명제

수학적 귀류법

2025. 5. 31. 01:13

수학적 귀류법은 어떤 명제가 참임을 증명하고 싶은데, 직접 증명하기 어려울 때 사용하는 간접 증명 방법이에요.

쉽게 말해 명제를 거짓이라고 가정했더니 말이 안된다(모순이 발생한다)는 걸 보임으로써 결국 그 명제가 참이라는 걸 증명하는 거예요.

수학적 귀류법은 다음의 3단계를 거쳐요.

  1. 어떤 명제가 있는데, 이 명제가 거짓이라고 가정해요.
    증명하고 싶은 명제의 결론을 부정해서 가정으로 삼아요.
  2. 가정에서 논리적 결론을 이끌어 내어, 모순이 생기는 걸 보여서, 가정이 틀렸다는 걸 확인해요.
    가정을 바탕으로 논리적으로 전개하다 보면 기존에 알려진 사실이나 정의에 모순되는 결과가 나오는 걸 보여줘요. 모순이 생겼으니 처음에 세웠던 가정이 거짓이에요.
  3. 결국 원래 명제가 참이라는 결론에 도달해요.
    원래 증명하고 싶었던 명제가 참이라는 결론을 내려요.

예를 들어보죠. "김철수는 남자이다."를 증명해볼까요?

  1. 명제가 거짓이라고 가정: 김철수는 남자가 아니다. → 김철수는 여자이다.
  2. 모순: 여자는 OOO, ~~~ 같은 신체적, 생물학적 특징이 있어야 하는데, 김철수는 그런 특징이 없으므로 "김철수는 여자"라는 가정이 틀렸다.
  3. 결론: 김철수는 여자가 아니다. → "김철수는 남자다."는 참이다.

"$\sqrt{2}$는 무리수"임을를 수학적 귀류법으로 증명하시오.

  1. 명제가 거짓이라고 가정: $\sqrt{2}$는 무리수가 아니다. → $\sqrt{2}$는 유리수이다.
    유리수는 $\frac{a}{b}$ (a, b는 서로소인 정수, b ≠ 0) 꼴로 나타낼 수 있는 수예요.
  2. $\sqrt{2}$ = $\frac{a}{b}$
      2 = $\frac{a^{2}}{ b^{2}}$           (∵양변 제곱)
    2b2 = a2

    a2이 2의 배수니까 a도 2의 배수여야 해요. 따라서 a = 2k (k는 정수)라고 둘 수 있어요.

    a = 2k를 2b2 = a2에 대입하면
    2b2 = a2
    2b2 = (2k)2
    2b2 = 4k2
    b2 = 2k2

    b2도 2의 배수이므로 b도 2의 배수여야 해요.

    a, b 모두 2의 배수이므로 a, b는 서로소인 정수라고 했던 가정과 모순이 생겨요. 가정 "$\sqrt{2}$는 유리수"가 틀렸다는 걸 알 수 있어요.
  3. 명제 "$\sqrt{2}$는 무리수이다."는 참인 명제예요.

명제 “모든 홀수는 짝수가 아니다.”를 귀류법으로 증명하시오.

명제를 부정해야 하는데, 조건의 부정에 나온 것처럼 "모든"은 "어떤"으로 바꿔요.

  1. 명제가 거짓이라고 가정: 어떤 홀수가 짝수이다.
  2. 홀수는 2n+1, 짝수는 2n (n은 정수)이므로 어떤 홀수가 짝수이면
    2n + 1 = 2m
    2n + 1 = 2m
    1 = 2m - 2n
    1 = 2(m - n)

    1이 2의 배수라는 결론이 나오는데, 이는 말이 안되죠. 모순이에요. 가정이 틀렸어요.
  3. 모든 홀수는 짝수가 아니다. (명제는 참이다)
정의, 정리, 증명
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2014년 고1 수학 목차 - 수1, 수2

2014. 1. 23. 12:30

고등학교 교육과정이 자주 바뀌어 학년별 목차보다 단원별 목차가 더 효율적이라 판단되어 목록을 일부 수정합니다.

각 게시글 하단의 목차를 이용하지 말고, 이 게시글의 목차에서 필요한 단원만 골라서 공부하세요.

각 게시글 하단의 목차 페이지는 이용하지 말아주세요.

수학Ⅰ

  1. 다항식
  2. 방정식과 부등식
  3. 도형의 방정식

수학Ⅱ

  1. 집합과 명제
  2. 함수
  3. 수열
  4. 지수함수와 로그함수
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필요조건, 충분조건, 필요충분조건

2013. 2. 25. 12:30

명제 p → q에서 가정인 p와 결론인 q는 조건이에요.

