'고등수학/고1 수학' 카테고리의 글 목록 (11 Page)

명제의 역, 이, 대우, 삼단논법
31

2013.02.24
명제의 참, 거짓, 반례
15

2013.02.23
명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정
34

2013.02.22
유한집합의 원소의 개수
6

2013.02.21
드모르간의 법칙, 집합의 연산법칙
16

2013.02.20
집합의 연산법칙 1, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙
15

2013.02.19
부분집합, 부분집합의 개수 구하기
25

2013.02.18
고1 수학 목차, 공통수학 목차
92

2013.02.17

하나의 명제를 모양을 바꿔서 여러 개의 명제로 만들 수 있어요. 이런 명제들을 명제의 역, 이, 대우라고 하는데, 그림을 통해서 이해하는 게 제일 빠른 방법이에요. 그림을 통째로 외우세요.

논리에서 사용하는 삼단논법이라는 용어도 공부할 거예요. 사실 별거 없어요. 그냥 연결하는 것만 잘하면 되니까요.

명제의 대우와 삼단논법을 연결해서 참, 거짓인 명제를 찾는 문제가 많이 나오니까 이런 유형도 연습해두세요.

명제의 역, 이, 대우

명제 p → q에서 조건 p를 가정, 조건 q를 결론이라고 한다고 했어요.

여기서 p와 q의 자리를 바꿔볼까요? q → p가 되겠죠? 이때는 조건 q가 가정, 조건 p가 결론이에요. 이렇게 원래의 명제에서 가정과 결론을 바꾼 걸 명제의 역이라고 해요.

이번에는 원래 명제의 부정을 해볼까요? p → q의 부정은 "~p → ~q"가 되는데, 원래 명제의 부정인 명제를 명제의 이라고 합니다.

마지막으로 원래 명제에서 가정과 결론도 바꾸고, 부정을 해보죠. 즉 원래 명제의 이의 역이에요. ~q → ~p가 되는데 이걸 명제의 대우라고 합니다.

명제의 역, 이, 대우

집합의 연산법칙에서 어떤 집합의 여집합의 여집합은 자기 자신이었죠? (A^C)^C = A. 마찬가지로 명제의 역의 역은 원래 명제에요. 서로 역인 관계죠. 이와 대우도 마찬가지고요. 위 그림을 이해할 수 있겠죠?

어떤 명제가 있을 때, 그 명제와 명제의 대우는 참, 거짓을 함께해요. 명제가 참이면 명제의 대우도 참이고, 명제가 거짓이면 대우도 거짓이죠.

명제와 대우가 일치하는 건 진리집합을 생각해보면 돼요. p → q가 참이면 진리집합은 P ⊂ Q에요. 벤다이어그램으로 나타내면 아래 그림처럼 되죠.

명제와 대우의 진리집합 벤다이어그램

위 그림에서 Q^C ⊂ P^C가 되니까 ~q → ~p도 참이 되는 거죠.

명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 아무런 상관이 없어요. 단, 이와 역은 서로 대우 관계이므로 참, 거짓이 같아요.

다음 명제의 역, 이, 대우를 말하고, 참 거짓을 판별하여라.
x = 2이면 x² = 4이다

명제의 역은 가정과 결론을 바꾼 것, 이는 가정과 결론을 부정한 것, 대우는 가정과 결론을 바꾸고 부정한 것이에요.

위 명제에서 가정 p는 x = 2이고, 결론 q는 x² = 4네요.

명제 p → q : x = 2이면 x² = 4이다
역 q → p: x² = 4이면 x = 2이다
이 ~p → ~q: x ≠ 2이면, x² ≠ 4이다.
대우 ~q → ~p: x² ≠ 4이면 x ≠ 2이다.

일단 명제는 x = 2이면 x² = 4니까 참이죠?
역에서 x² = 4이면 x = ±2이므로 거짓이죠.
x = -2일 때, x² = 4이므로 이도 거짓이고요.
x² ≠ 4이면 x ≠ ±2이므로 대우는 참이에요.

명제와 대우는 참, 거짓을 같이하고, 이와 역도 서로 대우 관계이므로 참, 거짓을 같이하죠. 단, 명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓을 함께하지 않아요.

삼단논법

논리에서 대전제, 소전제, 결론을 얻는 방법을 삼단논법이라고 하는데, 명제에서도 이 삼단논법이 성립해요.

명제 p → q가 참이고, 명제 q → r이 참이면 p → r도 참이다.

삼단논법은 진리집합으로 설명하면 쉬워요.

삼단논법

p → q가 참이면 P ⊂ Q에요.
q → r이 참이면 Q ⊂ R이죠.
P ⊂ Q ⊂ R이 되어서 P ⊂ R이므로 p → r이 참이 되죠.

p → q와 ~r → p가 참일 때, 반드시 참인 명제를 써라.

