'행렬' 태그의 글 목록

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공통수학 1

공통수학 2

그리드형

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그래프와 행렬의 관계에 대해서 알아보죠.

그래프를 행렬로 바꿔볼 거예요. 그래프를 행렬로 바꿨을 때 행렬이 그래프의 특징들을 잘 드러내는지도 알아볼 거예요. 행렬이 나타내는 그래프의 특징을 보고 그래프를 예상할 수 있어야 해요.

정말 어려울 것 같지만 따지고 보면 별거 아닌 내용이에요.

행렬과 그래프 - 그래프를 행렬로 나타내기

다음과 같은 그래프가 있다고 해보죠.

그래프를 행렬로 나타내기

한 점이 다른 점과 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0이라고 써서 표로 나타내 보죠. 예를 들어 A는 B와 변으로 연결되어 있으니까 1, D와는 변으로 연결되어 있지 않으니까 0이라고 쓰는 거예요.

그래프를 표로 나타내기
	A	B	C	D
A	0	1	1	0
B	1	0	1	0
C	1	1	0	1
D	0	0	1	0

이번에는 이 표를 행렬로 나타내보죠.

4차 정사각형렬이네요. (꼭짓점의 개수) × (꼭짓점의 개수) 행렬이죠.

이 행렬은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 그어지는 대각선에 대해서 대칭이에요. A와 B가 변으로 연결되어 있으면 B와 A도 연결되어 있어서 같은 값을 가지니까요.

행렬의 성분으로 표현하자면 (i, j)의 성분 = (j, i)의 성분이 되는 거예요.

반대로 행렬만 보고 그래프의 특징을 알아낼 수 있나요?

예를 들어 이 행렬은 4차 정사각행렬이에요. 꼭짓점이 4개 있다는 뜻이에요.

변의 개수를 알 수 있을까요? 변은 꼭짓점과 꼭짓점을 연결한 선이에요. 행렬에서 1이 의미하는 건 두 꼭짓점 사이가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠? 그래서 행렬에 있는 1을 모두 더하면 돼요. 하지만 AB와 BA를 모두 1로 나타냈으니까 중복되는 걸 빼려면 행렬에서 1을 모두 더한 값을 2로 나눠줘야 하죠.

변의 개수 = (행렬의 모든 성분의 합) ÷ 2

한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점에 연결된 변의 개수도 구할 수 있어요. 행렬에서 1은 다른 꼭짓점과 연결되었는지를 나타내는 거니까 A에서 다른 꼭짓점으로 연결된 변의 개수는 A가 있는 제 1 행의 모든 성분을 다 더한 값과 같아요.

꼭짓점에 연결된 변의 개수 = 해당 꼭짓점이 나타내는 행(또는 열)의 모든 성분의 합

A에 연결된 변의 개수는 A를 나타내는 제 1 행 (또는 제 1 열)의 성분을 모두 더한 2가 되는 거죠.

행렬의 성분과 경우의 수

행렬을 P라고 해볼게요.

P =

p₁₂ = 1이 의미하는 건 A와 B가 변으로 연결되어 있다는 뜻이죠.

P를 제곱했더니 위와 같은 행렬이 만들어졌어요. P는 두 꼭짓점이 서로 변으로 연결되어 있는지 아닌지를 나타내요. 즉 1이면 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 하나만 지나는 된다는 걸 말하죠. P²은 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 이동할 때 변을 두 번 지나면 된다는 걸 의미해요. 여기서는 1이 아닌 2, 3이라는 숫자도 있죠? 이건 경우의 수를 말해요.

p₁₁ = 2죠? A에서 변을 두 개 지나서 A로 오는 방법이 두 가지가 있다는 얘기예요. A - B - A, A - C - A의 두 가지예요.

p₂₁ = 1이죠? B에서 변을 두 개 지나서 A로 가는 방법이 한 가지가 있다는 얘기예요. B - C - A뿐이네요.

Pⁿ의 p_ij = k (n, k는 자연수)
→ i에서 n개의 변을 지나서 j로 가는 방법은 k가지이다.

그래프와 행렬 1 - 그래프에서 경로에는 한 번 지나간 변은 다시 지나지 않는 것으로 한다고 했는데 행렬에서는 한 번 더 지나는 것도 포함된다는 차이가 있어요.

다음 그래프를 보고 물음에 답하여라.
(1) 그래프를 행렬로 나타내어라.
(2) A에서 변을 두 개 지나서 B까지 가는 방법의 수를 구하여라.

표 그리는 건 그냥 생략하고 바로 행렬를 나타내보죠. 두 점이 변으로 연결되어 있으면 1, 연결되어 있지 않으면 0을 넣어요.

(2) A에서 B까지 변을 두 개 지난다고 했으니까 행렬을 제곱해야겠네요.

A에서 B까지 이동하는 걸 나타내는 성분은 1행 2열의 성분이니까 2이네요. A - C - B, A - D - B의 두 가지 방법이 있어요.

그래프와 행렬 - 그래프

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거듭제곱과 거듭제곱근

그리드형

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연립방정식을 행렬로 나타내고 역행렬을 이용해서 연립방정식의 해를 구해봤어요. 이제는 조금 더 자세히 알아볼 거예요. 행렬을 이용해서 연립방정식의 해를 구할 때 해가 한 개일 수도 있고 하나도 없을 수도 있고 무수히 많을 수도 있어요. 어떤 조건이 있을 때 해의 개수가 달라지는지 알아보죠.

