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항등식은 중학교 1학년 때 방정식을 배우면서 잠깐 공부했어요. [중등수학/중1 수학] - 방정식과 항등식, 등식의 뜻. 항등식이 뭔지 알아보고, 주어진 식이 항등식인지 아닌지 판단하면 됐었죠.

고등학교에서 공부하는 항등식의 뜻은 똑같아요. 다만 이제는 하나의 식을 주면서 항등식이라는 걸 미리 알려줘요. 그 대신에 주어진 식에서 여러 가지 값을 구하는 거죠.

이런 값을 구하는 방법에서 가장 먼저 생각해야 하는 게 항등식의 성질인데, 이 글에서는 항등식의 성질을 공부할 겁니다.

항등식

등식은 등호를 이용해서 등호 양쪽이 서로 같다는 걸 나타내는 식이에요. 등식에서는 미지수를 사용하기도 하는데, 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식이라고 하죠. 미지수가 있지만 미지수에 상관없이 항상 성립하는 등식을 항등식이라고 해요.

항등식을 여러 가지 다른 표현을 사용하기도 해요. 다음은 모두 다 항등식을 나타내는 표현이니까 알아두세요.

모든 x에 대하여 … 일 때
임의의 x에 대하여 … 일 때
어떠한 x에 대하여도 … 일 때
x에 관계없이 … 일 때
x에 대한 항등식 …

항등식의 성질

ax + b = 0이라는 식이 x에 관한 항등식일 때, a, b의 값을 알아보죠.

x가 어떤 값을 갖더라도 이 등식은 참이 되므로
x = 1일 때, a + b = 0
x = 2일 때, 2a + b = 0
x = 3일 때, 3a + b = 0

세 개 중에 두 개를 선택하면 연립방정식이죠? a + b = 0, 2a + b = 0에서 a = 0, b = 0이라는 값을 구할 수 있어요.

0x + 0 = 0이라는 거죠. 이건 모든 항등식의 기본 꼴이라고 할 수 있어요. 미지수의 계수도 0, 상수항 0, 우변도 0이죠.

ax² + bx + c = 0이 항등식일 때는 어떨까요? 이것도 마찬가지로 x², x, 상수항, 우변이 모두 0이면 항등식이에요. 즉, a = b = c = 0이면 항등식인 거죠.

ax + b = cx + d이 항등식일 때, a, b, c, d를 구해볼까요? 우변에 있는 항들을 모두 좌변으로 이항시켜보죠.
ax + b = cx + d
(a - c)x + b - d = 0

x의 계수 a - c = 0, 상수항 b - d = 0이면 항등식이에요. 따라서 a = c, b = d에요.

ax² + bx + c = a'x² + b'x + c'
(a - a')x² + (b - b')x + c - c' = 0
a = a', b = b', c = c' 이면 항등식이 돼요.

모든 항을 좌변으로 이항 → 동류항 정리 → 0x + 0 = 0이면 항등식
ax + b = 0이 x에 대한 항등식 ⇔ a = b = 0
ax² + bx + c = 0이 x에 대한 항등식 ⇔ a = b = c = 0

좌변과 우변에서 차수가 같은 문자의 계수끼리 서로 같으면 항등식
ax + b = cx + d가 x에 대한 항등식 ⇔ a = c, b = d
ax² + bx + c = a'x² + b'x + c가 x에 대한 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c'

임의의 x에 대하여 다음이 성립할 때, a, b, c의 값을 구하여라.
(1) a(x - 2)² + b(x + 3) + (c + 4) = 0
(2) a(x + 1)² + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4

임의의 x에 대하여 성립한다는 말은 항등식이라는 얘기죠.

(1)번은 일단 전개부터 해야겠네요. 모든 항을 좌변으로 이항했을 때, x의 계수와 상수항이 0이면 항등식이에요

a(x - 2)² + b(x + 3) + (c + 4) = 0
a(x² - 4x + 4) + bx + 3b + c + 4 = 0
ax² - 4ax + 4a + bx + 3b + c + 4 = 0
ax² + (b - 4a)x + 4a + 3b + c + 4 = 0

a = 0, b - 4a = 0, 4a + 3b + c + 4 = 0 이면 항등식이므로 a = 0, b = 0, c = -4

(2)도 전개해야 하는데, 우변에 식이 있어요. 좌변으로 모두 이항해서 x의 계수와 상수항이 0인지 확인해도 되고요. 아니면 좌변을 전개해서 우변에 있는 계수들과 같은 값을 가질 때 a, b, c를 구해도 되죠.

a(x + 1)² + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4
a(x + 2x + 1) + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4
ax² + 2ax + a + bx - c - 3 = 4x² + 2x + 4
ax² + (2a + b)x + (a - c - 3) = 4x² + 2x + 4

a = 4, 2a + b = 2, a - c - 3 = 4면 항등식이에요.
a = 4, b = -6, c = -3

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중학교에서 했던 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 하나였어요. 다항식 중에서도 단항식으로 나누었던 거죠. 숫자끼리 약분하고, 지수는 뺄셈을 통해서 계산할 수 있었죠.

고등학교 과정에서 공부하는 다항식의 나눗셈은 나누는 항이 두 개이상인 다항식이에요. 항이 여러 개 있다보니까 약분을 하거나 지수법칙을 적용할 수 없는 경우가 생기죠.

이럴 때 어떻게 나눗셈을 하는지 알아보죠. 차수와 계수에 주목해서 보세요.

글로 설명하기가 참 어려운 내용이라서 그림을 잘 보고 이해해보세요.

다항식의 나눗셈

숫자의 나눗셈을 먼저 해볼까요? 55 ÷ 3을 해보죠. 세로로 나누기를 할 때, 아래 그림처럼 해요.

십의 자리 숫자 5에서 3을 나누고, 나머지 2를 내려서 일의 자리 숫자 5를 붙이고, 25에서 3을 나누고, 24를 뺀 나머지 1을 쓰죠?

다항식의 나눗셈도 이렇게 해요. 차이가 있다면 숫자의 자리가 아니라 차수를 이용한다는 거예요. 나누는 식의 최고차항과 계수와 차수가 같아지도록 하는 것이 핵심이에요.

숫자는 나눗셈을 할 때, 나눠지는 수의 뒷자리에 맞게 뒤에서부터 몫을 쓰는데, 다항식의 나눗셈에서는 앞에서부터 써요.

(x² + 3x - 4) ÷ (x - 1)을 해보죠.