참인 명제의 대우는 참이므로 p → q의 대우 ~q → ~p도 참이에요.
~r → p의 대우 ~p → r도 참이고요.
삼단 논법에 따르면 ~r → p → q가 돼요. 따라서 ~r → q가 참이죠.
~r → q가 참이므로 그 대우인 ~q → r도 참이죠.

보기 포함해서 총 6개의 명제가 참이에요.

정리해볼까요

명제의 역, 이, 대우

명제: p → q
역: q → p
이: ~p → ~q
대우: ~q → ~p
명제와 대우는 참, 거짓을 함께, 이와 역도 참, 거짓을 함께
명제와 이, 명제와 역은 참, 거짓이 상관없음.

삼단논법

p → q, q → r이 참이면 p → r도 참
p → q → r

명제의 참, 거짓 <<

고1 수학 목차

>> 필요조건, 충분조건, 필요충분조건

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명제에는 진리집합이라는 게 있다고 했어요. 이 진리집합을 이용해서 명제의 참, 거짓을 판단해요. 진리집합을 이용하지 않고 반례를 이용하는 경우도 있고요. 두 가지 방법을 다 알고 있다가 문제에 맞게 편리한 방법을 사용하면 돼요.

개인적으로는 명제 단원에서 가장 어려운 내용이라고 생각하는 단원이에요. 명제의 참, 거짓을 판별하는 방법 자체는 어렵지 않지만, 실제 문제에서는 어려워지죠. 진리집합과 반례를 찾는 게 어렵거든요. 한 두 가지씩 빠뜨리는 실수가 많이 나오기도 해요.

반례를 찾는 건 연습이 많이 필요해요. 교과서나 익힘책의 문제를 많이 풀어보세요.

명제의 참, 거짓

두 조건 p, q가 "p이면 q 이다."의 꼴로 되어 있는 명제를 기호로 "p → q" 로 나타내요. 이때 p를 가정, q를 결론이라고 하죠.

명제의 가정과 결론

특히 명제 p → q가 참이면 화살표에 줄을 하나 더 그어서 라고 하고, 거짓이면 라고 해요. 또 p → q도 참이고, q → p도 참이면 라고 나타냅니다.

명제의 참, 거짓을 판별할 때는 진리집합을 이용하는 게 아주 좋아요. 진리집합의 부분집합의 성질을 이용하거나 벤다이어그램을 이용하는 거죠.

명제 p → q에서 조건 p의 진리집합을 P, 조건 q의 진리집합을 Q라고 할 때
이면 P ⊂ Q
이면 P Q

위 내용은 거꾸로도 성립해요. 부분집합이면 참, 부분집합이 아니면 거짓이죠.

"x = 1이면 x² = 1이다."라는 명제가 참인지 거짓인지 알아보죠.

명제: x = 1이면 x² = 1이다.
	p	q
조건	x = 1	x² = 1
진리집합	P = {1}	Q = {-1, 1}
부분집합	P ⊂ Q
참, 거짓	참

이번에는 p와 q를 바꿔서 "x² = 1이면 x = 1이다."로 해볼까요?

명제: x² = 1이면 x = 1이다.
	p	q
조건	x² = 1	x = 1
진리집합	P = {-1, 1}	Q = {1}
부분집합	P Q
참, 거짓	거짓

반례

명제의 참, 거짓을 알아내는 또 다른 방법은 반례를 이용하는 거예요. 반례는 명제가 거짓이라는 걸 보여주는 예에요.

"자연수 x에 대하여, x가 짝수이면 x < 10이다."라는 명제가 있다고 해보죠.

12, 14, 16, … 처럼 10보다 큰 짝수가 있어요. 따라서 명제가 틀렸어요. 이때, 10보다 크다고 보여줬던 짝수들의 예가 바로 반례에요.

명제가 거짓임을 밝히기 위해서 반례를 보여주면 되는데, 반례는 1개만 있으면 돼요. 위에서 12, 14, 16, …라는 반례를 보여줘도 되지만, 12라는 반례만 보여줘도 명제가 거짓이라는 걸 알 수 있죠?

명제의 참, 거짓
진리집합 이용 - P ⊂ Q이면 참
반례가 1개라도 있으면 거짓

다음 명제의 참, 거짓을 밝혀라.
(1) x가 6의 약수이면 x는 12의 약수이다.
(2) xy > 0 이면 x > 0, y > 0이다.

(1)을 p → q라고 할 때 P = {1, 2, 3, 6}, Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
P ⊂ Q이므로 p → q는 참

(2) 반례를 이용해 보죠. xy = 1일 때, x = -1, y = -1이면 x < 0, y < 0이에요.
이 반례를 통해서 명제가 거짓이라는 걸 알 수 있어요.

모든, 어떤이 들어있는 명제의 참, 거짓

모든, 어떤이 들어있는 명제에서 참, 거짓을 확인하는 방법이에요.