연립방정식의 식을 하나씩 따로 떼 보면 직선의 방정식이기도 하니까 직선의 방정식과 두 직선의 방정식의 위치관계를 통해서 이를 설명해 볼게요. 혹시 기억이 나지 않는다면 아래 두 글을 먼저 읽어보세요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직, 두 직선의 위치관계 - 일반형

연립일차방정식이 해를 가질 조건

역행렬과 연립일차방정식
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때,
ad - bc = 0일 때, 해가 무수히 많거나 해가 하나도 없다.

일단 행렬식 D = ad - bc ≠ 0이면 해를 가져요. 역행렬을 이용해서 한 쌍의 해를 구할 수 있죠.

ad - bc = 0일 때는 해가 무수히 많거나 하나도 없다고 했어요. 해가 무수히 많을 때는 해가 있는 거죠. 그러면 무수히 많은 해를 가지려면 ad - bc = 0외에 어떤 추가 조건이 있어야 할까요?

두 직선의 위치관계 - 일반형에서 두 직선 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 x, y 계수비와 상수항의 비가 같으면 두 직선은 일치한다고 했어요. 두 직선의 교점은 두 직선이 나타내는 직선의 방정식의 공통근이니까 두 직선이 일치하면 두 직선의 방정식은 무수히 많은 해를 가지죠.

연립방정식 는 ax + by = p, cx + dy = q라는 두 직선의 방정식으로 나타낼 수 있으니까 여기에 위 내용을 그대로 적용해보죠.

에서 이면 이 연립방정식은 무수히 많은 해를 가져요.

연립방정식 해를 가질 조건
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 이면 무수히 많은 해

이번에는 p = q = 0인 을 보죠. 직선의 방정식으로 나타내면 ax + by = 0, cx + dy = 0이에요. 이 두 직선은 원점을 지나는 직선이에요. 따라서 x = y = 0이라는 공통근을 일단 무조건 한 개를 가져요.

행렬로 나타내면 이에요.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 을 해로 가져요. x = y = 0인 한 쌍의 해죠.

ad - bc = 0이고 x, y 계수비와 상수항의 비가 같으면 무수히 많을 해를 가지고 x, y 계수비와 상수항의 비가 다르면 해가 하나도 없어요. 그런데 상수항의 비를 구하려고 했더니 분모가 0이 돼버리죠? 이 방법으로는 해가 무수히 많은지 하나도 없는지 알 수가 없다는 뜻이에요. 다른 방법을 찾아봐야겠네요.

ad - bc = 0
ad = bc

두 직선의 방정식의 기울기가 같아요. 그리고 두 직선은 모두 원점을 지나요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 기울기가 같고 y절편이 같으면 두 직선은 일치한다고 했어요. 두 직선이 일치하니까 두 직선의 방정식의 공통근도 무수히 많아지겠죠?

일반적으로 ad - bc = 0일 때 해가 하나도 없을 수도 있어요. 하지만 위에서 본 것처럼 이 두 직선은 원점을 지나므로 무조건 x = y = 0이라는 해를 가져요. 따라서 해가 하나도 없는 경우는 생길 수가 없는 거예요.

연립방정식 해를 가질 조건
연립방정식 은 행렬 로 나타낼 수 있다.
ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고 라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 무수히 많은 해

가 x = y = 0 이외의 해를 가질 때 상수 k의 값을 구하여라.

우변이 모두 0이에요. 이런 연립방정식은 x = y = 0이라는 한 쌍의 해는 무조건 갖지요. 그리고 ad - bc = 0이면 x = y = 0 이외의 해를 가지는데 이 해는 무수히 많아요.

k(k - 2) - 3 = 0
k² - 2k - 3 =
(k - 3)(k + 1)
k = -1 or 3

k = -1 or 3이면 이 연립방정식은 x = y = 0이외의 해를 가져요.

정리해볼까요

연립방정식이 해를 가질 조건

연립방정식

은 행렬

로 나타낼 수 있다.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고

라는 한 쌍의 해

ad - bc = 0일 때,

이면 무수히 많은 해

연립방정식이 해를 가질 조건

연립방정식

은 행렬

로 나타낼 수 있다.

ad - bc ≠ 0일 때 역행렬이 존재하고

라는 한 쌍의 해
ad - bc = 0일 때, 무수히 많은 해

역행렬과 연립일차방정식

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그래프

그리드형

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행렬의 역행렬은 숫자의 역수와 비슷한 거예요. 그러니까 역수와 역행렬을 비교하면서 역행렬의 뜻과 특징에 대해서 잘 이해해두세요.

또 역행렬 구하는 공식을 유도해보고 유도된 공식을 이용해서 역행렬을 구하는 연습도 해보죠.

역행렬 공식은 어려운 공식도 아니고 앞으로도 자주 사용하는 공식이니까 꼭 외워두세요.

역행렬

숫자에 역수라는 게 있어요. 간단히 말하면 분자, 분모를 뒤집은 거죠. 고등학생이라면 조금 더 세련되게 표현할 수 있어야겠죠? 어떤 수 a와 곱했을 때 계산 결과가 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오게 하는 수를 a의 역수라고 하지요. a의 역수는 a^-1이에요.