명제 p → q가 참이면 p와 q가 그냥 조건이 아니라 이름이 생겨요. 필요조건, 충분조건, 필요충분조건이라는 이름인데, 언제 어떤 경우에 이런 이름으로 부르는지 공부할 거예요.

또, 필요조건, 충분조건, 필요충분조건과 진리집합 사이의 관계도 알아볼거고요.

여기서는 부등식, 수직선과 관련된 문제들도 많이 나오니까 연립부등식, 연립부등식의 풀이했던 내용을 다시 한 번 떠올려보세요.

필요조건, 충분조건, 필요충분조건

명제의 참, 거짓, 반례에서 명제 p → q가 참일 때 기호로 p ⇒ q로 쓴다고 했죠? 이때, 조건 p를 q이기 위한 충분조건, 조건 q를 p이기 위한 필요조건이라고 해요.

화살표가 나가는 가정이 충분조건, 화살표를 받는 결론이 필요조건이죠.

가정        결론
p    ⇒    q
P    ⊂    Q
충분조건     필요조건

만약에 q → p라면 q는 p이긴 위한 충분조건, p는 q이기 위한 필요조건이에요.

p ⇔ q라면 어떨까요? 화살표는 주는 게 충분조건, 받는 게 필요조건인데, 이때 p와 q는 화살표를 주기도 하면서 받기도 하죠? 그래서 필요조건이면서 충분조건이므로 줄여서 p는 q이기 위한 필요충분조건이라고 해요. 마찬가지로 q도 p이기 위한 필요충분조건이에요.

진리집합

p의 진리집합을 P, q의 진리집합을 Q라고 할 때, p ⇒ q라면 P ⊂ Q에요. q ⇒ p라면 Q ⊂ P죠.

p ⇔ q라면 어떻게 될까요? P ⊂ Q이고, Q ⊂ P에요. 부분집합, 부분집합의 개수 구하기에서 A ⊂ B이고 B ⊂ A면 A = B라고 했죠? 따라서 p ⇔ q이면 P = Q에요.

P ⊂ Q이면 p는 q이기 위한 충분조건
P ⊂ Q이면 q는 p이기 위한 필요조건
P = Q이면 p는 q이기 위한 필요충분조건

조건은 필요조건, 충분조건, 필요충분조건 세 가지가 있어요. 이 중에서 필요충분조건은 진리집합이 서로 같은 경우라서 알아보기 쉬워요. 남은 건 충분조건과 필요조건인데, 둘 중 하나만 구별하는 법을 정확하게 알아두세요. 하나만 정확하게 파악하면 나머지 하나는 자동으로 결정되는 거잖아요.

충분조건: 가정, 화살표가 나가는 쪽, 부분집합
필요조건: 결론, 화살표를 받는 쪽, 부분집합을 포함하는 집합
필요충분조건: 충분조건 + 필요조건

두 조건 p: a ≤ x < 5, q: 3 < x ≤ b에서 조건 p가 q이긴 위한 필요조건이고, q는 p이기 위한 충분조건일 때, a, b의 범위를 구하여라.

p가 필요조건, q가 충분조건으로 필요조건인 p가 화살표를 받는 형태인 q ⇒ p이고, 진리집합은 Q ⊂ P에요. 부등식을 수직선에 나타내보면 쉬워요.

필요충분조건 예제 풀이

3 < x ≤ b가 a ≤ x < 5의 안에 들어가야 하니까 수직선으로 그려보면 위 그림처럼 돼요.

a는 3보다 왼쪽에 있으면 되는데, 3이 되어도 괜찮죠? Q에는 3이 포함되어 있지 않으니까요. 따라서 a ≤ 3이에요.

b는 5보다 왼쪽에 있으면 되는데, 5가 되면 안 돼요. Q에는 5가 들어있는데, P에 5가 들어있지 않으면 Q ⊂ P가 안 되잖아요. b < 5여야 하는데 여기에 3 < x이므로 b도 3보다 커야 해요. 따라서 3 < b < 5

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정리해볼까요

명제 p → q가 참일 때

  • p는 q이기 위한 충분조건.
  • q는 p이기 위한 필요조건.

p ⇔ q이면

  • p는 q이기 위한 필요충분조건
  • q는 p이기 위한 필요충분조건

조건과 진리집합

  • P ⊂ Q이면 p는 q이기 위한 충분조건
  • P ⊂ Q이면 q는 p이기 위한 필요조건
  • P = Q이면 p는 q이기 위한 필요충분조건
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명제의 역, 이, 대우, 삼단논법

2013. 2. 24. 13:30

하나의 명제를 모양을 바꿔서 여러 개의 명제로 만들 수 있어요. 이런 명제들을 명제의 역, 이, 대우라고 하는데, 그림을 통해서 이해하는 게 제일 빠른 방법이에요. 그림을 통째로 외우세요.