"모든", "임의의"라는 단어가 들어간 명제에서는 그 식이 성립하지 않는 x가 하나도 없어야 참이에요. 즉 식이 성립하지 않는 x가 하나라도 있으면 거짓이라는 거죠. 이때 성립하지않는 x가 바로 반례에요.

"모든 실수 x에 대하여 x² = 1이다."라는 명제가 있어요. x = 2이면 이 x² = 1이라는 식이 성립하지 않죠. 따라서 이 명제는 거짓이고 이때 x = 2가 반례가 되는 거예요.

"어떤"이 들어가 있는 명제는 식을 만족하는 x가 하나라도 있으면 참이에요. 모든 x에 대해서 성립할 필요가 없어요.

"어떤 실수 x에 대하여 x² = 1이다."라는 명제에서 x = 1이면 x² = 1이 성립하죠. 따라서 이 명제는 참인 명제에요.

모든, 임의의 → 반례가 있으면 거짓
어떤 → 하나라도 성립하면 참

정리해볼까요

명제의 참, 거짓

진리집합을 이용, p → q일 때, 조건 p의 진리집합을 P, 조건 q의 진리집합을 Q라고 하면
P ⊂ Q이면 참
P Q이면 거짓
반례가 하나라도 있으면 거짓

명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정 <<

고1 수학 목차

>> 명제의 역, 이, 대우

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명제와 조건은 참 어려운 단원이에요. 개념이 중요한데다 실제 참, 거짓을 증명해야 하는 경우가 많거든요.

용어의 정의, 기호가 나타내는 것들을 하나도 놓치지 않고 생각해야 하는 단원이에요. 큰 게 아니라 자잘한 실수때문에 틀리는 문제가 많아서 좀 짜증나기도 하죠. 지금까지 공부했던 용어들과 기호들에 대해서 복습하는 단원이라고 생각하세요.

명제와 조건

명제는 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이나 식을 말해요.

"2는 소수다"라는 문장이 있어요. 이 문장은 참이죠? 그래서 명제에요. "3은 짝수다." 이 문장은 거짓이죠? 거짓이니까 명제에요. 명제는 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이므로 거짓인 문장도 명제에요. 거짓이면 명제가 아니라고 생각하는 경우가 많은데, 주의하세요.

"수학은 어렵다." 이 문장은 어떤가요? 학생 대부분은 수학이 어렵다고 생각할 거예요. 그런데 또 다른 학생들은 수학이 쉽다고 하는 학생도 있겠죠? 사람에 따라서 참, 거짓이 달라져요. 참, 거짓을 판단할 수 없죠. 따라서 이 문장은 명제가 아니에요.

조건은 미지수를 포함하고 있어서 그 미지수의 값에 따라 참, 거짓이 판별되는 문장이나 식을 말해요.

"(x - 1)(x - 2) = 0"이라는 식은 x = 1, 2일 때는 참이지만, x = 3, 4, 5, … 이면 거짓이죠? x에 따라서 참, 거짓이 바뀌니까 이 문장은 조건이에요. 보통 조건에서 미지수로 x를 사용하니까 조건을 p(x), q(x), … 등으로 표시하는데, 간단히 p, q, … 로도 나타내요.

진리집합

조건은 미지수에 따라서 참, 거짓이 달라진다고 했어요. 이때 조건이 참이 되게 하는 미지수의 집합을 진리집합이라고 해요. 진리집합은 알파벳 대문자로 나타내는데, 조건 p의 진리집합은 P, 조건 q의 진리집합은 Q라고 써요. 특별한 언급이 없으면 전체집합 U는 실수 전체의 집합이라고 생각하면 돼요.

"(x - 1)(x - 2) = 0"이라는 조건에서 진리집합 P = {1, 2} 겠죠?

두 조건을 하나로 합쳐서 사용하는 경우도 있어요. p라는 조건과 q라는 조건을 합칠 때 "p 이고 q"라는 조건을 만들었다면 진리집합은 P ∩ Q가 돼요. p와 q라는 두 조건을 모두 만족하는 미지수여야 하니까요. "p 또는 q"라는 조건을 만들었다면 진리집합은 P ∪ Q가 돼요. p, q 중 하나만 만족해도 되거든요.

조건의 부정

조건의 부정은 말 그대로 조건을 반대로 얘기하면 돼요. 조건 p의 부정은 ~p라고 쓰고, not p라고 읽어요. 조건 q의 부정은 ~q라고 쓰고 not q라고 읽죠.

그럼 ~p의 부정은 뭘까요? ~(~p) = p에요. 진리집합을 생각해보세요. 부정은 진리집합에서 여집합이에요. (P^C)^C = P니까 ~(~p) = p가 되는 거예요.

(조건)과 (조건의 부정)은 서로 부정인 관계에요.

조건의 부정을 몇 가지 해볼까요?

