수학적 귀류법은 어떤 명제가 참임을 증명하고 싶은데, 직접 증명하기 어려울 때 사용하는 간접 증명 방법이에요.
쉽게 말해 명제를 거짓이라고 가정했더니 말이 안된다(모순이 발생한다)는 걸 보임으로써 결국 그 명제가 참이라는 걸 증명하는 거예요.
수학적 귀류법은 다음의 3단계를 거쳐요.
- 어떤 명제가 있는데, 이 명제가 거짓이라고 가정해요.
증명하고 싶은 명제의 결론을 부정해서 가정으로 삼아요. - 가정에서 논리적 결론을 이끌어 내어, 모순이 생기는 걸 보여서, 가정이 틀렸다는 걸 확인해요.
가정을 바탕으로 논리적으로 전개하다 보면 기존에 알려진 사실이나 정의에 모순되는 결과가 나오는 걸 보여줘요. 모순이 생겼으니 처음에 세웠던 가정이 거짓이에요. - 결국 원래 명제가 참이라는 결론에 도달해요.
원래 증명하고 싶었던 명제가 참이라는 결론을 내려요.
예를 들어보죠. "김철수는 남자이다."를 증명해볼까요?
- 명제가 거짓이라고 가정: 김철수는 남자가 아니다. → 김철수는 여자이다.
- 모순: 여자는 OOO, ~~~ 같은 신체적, 생물학적 특징이 있어야 하는데, 김철수는 그런 특징이 없으므로 "김철수는 여자"라는 가정이 틀렸다.
- 결론: 김철수는 여자가 아니다. → "김철수는 남자다."는 참이다.
"$\sqrt{2}$는 무리수"임을를 수학적 귀류법으로 증명하시오.
- 명제가 거짓이라고 가정: $\sqrt{2}$는 무리수가 아니다. → $\sqrt{2}$는 유리수이다.
유리수는 $\frac{a}{b}$ (a, b는 서로소인 정수, b ≠ 0) 꼴로 나타낼 수 있는 수예요. - $\sqrt{2}$ = $\frac{a}{b}$
2 = $\frac{a^{2}}{ b^{2}}$ (∵양변 제곱)
2b2 = a2
a2이 2의 배수니까 a도 2의 배수여야 해요. 따라서 a = 2k (k는 정수)라고 둘 수 있어요.
a = 2k를 2b2 = a2에 대입하면
2b2 = a2
2b2 = (2k)2
2b2 = 4k2
b2 = 2k2
b2도 2의 배수이므로 b도 2의 배수여야 해요.
a, b 모두 2의 배수이므로 a, b는 서로소인 정수라고 했던 가정과 모순이 생겨요. 가정 "$\sqrt{2}$는 유리수"가 틀렸다는 걸 알 수 있어요. - 명제 "$\sqrt{2}$는 무리수이다."는 참인 명제예요.
명제 “모든 홀수는 짝수가 아니다.”를 귀류법으로 증명하시오.
명제를 부정해야 하는데, 조건의 부정에 나온 것처럼 "모든"은 "어떤"으로 바꿔요.
- 명제가 거짓이라고 가정: 어떤 홀수가 짝수이다.
- 홀수는 2n+1, 짝수는 2n (n은 정수)이므로 어떤 홀수가 짝수이면
2n + 1 = 2m
2n + 1 = 2m
1 = 2m - 2n
1 = 2(m - n)
1이 2의 배수라는 결론이 나오는데, 이는 말이 안되죠. 모순이에요. 가정이 틀렸어요. - 모든 홀수는 짝수가 아니다. (명제는 참이다)
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