논리에서 사용하는 삼단논법이라는 용어도 공부할 거예요. 사실 별거 없어요. 그냥 연결하는 것만 잘하면 되니까요.

명제의 대우와 삼단논법을 연결해서 참, 거짓인 명제를 찾는 문제가 많이 나오니까 이런 유형도 연습해두세요.

명제의 역, 이, 대우

명제 p → q에서 조건 p를 가정, 조건 q를 결론이라고 한다고 했어요.

여기서 p와 q의 자리를 바꿔볼까요? q → p가 되겠죠? 이때는 조건 q가 가정, 조건 p가 결론이에요. 이렇게 원래의 명제에서 가정과 결론을 바꾼 걸 명제의 역이라고 해요.

이번에는 원래 명제의 부정을 해볼까요? p → q의 부정은 "~p → ~q"가 되는데, 원래 명제의 부정인 명제를 명제의 이라고 합니다.

마지막으로 원래 명제에서 가정과 결론도 바꾸고, 부정을 해보죠. 즉 원래 명제의 이의 역이에요. ~q → ~p가 되는데 이걸 명제의 대우라고 합니다.

명제의 역, 이, 대우

집합의 연산법칙에서 어떤 집합의 여집합의 여집합은 자기 자신이었죠? (AC)C = A. 마찬가지로 명제의 역의 역은 원래 명제에요. 서로 역인 관계죠. 이와 대우도 마찬가지고요. 위 그림을 이해할 수 있겠죠?

어떤 명제가 있을 때, 그 명제와 명제의 대우는 참, 거짓을 함께해요. 명제가 참이면 명제의 대우도 참이고, 명제가 거짓이면 대우도 거짓이죠.

명제와 대우가 일치하는 건 진리집합을 생각해보면 돼요. p → q가 참이면 진리집합은 P ⊂ Q에요. 벤다이어그램으로 나타내면 아래 그림처럼 되죠.

명제와 대우의 진리집합 벤다이어그램

위 그림에서 QC ⊂ PC가 되니까 ~q → ~p도 참이 되는 거죠.

명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 아무런 상관이 없어요. 단, 이와 역은 서로 대우 관계이므로 참, 거짓이 같아요.

다음 명제의 역, 이, 대우를 말하고, 참 거짓을 판별하여라.
x = 2이면  x2 = 4이다

명제의 역은 가정과 결론을 바꾼 것, 이는 가정과 결론을 부정한 것, 대우는 가정과 결론을 바꾸고 부정한 것이에요.

위 명제에서 가정 p는 x = 2이고, 결론 q는 x2 = 4네요.

명제 p → q : x = 2이면 x2 = 4이다
역 q → p: x2 = 4이면 x = 2이다
이 ~p → ~q: x ≠ 2이면, x2 ≠ 4이다.
대우 ~q → ~p: x2 ≠ 4이면 x ≠ 2이다.

일단 명제는 x = 2이면 x2 = 4니까 참이죠?
역에서 x2 = 4이면 x = ±2이므로 거짓이죠.
x = -2일 때, x2 = 4이므로 이도 거짓이고요.
x2 ≠ 4이면 x ≠ ±2이므로 대우는 참이에요.

명제와 대우는 참, 거짓을 같이하고, 이와 역도 서로 대우 관계이므로 참, 거짓을 같이하죠. 단, 명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓을 함께하지 않아요.

삼단논법

논리에서 대전제, 소전제, 결론을 얻는 방법을 삼단논법이라고 하는데, 명제에서도 이 삼단논법이 성립해요.

명제 p → q가 참이고, 명제 q → r이 참이면 p → r도 참이다.

삼단논법은 진리집합으로 설명하면 쉬워요.

삼단논법

p → q가 참이면 P ⊂ Q에요.
q → r이 참이면 Q ⊂ R이죠.
P ⊂ Q ⊂ R이 되어서 P ⊂ R이므로 p → r이 참이 되죠.

p → q와 ~r → p가 참일 때, 반드시 참인 명제를 써라.

참인 명제의 대우는 참이므로 p → q의 대우 ~q → ~p도 참이에요.
~r → p의 대우 ~p → r도 참이고요.
삼단 논법에 따르면 ~r → p → q가 돼요. 따라서 ~r → q가 참이죠.
~r → q가 참이므로 그 대우인 ~q → r도 참이죠.