조건의 부정
조건	조건의 부정	비고
=	≠
>	≤	부등식의 표현
<	≥	부등식의 표현
짝수	홀수	자연수일 때
양수	0과 음수
유리수	무리수
어떤	모든	"어떤 x에 대하여………" / "모든 x에 대하여"
이고 (and)	또는 (or)	"p 이고 q" / "~p 또는 ~q"
적어도 하나는 맞다	모두 ~ 아니다.
x = y = z	x ≠ y 또는 y ≠ z 또는 z ≠ x	x = y이고, y = z이고, z = x라는 세 조건의 결합

다음 조건의 부정을 말하여라.
(1) x = 1 또는 x = 2
(2) 1 < x ≤ 2
(3) 모든 실수 x에 대하여 (x - 1)² ≥ 0이다.

"또는"의 부정은 "이고"에요.

(1)은 또는 이니까 "이고"로 바뀌어야겠죠? 그리고 =는 ≠로 바꾸고요.
"x = 1 또는 x = 2"의 부정은 "x ≠ 1 이고 x ≠ 2"가 되겠네요.

(2)는 1 < x 이고, x ≤ 2라는 두 개의 조건으로 나눌 수 있어요. 가운데가 "이고"니까 "또는"으로 바꿔야 하고, <는 ≥로, ≤는 >로 바꿔야 겠네요.
"1 < x ≤ 2"의 부정은 "1 ≥ x 또는 x > 2"

(3)은 모든이 있어요. "모든"의 부정은 "어떤"이에요. ≥의 부정은 <고요.
"모든 실수 x에 대하여 (x - 1)² ≥ 0이다."의 부정은 "어떤 실수 x에 대하여 (x - 1)² < 0이다."

부정하지 않는 것들

조건에서 부정을 할 때, 절대로 부정하면 안 되는 게 있어요. 바로 "수의 체계"에요.

"유리수 x에 대하여 x > 2이다"를 부정하면 "무리수 x에 대하여 x ≤ 2이다."가 아니라는 거예요. x가 포함되는 수의 체계는 부정하면 안 돼요. "유리수 x에 대하여 x ≤ 2 이다."가 제대로 된 부정이에요.

"양수 x에 대하여 …"에서 양수를 부정해서 "음수 또는 0 x에 대하여" 가 아니라 그대로 "양수 x에 대하여 …"에요.

"x가 무리수이다"을 부정하면 "x가 유리수이다"가 돼요." 위에서 수의 체계는 부정하지 않는다고 했는데, 여기서는 부정을 했어요.

위에서 수의 체계는 조건이 아니라 전제라서 부정하면 안 되고, 아래에 있는 문장에서는 수의 체계가 조건이니까 부정할 수 있는 거예요. 이 차이를 잘 구별하세요.

정리해볼까요

명제와 조건

명제: 참, 거짓을 판단할 수 있는 문장이나 식
조건: 미지수에 따라 참, 거짓이 달라지는 문장이나 식, p, q
진리집합: 조건이 참이 되게 하는 미지수를 원소로 하는 집합
조건의 p의 부정: ~p

유한집합의 원소의 개수

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명제의 참, 거짓

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유한집합은 원소의 개수를 셀 수 있는 집합이에요. 따라서 원소의 개수와 관련된 문제는 당연히 유한집합이에요. 물론 원소의 개수가 0개인 공집합 도 포함되고요.

유한집합의 원소의 개수를 구할 때는 무작정 구하는 게 아니라 그와 관련된 다른 집합의 원소의 개수를 알려줘요. 그러니까 이 글에서는 유한집합의 원소의 개수 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 이런 관계를 통해서 원소의 개수를 구하는 겁니다.

집합에서 이해를 돕는 가장 좋은 방법은 벤다이어그램을 그리는 방법이니까 각 설명 과정에 나오는 벤다이어그램을 잘 보세요.

유한집합의 원소의 개수

교집합과 합집합의 원소의 개수

집합 A의 원소의 개수는 n(A)라는 기호로 나타내는 거 알고 있죠? 집합의 원소의 개수

두 집합 A, B와 교집합, 합집합의 원소의 개수에 어떤 관계가 있는지 알아보죠.

일단 그림에서 알 수 있는 집합의 원소의 개수를 구해볼까요?
n(A) = x + y
n(B) = y + z
n(A ∩ B) = y
n(A ∪ B) = x + y + z

위에 두 개를 더하고 아래 두 개를 더해보죠.

n(A) + n(B) = n(A ∩ B) + n(A ∪ B) = x + 2y + z

가운데 있는 n(A ∪ B)나 n(A ∩ B)를 이항해보세요.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)

두 집합의 원소의 개수와 합집합, 교집합의 원소의 개수와의 관계를 알 수 있겠죠?

이번에는 아래 그림처럼 A, B, C의 세 집합이 있을 때에요.

