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보통 도형에서의 위치관계는 수직, 평행 등을 묻는데 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 그런 게 아니에요. 교점이 몇 개 생기느냐를 말하죠. 앞서 했던 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근의 내용과 비슷하니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 거의 한 쌍둥이라고 할 수 있어요.

이차함수 그래프의 대략적인 모습과 직선을 그리면 조금 더 쉽게 이해할 수 있으니까 그림도 함께 외우세요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서 했던 내용을 살짝만 바꾸면 돼요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 그래프와 x축의 교점의 x 좌표
    = 이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

중학교 2학년 때 직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식에 대해서 잠깐 공부한 적이 있어요. x축은 식으로 나타내면 y = 0이라는 직선의 방정식으로 나타낼 수 있죠? x축도 직선이니까 이걸 확장하면 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 구할 수 있는 거죠.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)와 x축이 몇 개의 교점을 가지느냐를 알아볼 때 어떻게 했나요? x축이 y = 0이니까 이걸 이차함수 식에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식 D의 부호를 구했죠? D > 0이면 교점이 2개, D = 0이면 교점이 1개, D < 0이면 교점이 0개예요.

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)와 직선 y = mx + n 사이의 관계를 구할 때도 똑같아요. 직선 y = mx + n를 이차함수 y = ax² + bx + c에 대입해서 이차방정식을 만들고, 판별식의 부호를 구하면 교점의 개수를 알 수 있어요.

ax² + bx + c = mx + n
ax² + (b - m)x + c - n = 0

위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 서로 같은 두 실근(중근) ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)
D < 0 ⇔ 서로 다른 두 허근 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.

이차함수의 그래프와 직선 둘 다좌표평면 위에 있어서 실수 범위에서만 다루기니까 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.

위 내용을 표로 정리해 볼게요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계 → ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용
판별식	D > 0	D = 0	D < 0
위치관계	서로 다른 두 점에서 만난다.	한 점에서 만난다. (접한다.)	만나지 않는다.
그래프
교점의 개수	2개	1개	0개

표에서는 a > 0일 때의 그래프만 그렸는데, a < 0이면 그래프가 위로 볼록이니까 그림을 180° 뒤집으면 돼요.

이차함수 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접하고, 기울기가 1인 직선의 방정식을 구하여라.

기울기가 1이라고 했으니까 직선은 y = x + b가 되겠네요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.

이 직선이 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.

x² + 3x - 3 = x + b
x² + 2x - 3 - b = 0

D/4 = 1² - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4

따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.

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일차함수와 직선의 방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이차함수도 방정식으로 바꿀 수 있어요. 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차방정식과 일차방정식의 관계로 바꿀 수 있죠. 이 관계를 이용해서 둘의 위치관계를 구해요.

이런 방법은 원과 직선의 위치관계에서도 했던 방법이에요. 일차식을 이차식에 대입한 다음에 판별식을 이용하는 거죠. 원의 방정식이 이차함수로 바꿨다는 것만 다르고 나머지는 똑같으니까 별로 어렵지 않을 거예요.

그래프를 그리지 않고 식만 보고 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 파악할 수 있도록 해보세요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 원과 직선의 위치관계에서 했던 방법을 그대로 가져다 쓰면 돼요.

이차함수 y = ax² + bx + c는 ax² + bx + c - y = 0이라는 식으로 바꿀 수 있고, 이건 x 관한 이차방정식이죠? y = mx + n은 mx + n - y = 0으로 바꿀 수 있고, 이건 일차방정식이에요. 이 둘을 연립하면 연립이차방정식의 풀이에 따라 해를 구할 수 있어요. 하지만 위치관계에서는 해가 중요한 게 아니고 해의 개수가 중요해요.

이차함수 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)와 직선 y = mx + n을 연립해서 푼 해가 바로 그래프에서의 교점이에요. 해가 2개이면 교점이 2개, 해가 하나이면 교점도 하나죠.

ax² + bx + c = mx + n
ax² + (b - m)x + c - n = 0

연립하면 위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 해가 2개 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 해가 1개 ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다.(접한다.)
D < 0 ⇔ 허근 ⇔ 해가 0개 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.

실수 범위에서만 다루기때문에 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.

위 내용을 표로 정리해 볼게요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계 → ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용
판별식	D > 0	D = 0	D < 0
위치관계	서로 다른 두 점에서 만난다.	한 점에서 만난다.(접한다.)	만나지 않는다.
그래프
교점의 개수	2개	1개	0개

x² + 3x - 3의 그래프와 접하고, y = x + 1과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 서로 평행한 직선은 기울기가 같아요. y = x + 1과 평행하다고 했으니 구하는 직선은 y = x + b가 되겠네요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.

이 직선이 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.

x² + 3x - 3 = x + b
x² + 2x - 3 - b = 0

D/4 = 1² - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4

따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.

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원의 접선의 방정식 세 번째에요. 이번에는 원 밖의 한 점에서 원에 그은 접선의 방정식이에요. 원 안에서는 원에 접선을 그을 수는 없으니까 당연히 원 밖의 한 점이어야겠죠?

여기서는 공식이 나오지 않아요. 게다가 접선의 방정식을 구하는 방법도 기울기를 알 때 접선의 방정식에서 했던 방법을 그대로 사용하니까 이해하기 쉬울 거예요. 대신 계산이 조금 복잡한데 문제에서는 계산하기 쉽게 식을 간단하게 주니까 많이 어렵지는 않을 거예요.

앞에서 충분히 했던 내용이니까 나머지는 그대도 하면 되고, 핵심적인 내용 딱 한 가지만 기억하세요.

원의 접선의 방정식 3 - 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식

원 밖의 한 점 P(x₁, y₁)에서 원 (x - a)² + (y - b)² = r²에 그은 접선의 방정식을 구하는 건데 다른 말로는 점 P(x₁, y₁)을 지나고 원 (x - a)² + (y - b)² = r²에 접하는 직선의 방정식이라고도 표현해요. 직선이 2개가 생기죠?