보기 포함해서 총 6개의 명제가 참이에요.

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정리해볼까요

명제의 역, 이, 대우

  • 명제: p → q
  • 역: q → p
  • 이: ~p → ~q
  • 대우: ~q → ~p
  • 명제와 대우는 참, 거짓을 함께, 이와 역도 참, 거짓을 함께
  • 명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 상관없음.

삼단논법

  • p → q, q → r이 참이면 p → r도 참
  • p → q → r
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명제의 참, 거짓, 반례

2013. 2. 23. 12:30

명제에는 진리집합이라는 게 있다고 했어요. 이 진리집합을 이용해서 명제의 참, 거짓을 판단해요. 진리집합을 이용하지 않고 반례를 이용하는 경우도 있고요. 두 가지 방법을 다 알고 있다가 문제에 맞게 편리한 방법을 사용하면 돼요.

개인적으로는 명제 단원에서 가장 어려운 내용이라고 생각하는 단원이에요. 명제의 참, 거짓을 판별하는 방법 자체는 어렵지 않지만, 실제 문제에서는 어려워지죠. 진리집합과 반례를 찾는 게 어렵거든요. 한 두 가지씩 빠뜨리는 실수가 많이 나오기도 해요.

반례를 찾는 건 연습이 많이 필요해요. 교과서나 익힘책의 문제를 많이 풀어보세요.

명제의 참, 거짓

두 조건 p, q가 "p이면 q 이다."의 꼴로 되어 있는 명제를 기호로 "p → q" 로 나타내요. 이때 p를 가정, q를 결론이라고 하죠.

명제의 가정과 결론

특히 명제 p → q가 참이면 화살표에 줄을 하나 더 그어서 명제의 참, 거짓 - 참라고 하고, 거짓이면 명제의 참, 거짓 - 거짓라고 해요. 또 p → q도 참이고, q → p도 참이면 명제의 참, 거짓라고 나타냅니다.

명제의 참, 거짓을 판별할 때는 진리집합을 이용하는 게 아주 좋아요. 진리집합의 부분집합의 성질을 이용하거나 벤다이어그램을 이용하는 거죠.

명제 p → q에서 조건 p의 진리집합을 P, 조건 q의 진리집합을 Q라고 할 때
명제의 참, 거짓 - 참이면 P ⊂ Q
명제의 참, 거짓 - 거짓이면 P 부분집합이 아님 Q

위 내용은 거꾸로도 성립해요. 부분집합이면 참, 부분집합이 아니면 거짓이죠.

"x = 1이면 x2 = 1이다."라는 명제가 참인지 거짓인지 알아보죠.

명제: x = 1이면 x2 = 1이다.
p q
조건 x = 1 x2 = 1
진리집합 P = {1} Q = {-1, 1}
부분집합 P ⊂ Q
참, 거짓 참

이번에는 p와 q를 바꿔서 "x2 = 1이면 x = 1이다."로 해볼까요?

명제: x2 = 1이면 x = 1이다.
p q
조건 x2 = 1 x = 1
진리집합 P = {-1, 1} Q = {1}
부분집합 P 부분집합이 아님 Q
참, 거짓 거짓

반례

명제의 참, 거짓을 알아내는 또 다른 방법은 반례를 이용하는 거예요. 반례는 명제가 거짓이라는 걸 보여주는 예에요.

"자연수 x에 대하여, x가 짝수이면 x < 10이다."라는 명제가 있다고 해보죠.

12, 14, 16, … 처럼 10보다 큰 짝수가 있어요. 따라서 명제가 틀렸어요. 이때, 10보다 크다고 보여줬던 짝수들의 예가 바로 반례에요.

명제가 거짓임을 밝히기 위해서 반례를 보여주면 되는데, 반례는 1개만 있으면 돼요. 위에서 12, 14, 16, …라는 반례를 보여줘도 되지만, 12라는 반례만 보여줘도 명제가 거짓이라는 걸 알 수 있죠?

명제의 참, 거짓
진리집합 이용 - P ⊂ Q이면 참 
반례가 1개라도 있으면 거짓

다음 명제의 참, 거짓을 밝혀라.
(1) x가 6의 약수이면 x는 12의 약수이다.
(2) xy > 0 이면 x > 0, y > 0이다.