수에 역수가 있다면 행렬에는 역행렬이 있어요. 어떤 행렬 A와 곱했을 때 곱셈에 대한 항등원인 단위행렬 E가 나오게 하는 행렬을 행렬 A의 역행렬이라고 해요. 행렬 A의 역행렬은 기호로 A^-1라고 쓰고 A inverse(A 인버스)라고 읽어요.

역원을 숫자에서는 역수, 행렬에서는 역행렬이라고 하는 거지요.

참고로 숫자에서 a^-1 = 인데, 행렬에서 A^-1는 이라고 하지 않아요.

일반적으로 행렬의 곱셈에 대한 성질에서는 AB ≠ BA지만 행렬과 그 역행렬 사이에는 AA^-1= A^-1A = E가 성립해야 해요. 항등원과 역원에서 항등원과 역원을 가지려면 교환법칙이 성립해야 한다고 했죠?

행렬 A가 2 × 3 행렬이고, A^-1가 3 × 2 행렬이라면 AA^-1 = E가 되는데 이때 E는 2차 정사각행렬이에요. 교환법칙에 따라서 A^-1A = E가 될 텐데 이때의 E는 3차 정사각행렬이죠. AA^-1와 A^-1A 모두 단위행렬 E지만 서로 다른 행렬이에요. 따라서 곱셈 결과가 똑같은 n차 단위행렬이 되려면 A와 A^-1도 n차 정사각행렬로 같은 꼴이어야 해요.

역행렬: 같은 꼴의 정사각형렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX = XA = E를 만족하는 행렬. A^-1

역행렬 구하는 공식

라고 놓고 역행렬을 구해보죠.

ax + bu = 1 … ①
ay + bv = 0 … ②
cx + du = 0 … ③
cy + dv = 1 … ④

① × c - ③ × a
acx + bcu = c
acx + adu = 0

(bc - ad)u = c … ⑤

① × d - ③ × b
adx + bdu = d
bcx + bdu = 0

(ad - bc)x = d … ⑥

② × c - ④ × a
acy + bcv = 0
acy + adv = a

(bc - ad)v = -a … ⑦

② × d - ④ × b
ady + bdv = 0
bcy + bdv = b

(ad - bc)y = -b … ⑧

ⅰ) ad - bc = 0일 때

ad - bc = 0이면 bc - ad = 0이므로 ⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 a = b = c = d = 0이에요.

그런데 a = b = c = d = 0이면 ①에서 0x + 0u = 1이 되어 모순이 생기죠. 마찬가지로 ④에서 0y + 0v = 1로 모순이 생겨요. 따라서 ad - bc = 0이면 역행렬을 구할 수 없어요.

ⅱ) ad - bc ≠ 0일 때

⑤, ⑥, ⑦, ⑧에서 양변을 (ad - bc) 또는 (bc - ad)로 나눠보죠.

⑤ →

⑥ →

⑦ →

⑧ →

x, y, u, v를 A^-1에 대입하면 를 구할 수 있어요.

A^-1A = E는 여러분이 한 번 해보세요.

역행렬 공식
이차정사각형렬 에 대하여
ad - bc ≠ 0이면
ad - bc = 0이면 행렬 A의 역행렬은 없다.

공식을 보면 행렬에서 a, d는 자리를 바꿨고, b, c는 부호가 반대로 되었어요.

ad - bc를 행렬식(Determinant)이라고 하고 대문자 D = ad - bc로 나타내요. 이차방정식에서 근을 판별할 때 이차방정식의 판별식을 이용하죠? 이것과 비슷하게 행렬식을 이용해서 역행렬이 존재하는지 아닌지를 판단할 수 있어요. D ≠ 0이면 역행렬이 있고, D = 0이면 역행렬이 없어요.

다음 행렬의 역행렬이 있는지 보고, 역행렬이 있으면 역행렬을 구하여라.

역행렬이 존재하는지 아닌지는 행렬식 D를 보면 알 수 있어요.

(1) D = ad - bc = 1 × 4 - 2 × 3 = -2 ≠ 0으로 역행렬이 존재하네요.

(2) D = ad - bc = 2 × 6 - 3 × 4 = 0으로 역행렬이 존재하지 않아요.

정리해볼까요

역행렬

같은 꼴의 정사각형렬 A와 단위행렬 E에 대하여 AX = XA = E를 만족하는 행렬. A^-1

이차정사각형렬 에 대하여

ad - bc ≠ 0 →

ad - bc = 0 → 행렬 A의 역행렬은 없다.

케일리-해밀턴 정리

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역행렬의 성질

그리드형

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케일리-해밀턴 정리라는 것에 대해서 알아볼 건데요 꼭 알아야 하는 건 아니에요. 몰라도 상관없는데 알아두면 문제를 풀 때 도움을 받을 수 있어요. 케일리-해밀턴 공식 자체가 어렵지는 않은데요. 이 공식을 이용해서 풀어야하는 문제는 조금 어려운 문제예요. 그러니까 실제로 공식을 안다고 하더라도 문제에 적용하기가 만만치 않은 내용이죠. 이 내용이 너무 어렵다고 생각된다면 그냥 이런 게 있구나 하는 정도로 넘어가고 이해가 된다면 외워두고 문제 풀 때 활용하세요.