이 직선의 기울기를 아직 모르는데 m이라고 가정해 볼게요. 이게 이 글의 핵심이에요. 기울기를 m으로 놓는 거요. 그럼 우리가 구하려고 하는 접선의 방정식은 기울기가 m이고 점 P(x₁, y₁)을 지나는 직선이에요. 직선의 방정식 구하기에서 해봤죠?

y - y₁ = m(x - x₁)

이 직선에서 m을 구하면 식이 완성돼요. m을 구하는 방법은 두 가지에요. 원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때 접선의 방정식에서 했던 방법 두 가지와 같아요. 판별식 D를 이용하는 방법과 (원의 중심과 직선 사이의 거리) = (반지름)을 이용하는 방법이요.

위의 직선을 y에 관해서 정리하면 표준형으로 바꿀 수 있어요. y = m(x - x₁) + y₁

이렇게 y에 관해서 정리한 식을 원의 방정식 (x - a)² + (y - b)² = r²에 대입하면 x에 관한 이차방정식이 되고, 여기서 판별식 D = 0일 때, m을 구하면 돼요.

위의 직선을 일반형으로 바꿔보세요. mx - y - mx₁ + y₁ = 0

원의 중심 (a, b)에서 접선 mx - y - mx₁ + y₁ = 0까지의 거리가 반지름 r과 같다는 것을 이용해서 m을 구할 수도 있어요.

원 밖의 한 점(x₁, y₁)에서 원 (x - a)² + (y - b)² = r²에 그은 접선의 방정식
기울기를 m이라고 가정하고 y - y₁ = m(x - x₁)이라는 식을 세운다.
(1) y - y₁ = m(x - x₁)을 원의 방정식에 대입하여 판별식 D = 0 이용하여 m을 구하거나
(2) 원의 중심(a, b)에서 직선까지의 거리 = 반지름을 이용하여 m을 구한다.

(0, 4)를 지나고 x² + y² = 9에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.

한 점을 지나고 원에 접하는 직선의 방정식이 바로 한 점에서 그은 접선의 방정식이에요. 같은 말이니까 헷갈리지 마세요.

직선의 방정식의 기울기를 m이라고 가정하면 이 직선이 (0, 4)를 지나니까 식을 세울 수 있어요.
y - 4 = m(x - 0)
y = mx + 4

이 식을 원의 방정식에 대입해보죠.
x² + (mx + 4)² = 9
x² + m²x² + 8mx + 16 - 9 = 0
(m² + 1)x² + 8mx + 7 = 0

D/4 = (4m)² - (m² + 1) × 7 = 0
16m² - 7m² - 7 = 0
9m² = 7
m² =
m = ±

답은 y = ±x + 4

이번에는 판별식이 아니라 원의 중심에서 접선까지의 거리를 이용해서 구해볼까요?

y = mx + 4
mx - y + 4 = 0

원의 중심은 (0, 0)이고 반지름은 3, 접선의 방정식은 mx - y + 4 = 0이에요.

y = ±x + 4로 답이 같죠?

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원의 접선의 방정식 두 번째입니다. 기울기를 알 때에요. 기울기를 알고 있으니까 이미 직선의 방정식의 절반을 알고 있는 거예요. y = mx + n꼴에서 기울기 m을 알고 있으니 y절편 n만 구하면 되겠네요.

원과 직선이 접한다는 건 한 점에서 만난다는 것이고 이는 원과 직선의 위치관계에 했던 내용이에요. 한 점에서 만나는 조건들이 있었는데 이 조건을 이용해서 원의 접선의 방정식을 구할 거예요.

원의 접선의 방정식을 구하는 공식이 나오는데, 외우기 어렵다면 원과 직선의 위치관계를 구하는 과정을 이용해서 문제를 풀어도 좋아요.

원의 접선의 방정식 - 기울기를 알 때

(x - a)² + (y - b)² = r²에 접하고 기울기가 m인 접선을 구해보죠.

원과 직선의 위치관계에서 원과 직선이 한 점에서 만날 때 판별식 D = 0이거나 (원의 중심에서 접선까지의 거리) = (반지름)인 관계가 있다고 했어요. 이를 이용해서 접선의 방정식을 구해요.

위 그림에 보면 접선의 방정식이 2개가 그려져 있어요. 기울기는 같고 y절편만 다른 두 개의 접선의 방정식이 생기기 때문이에요. 이 두 개를 모두 구해야 합니다.

판별식 D를 이용

먼저 x² + y² = r²에 접하는 접선의 방정식을 구해보죠. 접선의 방정식을 y = mx + k라고 하고 이 방정식을 원의 방정식에 대입해서 정리해서 D를 구해볼까요?

x² + y² = r²
x² + (mx + k)² = r²
x² + m²x² + 2mkx + k² = r²
(m² + 1)x² + 2mkx + k² - r² = 0

D/4 = m²k² - (m² + 1)(k² - r²) = 0
m²k² - m²k² + m²r² - k² + r² = 0
m²r² - k² + r² = 0
k² = m²r² + r²
k² = r²(m² + 1)
k = ±r

x² + y² = r²에 접하는 접선의 방정식은 y = mx ±r이에요.

이차함수 그래프, y = (x - p)² + q는 y = x²의 그래프를 x축으로 p만큼 이동해서 x 대신 x - p를, y축으로 q만큼 이동해서 y 대신 y - q를 넣어 준거라고 했어요. 꼭짓점이 (0, 0)에서 (p, q)로 이동했잖아요. 원의 방정식 (x - a)² + (y - b)² = r²은 x² + y² = r²을 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 이동한 원의 방정식이에요. 원의 중심이 (0, 0)에서 (a, b)로 이동했어요. 그래서 접선의 방정식도 x 대신 x - a, y대신 y - b를 넣어주면 돼요.

(x - a)² + (y - b)² = r²의 제곱에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식은 y = mx ± r에 x 대신 x - a, y 대신 y - b를 넣어준 y - b = m(x - a) ± r이 됩니다.

원의 중심과 접선까지의 거리 이용

x² + y² = r²의 중심에서 y = mx + k까지의 거리는 반지름 r과 같아요.

원의 중심 (0, 0)
y = mx + k → mx - y + k = 0

점과 직선 사이의 거리 공식에 대입해보죠.

따라서 y = mx ± r이죠.