(1)을 p → q라고 할 때 P = {1, 2, 3, 6}, Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
P ⊂ Q이므로 p → q는 참

(2) 반례를 이용해 보죠. xy = 1일 때,  x = -1, y = -1이면 x < 0, y < 0이에요.
이 반례를 통해서 명제가 거짓이라는 걸 알 수 있어요.

모든, 어떤이 들어있는 명제의 참, 거짓

모든, 어떤이 들어있는 명제에서 참, 거짓을 확인하는 방법이에요.

"모든", "임의의"라는 단어가 들어간 명제에서는 그 식이 성립하지 않는 x가 하나도 없어야 참이에요. 즉 식이 성립하지 않는 x가 하나라도 있으면 거짓이라는 거죠. 이때 성립하지않는 x가 바로 반례에요.

"모든 실수 x에 대하여 x2 = 1이다."라는 명제가 있어요. x = 2이면 이 x2 = 1이라는 식이 성립하지 않죠. 따라서 이 명제는 거짓이고 이때 x = 2가 반례가 되는 거예요.

"어떤"이 들어가 있는 명제는 식을 만족하는 x가 하나라도 있으면 참이에요. 모든 x에 대해서 성립할 필요가 없어요.

"어떤 실수 x에 대하여 x2 = 1이다."라는 명제에서 x = 1이면 x2 = 1이 성립하죠. 따라서 이 명제는 참인 명제에요.

모든, 임의의 → 반례가 있으면 거짓
어떤 → 하나라도 성립하면 참

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정리해볼까요

명제의 참, 거짓

  • 진리집합을 이용, p → q일 때, 조건 p의 진리집합을 P, 조건 q의 진리집합을 Q라고 하면
    P ⊂ Q이면 참
    P 부분집합이 아님 Q이면 거짓
  • 반례가 하나라도 있으면 거짓
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명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정

2013. 2. 22. 12:30

명제와 조건은 참 어려운 단원이에요. 개념이 중요한데다 실제 참, 거짓을 증명해야 하는 경우가 많거든요.

용어의 정의, 기호가 나타내는 것들을 하나도 놓치지 않고 생각해야 하는 단원이에요. 큰 게 아니라 자잘한 실수때문에 틀리는 문제가 많아서 좀 짜증나기도 하죠. 지금까지 공부했던 용어들과 기호들에 대해서 복습하는 단원이라고 생각하세요.

명제와 조건

명제는 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이나 식을 말해요.

"2는 소수다"라는 문장이 있어요. 이 문장은 참이죠? 그래서 명제에요. "3은 짝수다." 이 문장은 거짓이죠? 거짓이니까 명제에요. 명제는 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이므로 거짓인 문장도 명제에요. 거짓이면 명제가 아니라고 생각하는 경우가 많은데, 주의하세요.

"수학은 어렵다." 이 문장은 어떤가요? 학생 대부분은 수학이 어렵다고 생각할 거예요. 그런데 또 다른 학생들은 수학이 쉽다고 하는 학생도 있겠죠? 사람에 따라서 참, 거짓이 달라져요. 참, 거짓을 판단할 수 없죠. 따라서 이 문장은 명제가 아니에요.

명제, 참인 명제, 거짓인 명제

조건은 미지수를 포함하고 있어서 그 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 판별되는 문장이나 식을 말해요.

"(x - 1)(x - 2) = 0"이라는 식은 x = 1, 2일 때는 참이지만, x = 3, 4, 5, … 이면 거짓이죠? x에 따라서 참, 거짓이 바뀌니까 이 문장은 조건이에요. 보통 조건에서 미지수로 x를 사용하니까 조건을 p(x), q(x), … 등으로 표시하는데, 간단히 p, q, … 로도 나타내요.

진리집합

조건은 미지수에 따라서 참, 거짓이 달라진다고 했어요. 이때 조건이 참이 되게 하는 미지수의 집합을 진리집합이라고 해요. 진리집합은 알파벳 대문자로 나타내는데, 조건 p의 진리집합은 P, 조건 q의 진리집합은 Q라고 써요. 특별한 언급이 없으면 전체집합 U는 실수 전체의 집합이라고 생각하면 돼요.

"(x - 1)(x - 2) = 0"이라는 조건에서 진리집합 P = {1, 2} 겠죠?

두 조건을 하나로 합쳐서 사용하는 경우도 있어요. p라는 조건과 q라는 조건을 합칠 때 "p 이고 q"라는 조건을 만들었다면 진리집합은 P ∩ Q가 돼요. p와 q라는 두 조건을 모두 만족하는 미지수여야 하니까요. "p 또는 q"라는 조건을 만들었다면 진리집합은 P ∪ Q가 돼요. p, q 중 하나만 만족해도 되거든요.