나머지는 위와 같으니까 넘어가고 n(A ∪ B ∪ C)를 구해보죠. A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C라고 생각할 수 있겠죠? 이렇게 나눠서 해봐요.
n(A ∪ B ∪ C) = n(A ∪ B) + n(C) - n((A ∪ B) ∩ C)
= {n(A) + n(B) - n(A ∩ B)} + n(C) - n((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))
= n(A) + n(B) - n(A ∩ B) + n(C) - {n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - n((A ∩ C) ∩ (B ∩ C))
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

집합의 연산법칙을 이용해서 집합의 모양을 바꾸고 거기에 위에서 봤던 합집합과 교집합의 원소의 개수를 넣어봤더니 마지막 줄처럼 나왔어요.

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

세 집합의 합집합의 원소의 개수는 각각의 집합의 원소의 개수를 다 더하고, 두 개씩의 교집합의 원소의 개수를 빼고, 세 개의 교집합의 원소의 개수를 더하는 거예요. 복잡하지만 금방 외울 수 있을 거예요.

여집합과 차집합의 원소의 개수

이번에는 좀 쉬운 거 하죠. 여집합의 원소의 개수에요.

n(A^C) = n(U) - n(A)

A - B = A - (A ∩ B) = (A ∪ B) - B로 나타낼 수 있으니까 그 상태 그대로 원소의 개수로 바꿔주면 돼요.

n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = n(A ∪ B) - n(B)

하나는 교집합을 하나는 합집합을 이용하는 거니까 차이를 잘 보세요.

n(A) = 10, n(B) = 8, n(A ∪ B) = 15일 때, 다음을 구하여라.
(1) n(A ∩ B)
(2) n(A - B)
(3) n(B - A)

(1)에서 n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) = 10 + 8 - 15 = 3

(2) n(A - B) = n(A ∪ B) - n(B) = 15 - 8 = 7
다른 방법으로 n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = 10 - 3 = 7

(3) n(B - A) = n(A ∪ B) - n(A) = 15 - 10 = 5
다른 방법으로 n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B) = 8 - 3 = 5

선영이네 반은 총 30명의 학생이 있다. 이 중에 지난 토요일에 무한도전을 본 학생은 17명, 스타킹을 본 학생은 12명, 둘 다 본 학생은 5명일 때, 둘 중 아무 프로그램도 보지 않은 학생은 몇 명인가?

총 30명이라고 했으니까 n(U) = 30
무한도전을 본 학생을 집합 A라고 하면 n(A) = 17
스타킹을 본 학생을 집합 B라고 하면 n(B) = 12
둘 다 본 학생은 n(A ∩ B) = 5
아무 프로그램도 안 본 학생은 (A ∪ B)^C이므로 학생 수는 n((A ∪ B)^C) = n(U) - n(A ∪ B)

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 17 + 12 - 5 = 24

n((A ∪ B)^C) = n(U) - n(A ∪ B) = 30 - 24 = 6(명)

정리해볼까요

유한집합 원소의 개수

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B)
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
n(A^C) = n(U) - n(A)
n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) = n(A ∪ B) - n(B)

집합의 연산법칙 2 - 드모르간의 법칙 <<

고1 수학 목차

>> 명제와 조건, 진리집합

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집합의 연산법칙 두 번째예요.

여기서는 집합에서 가장 많이 사용하는 드모르간의 법칙과 차집합의 성질을 공부할 거예요. 이 두 가지는 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.

그 외에 집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질도 알아볼 건데, 이건 각 집합에서 사용하는 개념을 잘 생각해보면 이해할 수 있을 거예요. 혹시 이해하기 어렵다면 마찬가지로 벤다이어그램을 그려서 확인해볼 수도 있어요.

집합의 연산은 식이 되게 복잡하고 길어 보이지만 연산 법칙과 성질만 잘 알면 풀 수 있어요. 겁먹지 마세요.

드모르간의 법칙

처음 듣는 이름인데요. 집합에서 계속 나오는 법칙이에요. 공식처럼 외워야 합니다.

드모르간의 법칙
드모르간의 법칙 - 벤다이어그램
(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

여집합 기호 ^C가 마치 지수법칙처럼 각 집합에 적용되어 A^C, B^C가 되었고, 괄호 안에 있던 연산이 반대로(∩ → ∪, ∪ → ∩) 바뀌었어요.

집합의 연산에서 매우 중요한 법칙이에요. 꼭 벤다이어그램으로 그려서 직접 확인해보세요.

차집합의 성질

차집합 A - B는 A에는 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이에요. A - B = {x|x ∈ A이고 x B}

전체집합, 여집합, 차집합

이걸 연산에서 교집합과 여집합의 조합으로 바꿀 수 있어요. 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요.

A - B = A ∩ B^C
차집합

차집합에서 앞에 있는 집합은 그대로, 빼기(-) → ∩으로, 뒤에 있는 집합은 여집합(^C)으로 바뀌었어요.