이왕 외워서 활용하기로 했다면 어떤 공식이고 어디에 사용하면 외워둔 보람을 느낄 수 있을지 잘 확인하세요.

케일리-해밀턴 정리

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.

이상하게 생긴 공식이죠?

증명은 어렵지 않아요. 그냥 대입해서 전개해보세요.

이 공식은 행렬의 거듭제곱, 고차행렬, 다음에 공부할 역행렬 등과 관련된 문제를 풀 때 사용해요. 단순히 이 공식을 활용하는 문제라기보다는 어려운 문제를 풀 때 이 공식을 이용할 수 있도록 하는 문제들이에요. 그런데 이런 문제는 자주 나오는 문제도 아닐뿐더러 케일리-해밀턴 정리를 사용하지 않아도 풀 수 있는 수준의 문제가 나오죠. 하지만 이 공식을 알고 있다면 더 쉽게 문제를 풀 수 있어요.

2차 정사각행렬 가 A² - 4A + 3E = O를 만족할 때, 행렬 A를 구하여라.

행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
-(a + a) = -4 → a = 2
a² - b² = 3 → b = ±1

따라서 또는 이네요.

그런데 만약에 이라면 어떨까요? A를 문제에 나와 있는 식대로 계산해보죠.

은 A² - 4A + 3E = O라는 식도 만족하고 라는 기본꼴도 만족하죠. 그러니까 도 문제에서 원하는 답이 될 수 있어요.

그런데 케일리-해밀턴 정리를 적용해보세요.

-(3 + 3) ≠ -4
3² - 0 ≠ 3

어떤가요? 케일리-해밀턴 정리를 만족하지 않아요.

케일리-해밀턴 정리가 적용된 식을 이용해서 원래의 행렬을 구할 수 없다는 뜻으로 케일리-해밀턴 정리의 역은 성립하지 않는다는 얘기죠.

케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 원래를 행렬 A를 구하려면 다른 조건이 추가되어야 해요. 바로 행렬 A ≠ kE (k는 실수)라는 조건이요. 단위행렬 E의 실수배인 행렬이 아니라는 조건이요.

케일리-해밀턴 정리의 역을 이용해서 문제를 풀려면 행렬 A ≠ kE인지 아닌지 확인하고 문제를 푸세요.

문제를 다시 풀어보죠.

ⅰ) A ≠ kE일 때: 케일리-해밀턴 정리를 이용해서 풀이

-(a + a) = -4 → a = 2
a² - b² = 3 → b = ±1

또는

ⅱ) A = kE일 때: 행렬을 계산식에 직접 대입해서 풀이

a² - 4a + 3 = 0
(a - 3)(a - 1) = 0
a = 3 or 1

또는

총 네 개의 행렬 A를 구했네요.

이 문제는 케일리-해밀턴 정리의 역이 성립하지 않는다는 것과 A = kE, A ≠ kE 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어야 한다는 걸 설명하기 위해서 낸 문제에요. 실제로는 이렇게 답이 여러 개인 문제는 나오지 않아요. 대게 행렬 A의 성분 중 한두 개 정도를 알려주는데 성분을 보면 A = kE인지 아닌지를 확인할 수 있어요.

이 문제를 풀었던 이유와 방법을 잘 이해하세요.

2차 정사각행렬 에 대하여 A⁴ - 5A³ - 2A² + A를 구하여라.

일단 행렬 A를 케일리-해밀턴 공식에 넣어보죠.
A² - 5A - 2E = O

A⁴ - 5A³ - 2A² + A
= A²(A² - 5A - 2E) + A
= A²O + A
= O + A
= A

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.
이 정리의 역은 성립하지 않는다.
A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)

정리해볼까요

케일리-해밀턴 정리

2차 정사각행렬 에 대하여 A² - (a + d)A + (ad - bc)E = O가 성립한다.
이 정리의 역은 성립하지 않는다.
A = kE일 때와 A ≠ kE일 때로 나누어 문제를 푼다.(k는 실수)

행렬의 곱셈에 대한 항등원

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역행렬

그리드형

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행렬의 곱셈 방법에 대해 알아봤으니 이제 행렬의 곱셈에 대한 성질을 알아볼 차례에요. 덧셈, 곱셈에 대한 성질은 자리를 바꿔도 되는 교환법칙, 연산 순서를 바꿔도 되는 결합법칙, 괄호를 풀 수 있는 분배법칙이 대표적이죠. 행렬의 곱셈에서 이 세 가지 법칙이 어떻게 적용되는지 알아볼 거예요.

그리고 일반적으로 수와 다항식에서 사용했던 곱셈에 대한 성질이 행렬의 곱셈에 대해서도 똑같이 성립하는지도 알아볼 거고요. 수와 다항식, 행렬에서의 곱셈에 대한 성질 중에 같은 것과 다른 것을 구별하고 왜 다른지도 이해할 수 있도록 하세요.

행렬의 곱셈에 대한 성질

행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬의 덧셈에는 교환법칙, 결합법칙이 성립한다는 걸 공부했어요. 분배법칙은 곱셈과 덧셈을 함께 해야 하니까 여기서 다루기로 하죠.