조건의 부정

조건의 부정은 말 그대로 조건을 반대로 얘기하면 돼요. 조건 p의 부정은 ~p라고 쓰고, not p라고 읽어요. 조건 q의 부정은 ~q라고 쓰고 not q라고 읽죠.

그럼 ~p의 부정은 뭘까요? ~(~p) = p에요. 진리집합을 생각해보세요. 부정은 진리집합에서 여집합이에요. (PC)C = P니까 ~(~p) = p가 되는 거예요.

(조건)과 (조건의 부정)은 서로 부정인 관계에요.

조건의 부정을 몇 가지 해볼까요?

조건의 부정
조건 조건의 부정 비고
= ≠  
> ≤ 부등식의 표현
< ≥ 부등식의 표현
짝수 홀수 자연수일 때
양수 0과 음수  
유리수 무리수  
어떤 모든 "어떤 x에 대하여………" / "모든 x에 대하여"
이고 (and) 또는 (or) "p 이고 q" / "~p 또는 ~q"
적어도 하나는 맞다 모두 ~ 아니다.  
x = y = z x ≠ y 또는 y ≠ z 또는 z ≠ x x = y이고, y = z이고, z = x라는 세 조건의 결합

다음 조건의 부정을 말하여라.
(1) x = 1 또는 x = 2
(2) 1 < x ≤ 2
(3) 모든 실수 x에 대하여 (x - 1)2 ≥ 0이다.

"또는"의 부정은 "이고"에요.

(1)은 또는 이니까 "이고"로 바뀌어야겠죠? 그리고 =는 ≠로 바꾸고요.
"x = 1 또는 x = 2"의 부정은 "x ≠ 1 이고 x ≠ 2"가 되겠네요.

(2)는 1 < x 이고, x ≤ 2라는 두 개의 조건으로 나눌 수 있어요. 가운데가 "이고"니까 "또는"으로 바꿔야 하고, <는 ≥로, ≤는 >로 바꿔야 겠네요.
"1 < x ≤ 2"의 부정은 "1 ≥ x 또는 x > 2"

(3)은 모든이 있어요. "모든"의 부정은 "어떤"이에요. ≥의 부정은 <고요.
"모든 실수 x에 대하여 (x - 1)2 ≥ 0이다."의 부정은 "어떤 실수 x에 대하여 (x - 1)2 < 0이다."

부정하지 않는 것들

조건에서 부정을 할 때, 절대로 부정하면 안 되는 게 있어요. 바로 "수의 체계"에요.

"유리수 x에 대하여 x > 2이다"를 부정하면 "무리수 x에 대하여 x ≤ 2이다."가 아니라는 거예요. x가 포함되는 수의 체계는 부정하면 안 돼요. "유리수 x에 대하여 x ≤ 2 이다."가 제대로 된 부정이에요.

"양수 x에 대하여 …"에서 양수를 부정해서 "음수 또는 0 x에 대하여" 가 아니라 그대로 "양수 x에 대하여 …"에요.

"x가 무리수이다"을 부정하면 "x가 유리수이다"가 돼요." 위에서 수의 체계는 부정하지 않는다고 했는데, 여기서는 부정을 했어요.

위에서 수의 체계는 조건이 아니라 전제라서 부정하면 안 되고, 아래에 있는 문장에서는 수의 체계가 조건이니까 부정할 수 있는 거예요. 이 차이를 잘 구별하세요.

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정리해볼까요

명제와 조건

  • 명제: 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이나 식
  • 조건: 미지수에 따라 참, 거짓이 달라지는 문장이나 식, p, q
  • 진리집합: 조건이 참이 되게 하는 미지수를 원소로 하는 집합
  • 조건의 p의 부정: ~p
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명제의 참, 거짓
 
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고1 수학 목차, 공통수학 목차

2013. 2. 17. 12:30

2013년 이전 고등학교 1학년 수학목차입니다. (2012년, 2011년, 2010, …… 등에도 해당)

2014년 이후 고등학교 1학년은 2014년 고1 수학 목록을 참고하세요.

  1. 집합과 명제
  2. 수 체계
  3. 식의 계산
  4. 방정식과 부등식

  1. 도형의 방정식
  2. 함수
  3. 삼각함수
  4. 순열과 조합
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명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역

2012. 8. 28. 12:30

조금은 생소한 단원이에요. 명제라는 단원인데요.

복잡한 계산이 나오는 게 아니라 얼핏 보면 쉬워보일 수 있는데, 개념이 중요해서 생각을 많이 해야 하는 단원이에요.