위와 같은 이유로 x축으로 a만큼 이동하며 x 대신 x - a를, y축으로 b만큼 이동하면 y 대신 y - b를 대입해요.

x² + y² = r²의 접선의 방정식은 y = mx ± r
(x - a)² + (y - b)² = r²의 접선의 방정식 y - b = m(x - a) ± r

기울기가 m인 원의 접선의 방정식
판별식 D를 이용: 접선의 방정식 표준형을 원의 방정식에 대입하고 D = 0이 되는 값을 구한다.
원의 중심에서 접선의 방정식까지의 거리 이용: (원의 중심에서 접선의 방정식까지의 거리) = (반지름 r) 이용
x² + y² = r²에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y = mx ± r
(x - a)² + (y - b)² = r²에 접하고 기울기가 m인 접선의 방정식: y - b = m(x - a) ± r

공식에서 (y - b)와 (x - a)는 원의 방정식에 있는 걸 그대로 가져다 쓰면 되니까 더 쉽죠?

다음을 구하여라.
(1) x² + y² = 16에 접하고 y = x - 1에 평행한 접선의 방정식
(2) (x - 1)² + (y + 2)² = 25에 접하고 기울기가 3인 접선의 방정식

(1) y = x - 1에 평행한 그래프니까 두 직선의 위치관계에 따라 기울기가 1이네요. y = x + k라고 해보죠.

x² + (x + k)² = 16
x² + x² + 2kx + k² - 16 = 0
2x² + 2kx + k² - 16 = 0
D/4 = k² - 2(k² - 16) = 0
k² - 2k² + 32 = 0
k² = 32
k = ±
k = ±4

따라서 접선의 방정식은 y = x ± 4

(2)번은 공식에 대입해서 구해볼까요?

y - b = m(x - a) ± r
y + 2 = 3(x - 1) ± 5
y = 3x - 5 ± 5

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원 위의 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 거예요. 원과 직선이 만나는 한 점을 접점이라고 하고, 접점을 지나는 직선의 방정식이니까 원의 접선의 방정식이라고 해요.

접선의 방정식도 직선의 방정식의 한 종류니까 직선의 방정식 구하기를 이용하여 구합니다. 또 접선의 방정식은 원 위의 한 점을 지나니까 이를 이용하기도 하고요.

접선의 방정식을 구하는 경우는 여러 가지가 있지만, 이 글에서는 접점의 좌표를 알 때 접선의 방정식 구하는 방법을 알아볼 거예요.

원의 접선의 방정식, 접점을 알 때 접선의 방정식

원의 방정식 (x - a)² + (y - b)² = r²위의 한 점에서 접하는 접선의 방정식 l을 구해보죠. 원의 중심을 C(a, b), 접점의 좌표를 P(x₁, y₁)라고 할게요.

원의 접선은 반지름에 수직이에요. 선분 CP가 반지름이므로 구하고자 하는 접선의 방정식 l과 수직이죠. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했죠? 직선 l의 기울기를 m이라고 해보죠.

직선 l은 기울기가 m이고, P(x₁, y₁)을 지나는 직선이니까 직선의 방정식 구하는 공식에 넣어보면
 ……… ①

일반적으로 기울기는 인데, 원의 접선의 방정식 l은 기울기는 거꾸로예요. 그리고 앞에 (-)가 붙고요.

①의 공식으로 접선의 방정식을 구할 수도 있지만 다른 공식이 또 있어요.

접점 P(x₁, y₁)는 원의 방정식 (x - a)² + (y - b)² = r²위의 접이기도 해요. (x₁, y₁)을 대입해보죠.
(x₁ - a)² + (y₁ - b)² = r² ……… ②

①, ②식을 각각 전개해서 더한 다음에 인수분해하면 아래 공식을 유도할 수 있어요. 유도 과정은 길어서 생략할게요.

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²

원래 원의 방정식은 (x - a)(x - a) + (y - b)(y - b) = r²인데, (x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²으로 바뀌었죠? x 하나가 x₁으로, y 하나가 y₁으로 바뀐 형태예요……

원의 접선의 방정식
(x - a)² + (y - b)² = r²위의 접점 P(x₁, y₁)을 지나는 접선의 방정식

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²

두 가지다 같은 결과가 나옵니다. 보통은 원의 방정식의 모양과 비슷해서 외우기 쉬운 두 번째를 많이 사용하는데, 본인이 외우기 쉬운 공식을 외우세요.

다음을 구하여라.
(1) (x - 2)² + (y + 1)² = 5 위의 점 (3, -3)에서의 접선의 방정식
(2) (x + 3)² + (y + 1)² = 50 위의 점 (4, -2)에서의 접선의 방정식
(3) x² + y² + 6x - 2y - 7 = 0위의 점 (-2, -3)에서의 접선의 방정식

(1) 번은 원의 중심이 (2, -1)이고 접점의 좌표는 (3, -3), r² = 5예요.

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²
(3 - 2)(x - 2) + (-3 + 1)(y + 1) = 5
x - 2 - 2y - 2 - 5 = 0
x - 2y - 9 = 0

어떤 공식을 이용하든 결과가 똑같죠?

(2) 원의 중심은 (-3, -1), 접점의 좌표는 (4, -2), r² = 50이네요.

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²
(4 + 3)(x + 3) + (-2 + 1)(y + 1) = 50
7x + 21 - y - 1 = 50
7x - y - 30 = 0

(3) 번은 먼저 표준형으로 바꿔야겠네요.
x² + y² + 6x - 2y - 7 = 0
x² + 6x + y² - 2y - 7 = 0
(x + 3)² + (y - 1)² - 7 - 9 - 1 = 0
(x + 3)² + (y - 1)² = 17

원의 중심이 (-3, 1)이고 접점의 좌표가 (-2, -3), r² = 17이군요.

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²
(-2 + 3)(x + 3) + (-3 - 1)(y - 1) = 17
x + 3 - 4y + 4 = 17
x - 4y - 10 = 0

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정리해볼까요

원의 접선의 방정식

(x - a)² + (y - b)² = r²위의 접점 P(x₁, y₁)을 지나는 접선의 방정식

(x₁ - a)(x - a) + (y₁ - b)(y - b) = r²

좌표평면 위의 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도해보고, 문제를 풀어볼 거예요. 공식의 유도과정이 조금 복잡하니까 집중해서 잘 보세요.