세 행렬 A, B, C가 있어요. 행렬 A = 2 × 3 행렬, 행렬 B는 3 × 2 행렬, C는 2 × 2 행렬이라고 해보죠.

계산을 해보면 AB는 2 × 2 행렬이 될 거고, BA는 3 × 3 행렬이 돼요. AB ≠ BA죠? 즉 행렬의 곱셈에서는 교환법칙은 성립하지 않아요.

결합법칙은 성립해요. (AB)C = A(BC) 실제로 해보면 결과가 같다는 걸 알 수 있는데 너무 길어질 것 같으니까 생략할게요.

분배법칙도 성립해요. A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. 역시 생략하죠.

k가 실수이면 kAB = (kA)B = k(AB) = A(kB)도 성립해요. 행렬의 실수배에 대한 성질과 관련지어서 생각해보세요.

행렬의 곱셈에 대한 성질과 수, 다항식에서의 곱셈에 대한 성질 비교

곱셈에 대한 성질이 행렬과 수, 다항식에서 모두 똑같이 적용되는 게 아니에요. 위에서 알아봤듯이 행렬에서는 교환법칙이 성립하지 않아요.

곱셈공식에서 (a + b)² = a² + 2ab + b²가 될 수 있었던 건 ab = ba였기 때문이에요. 그런데 행렬에서 (A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + AB + BA + B²이에요. AB ≠ BA이므로 A² + 2AB + B²이 될 수 없어요.

또, 실수나 다항식에서는 ab = 0이면 a = 0 or b = 0이에요. 하지만 행렬에서는 그렇지 않은 경우도 있어요. 행렬에서는 0이 아니라 영행렬 O를 사용하니까 AB = O이라도 A ≠ O, B ≠ O일 수 있어요.

일 때를 보죠.

AB = O이지만 A ≠ O, B ≠ O이죠?

또 실수와 다항식에서는 a ≠ 0 일 때, ab = ac이면 b = c죠? 행렬에서는 A ≠ O 일 때, AB = AC이더라도 B ≠ C일 수 있어요.

일 때를 보죠.

A ≠ O이고 AB = AC이지만 B ≠ C에요.

일반적인 곱셈에 대한 성질들이 행렬에서는 적용되지 않는다는 걸 알 수 있어요. 이 차이를 잘 알아두세요.

위 내용을 표로 정리해보죠.

행렬과 수, 다항식의 곱셈에 대한 성질 비교
		행렬	수, 다항식
같은 점	결합법칙	(AB)C = A(BC)	(ab)c = a(bc)
	분배법칙	A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC	a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc
	실수의 곱	k(AB) = (kA)B = A(kB)	k(ab) = (ka)b = a(kb)
다른 점	교환법칙	AB ≠ BA	ab = ba
		AB = O이어도 A = O or B = O이 성립하지 않음.	ab = 0이면 a = 0 or b = 0
		A ≠ O일 때, AB = AC여도 B = C이 성립하지 않음.	a ≠ 0일 때, ab = ac이면 b = c

정리해볼까요

행렬의 곱셈에 대한 성질

교환법칙 성립안함.: AB ≠ BA
결합법칙 성립: (AB)C = A(BC)
분배법칙 성립: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
실수의 곱: (kA)B = k(AB) = A(kB)
AB = O일 때, A = O or B = O이 성립하지 않음.
A ≠ O일 때, AB = AC여도 B = C이 성립하지 않음.

행렬의 곱셈, 행렬의 거듭제곱

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단위행렬

그리드형

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행렬의 곱셈은 행렬의 실수배에 비하면 훨씬 어려워요. 행렬을 곱할 수 있는 조건이 있어 이 조건을 만족하지 않으면 곱셈을 하지 못하는 경우도 있어요.

게다가 계산방식도 매우 까다롭죠. 도형 문제처럼 행렬을 그리고 자리와 위치를 이용해서 계산 방식을 이해하도록 노력하세요. 행렬의 곱셈 계산은 연습을 많이 해봐야 해요. 교과서나 문제집에 있는 문제를 많이 풀어보세요.

또, 행렬도 숫자나 문자처럼 거듭제곱으로 나타낼 수 있는데 어떤 경우에 어떻게 나타내는지 알아보죠.

행렬의 곱셈

두 행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같을 때, 행렬A의 제i행의 각 성분과 행렬 B의 제j열의 각 성분을 그 순서대로 곱하여 더한 것을 (i , j)성분으로 하는 행렬을 두 행렬 A와 B의 곱이라 하고 기호로 AB와 같이 나타내요.

행렬의 곱셈

그림에서 보면 행렬 A는 m × k 행렬이고 행렬 B는 k × n 행렬이에요. (행렬 A의 열의 개수 k) = (행렬 B의 행의 개수 k)이므로 두 행렬을 곱할 수 있어요. 행렬 A와 행렬 B를 곱한 결과인 행렬 AB는 m × n행렬이에요. × 기호의 앞에 있는 행렬의 행의 개수와 × 기호 뒤에 있는 행렬의 열의 개수를 따르죠.

그럼 반대로 B × A를 구할 수 있을까요? ×기호 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 두 행렬을 곱할 수 있어요.

B는 k × n 행렬이고 A는 m × k 행렬로 (B의 열의 개수 n) ≠ (A의 행의 개수 m)이므로 이 경우에 BA라는 행렬을 얻을 수는 없습니다.