B - A는 뭘까요? B는 그대로, 빼기(-)는 ∩으로, A는 여집합(A^C)으로 바꿔요. B - A = B ∩ A^C

집합의 연산에서 자주 사용하는 집합의 성질

집합의 연산에서 법칙은 아니지만 자주 사용하는 성질들이 있어요. 개수가 많아서 어려울 것처럼 보이지만 의미를 잘 생각해보면 이해가 될 거예요. 아니면 벤다이어그램을 그려서 확인해보세요. 굳이 외울 필요는 없지만 연산 과정에서 보면 이해할 수 있어야 해요.

교집합과 합집합에 관련된 성질이에요. 교집합과 합집합

A ∩ A = A, A ∪ A = A
(A ∩ B) ⊂ A ⊂ (A ∪ B)
A ∩ = , A ∪ = A
A ∩ U = A, A ∪ U = U

합집합과 교집합에 관련된 성질보다 더 많이 사용하는 건 여집합과 관련된 성질이에요.

A ∩ A^C = , A ∪ A^C = U
(A^C)^C = A, ^C = U, U^C =

여집합은 쉽게 말해서 "아닌 것"이죠? A^C는 A에 포함되지 않은 원소들로 이루어진 집합으로 A의 원소를 제외한 다른 원소는 모두 들어있어요. 그래서 A와 A^C 사이에는 공통된 게 없으니까 교집합은 이고 합집합은 U에요. (A^C)^C은 이중부정이 되어 원래와 같아지는 거예요. 전체집합 U의 원소가 아닌 것은 없으니까 U^C = 이 되죠.

이번에는 두 집합 사이의 포함 관계를 알아볼 수 있는 성질이에요.

A ∩ B = A ↔ A ⊂ B
A ∪ B = B ↔ A ⊂ B
A ⊂ B이고, B ⊂ A ↔ A = B

다음을 간단히 하여라. (단, 전체집합 U에 대하여 A ⊂ U, B ⊂ U)
{(A^C ∪ B^C) ∩ (A ∪ B^C)} ∩ A

상당히 길죠? 이걸 벤다이어그램으로 구할 수도 있어요. 하지만 집합의 연산법칙을 이용하면 다항식 계산하듯이 정리할 수 있어요.

{(A^C ∪ B^C) ∩ (A ∪ B^C)} ∩ A
= {(A^C ∩ A) ∪ B^C)} ∩ A (∵ 분배법칙)
= ( ∪ B^C) ∩ A (∵ A^C ∩ A = )
= B^C ∩ A (∵ ∪ B^C = B^C)
= A ∩ B^C (∵ 교환법칙)
= A - B (∵ A ∩ B^C = A - B)

첫 번째 줄에 보면 ( ) 안에는 ∪ B^C이 양쪽 모두에 들어있어요. 이걸 분배법칙으로 묶어서 2번째 줄이 되었어요. 마지막 줄에서는 차집합의 성질을 이용했네요.

되게 길어서 복잡해 보이지만 성질을 잘 이용하면 풀 수 있어요. 겁먹지 말고 차근차근 해보세요.

정리해볼까요

집합의 연산법칙

드모르간의 법칙
(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C
(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
차집합: A - B = A ∩ B^C

집합의 연산법칙 1 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 <<

고1 수학 목차

>> 유한집합의 원소의 개수

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집합의 연산법칙은 쉬우면서도 어려운 내용이에요. 연산법칙이라고 부르는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙은 숫자와 식의 계산에서 이미 다 들어본 용어들이에요. 그래서 집합에 적용해도 이해하기에 어렵지는 않을 거예요.

하지만 실제 문제에서 집합의 연산법칙들을 이용해서 계산하기는 어려울 거예요. 기호도 비슷하고 숫자가 아니라 알파벳으로 되어 있으니까요. 하지만 이미 알고 있는 법칙이고 수와 식에서 계산을 해봤다는 자신감을 느낀다면 충분히 해낼 수 있을 거로 생각합니다.

집합의 연산

집합의 연산에 대해서 정리해보죠. 교집합과 합집합, 전체집합, 여집합, 차집합

교집합은 A와 B 양쪽 모두에 속한 원소들로 이루어진 집합이에요. A ∩ B = {x|x ∈ A이고 x ∈ B}
합집합은 A에 속하거나 B에 속하거나 A, B 양쪽 모두에 속하는 원소들로 이루어진 집합이고요. A ∪ B = {x|x ∈ A 또는 x ∈ B}
차집합은 A에 속하지만 B에는 속하지 않는 원소들의 집합이죠. A - B = {x|x ∈ A이고 x B}
여집합은 전체집합 U에 속하는 원소 중 A에 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이에요. A^C = {x|x ∈ U이고 x A}

집합의 연산법칙

숫자를 더하고 빼고 곱하고 나누는 걸 사칙연산이라고 하지요? 집합도 연산을 합니다. 덧셈, 뺄셈이 아니고 합집합(∪), 교집합(∩), 여집합(^C), 차집합(-)의 연산이요. 마치 숫자들을 계산하듯이 집합들도 식으로 풀어내는 거죠.