점과 직선 사이의 거리 공식을 유도할 때, 앞서 했던 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, 직선의 방정식 구하기, 두 직선의 위치관계 등을 총동원하니까 앞의 내용도 잘 기억하고 있어야 해요.

공식의 유도는 어렵지만, 공식 자체는 어렵지 않으니까 외우기 어렵지는 않을 거예요. 공식만 외우면 문제 푸는 건 쉽게 풀 수 있어요.

점과 직선 사이의 거리 공식

점 P(x₁, y₁)와 직선 ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0) 사이의 거리를 구해볼까요? 점 P에서 직선에 수선을 긋고 수선의 발을 H(x₂, y₂)라고 해보죠. 거리는 가장 가까운 직선의 길이와 같아요. 가장 가까운 직선은 수선이고요.

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)

직선 PH는 두 점 P(x₁, y₁)와 H(x₂, y₂)를 지나는 직선이에요. 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보면,

이번에는 ax + by + c = 0을 표준형으로 바꿔보죠.
y = -x -

직선 PH와 직선 ax + by + c = 0은 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.

- ×  = -1
a(y₂ - y₁) = b(x₂ - x₁)

 = k라고 놓으면
x₂ - x₁ = ak, y₂ - y₁ = bk ……… ①
x₂ = x₁ + ak, y₂ = y₁ + bk

H(x₂, y₂)는 ax + by + c = 0위의 점이므로
ax₂ + by₂ + c = 0
a(x₁ + ak) + b(y₁ + bk) + c = 0      (∵ ①)
ax₁ + a²k + by₁ + b²k + c = 0
(a² + b²)k + ax₁ + by₁ + c = 0
(a² + b²)k = -ax₁ - by₁ - c
k = - ……… ②

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 직선 PH의 길이를 구해보죠. 풀이 중간에 ①, ②를 이용할 거예요.

점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d

점 (2, 3)과 직선 3x + 4y - 3 = 0 사이의 거리를 구하여라.

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직선의 방정식을 구하는 마지막 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식이에요. 직선의 방정식 구하기에서는 기울기나 점의 좌표를 주고 직선의 방정식을 구하는 거였는데, 이제는 직선의 방정식을 두 개주고 이를 이용해서 새로운 직선의 방정식을 구해야 합니다.

사실 이 글에서 다룰 내용은 어렵지 않은데, 앞서 했던 내용과 섞여서 나오면 조금 어려워져요. 앞서 했던 직선의 방정식 구하기와 일반형으로 된 두 직선의 위치관계에 대해서 알고 있어야 해요.

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식

두 직선 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구해보죠.

먼저 결론부터 얘기할게요.

두 직선 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식
⇔ ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0
⇔ (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0

ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 교점의 좌표를 (p, q)라고 해보죠.

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이 교점 (p, q)를 지난다고 한다면 ap + bq + c + k(a'p + b'q + c') = 0가 되어야 해요.

그런데, ap + bq + c = 0, a'p + b'q + c' = 0이니까 실제로 식이 성립해요. k가 어떤 값을 가져도 상관없이 성립하죠? 이 식은 임의의 k에 대하여 항상 성립하는 항등식으로 (p, q)를 무조건 지나는 직선의 방정식이에요.

공식을 잘 보면 두 직선의 방정식을 알려줬을 때, 하나는 그대로 쓰고 다른 하나에 k를 곱해서 더한 게 0이 되는 거예요.

2x - y - 1 = 0, x - y - 3 = 0의 교점을 지나고 7x - 4y + 1 = 0과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선의 교점을 지나는 방정식은 (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0이에요.

2x - y - 1 + k(x - y - 3) = 0
2x - y - 1 + kx - ky - 3k = 0
(k + 2)x - (k + 1)y - 3k - 1 = 0

직선의 방정식을 먼저 구했는데 k를 모르니까 완전한 식이 아니죠? 이 식이 7x - 4y + 1 = 0과 평행하다고 했어요. 일반형으로 된 두 직선의 위치관계에서는 (x의 계수비) = (y의 계수비) ≠ (상수항의 비)여야 두 직선의 방정식이 평행이죠?

-4(k + 2) = -7(k + 1)
-4k - 8 = -7k - 7
3k = 1
k = 

k = 이면 상수항의 비가 x, y 계수비와 다르니까 평행이네요. k = 을 원래 식에 대입해보죠.

2x - y - 1 + (x - y - 3) = 0
6x - 3y - 3 + x - y - 3 = 0
7x - 4y - 6 = 0

한 정점을 지나는 직선의 방정식

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0처럼 생긴 직선이 꼭 지나는 점이 하나 있어요. k가 어떤 값을 가지든 상관없이 꼭 지나는 점이죠. 이 점의 좌표를 구해보죠.

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이 k와 상관없이 항상 같은 점을 지난다는 말은 k의 값에 상관없이 식이 항상 성립한다는 뜻이에요. 즉 k에 관한 항등식이라는 거지요.

항등식이 되려면 0k + 0 = 0꼴이 되어야 해요. 즉 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0이 되어야 하죠. 이건 직선의 방정식 두 개이기도 하지만 연립방정식이기도 하잖아요. 연립방정식의 해이자 두 직선의 교점이 바로 꼭 지나는 점이에요.

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0이 k와 관계없이 일정한 점을 지날 때, 이 점의 좌표를 구하여라.

k와 관계없이 지나는 한 점의 좌표에요. "k와 관계없이"니까 k에 관한 항등식이어야겠죠? k에 관해서 정리해보죠.

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0
kx - 2x + 3y - 2ky + 6 = 0
k(x - 2y) - (2x - 3y - 6) = 0

x - 2y = 0
x = 2y

2x - 3y - 6 = 0
4y - 3y - 6 = 0
y = 6
x = 12

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0이 k와 관계없이 지나는 점의 좌표는 (12, 6)이네요.

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두 직선의 위치관계 - 일반형

두 직선의 위치관계 2번째에요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서는 직선의 방정식 표준형에서 직선의 위치관계를 이번에는 직선의 방정식 일반형에서 직선의 위치관계를 알아볼 거예요. 기울기와 y절편을 이용해서 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는지 위치관계를 파악하는 거니까 별로 차이가 없어요.