A × B를 구해보죠.

A는 2 × 3 행렬, B는 3 × 2 행렬이므로 AB는 2 × 2 행렬이에요. 각 성분을 구해볼까요?

행렬의 곱셈 2

선으로 연결된 것끼리 곱한 값들을 더해요. 이런 과정을 반복하는 거죠.

행렬 AB의 (1, 1) 성분은 행렬 A의 제1행 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁

행렬 AB의 (1, 2) 성분은 행렬 A의 제1행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂

행렬 AB의 (2, 1) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제1열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁

행렬 AB의 (2, 2) 성분은 행렬 A의 제2행의 성분과 행렬 B의 제2열 성분들을 곱해서 더한 값이에요.
a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂

정리해보죠.

좀 복잡해 보이죠? 문자로 되어있어서 그렇지 문제에는 숫자로 나오니까 실제로 해보면 이보다는 조금 더 쉬워요.

행렬의 곱셈
(× 기호 앞의 행렬의 열의 개수) = (× 뒤에 있는 행렬의 행의 개수)일 때만 곱셈 가능
(×) 기호 앞에 있는 행렬의 제i행과 (×) 기호 뒤에 있는 행렬의 제j열의 성분을 차례대로 곱하여 더한 값이 (i, j)성분

행렬의 거듭제곱

숫자와 문자의 거듭제곱처럼 행렬 A를 여러 번 곱하는 걸 행렬의 거듭제곱이라고 해요. 행렬의 거듭제곱도 지수를 이용해서 표현하지요.

2 × 2 = 2²
a × a = a²
A × A = A²

여기서 한 가지 알아둘 게 있어요.

A² = A × A에서 × 앞에 있는 행렬의 열의 개수와 × 뒤에 있는 행렬의 행의 개수가 같아야 행렬의 곱셈을 할 수 있어요. 여기서는 같은 행렬을 곱하므로 결국 이 행렬은 행의 개수와 열의 개수가 같은 정사각행렬이라는 걸 알 수 있어요.

즉, 행렬의 거듭제곱은 정사각행렬에서만 정의할 수 있다는 얘기예요.

행렬의 거듭제곱
정사각행렬만
지수를 이용해서 표현. A², A³, …

일 때, 행렬의 곱셈을 할 수 있는 것과 없는 것을 나누고 행렬의 곱셈을 할 수 있으면 곱한 결과를 구하여라.
(1) A × B
(2) B × A
(3) A²
(4) B²

(1) A는 2 × 2 행렬, B는 2 × 3 행렬로 곱한 결과는 2 × 3 행렬이 되겠네요.

(2) B는 2 × 3 행렬, A는 2 × 2 행렬로 (앞에 있는 행렬의 열의 개수 3) ≠ (뒤에 있는 행렬의 행의 개수 2)로 행렬의 곱셈을 할 수 없어요.

(3) A는 2 × 2의 정사각행렬이므로 거듭제곱을 할 수 있어요.

(4) B는 2 × 3 행렬로 정사각행렬이 아니므로 거듭제곱을 할 수 없어요.

정리해볼까요

행렬의 곱셈

(× 기호 앞의 행렬의 열의 개수) = (× 뒤에 있는 행렬의 행의 개수)일 때만 곱셈 가능
(×) 기호 앞에 있는 행렬의 제i행과 (×) 기호 뒤에 있는 행렬의 제j열의 성분을 차례대로 곱하여 더한 값이 (i, j)성분

행렬의 거듭제곱

정사각행렬만
지수를 이용해서 표현. A², A³, …

행렬의 실수배, 행렬의 실수배에 대한 성질

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행렬의 곱셈에 대한 성질

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행렬의 실수배는 이름 그대로 행렬에 실수를 곱한 거예요. 그냥 곱하기라서 굉장히 쉬워요. 이제까지 해왔던 다항식과 숫자의 곱과 아주 많이 비슷하니까 특별히 더 공부할 것도 없어요.

행렬의 실수배에 대한 성질에 대해서도 알아볼 거예요. 성질이라고 해서 외울 필요는 없고 그냥 계산하다 보면 자연스럽게 익히게 될 거예요.

행렬의 실수배는 그냥 숫자와 행렬을 곱하는 거라서 앞으로 공부할 행렬끼리 곱하는 것과 차이가 있으니 잘 구별하세요.

행렬의 실수배

행렬 A의 각 성분에 실수 k를 곱한 것을 각 성분으로 하는 행렬을 행렬 A의 k배라고 하고 기호로 kA로 나타내요. kA 사이에는 곱셈기호가 생략되어 있고요.

이고 k가 실수일 때

행렬을 다항식이라고 생각하면 행렬 앞의 괄호를 그냥 다항식에서의 괄호라고 여기고 괄호 앞에 실수 k가 있다고 할 수 있어요. 그리고 마치 분배법칙처럼 괄호 앞의 k를 괄호 안의 모든 성분에 곱해주는 거죠.

행렬의 실수배

행렬의 실수배에 대한 성질

행렬의 실수배는 다음과 같은 성질을 가져요.

행렬 A, B가 같은 꼴이고, k, l이 실수일 때
1A = A, (-1)A = -A
0A = O, kO = O
k(lA) = (kl)A
(k + l)A = kA + lA
k(A + B) = kA + kB

첫 번째는 1과 (-1)을 곱하는 거네요.