다항식의 나눗셈

1. 나눠지는 식의 최고차항은 2차고 나누는 식이 최고차항이 1차니까 나누는 식에 x를 곱하면 차수가 같아지죠?
   (x - 1) × x = x² - x
2. (나눠지는 식) - (나누는 식 × x) = x² + 3x  - (x - 1)x = 4x, -4는 그대로 아래로
3. x - 1은 최고차항이 1차, 4x - 4도 최고차 항이 1차로 같지만 계수가 다르니까 계수를 똑같이 만들어 주려면 (x - 1) × 4 = 4x - 4
4. 두 식을 빼줍니다. (4x - 4) - (x - 1) × 4 = 0

55 ÷ 3의 결과를 55 = 3 × 18 + 1로 쓰잖아요. 이 때 55를 나눠지는 수, 3을 나누는 수, 18을 몫, 1을 나머지라고 하죠? (나눠지는 수) = (나누는 수) × (몫) + (나머지)

다항식 A를 0아닌 다항식 B로 나누었을 때 몫을 Q, 나머지를 R이라고 해서 A = BQ + R (B ≠ 0)라고 써요.

위 나눗셈의 결과는 x² + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4) + 0으로 쓰는 거죠. + 0은 생략해도 돼요.

30 ÷ 3을 해보면 30 = 3 × 10이라고 써요. 나머지가 0이니까 30은 3으로 나눠어 떨어진다고 하죠? 다항식에서도 나머지 R = 0이면 나누어 떨어진다고 해요. 위 보기에서 x² + 3x - 4는 (x - 1)로 나누어 떨어진다고 해요.

숫자의 나눗셈에서 나머지는 항상 나누는 수보다 작아요. 같거나 크면 안되죠? 다항식의 나눗셈에서는 나머지는 나누는 수보다 차수가 작아요. 위 예제에서는 나누는 식은 1차식, 나머지는 상수항이니까 0차죠? 이거 주의하세요.

다음 다항식의 나눗셈을 하고, 몫과 나머지를 구하여라.
(1) (2x³ + 3x² - x - 2) ÷ (x + 1)
(2) (2x³ - 5x² + 5x - 4) ÷ (2x - 3)

나눠지는 식의 최고차항을 찾아서 나눠지는 식의 최고차항과 비교해야 해요. 이 때, 계수와 차수가 같아지도록 숫자나 문자를 곱하는 거죠.

(1)을 계산해 볼까요?

몫은 2x² + x - 2, 나머지는 0이네요. 2x³ + 3x² - x - 2는 x + 1로 나누어 떨어지는 군요.

(2)번을 해보죠.

몫은 x² - x + 1, 나머지는 -1이네요.

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고1 곱셈공식의 변형은 고1 곱셈공식에서 항을 이항시켜서 만든 거예요. 솔직히 말해서 이항을 잘 한다면 곱셈공식의 변형을 외울 필요는 없어요. 괜히 외우려다가 원래의 곱셈공식과 헷갈리기만 할 뿐이죠.

원래의 곱셈공식에서 이항을 해서 만든 게 곱셈공식의 변형이라서 기본적으로 두 개는 같은 거예요. 2 + 3 = 5와 2 = 5 - 3이 같은 거잖아요. 실제로 문제에서는 원래의 곱셈공식에 대입해서 풀다가 필요할 때 숫자를 이항시키는 게 훨씬 쉬워요.

그렇다고 모든 변형 공식이 필요없는 게 아니에요. 그 중에는 꼭 외워야하는 곱셈공식의 변형도 있으니 설명을 잘 보세요. 이 글에서는 곱셈공식의 변형을 외우려고 하지 말고, 어떻게 만들어지는 지 잘 이해해야해요.

곱셈공식의 변형

곱셈공색의 변형에서 가장 핵심은 이항이에요. 항의 부호를 바꿔서 반대 변으로 넘기는 걸 이항이라고 하죠? 아래는 중학교 때 공부했던 곱셈공식의 변형이에요.

a² + b² = (a + b)² - 2ab
           = (a - b)² + 2ab
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(a - b)² = (a + b)² - 4ab

세 번째 줄이 어떻게 만들어지는지 이해하고, 외우세요.

고1 곱셈공식의 변형을 알아보죠. 앞서 공부했던 곱셈공식에서 몇몇 항을 이항해서 여러가지 곱셈공식의 변형을 만들 수 있어요.

(1) a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
(2) a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
     a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
(3) a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc
(4) a² + b² + c² - ab - bc - ca =  {(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}

마지막 (4)은 (3)번의 가운데에 있는 괄호안을 정리한 거예요. 어떻게 위 공식들이 변형되었는지 확인해보죠.

(1) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
     a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)

(2) (a + b)³ = a³ + 3ab(a + b) + b³
     a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

(3) (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc
     a³ + b³ + c³ = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc

(4) a² + b² + c² - ab - bc - ca
  =  × 2(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
  =  × (2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca)
  =  × (a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²)
  =  {(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²}

곱셈공식의 변형은 기본 곱셈공식에서 항을 이항한 것에 지나지 않기때문에 굳이 외울 필요는 없어요. 오히려 원형과 헷갈리기만 할 뿐이거든요. 계산할 때 숫자를 대입한 다음에 이항해도 문제는 풀 수 있어요. 단, 마지막에 있는 (4)번은 곱셈공식에 없는거니까 외워두세요.

x + y + z = 6, x² + y² + z² = 14, xyz = 6일 때, x³ + y³ + z³를 구하여라.

곱셈공식의 변형을 이용하지 않고 곱셈공식 원형을 이용해서 문제를 풀어보죠.

곱셈공식 중에서 세 제곱인 세 항이 들어있는 공식은 (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) = x³ + y³ + z³ - 3xyz에요. 그런데, -xy - yz - zx의 값을 모르니 이 공식에 대입할 수 없어요.

-xy - yz - zx = -(xy + yz + zx)의 값을 구할 수 있는 공식은 (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)네요. 대입해보죠.

6² = 14 + 2(xy + yz + zx)
2(xy + yz + zx) = 36 - 14
xy + yz + zx = 11
-(xy + yz + zx) = -11

(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) = x³ + y³ + z³ - 3xyz
6(14 - 11) = x³ + y³ + z³ - 3 × 6
18 = x³ + y³ + z³ - 18
x³ + y³ + z³ = 36

곱셈공식 원형을 이용해서 문제를 풀어도 아무런 지장없이 풀 수 있어요.

분수꼴 곱셈공식의 변형

분수 형태의 곱셈공식이에요. (a + b)² = a² + 2ab + b²에서 a = x, b = 로 바꿨다고 생각하세요. 2ab = 2x = 2이네요.

(x + )² = x² + 2x· +
x² +  = (x + )²  - 2

(x - )² = x² - 2x· +
x² +  = (x - )²  + 2

x² +  = (x + )²  - 2
                 = (x - )²  + 2

우 변 두 개를 같다고 놓고, -2와 +2를 한 번씩 이항해보죠.