직선의 방정식과 미지수가 2개인 일차방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이 둘 사이의 관계를 이용해서 두 직선의 위치관계와 연립방정식의 해의 개수 사이에 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요.

두 직선의 위치관계 - 일반형

ax + by + c = 0이라는 직선의 방정식이 있어요. 일반형이니까 표준형으로 바꿔보죠.

ax + by + c = 0
by = -ax - c
y = -x -

a'x + by' + c' = 0이라는 또 다른 직선의 방정식의 일반형도 표준형으로 바꿔보죠.

a'x + b'y + c' = 0
b'y = -a'x - c'
y = -x -

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서

기울기가 같고, y절편이 다르면 평행하죠.
- = - →  =  →  =
- ≠ - →   ≠  →  ≠

기울기가 같고, y절편이 같으면 일치라고 했어요.
- = - →  =  →  =
- = - →   =  →  =

기울기의 곱이 -1이면 수직이에요.

기울기가 다르면 한 점에서 만나죠.
- ≠ - →  ≠  →  ≠

앞으로는 일반형을 표준형으로 고치지 않고 계수의 비를 이용해서 위치관계를 파악할 수 있겠죠?

연립방정식의 해의 개수

미지수가 2개인 일차방정식은 직선의 방정식의 일반형과 모양이 같아요. 미지수가 2개인 직선의 방정식을 두 개 묶은 게 연립방정식이고 이 연립방정식의 해는 두 직선의 방정식의 교점이에요.

해가 1개이면 교점의 개수도 1개, 해가 없으면 교점도 없어요. 해가 무수히 많으면 교점도 무수히 많죠.

해가 특수한 연립방정식에서 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 해가 무수히 많을 때와 하나도 없을 때를 했었죠?

해가 무수히 많을 때: x, y, 상수항의 계수비가 같다.
⇔  =  =

해가 하나도 없을 때: x, y 계수비는 같고, 상수항의 비는 다르다.
⇔  =  ≠

직선의 방정식이 수직으로 만나는 것도 한 점에서 만나는 거니까 교점의 개수가 1개이고 이때 연립방정식의 해의 개수도 1개에요.

두 직선의 위치관계 - 일반형, 연립방정식

	ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0	연립방정식 근의 개수
평행	=  ≠	해가 없다.
일치	=  =	해가 무수히 많다
수직	aa' + bb' = 0	1개
한 점에서 만난다.	≠	1개

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우리 식을 얘기할 때 일반형, 표준형 이런 얘기하죠? 이차함수에서 y = ax² + bx + c를 이차함수 일반형, y = a(x - p)² + q를 표준형이라고 했잖아요. 일차방정식은 ax + b = 0, 이차방정식은 ax² + bx + c = 0 이렇게 썼어요.

직선의 방정식도 마찬가지로 일반형, 표준형이 있어요. 직선의 방정식의 일반형과 표준형을 알아볼텐데, 용어가 크게 중요한 게 아니니까 공식처럼 외우지 말고 그 의미를 잘 이해하세요. 그냥 단순한 용어 정리일 뿐이에요.

직선의 방정식의 일반형

미지수가 x, y 두 개인 일차방정식은 ax + by + c = 0으로 써요. 이 방정식을 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기에서 사용했던 y = ax + b 꼴로 한 번 바꿔보죠.

ax + by + c = 0
by = -ax - c

b ≠ 0이면 양변을 b로 나눌 수 있어요.

기울기는 , y절편은 에요.

이때 a = 0이면 y = 가 되서 x축에 평행한 직선이에요.

b = 0이면 양변을 b로 나눌 수 없지요.

0y = -ax - c
ax = -c
x =

양변을 a로 나눴더니 y축에 평행한 직선이 되는군요.

이때 a = 0이면 어떻게 될까요? b = a = 0이 되어서 c = 0이라는 아무 것도 아닌 게 되어버렸네요.

방정식. ax + by + c = 0

방정식 ax + by + c = 0	a ≠ 0	a = 0
b ≠ 0	기울기는 , y절편은	y = x축에 평행한 직선
b = 0	x = y축에 평행한 직선

모양을 바꾸고 나니 모두 직선이라는 것을 알 수 있죠?

보통 좌변에 모든 항을 이항하고 우변에 0만 있는 형태를 일반형이라고 해요. 미지수가 2개인 방정식은 미지수가 x, y이고 차수가 1인 방정식인데 그래프가 직선이죠? 그래서 ax + by + c = 0의 꼴을 직선의 방정식의 일반형이라고 해요.

모양을 바꿨던 y = ax + b꼴을 직선의 방정식의 표준형이라고 해요. 기울기와 x, y절편을 쉽게 알아볼 수 있는 형태지요.

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직선의 방정식은 중학교 때 공부했던 직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 살짝 다뤄본 적이 있어요. 일차함수 그래프의 모양이 평면좌표에서 직선이기 때문에 직선의 방정식이라고 한다고 했죠.

직선의 방정식 구하기는 일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기와 방법이 같아요. 다만 이제는 조금 더 세련된(?) 방법으로 직선의 방정식을 구할 수 있어요.

공식이 여러 개 나오는데 어떻게 공식이 유도되는지 잘 보고 잊어버리지 않도록 외워두세요.

직선의 방정식 구하기

직선의 방정식은 일차함수와 모양이 같아요. y = ax + b 꼴이죠. 그러니까 직선의 방정식을 구한다는 말은 a, b를 구한다는 것과 같아요. a는 기울기, b는 y절편이죠?

여러 경우에 a, b를 어떻게 구하는지 방법을 알아보죠.

기울기와 y절편이 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기

일차함수의 일반형 y = ax + b에서 기울기는 a, y절편이 b죠. 기울기와 y절편이 주어졌으면 이 내용을 거꾸로 해서 직선의 방정식을 바로 구할 수 있겠죠?