두 번째는 행렬 A의 모든 성분에 0을 곱하니까 모든 성분이 0이 되어 영행렬 O가 되는 거고요. 영행렬의 모든 성분은 0이니까 어떤 실수를 곱해도 그대로 0이라서 그 결과도 영행렬이 되지요.

세 번째는 실수의 결합법칙이 그대로 적용된다는 뜻이에요.

네 번째, 다섯 번째만 증명해볼까요? 이라고 해보죠.

∴ (k + l)A = kA + lA

∴ k(A + B) = kA + kB

일 때 다음을 구하여라.
(1) 2(A + B) - B
(2) 2(A - 2B) + 3(2A + B)

주어진 식을 먼저 간단히 한 후에 행렬을 대입해야 해요.

(1)

(2)

정리해볼까요

행렬의 실수배: 이고 k가 실수일 때

행렬의 실수배에 대한 성질: A, B가 같은 꼴이고, k, l이 실수일 때

1A = A, (-1)A = -A
0A = O, kO = O
(k)lA = (kl)A
(k + l)A = kA + lA
k(A + B) = kA + kB

영행렬, 행렬의 항등원과 역원

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행렬의 곱셈

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실수에서 항등원과 역원이 있었죠? 항등원은 계산한 결과가 자기 자신이 나오게 하는 걸 말하고 역원은 계산한 결과가 항등원이 나오는 걸 말해요. 행렬에도 항등원과 역원이 있는데 이글에서는 덧셈에 대한 항등원과 역원을 알아보죠.

그리고 영행렬이라는 용어도 공부할 건데 영행렬이 무엇인지 어떤 특징을 가졌는지도 이해해두세요.

참고로 실수에서도 뺄셈에서는 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 뺄셈에 대한 항등원과 역원은 없었듯이 행렬에서도 뺄셈에 대한 항등원과 역원은 다루지 않아요.

행렬의 덧셈에 대한 항등원과 역원

행렬에서 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬이라고 하고 알파벳 O로 나타내요.

일 때

A + O = A에요.

행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬에서는 덧셈에 대한 교환법칙이 성립해요.

A + O = O + A = A

즉 영행렬 O는 행렬 A의 덧셈에 대한 항등원이 되는 걸 알 수 있어요. 영행렬은 숫자 0이 모인 거니까 실제로도 숫자에서 0의 역할과 비슷하죠.

행렬 에서 모든 성분의 부호를 (-)로 바꾼 을 -A라고 해요. 두 행렬을 더해보죠.

A + (-A) = O인데, 행렬의 덧셈에 대한 성질에서 행렬에서는 덧셈에 대한 교환법칙이 성립하므로

A + (-A) = (-A) + A = O

즉 행렬 -A는 행렬 A의 덧셈에 대한 역원이 되는 걸 알 수 있어요.

행렬의 덧셈에 대한 항등원과 역원
행렬 A와 행렬 O가 같은 꼴일 때
A + O = O + A = A → O는 덧셈에 대한 항등원
A + (-A) = (-A) + A = O → -A는 A의 덧셈에 대한 역원

행렬 에 대하여 A + X = O를 만족할 때 행렬 X를 구하여라.

두 행렬을 더했는데 영행렬 O가 나왔다는 말은 두 행렬이 서로 덧셈에 대한 역원이라는 말이죠? 덧셈에 대한 역원은 행렬의 성분의 부호만 반대로 바꿔주면 돼요.

X = -A

정리해볼까요

행렬의 덧셈에 대한 항등원과 역원

영행렬: 행렬의 성분이 모두 0인 행렬. O
O는 덧셈에 대한 항등원: A + O = O + A = A
→ -A =
-A는 행렬 A의 덧셈에 대한 역원: A + (-A) = (-A) + A = O

행렬의 덧셈과 뺄셈, 덧셈에 대한 성질

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행렬의 실수배

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행렬도 숫자처럼 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어요. 기본적으로 행렬은 숫자와 문자를 모아놓은 거예요. 따라서 행렬의 덧셈과 뺄셈도 실수의 덧셈과 뺄셈의 속성을 따릅니다.

물론 행렬 자체가 가지는 특징도 있으니 완전히 같지는 않죠. 어떤 부분에서 실수의 덧셈과 뺄셈과 같은지 어떤 부분이 다른지 알아보죠.

실수의 덧셈에서 성립했던 두 가지 법칙이 있었어요. 교환법칙과 결합법칙이죠. 이 두 법칙이 행렬의 덧셈에서도 성립하는지 알아보죠.

행렬의 덧셈과 뺄셈

행렬도 숫자처럼 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어요. 그런데 한 가지 조건이 있어요. 바로 같은 꼴의 행렬일 때만 덧셈과 뺄셈을 할 수 있어요. 두 행렬 A, B가 있을 때 A가 3 × 2이라면 B도 3 × 2 행렬이어야 두 행렬을 더할 수 있는 거죠.

서로 같은 꼴이 아니면 덧셈과 뺄셈을 할 수 없어요.

덧셈은 +, 뺄셈은 기호 -를 사용하는데 행렬의 덧셈과 뺄셈에서도 같아요. 두 행렬 A, B를 더하는 건 A + B, 두 행렬을 빼는 건 A - B라고 써요.