(x + )²  - 2  = (x - )²  + 2

(x + )²  = (x - )²  + 4
(x - )²  = (x + )²  - 4

x +  = 3일 때, 다음을 구하여라.
(1) x² +
(2) x³ +

(1) (x + )² = x² + 2x· +
x² + = (x + )² - 2
               = 3² - 2
               = 7

(2) (x + )³ = x³ + 3x·(x + ) +
x³ + = (x + )³ - 3(x + )
               = 3³ - 3·3
               = 27 - 9
               = 18

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곱셈공식이에요. 중학교 때 곱셈공식 1, 곱셈공식 2에서 다섯 개의 곱셈공식을 공부했어요. 이 곱셈공식을 잘 외워두면 다항식의 곱셈을 할 때 과정을 생략하고 바로 결과를 이끌어낼 수 있었죠?

고1 과정에서는 위 다섯 개에 추가로 몇 개를 더 공부해요. 조금 더 길고 어려운 공식들이 많이 나오니까 잘 외워두세요. 비슷한 게 있더라도 헷갈리면 안 돼요.

곱셈공식을 거꾸로 하면 인수분해 공식 1, 인수분해 공식 2가 됐어요. 여기서도 마찬가지로 새로운 곱셈공식은 뒤에서 공부할 인수분해 공식에서 다시 사용되니까 꼭 외우세요.

곱셈공식

아래는 중학교 때 외웠던 곱셈공식이에요. 잊어버리지 않았죠?

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

고1 곱셈공식은 위에 있는 것보다 훨씬 많아요. 아래 공식들은 분배법칙과 위 다섯 개의 곱셈공식에서 파생되어 나온 공식들이에요.

다 외워야 합니다.

(1) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
(2) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + 3ab(a + b) + b³
     (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - 3ab(a - b) - b³
(3) (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³
     (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
(4) (x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc
(5) (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc
(6) (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = a⁴ + a²b² + b⁴

고1 곱셈공식이 어떻게 만들어지는지 유도해보죠.

(1) (a + b + c)²
= (t + c)²                                    (∵ a + b = t로 치환)
= t² + 2tc + c²
= (a + b)² + 2(a + b)c + c²   (∵ t = a + b)
= a² + 2ab + b² + 2ca + 2bc + c²
= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
= a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

(2) (a + b)³
= (a + b)²(a + b)
= (a² + 2ab + b²)(a + b)
= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(3) (a + b)(a² - ab + b²)
= a³ + a²b - a²b - ab² + ab² + b³
= a³ + b³

(4) (x + a)(x + b)(x + c)
= (x² + ax + bx + ab)(x + c)
= x³+ ax² + bx² + abx + cx² + cax + bcx + abc
= x³ + ax² + bx² + cx² + abx + bcx + cax + abc
= x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc

(5), (6)도 연습장에 전개해서 동류항 계산을 해보세요.

공식을 외우는 길은 종이에 많이 써보고, 머리로 많이 생각해보는 방법밖에 없어요. (2), (3)은 비슷한 공식이 있으니까 헷갈리지 않도록 조심하세요.

다음을 전개하여라.
(1) (2a - b + c)²
(2) (3a + 2b)³
(3) (x + 1)(x + 2)(x + 3)

위 곱셈공식을 사용해서 전개하면 돼요.

(1)은 항이 세 개 있는 식의 완전제곱이네요. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

(2a - b + c)²
= (2a)² + (-b)² + c² + 2{2a·(-b) + (-b)·c + c·2a)
= 4a² + b² + c² + 2(-2ab - bc + 2ca)
= 4a² + b² + c² - 4ab - 2bc + 4ca

(2)번은 세제곱이군요. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(3a + 2b)³
= (3a)³ + 3·(3a)²·2b + 3·3a·(2b)² + (2b)³
= 27a³+ 54a²b + 36ab² + 8b³

(3)번은 세 다항식의 곱이에요. (x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc

(x + 1)(x + 2)(x + 3)
= x³ + (1 + 2 + 3)x² + (1·2 + 2·3 + 3·1)x + 1·2·3
= x³ + 6x² + 11x + 6

(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4)를 전개하여라.

이게 좀 어려운 문제에요. 풀이를 집중해서 잘 보세요.

네 개의 항이 곱해져 있는 경우예요. 공식으로는 바로 전개할 수가 없지요. 이때는 두 개씩 나눠서 각각을 곱셈공식으로 전개해야 해요. 어떻게 두 개씩 묶느냐가 중요하죠.

대부분은 상수항이 가장 큰 것과 가장 작은 걸 묶고, 나머지 두 개를 묶으면 맞아요. 물론 아닐 때도 있어요.

상수항이 가장 큰 (x + 2)와 가장 작은 (x - 4)를 묶고, 나머지 두 개를 묶어서 전개해보죠.

{(x - 4)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)}
= (x² - 2x - 8)(x² - 2x - 3)

두 개의 다항식의 곱으로 바뀌었는데, 두 식에서 이차항과 일차항이 x² - 2x로 같아요. 바로 여기를 치환하는 거예요.

(x² - 2x - 8)(x² - 2x - 3)
= (t - 8)(t - 3)

곱셈공식을 이용해서 한 번 더 전개하고, 치환했던 t에 x² - 2x를 넣어요. 그리고 나머지 과정을 계속하는 거예요.

처음부터 다시 정리해보죠.

(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)(x - 3)(x + 1)    (∵ 두 개씩 묶기)
= (x² - 2x - 8)(x² - 2x - 3)
= (t - 8)(t - 3)                        (∵ x² - 2x = t로 치환)
= t² - 11t + 24
= (x² - 2x)² - 11(x² - 2x) + 24  (∵ t = x² - 2x)
= x⁴- 4x³ + 4x² - 11x² + 22x + 24
= x⁴ - 4x³- 7x² + 22x + 24

이 문제의 핵심은 이차항과 일차항을 t로 치환할 수 있게 만드는 거예요. 때로는 이 방법이 통하지 않을 수 있어요. 그때는 이차항과 상수항을 t로 치환해서 (t - x)(t - 2x) 같은 꼴로 나올 수 있게 상수항의 곱이 같아지도록 네 개의 항을 두 개씩 잘 나눠야 합니다.

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단항식은 항이 하나만 있는 식이죠. 다항식은 항이 여러 개 있는 식을 말해요. 헷갈리면 안되는 게 단항식도 다항식의 한 종류에요. 다항식은 항이 한 개이상있는 식이니까요.