기울기가 m이고, y절편이 n인 직선의 방정식 ⇒ y = mx + n

기울기와 한 점의 좌표가 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기

y = ax + b에서 a를 알려준 거예요. 그럼 b만 구하면 되죠? 알려준 기울기가 m이고, 한 점의 좌표가 A(x₁, y₁)라고 한다면 이 식에 대입해서 b를 구할 수 있어요.

y = ax + b
y₁ = mx₁ + b             (∵ 기울기 m과 (x₁, y₁) 대입)
b = y₁ - mx₁

y = ax + b
y = mx + (y₁ - mx₁)   (∵ 기울기 m과 b = y₁ - mx₁ 대입)
y - y₁ = mx - mx₁
y - y₁ = m(x - x₁)

기울기가 m이고, 한 점(x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식 ⇒ y - y₁ = m(x - x₁)

두 점을 지나는 직선의 방정식 구하기

두 점의 좌표 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 알면 기울기를 구할 수 있어요.

m =

기울기를 구했네요. 그럼 기울기와 두 점의 좌표를 알게 되었어요. 위에서 했던 공식에 바로 대입해보죠.

y - y₁ = (x - x₁)

그런데 한 가지 생각해야 할 게 기울기 에서 x₁ = x₂라면 분모가 0이 되어버리죠? 그러니까 이 공식으로는 x₁ = x₂일 때 직선의 방정식을 구할 수 없어요.

x₁ = x₂일 때는 그래프를 보듯이 모든 x좌표가 x₁으로 같고, y축에 평행한 x = x₁이 돼요.

y₁ = y₂라면 어떨까요? 기울기가 0이겠죠? 모든 점의 y좌표가 y₁으로 같고, x축에 평행인 y = y₁이 돼요.

y - y₁ = (x - x₁)
y - y₁ = 0             (∵ y₁ = y₂)
y = y₁

공식을 이용해서 구할 수 있으니 굳이 따로 외울 필요는 없겠네요.

두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 지나는 직선의 방정식
x₁ ≠ x₂일 때, y - y₁ = (x - x₁)
x₁ = x₂일 때, x = x₁

x절편과 y절편이 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기

x절편의 좌표 (a, 0), y절편의 좌표 (0, b)이 주어졌다고 해보죠. x절편과 y절편도 두 점의 좌표에요. 그러니까 위의 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보죠.

여기서 a, b가 분모니까 a와 b는 0이 아니에요. a, b 중 하나라도 0일 때는 두 점을 지나는 직선의 방정식 구하는 방법으로 구하세요. 참고로 a = b = 0이면 (0, 0)인 점 하나만 알려준 거라서 직선의 방정식을 구할 수 없어요.

x절편이 (a, 0), y절편이 (0, b)인 직선의 방정식 ⇒  (단, ab ≠ 0)

다음을 보고 직선의 방정식을 구하여라.
(1) 기울기가 3이고 y절편이 5인 직선
(2) 기울기가 2이고 (3, 5)를 지나는 직선
(3) 두 점 (2, 5), (4, 6)을 지나는 직선
(4) x절편이 (3, 0), y절편이 (0, 6)인 직선

(1)은 기울기와 y절편을 알려줬네요.

y = mx + n
y = 3x + 5

(2)는 기울기와 한 점의 좌표를 알려줬고요.

y - y₁ = m(x - x₁)
y - 5 = 2(x - 3)
y = 2x - 1

(3)은 두 점의 좌표를 알려줬네요. 두 점의 x좌표가 서로 다르니까 공식을 이용할 수 있어요.

(4)는 x,y 절편을 알려줬는데 둘 다 0이 아니에요. 공식에 대입해보죠.

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   • 집합의 연산법칙 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙
   • 집합의 연산법칙 - 드모르간의 법칙
   • 유한집합의 원소의 개수
   • 명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정
   • 명제의 참, 거짓
   • 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법
   • 필요조건, 충분조건, 필요충분조건
2. 수 체계
   • 실수체계, 연산에 대하여 닫혀있다
   • 항등원과 역원, 연산법칙
   • 실수의 대소관계, 실수의 대소관계의 기본 성질
   • 절댓값과 절댓값의 기본성질
   • 허수와 허수단위, 복소수
   • 켤레복소수와 켤레복소수의 성질
   • 복소수의 사칙연산
   • 복소수의 연산법칙, 복소수의 항등원과 역원
   • i의 거듭제곱, 음수의 제곱근의 성질
3. 식의 계산
   • 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈
   • 곱셈공식
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   • 절대부등식의 증명 - 산술, 기하, 조화평균
   • 절대부등식의 증명 - 코시 슈바르cm 부등식

1. 도형의 방정식
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   • 선분의 내분점과 외분점
   • 좌표평면 위의 내분점과 외분점
   • 내분점과 외분점의 관계
   • 삼각형 무게중심의 좌표
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   • 직선의 방정식 일반형과 표준형
   • 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프
   • 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
   • 두 직선의 위치관계와 일차방정식의 해의 개수
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2. 함수
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   • 삼각함수 각의 변환 총정리
   • 삼각함수표
   • 삼각함수의 그래프 - sin 그래프
   • 삼각함수의 그래프 - cos 그래프
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일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기에서는 그래프의 특징을 설명해주는 내용을 보고 직선의 방정식(일차함수 식)을 구했어요.

이번에는 그런 설명 없이 그래프를 보고 일차함수 식을 구하는 내용이에요.

그래프를 보고 어떤 특징을 알아내는가가 중요한 것이지 둘 사이에는 차이가 전혀 없어요. 그래프에서 파악할 수 있는 건 모두 파악하는 것이 좋아요. 그리고 그 파악된 내용을 기본으로 어떤 방법으로 직선의 방정식을 구할까 결정하세요.

일차함수 식을 구하는 방법은 네 가지가 있어요.

1. 기울기와 y절편을 알 때
2. 기울기와 한 점의 좌표를 알 때
3. 두 점의 좌표를 알 때
4. x절편, y절편을 알 때

일반적으로 그래프만 봤을 때는 기울기를 알아내기가 어려워요. 대신 점의 좌표는 알아내기 쉽죠. 그래서 제일 많이 사용하는 방법이 3번이에요. 물론 공부를 열심히 한 학생이라면 그래프에서 두 점의 좌표만 보고도 기울기를 바로 구할 수 있을 거예요.

다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.

먼저 눈에 확 띄는 건 (-3, -4), (3, 2)라는 두 점의 좌표에요. 조금 더 자세히 보면 (0, -1), (1, 0)을 지나는 것도 알 수 있어요.

