겠죠?

아랫부분의 정사각형이 1개 있을 때 둘레의 길이: 4
아랫부분의 정사각형이 2개 있을 때 둘레의 길이: 8
아랫부분의 정사각형이 3개 있을 때 둘레의 길이: 12

아랫부분의 정사각형의 개수가 1, 2, 3개로 늘어날 때 둘레의 길이는 4, 8, 12로 늘어나요. 정비례하는 규칙을 찾을 수 있겠죠?

(둘레의 길이) = 4 × (아랫부분의 정사각형의 개수)

x를 아랫부분의 정사각형의 개수, y를 둘레의 길이라고 놓으면 y = 4x라는 함수의 관계식으로 쓸 수 있어요.

문제에서 구하는 건 아랫부분의 정사각형의 개수가 50개일 때, 즉 x = 50일 때의 y니까 위 식에 넣어보면

사각형 둘레의 길이 = 4 × 50 = 200

200이네요.

원래 이 문제는 고등학교 수학의 등차수열 문제에요. 따라서 원래대로 수열을 이용해서 푼다면 a₁ = 4이고 공차 d = 4인 등차수열로 풀어야 해요. a_n = 4 + (n - 1) × 4 = 4n이라고 쓸 수 있지요.

a₅₀ = 4 × 50 = 200

어찌 됐든 답은 200이네요.

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