생각할 거리가 많으니까 머리를 잘 굴려야 해요. 그냥 단순히 문장만 보고 식만 보고 해결할 수 없으니까 글자 하나하나에 주의해서 보세요.

1학년 때 배웠던 집합과 비슷한 부분이 많아요. 또 도형 단원에서 배웠던 여러 가지 용어들에 대한 뜻도 정확히 알면 문제 푸는 데 도움이 되니까 한 번쯤 정리해보세요.

명제

명제는 참, 거짓을 분명하게 판단할 수 있는 문장이나 식을 말해요. 집합에서 제일 중요한 건 집합의 조건이 아주 명확하고 객관적이어야 한다고 했어요. 명제에서도 아주 명확하고 객관적으로 참 거짓을 판단할 수 있어야 해요.

보기. "소녀시대는 예쁘다."는 문장이 있어요. 소녀시대는 예쁜가요? 대부분의 사람은 소녀시대를 예쁘다고 생각할 거예요. 그럼 참인가요? 그런데 어떤 사람들은 별로라고 생각할 수도 있잖아요. 이런 사람들은 이 문장이 거짓이라고 생각할 거예요. 그래서 이건 명제라고 할 수 없어요.

"소녀시대 멤버는 9명이다." 이 문장은요. 누가봐도 소녀시대 멤버는 9명이잖아요. 그래서 이 문장은 참이죠. 참이라고 결론 내릴 수 있으니까 이 문장은 명제라고 할 수 있어요.

"설리는 소녀시대 멤버이다." 이 문장은 어떨까요? 설리는 소녀시대의 멤버가 아니라 f(x)의 멤버잖아요. 틀린 문장이죠? 거짓이라는 얘기에요. 거짓이라고 판단할 수 있으니까 이 문장도 명제에요.

그 문장이 참인지 거짓인지는 중요하지 않아요. 참/거짓인지 판단할 수 있으면 명제에요. 많은 학생이 거짓이면 명제가 아니라고 착각하는데, 그런 실수는 하지 마세요.

명제, 참인 명제, 거짓인 명제

명제가 항상 옳으면 참인 명제라고 해요. 만약에 명제가 항상 참이 아니고 어떤 경우에 하나라도 옳지 않으면 거짓인 명제라고 합니다.

"2의 배수는 짝수이다."라는 문장이 있어요. 이건 항상 옳죠? 그래서 참인 명제에요.

"모든 소수는 홀수이다."라는 문장이 있어요. 소수는 2, 3, 5, …등이 있는데, 2는 짝수이고 나머지는 모두 홀수에요. 모두 홀수라고 했는데, 2는 짝수잖아요. 엄청나게 많은 수의 소수가 홀수인데, 2 하나 때문에 이 문장은 옳지 않은 문장이 되어버렸어요. 따라서 거짓인 명제에요. 명제가 거짓인지 아닌지를 얘기할 때는 그걸 만족하지 않는 딱 하나만 찾으세요.

다음 문장에서 명제를 찾고, 참/거짓은 판별하시오.
(1) 6은 3의 배수이다
(2) 정사각형 네 변의 길이는 같다
(3) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
(4) 100은 큰 수이다.
(5) x + 3 = 2이다.

(1)번 6은 3의 배수이다.
6은 3의 배수가 맞죠? 참인 명제에요.

(2)번 정사각형의 네 변의 길이는 같다.

정다각형 중에서 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 같은 사각형을 정사각형이라고 정의하죠? 정사각형의 정의에 따르면 네 변의 길이는 모두 같으니까 이 문장도 참인 명제네요.

(3)번 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
가로가 4cm이고 세로가 6cm인 삼각형과 가로가 3cm이고 세로가 8cm인 삼각형은 넓이가 같아요. 하지만 서로 포개지지 않으니까 합동은 아니잖아요. 따라서 이 문장은 거짓이에요. 거짓이라고 판별할 수 있으니까 명제가 맞네요. 거짓인 명제입니다.

(4)번 100은 큰 수이다.
100이라는 수는 1보다는 크지만 10,000보다는 작은 수에요. 때에 따라서 사람에 따라서 크고 작고가 달라질 수 있죠? 따라서 참/거짓을 판단할 수 없어요. 명제가 아니에요.

(5)번 x + 3 = 2이다.
일차방정식이네요. 만약에 x가 1이라면 이 문장은 거짓이 돼요. 그럼 거짓인 명제일까요? 아니에요. 방정식이나 부등식처럼 x의 값에 따라서 참/거짓이 달라지는 경우에는 명제라고 할 수 없어요.