다항식의 덧셈과 뺄셈은 중학교 때 다항식의 계산에서 해봤어요. 동류항끼리 모아서 계산하는 거였죠? 그리고 다항식의 곱셈도 해봤는데, 분배법칙과 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 전개한 후에 동류항끼리 정리를 했어요.

이 글에서 공부하는 다항식의 계산은 중학교에서 공부했던 내용을 한 번 더 정리하고 복습하는 과정이에요.

다항식의 연산법칙

a + b = b + a, ab = ba가 성립하는 걸 교환법칙이라고 해요. (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)가 되는 걸 결합법칙이라고 하고요. (a + b)c = ac + bc를 분배법칙이라고 하죠. 이 때, a, b, c는 숫자였어요.

다항식의 연산법칙에서는 A, B, C를 사용하는데, 이 A, B, C는 숫자가 아니라 다항식이에요. a, b, c가 숫자라고는 하지만 넓게 보면 상수항이고 단항식에 해당하니까 A, B, C 자리에 들어가도 상관없어요.

세 다항식 A, B, C에 대하여
교환법칙: A + B = B + A, AB = BA
결합법칙: (A + B) + C = A + (B + C)
분배법칙: (A + B)C = AC + BC

A = 2x² + 3x + 1, B = x² - 2x - 8, C = 3x - 2라고 하죠.
(2x² + 3x + 1) + (x² - 2x - 8) = (x² - 2x - 8) + (2x² + 3x + 1)이 된다는 거예요.

새로운 얘기는 아니니까 굳이 전부 증명할 필요는 없겠죠?

다항식의 계산

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항을 찾는 게 제일 중요해요. 문자와 차수가 같은 항을 찾아서 앞의 계수끼리 계산하는 거죠.

단, 계산에서 괄호가 있다면 괄호를 먼저 풀고 계산을 해야하고요. 그리고 마지막에는 한 문자를 정해서 내림차순으로 정리하면 끝이에요. 내림차순은 어떤 문자에 대해서 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서대로 쓰는 걸 말해요.

1. 괄호를 푼다. ( ) → { } → [ ]
2. 동류항을 찾아 계산
3. 내림차순으로 정리

다항식의 곱셈

다항식의 곱셈이 바로 곱셈공식이에요. 곱셈공식을 이용해서 전개를 하고, 동류항을 찾아서 계산을 하는 거죠. 물론 이 때도 내림차순으로 정리를 하세요.

A = 2x² + 3x + 1, B = x² - 2x - 8, C = 3x - 2일 때, 다음을 간단히 하여라.
(1) 2A - (B + C)
(2) AC - 3B

식의 값을 구하는 문제에요. 대입하죠.

(1) 2A - (B + C)
= 2(2x² + 3x + 1) - {(x² - 2x - 8) + (3x - 2)}
= 4x² + 6x + 2 - (x² + x - 10)
= 4x² + 6x + 2 - x² - x + 10
= 3x² + 5x + 12

(2) AC - 3B
= (2x² + 3x + 1)(3x - 2) - 3(x² - 2x - 8)
= 6x³ + 9x² + 3x - 4x² - 6x - 2 - 3x² + 6x + 24
= 6x³ + 2x² + 3x + 22

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i² = -1이었죠? 그럼 i³, i⁴는 얼마일까요? i의 거듭제곱은 일정한 패턴이 있어요. 이 패턴을 이용하면 i¹⁰⁰, i¹⁰⁰⁰처럼 지수가 아무리 크더라도 그 값을 구할 수 있어요. 어떤 패턴이 있는지 알아보죠.

중학교에서 제곱근의 곱셈과 나눗셈을 할 때, 근호는 그대로 두고, 근호 안의 숫자끼리만 곱하거나 나누면 된다고 공부했어요. 그런데 근호 안의 숫자가 양수라는 조건이 있었죠.

허수는 근호 안의 숫자가 음수예요. 과연 근호 안의 숫자가 음수일 때도 같은 성질이 성립하는지 아니면 성립하지 않는지 알아볼 거예요.

i의 거듭제곱

i를 거듭제곱하면 특별한 성질을 발견할 수 있어요. 거듭제곱을 해보죠.

i = i
i² = -1
i³ = i × i² = i × (-1) = -i
i⁴ = i² × i² = (-1) × (-1) = 1
i⁵ = i × i⁴ = i × 1 = i
i⁶ = i² × i⁴ = (-1) × 1 = -1
i⁷ = i³ × i⁴ = -i × 1 = -i
i⁸ = i⁴ × i⁴ = 1 × 1 = 1

결과만 보면, i, -1, -i, 1이 계속 반복되고 있어요.
지수가 1, 5, 9, 13, …이면 i
지수가 2, 6, 10, 14, …이면 -1
지수가 3, 7, 11, 15, …이면 -i
지수가 4, 8, 12, 16, …이면 1

지수를 수식으로 표현하면 i의 거듭제곱은 순환하는 걸 알 수 있어요.

i²⁰¹³ + i²⁰¹⁴ + … + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹를 간단히 하여라.

i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1이 계속 반복돼요. 또 i^4n-3 + i^4n-2 + i^4n-1 + i⁴ⁿ = i + (-1) + (-i) + 1 = 0이에요. i의 거듭제곱 중 연속하는 네 개의 합은 0이 되는 거죠.

i²⁰¹³ + i²⁰¹⁴ + … + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹
= i²⁰⁹⁷ + i²⁰⁹⁸ + i²⁰⁹⁹               (∵ 앞에서부터 4개씩의 합 = 0)
= i²⁰⁹⁶(i + i² + i³)                      (∵ i²⁰⁹⁶로 묶기)
= i + i² + i³                                (∵ i⁴ⁿ = 1)
= i - 1 - i
= -1

음수의 제곱근의 성질

제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근을 씌워주면 된다고 했어요.

그런데 허수의 제곱근에서도 이렇게 될까요?

이 식은 틀렸어요. 근호 속의 (-1)을 i로 바꿔서 계산해보죠.

근호안의 숫자는 6으로 같은데, 부호가 다르죠? 왜냐하면, 근호 안에 있는 (-1)때문이에요. ()² = i² = -1이잖아요.

여기서는 그냥 근호 안의 숫자를 곱해주기만 했어요.

위 세 가지 예의 차이를 보죠.

첫 번째 은 근호 안의 숫자가 둘 다 양수예요.

두 번째 은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수고요.

세 번째 은 근호 안의 숫자가 하나는 양수, 하나는 음수예요.

즉, 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때에만 근호 앞에 (-)가 붙어요.

그럼 곱셈이 아니라 나눗셈을 해보죠. 제곱근의 나눗셈에서는 근호 안의 숫자만 그냥 바로 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었죠?

근호 안이 둘 다 음수일 때를 해보죠.