행렬의 덧셈과 뺄셈을 한 결과도 행렬이에요.

두 행렬을 더할 때는 서로 같은 성분끼리 더해요. 행렬 A의 (1, 2) 성분과 행렬 B의 (1, 2) 성분을 더한 결과가 A + B 행렬의 (1, 2) 성분이 되는 거예요. 뺄셈도 마찬가지고요.

행렬의 덧셈과 뺄셈
두 행렬 A, B가 서로 같은 꼴일 때
서로 같은 위치에 있는 성분끼리 +, -
일 때

두 행렬 에 대하여 A + X = B가 성립할 때 행렬 X를 구하여라.

일단 덧셈을 했으니까 행렬 X는 2 × 2행렬이에요. 각 성분을 모르니까 a, b, c, d라고 해보죠.

3 + a = 5 → a = 2
-1 + b = 6 → b = 7
4 + c = 10 → c = 6
2 + d = 3 → d = 1

행렬

참고로 행렬에서도 이항이 성립해요.

A + X = B
X = B - A

위 방법을 이용해서 X를 구할 수 있어요.

행렬의 덧셈에 대한 성질

실수에서 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙이 성립하죠? 행렬의 덧셈에서도 교환법칙과 결합법칙이 성립해요. 실수에서와 마찬가지로 행렬의 뺄셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않고요.

행렬의 덧셈에 대한 성질
행렬 A, B, C가 같은 꼴일 때
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)

2 × 2 행렬 A, B에 대하여 A + B = B + A임을 보여라.

행렬 A, B를 아래와 같다고 해보죠.

풀이 중에 있는 덧셈에 대한 교환법칙은 행렬에서의 교환법칙이아니라 성분을 이루고 있는 실수에서의 교환법칙이에요.

결합법칙이 성립하는지는 직접 한 번 해보세요.

함께 보면 좋은 글

행렬의 성분, 두 행렬이 서로 같을 조건
행렬, 행렬의 뜻, 정사각행렬

정리해볼까요

행렬의 덧셈과 뺄셈

두 행렬 A, B가 서로 같은 꼴일 때
서로 같은 위치에 있는 성분끼리 +, -
일 때

행렬의 덧셈에 대한 성질: 행렬 A, B, C가 같은 꼴일 때

A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)

두 행렬이 서로 같을 조건

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영핼렬, 행열의 덧셈에 대한 항등원과 역원

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행렬의 뜻에 대해서 알아봤는데 이제는 조금 더 자세히 공부해보죠.

숫자나 문자를 직사각형 모양으로 배열하고 양쪽을 괄호로 묶어서 나타낸 것을 행렬이라고 하고 행렬을 이루는 숫자나 문자를 행렬의 성분이라고 해요. 이 글에서는 행렬의 성분을 여러 가지 방법으로 나타나는 법을 알아볼 거예요.

두 개의 행렬이 있을 때 두 행렬이 서로 같을 조건은 어떤 것인지 알아보죠. 두 행렬이 서로 같을 조건을 이용해서 문제도 풀어볼 거예요. 어떤 조건을 만족할 때 두 행렬이 서로 같을 수 있는지 기억해 두세요.

행렬의 성분

집합에서 집합은 알파벳 대문자로 나타내고, 원소는 알파벳 소문자로 나타내죠? 이처럼 행렬도 알파벳 대문자 A, B, C, … 를 써서 나타내고 행렬의 성분은 알파벳 소문자 a, b, c, … 를 이용해서 나타내요.

행렬 A의 제i행과 제j열이 만나는 곳의 성분을 행렬 A의 (i, j)성분이라고 하고 기호로는 a_ij라고 써요. 읽을 때는 알파벳 그대로 a i j (에이 아이 제이)로 읽고요.

제1행 제2열의 성분은 a₁₂, 제3행 제5열의 성분은 a₃₅로 쓰지요.

행렬의 성분

때로 행렬을 A = (a_ij)로 나타내기도 해요. 이때는 i와 j에 해당하는 값을 함께 적어줍니다.

A = (a_ij) (i = 1, 2, 3, j = 1, 2)

i = 1, 2, 3은 i가 1, 2, 3이 될 수 있다는 말로 행렬 A가 제3행까지 있다는 뜻이에요. j = 1, 2는 j가 1, 2가 될 수 있다는 얘기로 행렬 A가 제2열까지 있다는 뜻이고요. 즉 3 × 2 행렬이라는 얘기죠.

3 × 2 행렬 A의 (i, j) 성분 a_ij = i +2j - 3일 때 행렬 A를 구하여라

3 × 2 행렬이니까 i = 1, 2, 3, j = 1, 2에요. 대입해보죠.

(1, 1) 성분 a₁₁ = 1 + 2 × 1 - 3 = 0
(1, 2) 성분 a₁₂ = 1 + 2 × 2 - 3 = 2
(2, 1) 성분 a₂₁ = 2 + 2 × 1 - 3 = 1
(2, 2) 성분 a₂₂ = 2 + 2 × 2 - 3 = 3
(3, 1) 성분 a₃₁ = 3 + 2 × 1 - 3 = 2
(3, 2) 성분 a₃₂ = 3 + 2 × 2 - 3 = 4