명제의 가정과 결론

"두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다."처럼 일반적으로 명제는 "OO이면 □□이다."라고 표현해요. 여기서 OO이면을 가정, □□이다를 결론이라고 합니다.

수학은 기호로 표시해요. 가정인 OO이면을 p, 결론 □□이다를 q라고 하는데, 이걸 기호로 p → q로 표시해요.

명제

다음 명제에서 가정과 결론을 말하여라.
(1) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.

명제 "OO이면 □□이다"에서 OO이면이 가정, □□이다는 결론이에요.

(1)번 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
이 명제에서 "같으면"을 기준으로 두 문장으로 되어 있어요. "두 삼각형의 넓이가 같다."와 "두 삼각형은 서로 합동이다."이죠. "두 삼각형은 넓이가 같다."는 가정, "두 삼각형은 서로 합동이다."는 결론이 되겠네요.

(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.
여기에는 OO이면이 없어요. 그럼 가정이 없을까요? OO이면이 없는 명제에서는 주어나 전제에 해당하는 부분이 가정이에요. 이 문장은 "어떤 사각형은 정사각형이다."와 "이 사각형은 네 변의 길이가 같다."로 나눌 수 있어요. "어떤 사각형은 정사각형이다."는 가정, "이 사각형은 네 변의 길이가 같다."는 결론에 해당해요. 이런 명제에서 가정과 결론을 찾는 건 연습이 조금 필요합니다.

명제의 역

역이라는 건 한자로 바꾸다라는 뜻이 있어요. 명제의 역은 명제를 바꾸는 데 어떻게 바꾸느냐? 명제의 가정과 결론의 위치를 바꾸는 거예요.

명제 "OO이면 □□이다"의 가정과 결론의 위치를 바꾼 "□□이면 OO이다"가 명제의 역이 되는 거예요. 명제를 "p → q"라고 쓴다고 했으니까 명제의 역은 "q → p"가 되는 거죠.

명제의 역

어떤 명제가 이미 있고 그 명제의 가정과 결론의 위치를 바꾼 게 그 명제의 역이 되는 거예요. 어디서 갑자기 툭 튀어나오는 게 아니에요.

명제가 참이라고 해서 명제의 역이 참이 되는 건 아니에요. 마찬가지로 명제가 거짓이라고 해서 명제의 역이 거짓이 되는 것도 아니에요. 명제와 명제의 역의 참/거짓은 서로 아무런 관계가 없어요.

다음 명제의 역을 말하시오.
(1) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.

위에서 명제의 가정과 결론을 알아봤죠? 자리만 그대로 바꾸면 돼요.

(1) 두 삼각형의 넓이가 같으면 서로 합동이다.
"두 삼각형의 넓이가 같다." → "두 삼각형은 서로 합동이다."라는 명제였어요.
자리를 바꾸면 "두 삼각형은 서로 합동이다." → "두 삼각형의 넓이가 같다."이므로 한 문장으로 합치면 "두 삼각형이 서로 합동이면 넓이가 같다."라는 명제의 역이 만들어져요.

(2) 정사각형의 네 변의 길이는 같다.
"어떤 사각형은 정사각형이다." → "이 사각형은 네 변의 길이가 같다."
위치를 바꾸면 "이 사각형은 네 변의 길이가 같다." → "어떤 정사각형이 있다."가 되네요. 한 문장으로 합치면 "네 변의 길이가 같은 사각형은 정사각형이다"라는 명제를 만들 수 있어요.

추가로 명제와 명제의 참/거짓을 알아볼까요?

(1)에서 명제는 거짓이었어요. 명제의 역은 참이죠? 두 삼각형이 합동이면 서로 포개어지는 거고 가로, 세로의 길이가 같으니까 넓이도 같잖아요.

(2)에서 명제는 참이었어요. 명제의 역은 거짓이에요. 네 변의 길이가 같더라도 네 각의 크기가 다를 수 있잖아요. 이걸 마름모라고 해요.

명제의 참/거짓과 명제의 역의 참/거짓은 아무런 상관이 없다는 걸 알아두세요.

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수학의 정의, 정리, 증명

정리해볼까요

명제: 참, 거짓인지 분명히 판단한 수 있는 문장이나 식

  • 참인 명제: 내용이 항상 옳은 명제
  • 거짓인 명제: 내용이 옳지않은 경우가 하나라도 있는 명제
  • 명제 'p이면 q이다'에서 p를 가정, q를 결론. p → q
  • 명제의 역: 명제 'p → q'에서 p와 q의 위치를 바꾼 명제. q → p
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