둘 다 근호 안이 음수일 때는 그냥 근호 안의 숫자끼리만 나눠준 것과 같아요.

이번에는 분모의 근호 안은 양수이고, 분자의 근호 안은 음수일 때에요.

분모의 근호 안은 양수, 분자의 근호 안은 음수이면 그냥 근호 안의 숫자끼리 나눠준 것과 같네요.

이번에는 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때에요.

근호 안의 숫자끼리 계산했는데, 근호 앞에 (-)가 붙었어요.

네 가지 경우를 봤는데, 정리해보면 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때는 근호 앞에 (-)가 붙고, 그 외에는 (-)가 붙지 않아요. 그리고 숫자는 그냥 그대로 나누죠.

음수의 제곱근의 성질

두 가지 경우를 제외하고는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 했던 대로 근호 안의 숫자의 부호는 상관없이 그냥 숫자끼리 곱하거나 나누면 돼요.

다음을 간단히 하여라.

음수의 제곱근의 성질에서 곱셈은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때만 앞에 (-)를 붙이고 숫자끼리 곱해주는 거였고, 나눗셈은 분모의 근호 안의 숫자만 음수일 때 (-)를 붙이고 숫자끼리 나눠주는 거였어요.

(1)

(2) 앞에서부터 차례대로 계산해보죠.

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복소수의 연산법칙과 실수의 연산법칙이 같고, 복소수의 항등원과 역원은 실수의 항등원과 역원하고 같아요. 하나도 새로울 게 없어요. 숫자만 실수에서 복소수로 바뀐 것뿐이에요. 항등원과 역원을 구하려면 연산에 대해 닫혀있어야 하고, 교환법칙이 성립해야한다는 것도 같아요. 이 글을 통해서 복습하는 거로 생각하세요.

그냥 쭉 한 번 읽어보고 기억해두시면 됩니다.

실수 체계, 실수의 분류, 연산에 대하여 닫혀있다
항등원과 역원, 연산법칙

복소수의 연산법칙

실수는 사칙연산에 대하여 닫혀있다고 했어요. 그럼 복소수는 어떤 연산에 대해서 닫혀있을까요? 복소수 실수보다 더 큰 수의 체계이므로 실수와 마찬가지로 사칙연산에 대해서 모두 닫혀있어요. 그리고 실수에서 성립하는 연산법칙도 모두 성립합니다.

복소수 전체의 집합 C의 임의의 원소 z₁, z₂, z₃에 대하여
사칙연산에 대하여 닫혀있다: z₁ + z₂ ∈ C, z₁z₂ ∈ C
교환법칙: z₁ + z₂ = z₂ + z₁, z₁z₂ = z₂z₁
결합법칙: (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃), (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃)
분배법칙: z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃

교환법칙과 결합법칙은 덧셈, 곱셈에서만 성립하고 뺄셈, 나눗셈에서는 성립하지 않아요. 실수하고 다 똑같아요.

복소수의 항등원과 역원

연산에 대해서 닫혀있고, 교환법칙이 성립하니까 항등원을 구할 수 있겠죠? 실수에는 덧셈과 곱셈에서만 항등원이 존재합니다.

실수의 덧셈에 대한 항등원은 0, 곱셈에 대한 항등원은 1이었지요? 복소수의 덧셈에 대한 항등원도 0, 곱셈에 대한 항등원은 1이에요.
복소수의 덧셈에 대한 항등원: z + 0 = z
복소수의 곱셈에 대한 항등원: z × 1 = z

실수의 덧셈에 대한 역원은 부호를 바꾼 것이였고, 곱셈에 대한 역원은 역수였어요. 복소수도 같습니다.
복소수의 덧셈에 대한 역원: z + (-z) = 0
복소수의 곱셈에 대한 역원: z ×  = 1

결론은 실수와 복소수에 대한 성질이 같다는 거예요. 실수에서 성립하는 연산법칙은 모두 복소수에서 성립하고, 실수의 덧셈과 곱셈에 대한 항등원과 역원도 복소수에서 똑같아요.

3 - 2i의 덧셈에 대한 역원과 곱셈에 대한 역원을 구하여라.

덧셈에 대한 역원은 부호를 반대로 하는 거고, 곱셈에 대한 역원은 역수에요.

덧셈에 대한 역원: - (3 - 2i) = -3 + 2i

곱셈에 대한 역원:

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복소수라는 수를 공부했으니까 이제 이 수를 이용해서 사칙연산을 해봐야겠죠? 복소수의 사칙연산은 제곱근의 사칙연산과 아주 비슷해서 금방 할 수 있을 거예요. 지금까지 해왔던 미지수가 들어있는 식의 계산법의 기본이 되는 동류항 계산을 살짝 응용하면 되거든요. 기본 원리만 기억하세요.

분모의 실수화라는 과정을 거치는데, 이건 분모의 유리화와 거의 같아요. 유리수가 실수로 숫자만 바뀐 것뿐이에요. 그리고 허수와 허수단위의 의미를 잘 파악하고 있다면 복소수의 곱셈도 어렵지 않을 거예요.

이미 여러 수의 체계에서 사칙연산을 연습해왔고, 복소수의 사칙연산도 이와 크게 다르지 않으니까 어렵게 느낄 필요는 없어요.

복소수의 사칙연산

복소수의 덧셈과 뺄셈

동류항의 덧셈과 뺄셈에서는 문자와 차수가 같은 항끼리 서로 더하고 뺐어요. 제곱근의 덧셈과 뺄셈에서도 근호부분을 하나의 문자로 취급해서 동류항 계산하는 것처럼 계산했고요.

복소수의 덧셈과 뺄셈도 같아요. 복소수는 a + bi의 형태로 되어있지요. 사칙연산을 할 때는 i를 하나의 문자로 취급해서 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산합니다.

a, b, c, d가 실수일 때

(3 + 4i) + (5 + 6i) = (3 + 5) + (4 + 6)i = 8 + 10i가 되는 거죠.

실수부분, 허수부분에 유리수, 무리수가 들어있을 수 있는데, 이때는 유리수끼리, 무리수끼리 나누어서 계산하면 됩니다.

복소수의 곱셈

복소수의 곱셈은 곱셈공식을 이용해서 전개하면 돼요.

(2 + 3i)(4 + 5i) = 8 + 22i + 15i²

그런데 허수와 허수단위에서 i는 -1의 제곱근이라고 했지요? 따라서 i² = -1이에요. 대입에 보면
(2 + 3i)(4 + 5i)
= 8 + 22i + 15i²
= 8 + 22i - 15
= -7 + 22i

분모의 실수화

복소수의 나눗셈은 조금 어려워요.