정수와 유리수의 덧셈, 곱셈에서 교환법칙이라는 게 성립해요. +, × 기호 양옆에 있는 숫자의 자리를 바꿔서 계산해도 값이 같은 걸 말하죠.
x + y = y + x
xy = yx

집합에서도 교환법칙이 성립해요. 단, 교집합과 합집합에서만 성립해요. 여집합과 차집합에서는 성립하지 않습니다.

집합의 연산법칙 - 교환법칙

결합법칙이라는 것도 있죠? 괄호를 쳐서 계산의 우선순위를 바꿔도 되는 거요. 집합에서도 성립합니다. 교환법칙과 마찬가지로 교집합과 합집합에서만 성립해요.

교환법칙, 결합법칙 말고 하나 더 있죠? 분배법칙이요.

분배법칙

위 그림에서 +, × 기호가 ∩, ∪으로 바뀐 것뿐이에요.

위에서 설명한 세 가지 법칙들을 잘 이해해야 해요. 다항식의 계산 보면 항이 여러 개 있는 식을 간단히 정리하는 문제가 나오죠? 고등학교에서는 집합이 그런 식으로 나와요. 집합 여러 개를 써놓고 연산법칙을 이용해서 간단하게 정리하는 문제가 나오죠.

아래 연산과정에서 사용된 연산법칙은 무엇인가?
A ∪ (B ∩ A)
= A ∪ (A ∩ B)            ∵ (1)
= (A ∪ A) ∩ (A ∪ B)   ∵ (2)
= A ∩ (A ∪ B)
= A                            ∵ A ⊂ (A ∪ B)

(1)에서는 괄호 안의 (B ∩ A)가 (A ∩ B)로 바뀌었네요. A와 B가 자리만 바꿨어요. 교환법칙이에요.

(2)에서는 괄호 밖의 A가 괄호 안의 (A ∩ B)에 각각 연산을 했네요. 분배법칙이 사용되었어요.

이어지는 집합의 연산법칙 2 - 드모르간의 법칙을 본 다음에 예제 문제를 풀어보죠.

정리해볼까요

집합의 연산법칙

교환법칙: 교집합, 합집합에서만 성립
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A - B ≠ B - A
결합법칙: 교집합, 합집합에서만 성립
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
분배법칙
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

전체집합, 여집합, 차집합

<< 수학 1 목차 >>

집합의 연산법칙 - 드모르간의 법칙

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고등학교 수학 첫 시간이네요. 고등학교 수학은 중학교 수학과 비교하면 수준차가 확연히 납니다. 갑자기 어려워져요. 특히 학년이 올라갈수록 그 격차는 심해집니다.

내용 자체도 어렵고 양도 많고요. 설명도 글이나 그림보다는 식이나 기호 위주로 되어 있어서 알아보기가 힘들 겁니다. 하지만 중학교에 배운 수학 내용을 탄탄히 해온 학생이라면 충분히 공부할 수 있으니까 너무 걱정하지 마세요.

고등학교 수학은 한꺼번에 몰아서 공부하거나 벼락치기가 안되니까 매일 조금씩 공부를 하세요.

처음으로 할 내용은 집합인데, 집합은 중1 수학에서 공부했던 내용을 정리하고 복습하는 과정을 가져보죠. 자세한 설명은 중1 수학 목록에서 보세요. 부분집합과 부분집합의 개수를 구하는 과정을 조금 더 다뤄보도록 하겠습니다.

집합

집합에 관련된 내용은 많지만 일단 가장 기본적인 것 몇 가지만 정리해볼까요?

집합: 구체적이고 객관적인 기준에 맞는 대상들의 모임. 알파벳 대문자로 표시
원소: 집합을 이루는 대상 하나하나. 알파벳 소문자로 표시
- a가 집합 A의 원소일 때, a ∈ A
- b가 집합 A의 원소가 아닐 때, b A
집합의 표현방법
- 원소나열법: 집합에 속하는 모든 원소를 { }안에 열거하는 방법.
  A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- 조건제시법: 원소들의 공통된 성질이나 조건을 나타내는 방법.
  A = {x|x는 12의 양의 약수}
- 벤다이어그램: 그림으로 표현
집합의 분류
- 유한집합: 원소의 개수가 유한개여서 셀 수 있는 집합
  공집합: 원소의 개수가 0개인 집합
- 무한집합: 원소의 개수를 셀 수 없는 집합
n(A): 집합 A의 원소의 개수

부분집합

중학교 1학년 때, 집합의 포함관계 - 부분집합, 진부분집합과 부분집합의 성질에서 했던 내용을 정리해보죠.

