원 위의 한 점을 지나는 직선의 방정식을 구할 거예요. 원과 직선이 만나는 한 점을 접점이라고 하고, 접점을 지나는 직선의 방정식이니까 원의 접선의 방정식이라고 해요.
접선의 방정식도 직선의 방정식의 한 종류니까 직선의 방정식 구하기를 이용하여 구합니다. 또 접선의 방정식은 원 위의 한 점을 지나니까 이를 이용하기도 하고요.
접선의 방정식을 구하는 경우는 여러 가지가 있지만, 이 글에서는 접점의 좌표를 알 때 접선의 방정식 구하는 방법을 알아볼 거예요.
원의 접선의 방정식, 접점을 알 때 접선의 방정식
원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 한 점에서 접하는 접선의 방정식 l을 구해보죠. 원의 중심을 C(a, b), 접점의 좌표를 P(x1, y1)라고 할게요.
원의 접선은 반지름에 수직이에요. 선분 CP가 반지름이므로 구하고자 하는 접선의 방정식 l과 수직이죠. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했죠? 직선 l의 기울기를 m이라고 해보죠.
직선 l은 기울기가 m이고, P(x1, y1)을 지나는 직선이니까 직선의 방정식 구하는 공식에 넣어보면
일반적으로 기울기는 
①의 공식으로 접선의 방정식을 구할 수도 있지만 다른 공식이 또 있어요.
접점 P(x1, y1)는 원의 방정식 (x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 접이기도 해요. (x1, y1)을 대입해보죠.
(x1 - a)2 + (y1 - b)2 = r2 ……… ②
①, ②식을 각각 전개해서 더한 다음에 인수분해하면 아래 공식을 유도할 수 있어요. 유도 과정은 길어서 생략할게요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
원래 원의 방정식은 (x - a)(x - a) + (y - b)(y - b) = r2인데, (x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2으로 바뀌었죠? x 하나가 x1으로, y 하나가 y1으로 바뀐 형태예요……
원의 접선의 방정식
(x - a)2 + (y - b)2 = r2위의 접점 P(x1, y1)을 지나는 접선의 방정식
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
두 가지다 같은 결과가 나옵니다. 보통은 원의 방정식의 모양과 비슷해서 외우기 쉬운 두 번째를 많이 사용하는데, 본인이 외우기 쉬운 공식을 외우세요.
다음을 구하여라.
(1) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 5 위의 점 (3, -3)에서의 접선의 방정식
(2) (x + 3)2 + (y + 1)2 = 50 위의 점 (4, -2)에서의 접선의 방정식
(3) x2 + y2 + 6x - 2y - 7 = 0위의 점 (-2, -3)에서의 접선의 방정식
(1) 번은 원의 중심이 (2, -1)이고 접점의 좌표는 (3, -3), r2 = 5예요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(3 - 2)(x - 2) + (-3 + 1)(y + 1) = 5
x - 2 - 2y - 2 - 5 = 0
x - 2y - 9 = 0
어떤 공식을 이용하든 결과가 똑같죠?
(2) 원의 중심은 (-3, -1), 접점의 좌표는 (4, -2), r2 = 50이네요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(4 + 3)(x + 3) + (-2 + 1)(y + 1) = 50
7x + 21 - y - 1 = 50
7x - y - 30 = 0
(3) 번은 먼저 표준형으로 바꿔야겠네요.
x2 + y2 + 6x - 2y - 7 = 0
x2 + 6x + y2 - 2y - 7 = 0
(x + 3)2 + (y - 1)2 - 7 - 9 - 1 = 0
(x + 3)2 + (y - 1)2 = 17
원의 중심이 (-3, 1)이고 접점의 좌표가 (-2, -3), r2 = 17이군요.
(x1 - a)(x - a) + (y1 - b)(y - b) = r2
(-2 + 3)(x + 3) + (-3 - 1)(y - 1) = 17
x + 3 - 4y + 4 = 17
x - 4y - 10 = 0
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옛날에는 이방식으로 했는데 나중에 미분 배우고 접선의 방정식 배우니 1분안에푸는 불편한 진실 ㅠㅠ
원래 다 그런거죠. 그래야 학년 올라가는 맛도 있고, 어려운 거 공부하는 맛도 있으니까요.
감사합니다
네, 댓글 고맙습니다.
완료! 이해가 학원보다도 잘 되네요.
제가 댓글도 보니 다른 사람들 댓글에 하나하나 답 달아 주시던데 혹시 할 일이 많아지실 것 같아서 조심스럽네요... 보고 이해하여 제 것으로 만든 것에 완료라고 쓰는 댓글에 답을 안 달아주셔도 되요!! 어서 모든 강의에 완료!라고 적어두고 싶군요 ㅠㅠ
작심삼일만 안 되었으면 합니다
멀리서 지켜봐 주세요!!
작심삼일이 안되려면 조금씩 꾸준히 하는게 중요해요. 하루에 많이하면 금방 지치거든요. 하루에 한 두개씩만 공부하세요.
비밀댓글입니다
선생님. 혹시 연립할때 2차식을 1차식에 대입해서 직선의 방정식을 구한건가요? 그래야 말이 될것 같아서요. 일차식을 2차식에 대입해 봤자 원의 방정식을 구할뿐이지 않나요?
연립해서 해를 구하는 게 아니고 식의 모양을 변형하는 거예요.
한 식의 모양을 변형하다보면 식 중의 한 부분이 다른 식과 같아지는데, 그때 대입하는 거죠.
연립이라는 단어때문에 헷갈린 것 같네요. "연립"을 빼야겠어요.
저 진짜 너무 궁금해서 그런데..
위 1번, 2번 공식에서 어떻게 전개, 정리하면 (x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=0과 같은 식이 나올수 있는 거죠?? 그 생략된 전개과정 좀 설명 부탁드리겠습니다..ㅠㅠ
두 식을 각각 전개한 다음에 두 전개식을 더해서 인수분해 하면 나와요.
원(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2 한점p(x1,y1)을 지나는 접선의 방정식=(x-a)(x1-a) + (y-b)(y1-b)=r^2
증명)
접선의 기울기=-(x1 - a)/(y1-b) ---- (1)
왜냐하면 수직인 두직선의 기울기의 곱=-1 이기에
또, 한점 P(x1,y1)을 지나므로 ,
접선의 방정식:
y-y1= -(x1-a)/(y1-b) (x-x1) ---- (2)
각 항에 (y1-b)를 곱하면
(y-y1)(y1-b)=-(x1-a)(x-x1)
여기에,
(y-b+b-y1)(y1-b)=-(x1-a)(x-a+a-x1) 을 한 후,
인수분해하면
(y-b)(y1-b)-(y1-b)^2 = -(x1-a)(x-a) +(x1-a)^2
이항하면
(y-b)(y1-b)+(x1-a)(×-a) = (x1-a)^2 + (y1-b)^2
이다.
오른쪽 항에서 P(x1,y1)은 원의 한 점이므로
(x1-a)^2 + (y1-b) ^2 = r^2 이다
따라서,
(y-b)(y1-b)+(x-a)(x1-a)=r^2 이 된다(증명 끝!)
댓글로 쓰기 어려운 내용인데, 정성껏 써주셔서 고맙습니다.
중간에 전개인데, 인수분해라고 쓰셨네요.
설명이 이해가 잘 되네요
감사합니다!!
어려운 내용이라 읽는 분들이 잘 이해할 수 있을까 걱정했는데 다행이네요.