제곱근의 나눗셈을 할 때, 분모의 유리화라는 걸 했어요. 곱셈공식의 합차공식을 이용했지요? 분모에서 무리수 앞의 부호를 반대로 바꾼 수를 분자, 분모에 곱해줬어요.

복소수의 나눗셈에서는 이와 비슷한 분모의 실수화라는 걸 해야 해요. 분모의 실수화는 이름처럼 분모를 실수로 만들어주는 거예요. 방법은 분모의 유리화와 비슷해요. 허수부분의 앞 부호를 반대로 바꿔서 분자, 분모에 곱해주는 거지요.

허수부분의 앞 부호를 반대로 바꾼 걸 켤레복소수라고 하죠? 결국, 분모의 켤레복소수를 분자, 분모에 곱해주는 걸 분모의 실수화라고 해요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (2 + i) - (3 - 2i)
(2) (3i + 4)(2 - 5i)
(3) (1 + i) ÷ (1 - i)

(1) 복소수의 덧셈은 i를 하나의 문자 취급해서 실수부분끼리, 허수부분끼리 나눠서 계산해요.

(2 + i) - (3 - 2i)
= (2 - 3) + (1 + 2)i
= -1 + 3i

(2) 복소수의 곱셈은 곱셈공식을 이용해서 전개하는데, i² = -1이라는 걸 기억하세요.

(3i + 4)(2 - 5i)
= 6i + 8 - 15i² - 20i
= 8 + 15 + 6i - 20i      (∵ i² = -1)
= 23 - 14i

(3) 복소수의 나눗셈은 분모의 실수화를 통해서 계산합니다.

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"짚신도 짝이 있다."라는 속담 들어본 적 있죠? 운동화는 오른쪽, 왼쪽 두 개가 한 쌍으로 다 있으면 운동화 한 켤레라고 불러요. 한 켤레가 있어야 운동화의 역할을 할 수 있죠?

복소수에서도 켤레라는 말을 써요. 켤레복소수라고 하는데, 두 개가 한 쌍이라는 것쯤은 눈치챌 수 있겠죠? 복소수에서는 어떤 수를 켤레복소수라고 하는지 알아볼 거예요.

운동화 한 켤레에서는 크기나 모양은 같은데, 방향만 반대잖아요. 켤레복소수 사이에도 같은 점과 다른 점이 있겠죠? 켤레복소수의 성질에 대해서도 알아봐요.

켤레복소수

복소수, 허수와 허수단위에서 복소수를 a + bi라고 표현한다고 했어요. a는 실수부분, b는 허수부분이죠.

허수부분의 부호를 반대로 바꾼 걸 켤레복소수라고 해요. a + bi의 켤레복소수는 a - bi죠.

일반적으로 복소수를 z로 표시해요. 복소수 z의 켤레복소수는 z 위에 선을 그어서 라고 쓰고, "z bar"라고 읽죠.

z = a + bi
 =  = a - bi

의 켤레복소수를 구해보죠. a - bi에서 허수부분의 부호만 반대로 바꾸니까 a + bi에요. 이거는 z죠? 즉 의 켤레복소수 = z가 되는 걸 알 수 있어요. 마치 집합의 연산법칙에서 어떤 집합의 여집합의 여집합은 자기 자신이었던 것처럼요. (A^C)^C = A.

z = a + bi →  = a - bi → = a + bi

결국 z와 는 서로가 서로에게 켤레복소수에요.

켤레복소수: 복소수에서 허수부분의 부호만 반대로 한 복소수
서로가 서로에게 켤레복소수. a + bi ↔ a - bi
z의 켤레복소수:

다음 수의 켤레복소수를 구하여라.
(1) 3 + 2i
(2) 5i
(3) -3

켤레복소수는 허수부분의 부호를 반대로 바꾼 거예요.

(1) 허수부분은 2니까 부호를 반대로 바꾼 3 - 2i가 켤레복소수가 되겠네요.

(2) 순허수로 허수부분이 5니까 부호를 반대로 바꾼 -5i가 켤레복소수고요.

(3) 실수도 복소수죠? -3 = -3 + 0i로 -3의 허수수분은 0이에요. 부호를 바꿔도 0i니까 -3의 켤레복소수는 -3이에요.

켤레복소수의 성질

복소수와 그 켤레복소수 사이에는 어떤 성질이 있는지 알아보죠.

z와 를 더해볼까요?

z +  = (a + bi) + (a - bi) = 2a

z -  = (a + bi) - (a - bi) = 2bi

z = (a + bi)(a - bi) = a² - (bi)² = a² + b²

z와 를 더하거나 곱하면 실수가 된다는 걸 알 수 있어요. 뺐을 때는 2bi만 있어서 순허수처럼 보이지만 b = 0이면 0이 되어 실수가 될 수도 있으니까 주의하세요.

이번에는 하나의 켤레복소수가 아니라 두 개의 켤레복소수의 성질을 알아보죠. z₁와 z₂라는 두 개의 복소수에서,
z₁ = a + bi, z₂ = c + di라고 한다면  = a - bi,  = c - di가 되겠죠?

 +  = (a - bi) + (c - di) = (a + c) - (b + d)i 에요.

 = (a + c) - (b + d)i

두 복소수를 더한 다음에 켤레복소수를 구한 것이나 각각의 켤레복소수를 먼저 구하고 더한 것이나 결과가 같죠?

더한 것 외에도 뺀 것, 곱한 것, 나누는 것 모두 위와 같은 성질이 있어요.

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이제까지 실수에 대해서 공부했는데, 이 글부터는 허수와 복소수라는 새로운 수의 체계를 공부합니다. 실수는 실제로 존재하는 수로 Real Number잖아요. 허수는 실제로 존재하지 않는 수예요.

복소수라고 부르는 수는 고등학교 교육과정에서 가장 넓은 수의 체계이며, 더는 새로운 수를 공부하지 않아요. 수의 체계로는 마지막이죠.

허수와 실수의 차이를 알아보고, 복소수는 어떻게 생긴 수이고, 어떤 특징이 있는지 알아보죠.

복소수가 같을 조건을 예제를 통해서 공부해봐요.

허수와 허수단위

1의 제곱근은 제곱해서 1이 되는 수로 ±1이고, 2의 제곱근은 제곱해서 2가 되는 수로 예요.

-1의 제곱근은 얼마일까요? 그런데 (실수)² ≥ 0이니까 제곱해서 -1이 되는 실수는 있을 수 없죠. 중학교에서도 음수의 제곱근은 생각하지 않는다고 공부했어요. 하지만 기호를 이용해서 억지로 만들어보면 ±이 될 거예요.