두 집합 A, B에서 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때, A를 B의 부분집합이라고 하고 기호로 A ⊂ B라고 나타내요. 1이 모든 수의 약수인 것처럼 공집합 는 모든 집합의 부분집합이죠. 모든 수가 자기 자신을 약수로 갖는 것처럼 집합에서도 자기 자신을 부분집합으로 가져요.

임의의 원소 a에 대하여, a ∈ A일 때 a ∈ B이면 A ⊂ B
⊂ A, A ⊂ A
A ⊂ B, B ⊂ C ↔ A ⊂ B ⊂ C ↔ A ⊂ C

진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합을 말해요. 자기 자신은 부분이라고 할 수 없잖아요. 기호로 나타내면 A ⊂ B이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합이라고 합니다.

두 집합 A와 B가 서로 같은 지도 부분집합을 이용해서 알 수 있어요. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A와 B는 서로 같은 집합이에요. A의 모든 원소가 B에 들어있고, B의 모든 원소가 A에 들어있으니까 서로 같은 거지요. 숫자에서와 마찬가지로 등호(=)를 써서 A = B라고 표시합니다. A ⊂ B이고 B ⊂ A ↔ A = B

부분집합의 개수 구하기

이것도 중1 때 했던 내용이에요. 부분집합의 개수 구하기, 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기에 보면 왜 이런 방법으로 구하는지 설명이 되어 있어요. 기억이 나지 않는다면 한 번 보고 오세요.

n(A) = n일 때
집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2ⁿ - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2ⁿ - 2^{n - k}

진부분집합은 자기 자신을 제외한 부분집합이니까 전체 부분집합의 개수에서 1을 빼서 구해요.

특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합은 애초부터 그 원소를 포함하지 않은 집합으로 생각하면 됩니다. 애초부터 원소에 포함되지 않았으면 부분집합에도 포함되지 않으니까요. 또 특정 원소 k개를 포함하는 부분집합은 특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합에 그 원소들을 넣어주는 것으로 생각하면 쉬워요. 따라서 둘은 개수가 서로 같은 거예요.

마지막에 있는 게 처음으로 나오는 건데요. 적어도 한 개가 들어있는 것의 개수를 바로 구하기 어려우니까 반대로 생각해봤어요. 적어도 한 개를 포함하는 것의 반대는 하나도 들어있지 않은 거잖아요. 그래서 전체에서 한 개도 들어있지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구하는 거죠. 하나도 들어있지 않는 부분집합의 개수는 (특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)에요.
(특정 원소 k 개중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수)
= (전체 부분집합의 개수) - (특정 원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수)

집합 A = {1, 2, 3, 4, 5}일 때 다음을 구하여라.
(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수
(2) 2, 4를 반드시 포함하는 부분집합의 개수
(3) 2, 4중 적어도 하나를 포함하는 부분집합의 개수

(1) 2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수를 구하라고 했는데, 애초부터 A라는 집합이 2, 4를 포함하지 않았다고 생각해보죠. 이 집합을 B라고 한다면 B = {1, 3, 5}에요. (B의 부분집합의 개수) = (2, 4를 포함하지 않는 부분집합의 개수)이므로 2³ = 8이에요.

공식을 이용해서 바로 구해보면 n(A) = 5이고, 2, 4라는 두 개의 원소를 포함하지 않으니까 2^{5 - 2} = 2³ = 8(개)이에요. 공식으로 바로 구해도 같네요.

(2)번은 (1)에서 구한 B의 부분집합에는 2, 4가 들어있지 않으니까 거기에 2, 4를 모두 넣어준다고 생각하면 돼요. 따라서 개수가 같죠. 8개에요.

(3)번 2, 4중 적어도 하나를 포함한다는 건 2를 포함하거나 4를 포함하거나 2, 4 둘 다를 포함하는 거예요. 전체 부분집합의 개수에서 2, 4를 둘 다 포함하지 않는 부분집합의 개수를 빼서 구해요. 2⁵ - 2^{5 - 2} = 32 - 8 = 24(개)

두 집합 A = {x|x는 5 이하의 자연수}, B = {1, 3, 5}일 때 B ⊂ X ⊂ A를 만족하는 X의 개수를 구하여라.

문제가 좀 복잡하네요. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5}

B ⊂ X니까 X는 B의 모든 원소를 포함하고 있어요. 그리고 X ⊂ A죠. 정리해보면 X는 B의 원소인 {1, 3, 5}를 포함하는 A의 부분집합이에요.

특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 구하는 공식을 사용하면 되겠네요.

2^{5 - 3} = 4

X를 직접 구하는 게 아니라 개수만 구하는 거니까 답은 4개입니다.

정리해볼까요?

부분집합의 개수: n(A) = n일 때

집합 A의 부분집합의 개수 = 2ⁿ
집합 A의 진부분집합의 개수 = 2ⁿ - 1
특정원소 k개를 포함하지 않는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2^{n - k}
특정원소 k개 중 적어도 한 개를 포함하는 부분집합의 개수 = 2ⁿ - 2^{n - k}

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