기울기를 구해보죠.
기울기 = 

기울기가 1이니까 함수는 y = x + b라고 쓸 수 있겠네요. 여기에 (3, 2)를 대입해보죠.

2 = 3 + b
b = -1

결국 구하려는 직선의 방정식은 y = x - 1이군요.

다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.

그래프에서는 x절편이 –2, y절편이 2라는 걸 알 수 있어요.

두 점 (-2, 0), (0, 2)을 지나니까 이걸 이용해서 직선의 방정식을 구해보죠.

기울기 = 

기울기가 1이고 y절편이 2이니까 직선의 방정식은 y = x + 2이에요.

축에 평행한 직선의 방정식

축에 평행한 직선의 방정식에서 배웠던 내용이에요.

축에 평행한 방정식에서는 기울기를 구할 필요가 없어요. 특히 y축에 평행한 직선의 방정식은 기울기라는 게 없으니까 구하려고 해도 구할 수도 없어요.

x축에 평행한 직선은 모든 y값이 하나로 일정해요. 그래서 y = n 꼴로 그냥 쓰면 돼요. 반대로 y축에 평행한 직선의 x값은 모두 일정해서 x = m이라고 쓰면 돼요.

다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.

그래프는 x축에 평행한 직선이고 모든 y값이 3이에요. 따라서 직선의 방정식은 y = 3입니다.

다음 그래프를 보고 직선의 방정식을 구하여라.

그래프는 y축에 평행한 직선이고 모든 x값이 2이에요. 따라서 직선의 방정식은 x = 2입니다.

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일차함수의 식이 주어지면 그래프를 그릴 수 있나요? 거꾸로 이제는 그래프를 보고 또는 그래프의 특징만 보고 일차함수 식을 유추해내야합니다.

이제까지 공부했던 내용들을 총동원해야해요. 일차함수 그래프의 특징, x, y 절편, 기울기 등이요. 또 일차함수 그래프 그리기에서 공부했던 내용도 이해하고 있어야 해요

일차함수식을 구하는 것과 직선의 방정식을 구하는 것은 이름은 다르지만 사실상 같은 얘기라는 것도 알고 있어야하고요.

일차함수 식은 y = ax + b 꼴이므로 기울기와 y절편을 구하는 게 핵심이에요. 여러 경우에 어떻게 일차함수식을 구하는 지 알아보죠.

기울기와 y절편을 알 때 일차함수 식 구하기

y = ax + b라는 일차함수가 있을 때, a는 기울기, b는 y절편이에요.

따라서 함수를 모르더라도 기울기와 y절편을 알면 함수를 바로 구할 수 있겠죠?

기울기가 -3이고, y절편이 1인 일차함수를 구하여라.

기울기가 -3, y절편이 1인 일차함수는 y = -3x + 1입니다.

기울기와 한 점의 좌표를 알 때 일차함수 식 구하기

기울기는 함수식에 그대로 대입해보죠. y = ax + b에서 a는 알고 있으니까 b만 구하면 되겠네요.

함수의 그래프가 한 점을 지난다는 얘기는 그 점의 좌표를 함수식에 대입하면 식이 참이 된다는 뜻이죠? 점의 좌표를 y = ax + b에 대입하면 돼요. x와 y는 점의 좌표로 알고 있고, a는 기울기로 주어졌으니까 b를 구할 수 있어요.

일차함수 y = 3x + 1 그래프와 평행하고 (3, 2)를 지나는 일차함수를 구하여라.

일차함수 그래프의 평행과 일치에서 그래프가 평행이라면 기울기가 같고 y절편이 달라야 한다고 했어요. 구하고자 하는 일차함수의 그래프가 y = 3x + 1과 평행하니까 기울기는 3이에요. 따라서 구하는 식은 y = 3x + b의 식이겠네요.

y = 3x + b 식이 (3, 2)를 지나니까 점의 좌표를 식에 대입해 보죠.
2 = 3 × 3 + b
b = -7

(3, 2)를 대입해서 b를 구했어요. 결국 구하는 일차함수는 y = 3x – 7이네요.

두 점의 좌표를 알 때 직선의 방정식 구하기

두 점의 좌표만 알고 있을 때는 먼저 기울기를 구해야 해요. 기울기 구하는 방법은 일차함수와 그래프 - 기울기에 나와 있어요.

기울기는 위 방법으로 구할 수 있고, 원래 문제에서 줬던 두 점의 좌표까지 알고 있어요. 그러면 바로 앞에서 했던 기울기와 한 점의 좌표를 알 때 사용했던 방법 그대로 기울기와 점의 좌표를 이용해서 일차함수 식을 구할 수 있어요.

두 점 (1, 2), (-2, 17)을 지나는 일차함수 식을 구하여라.

먼저 두 점의 좌표를 이용해서 기울기를 구해보죠.
기울기 = (17 - 2) ÷ (-2 - 1) = 15 ÷ (-3) = -5

기울기가 -5니까 y = -5x + b 라고 놓을 수 있고, 이 그래프가 (1, 2)를 지나니까 대입해보면
2 = -5 × 1 + b
b = 7

따라서 구하고자 하는 일차함수 식은 y = -5x + 7입니다.

x절편, y절편을 알 때 직선의 방정식 구하기

x절편과 y절편을 안다는 건 x, y축과 만나는 두 점의 좌표를 안다는 뜻이고, 이건 그래프 위의 두 점의 좌표를 알려준 것과 같아요. 따라서 바로 위에서 했던 두 점의 좌표를 알 때 직선의 방정식 구하기 방법에서 했던 것처럼 기울기를 구해야 해요. 기울기를 구하고 거기에 x절편과 y절편을 알고 있으니까 첫 번째 "기울기와 y절편을 알 때 일차함수" 구하기 방법을 사용하면 되겠죠?

두 점의 좌표를 알 때 + 기울기와 y절편을 알 때를 섞어서 사용하면 돼요.

(-1, 0), (0, 2)를 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

두 점의 좌표를 줬는데, 자세히 보니까 각각 x, y의 좌표가 0일 때로 x절편, y절편이네요. 이 내용을 먼저 알아두세요.