실수는 실제로 존재하는 수인데, 이 수는 실수가 아니라서 다른 수를 생각하게 된 거죠. 실제로 존재하지 않는 가짜 수라서 허수라고 해요. 영어로는 imaginary number라고 하고요.

허수에서 가장 기본이 을 imaginary number의 첫 글자를 i라고 표시하고, 허수단위라고 불러요.

허수단위 i를 이용해서 숫자를 표시할 수 있어요.

주의하세요. 에요. 2i = 2이에요.

허수는 양수, 음수의 부호가 없어요. 부호가 없으니 크기 비교도 할 수 없고요. 2i가 3i보다 작다고 얘기해서는 안 돼요 어떤 것이 더 큰지 비교할 수 없어요.

복소수

실수와 허수가 섞여 있는 수를 생각해볼 수 있죠? 두 실수 a, b와 허수단위 i를 이용해서 a + bi 형태의 수를 만들 수 있는데, 이 수를 복소수라고 해요. 위의 예에서 허수단위 i를 이용해서 여러 수를 표현해봤는데, i앞에 있는 수는 다 실수죠?

복소수 a + bi에서 a를 실수부분, b를 허수부분이라고 해요.

복소수 a + bi에서 b = 0이면 실수부분인 a만 남죠? 이게 지금까지 공부해왔던 실수예요.

b ≠ 0이면 허수단위가 살아있어서 허수가 되는데, a = 0이면 허수부분인 bi만 남죠? 이때 bi를 순수하게 허수부분만 있는 수라고 해서 순허수라고 해요. 순허수는 제곱하면 음수가 되는 특징이 있어요. i는 -1의 제곱근이니까 제곱하면 -1이 돼요. 따라서 (bi)² = b²i² = -b²이죠.

b ≠ 0이고, a ≠ 0이면 실수부분과 허수부분이 모두 살아있죠? 이때를 순허수 아닌 허수라고 합니다. 정수 아닌 유리수와 비슷하죠?

(x² - 2x - 8 + xi - 4i)를 제곱했더니 음수가 되었다. x의 값을 구하여라.

제곱했더니 음수가 되었다는 말은 이 수가 순허수라는 얘기예요. 즉 실수부분 = 0, 허수부분 ≠ 0이라는 거죠.

x² - 2x - 8 + xi - 4i
= (x² - 2x - 8) + (x - 4)i

주어진 수에서 실수부분이 0이 되는 x를 찾아보죠.
x² - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4, -2

그런데, 여기서 허수부분 x - 4 ≠ 0이니까 x = -2가 되어야 합니다.

복소수가 같을 조건

두 무리수 a + b과 c + d이 같으려면 유리수 부분은 유리수 부분끼리 같고, 무리수 부분은 무리수 부분끼리 같아야 하죠? a = c, b = d

마찬가지로 두 복소수 a + bi와 c + di가 서로 같으려면 실수 부분끼리 같고, 허수 부분끼리 같아야 해요.

a + bi = c + di ↔ a = c, b = d     (a, b, c, d는 실수)

2x + 3y + 4i - 3x + 2yi = 0을 만족하는 x, y의 값을 구하여라.

일단 좌변을 실수부분과 허수부분으로 정리해볼 수 있어요. 그리고 0 = 0 + 0i로 실수부분 = 0, 허수부분 = 0이므로 정리한 좌변과 비교하면 되겠죠.

2x + 3y + 4i - 3x + 2yi = 0
(2x + 3y - 3x) + (4 + 2y)i = 0
(-x + 3y) + (4 + 2y)i = 0

-x + 3y = 0, 4 + 2y = 0이므로 연립방정식 문제네요.

y = -2, x = -6

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절댓값이 뭔지는 알죠? 절댓값은 거리의 개념이기 때문에 0 또는 양수예요. 음수가 나올 수 없어요.

절댓값 기호가 들어있는 식을 푸는 방법은 절댓값 기호 안의 숫자에 따라 달라지는데, 왜 그런지, 숫자에 따라 어떻게 달라지는 지, 어떻게 풀어야 하는지 알아보죠.

똑같은 식이라도 주어진 조건에 따라 푸는 방법이 달라지니까 주어진 조건이 어떤 것인지도 잘 봐야 해요.

약간 복잡할 수 있는데, 절댓값의 개념만 잘 이해한다면 조금은 쉽게 다가갈 수 있어요.

절댓값

절댓값은 수직선 위에서 어떤 실수 a에 대응하는 점과 원점 사이의 거리예요. 거리니까 0또는 양수고요. 기호로는 |a|라고 써요.

만약에 a > 0이면 |a| = a에요. a = 0이면 |a| = a이죠.
a < 0일 때도 |a| = a일까요? 좌변 |a|은 양수, 우변 a는 음수가 돼서 등식이 성립하지 않아요. 이럴 땐 우변에 -1을 곱해서 |a| = -a가 되어야 해요.

절댓값 기호 사이의 숫자나 문자가 0 또는 양수이면 기호를 그냥 없애주고, 음수이면 기호를 없앤 다음에 -를 붙여줘야 해요.

|a - b|
a - b ≥ 0 → |a - b| = a - b
a - b < 0 → |a - b| = -(a - b)

x < 3일 때 |x - 3| + 3 - x를 간단히 하여라.

x < 3 에서 3을 이항 → x - 3 < 0 → |x - 3| = -(x - 3)

|x - 3| + 3 - x
= -(x - 3) + 3 - x
= -x + 3 + 3 - x
= -2x + 6

x - 5 + |5 - x| 를 간단히 하여라.

이 문제가 위와 다른 이유는 x의 범위가 주어져 있지 않다는 거예요.

절댓값을 풀 때는 범위가 중요한데, 이게 빠져있으니까 우리가 범위를 직접 잡아줘야 해요. 이때 범위는 절댓값 부호 안의 숫자가 0이 되는 숫자를 기준으로 나누면 돼요. 5 - x < 0일 때와 5 - x ≥ 0일 때 두 가지 경우로 나눠서 구해야 하죠.

ⅰ) 5 - x < 0일 때, 즉 x > 5일 때,
5 - x  < 0 → |5 - x| = -(5 - x)
x - 5 + |5 - x|
= x - 5 - (5 - x)
= 2x - 10

ⅱ) 5 - x ≥ 0일 때, 즉 x ≤ 5일 때,
5 - x ≥ 0 → |5 - x| = 5 - x
x - 5 + |5 - x|
= x - 5 + 5 - x
= 0

답은 x > 5 일 때는 2x - 10, x ≤ 5일 때는 0 이렇게 둘 다 쓰면 됩니다.

이번에는 절댓값 기호가 두 개 들어있는 식을 계산해보죠.

3 < x < 5일 때, |x - 3| + |x - 5|을 간단히 하여라.