두 점의 좌표를 줬으니까 기울기를 구해야겠죠?
기울기 = {2 - 0} ÷ {0 - (-1)} = 2 ÷ 1 = 2

기울기가 2니까 y = 2x + b라고 할 수 있겠고 두 점 (-1, 0), (0, 2)를 지나니까 한 점의 좌표를 식에 넣어서 b를 구할 수 있어요. 하지만 그보다는 y절편이 b라는 사실을 알고 있으니까 (0, 2)를 이용해서 바로 y = 2x + 2를 구할 수 있겠죠?

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직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 직선의 방정식이라는 용어에 대해서 알아봤어요. 미지수가 2개인 일차방정식 ax + by + c = 0의 순서쌍 (x, y)를 좌표평면에 표시했더니 직선이 된다. 이때 ax + by + c = 0을 직선의 방정식이라고 하고, 일차함수의 그래프와 모양이 같다는 거지요.

이번 글에서는 직선의 방정식 중에서 특이한 모양의 직선을 알아볼 거예요.

바로 x축에 평행한 직선, y축에 평행한 직선이죠. 잘 쓰는 말은 아니지만 다르게 표현하면 x축, y축에 수직인 직선이죠.

x축, y축

먼저 x축을 직선의 방정식으로 표현할 수 있어요. 좌표평면에서 x축은 가로로 되어 있는데, y좌표가 모두 0이에요. x = 1일 때도 y = 0, x = 2일 때도 y = 0이죠. x가 어떤 수가 되더라도 y = 0이에요.

따라서 x축을 직선의 방정식으로 표현하면 y = 0이라는 식으로 나타낼 수 있어요.

y축은 y = 1일 때도 y = 2일 때도 무조건 x = 0이죠. 그래서 y축의 직선의 방정식은 x = 0이에요.

x축에 평행한 직선의 방정식

ax + by + c = 0에서 a = 0, b = 1, c = -1이면 식은 어떻게 되나요?
0 × x + 1 × y - 1 = 0
y = 1

y = 1이라는 직선의 방정식이 되고, … (-2, 1), (-1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1) … 라는 점을 지나요. 이 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 되고, 선으로 연결하면 x축에 평행한 직선이죠. 이 그래프는 y축과 (0, 1)에서 만나고, x축과는 만나지 않아요.

그러니까 y = n (n은 상수) 꼴의 식은 (0, n)을 지나고 x축에 평행한 직선이라고 정리할 수 있겠네요.

기울기라는 건 (y의 증가량) ÷ (x의 증가량)인데 y가 일정해서 y 증가량은 0이므로 기울기는 0인 함수입니다.

y축에 평행한 직선의 방정식

ax + by + c = 0에서 a = 1, b = 0, c = -1이면 식은 어떻게 되나요?
1 × x + 0 × y - 1 = 0
x = 1

x = 1이라는 직선이 되고, … (1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2) … 라는 점을 지나요. x는 무조건 1이고, y값만 바뀌네요. 이 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 되고, 선으로 연결하면 y축에 평행한 직선이에요. y축과는 만나지 않고, x축과는 (1, 0)에서 만나네요.

x = m (m은 상수) 의 직선은 (m, 0)을 지나고 y축에 평행한 직선이에요.

기본적으로 함수는 x 하나에 y가 하나만 대응해야해요. 그런데, x = m 꼴 직선의 방정식은 x = 1일 때 y가 무수히 많죠? 그래서 함수라고 할 수 없어요. 기울기 = (y의 증가량) ÷ (x의 증가량)인데, x = m으로 항상 일정해서 x의 증가량이 0, 즉 분모가 0이에요. 따라서 기울기라는 것이 없다는 것도 알아두세요.

주의하세요. x축에 평행한 직선은 y = n 꼴이고, y축에 평행한 직선은 x = m 꼴이에요.

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이번 글에서는 직선의 방정식과 일차함수, 일차방정식의 관계에 대해서 공부합니다.

일차함수와 일차방정식, 직선의 방정식은 서로 깊은 관계가 있어요. 용어의 뜻을 제대로 이해하고 식을 자유자재로 왔다 갔다 할 수 있어야 해요.

일차함수와 일차방정식 모두 일차식이라는 공통점이 있지요. 둘 사이의 공통점을 알아보고 그 특징까지 공부해봐요. 또 직선의 방정식이라는 용어를 쓰는데, 이게 무슨 뜻인지까지 알아보죠.

일차방정식의 그래프

미지수가 2개인 일차방정식에서 공부했던 것처럼 미지수가 2개면 하나는 x, 다른 하나는 y라고 써서 ax + by + c = 0이라고 나타내죠. 이 일차방정식을 만족하는 x, y의 순서쌍이 있겠죠? 이런 순서쌍들을 좌표평면에 나타낸 것을 일차방정식의 그래프라고 해요.

직선의 방정식

특히 일차방정식의 해가 무수히 많을 때, xy 순서쌍을 좌표평면에 점으로 찍어보면 하나의 직선으로 나타나는데 이것을 직선의 방정식이라고 부릅니다.

일차방정식 ax + by + c = 0을 y에 대해서 풀어볼까요?

ax + by + c = 0
by = -ax - c

ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0)
→ (a ≠ 0, b ≠ 0)

y에 대하여 풀었더니, 일차함수의 모양과 같은 모습이죠? 좌변에 y, 우변에 x항과 상수항

무슨 말이냐 하면 미지수가 2개인 일차방정식의 그래프, 즉 직선의 방정식의 그래프가 일차함수의 그래프와 같다는 거지요.

일차방정식 4x + 2y = 8의 그래프를 그리시오.

일차방정식을 일차함수 형태인 y = -2x + 4로 바꾼 다음에 일차함수 그래프 그리기에서 썼던 방법으로 그래프를 그려도 돼요. 하지만 그보다 쉬운 방법은 x절편과 y절편을 이용해서 그리는 방법인데요. x절편은 y = 0일 때의 x좌표, y절편은 x = 0일 때의 y좌표니까 각각을 일차방정식에 대입해서 풀어서 x, y축과 만나는 점의 좌표를 구한 다음 직선을 그어서 그래프를 그리면 돼요.

y = 0을 대입하면 x축과 만나는 점의 좌표는 (2, 0), x = 0을 대입하면 y축과 만나는 점의 좌표는 (0, 4)네요. x, y 절편을 그래프에 찍고 선을 그어보죠.

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