3 < x → x - 3 > 0 → |x - 3| = x - 3
x < 5 → x - 5 < 0 → |x - 5| = -(x - 5)
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 - (x - 5)
= 2

|x - 3| + |x - 5|을 간단히 하여라.

이번에도 범위가 없어요. 그래서 범위를 직접 잡아줘야 하는데, 절댓값이 두 개가 있잖아요. 각각에서 두 개씩 총 네 개의 범위가 나오는데, 이걸 수직선에 그려서 확인해보면 세 개가 되는 걸 알 수 있어요.

|x - 3|에서 x - 3 < 0 → x < 3일 때, x - 3 ≥ 0 → x ≥ 3일 때라는 범위가 생기고
|x - 5|에서 x - 5 < 0 → x < 5일 때, x - 5 ≥ 0 → x ≥ 5일 때라는 범위가 생겨요.

총 네 개의 범위가 생기는데, 이걸 연립부등식처럼 수직선에 표시해보세요.

겹치는 부분이 생기죠. 3 ≤ x < 5

따라서 x의 범위는 x < 3, 3 ≤ x < 5, 5 ≤ x의 세 가지가 돼요.

ⅰ) x < 3일 때
x - 3 < 0, x - 5 < 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= -(x - 3) - (x - 5)
= -x + 3 - x + 5
= -2x + 8

ⅱ) 3 ≤ x < 5일 때,
x - 3 ≥ 0, x - 5 < 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 - (x - 5)
= 2

ⅲ) 5 ≤ x일 때
x - 3 > 0, x - 5 ≥ 0이므로
|x - 3| + |x - 5|
= x - 3 + x - 5
= 2x - 8

절댓값 풀기
절댓값 기호 안이 0이 되는 숫자를 기준으로 잡고, x가 기준보다 크거나 같을 때와 기준보다 작을 때로 나누어 푼다.
|x - a| → x < a, a ≤ x

절댓값이 두 개 있을 때: 절댓값 기호 안이 0이 되는 두 수를 적고, x가 작은 것보다 작을 때, 작은 것과 큰 것 사이, 큰 것보다 클 때의 세 가지 경우로 나눠서 절댓값을 푼다.
|x - a| + |x - b| 일 때, (a, b는 상수, a < b) → x < a, a ≤ x < b, b ≤ x

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두 실수가 있을 때, 크기를 비교하는 방법이에요.

실수의 크기비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해본 적이 있어요. 여기에서 했던 방법에 하나만 더 추가하는 거예요.

두 수의 부호를 이용해서 두 수의 합과 곱, 다른 수와의 합, 차, 곱의 부호를 알 수 있는 성질을 공부할 거예요. 그리고 둘의 크기비교도 해볼거고요. 너무 당연한 성질이라서 읽어보면 왜 그런지 금방 이해할 수 있을 정도로 매우 쉬운 내용이에요.

실수의 대소관계에 대한 기본 성질

실수가 있다면 이 실수는 양수, 0, 음수 중 하나에요. 세 가지가 아닌 실수는 없어요. 실수는 아래와 같은 성질을 가져요.

a는 a > 0, a = 0, a < 0중 하나
a > 0 ⇔ -a < 0
a > 0, b > 0 ⇔ a + b > 0, ab > 0
a² ≥ 0

두 번째는 부등식의 성질에서 공부했던 거죠? 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다. a를 이항했다고 생각해도 되고요.

세 번째, 양수와 양수를 더했으니 결과는 당연히 양수죠. 곱한 것도 물론 양수고요.

네 번째, 양수와 음수는 제곱하면 양수가 되고, 0은 제곱해도 0이니까 어떤 실수든 제곱하면 0보다 크거나 같아요.

이번에는 세 실수에 관한 성질을 알아보죠.

a > b, b > c ⇔ a > c
a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
a > b, c > 0 ⇔ ac > bc
a > b, c < 0 ⇔ ac < bc

두 번째, 세 번째, 네 번째는 부등식의 성질을 그대로 옮겨놓은 거네요.

a - b < 0, ab < 0일 때, a, b의 부호를 구하여라.

a - b < 0에서 a < b에요. ab < 0이라는 말은 하나는 양수고 하나는 음수라는 얘기죠.

따라서 크기가 큰 b > 0, 크기가 작은 a < 0이에요.

실수의 대소비교

위 성질을 이용해서 실제로 두 실수의 크기를 비교하는 방법을 알아보죠.

실수의 대소비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해봤어요. 두 수의 차를 이용했었죠?

a - b > 0 ⇔ a > b
a - b = 0 ⇔ a = b
a - b < 0 ⇔ a < b

한 수에서 다른 수를 빼서, 결과의 부호에 따라 두 수의 크기를 비교할 수 있었어요.

제곱근이나 절댓값처럼 양수인 경우에 제곱의 차를 이용해서 크기를 비교해요. 한 개라도 음수면 사용할 수 없어요.

a > 0, b > 0일 때
a² - b² > 0 ⇔ a > b
a² - b² = 0 ⇔ a = b
a² - b² < 0 ⇔ a < b

[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 대소관계에서 제곱근 밖의 숫자를 제곱해서 제곱근 안으로 넣어서 크기를 비교했죠? 이번에는 제곱근 안으로 넣지 않고, 그냥 전체를 제곱하는 거예요.

다음 두 수의 크기를 비교하여라.
(1) 4, 2

제곱근이 있긴 한데, 둘 다 양수죠? 이럴 때는 제곱을 구해서 뺀 결과의 부호로 크기 비교를 해요.

4² - (2)²
= 16 - 12
= 4 > 0

제곱의 차가 양수이므로 앞에 있는 4가 더 커요. 4 > 2

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사칙연산이 아닌 새로운 연산을 공부할 겁니다. 공통으로 사용되는 연산이 아니라 특정한 문제에서만 사용되는 연산이 있는데, 이들 연산을 계산하는 방법과 중학교에서 공부했던 연산법칙(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙) 사이의 관계를 공부할 거예요.

역수 알죠? 분자와 분모를 뒤집어서 쓰는 숫자잖아요. 오늘 이 글에서 항등원과 역원을 공부하면 왜 역수라고 하는지 이해할 수 있을 거예요. 항등원과 역원은 간단한 계산 문제니까 덧셈, 뺄셈만 잘 하면 맞출 수 있어요. 용어만 헷갈리지 않도록 주의하세요.

실수의 연산법칙

중학교 때 배웠던 연산법칙 세 가지가 있죠?

• 교환법칙: a + b = b + a, ab = ba
• 결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)
• 분배법칙: (a + b)c = ac + bc

교환법칙과 결합법칙은 덧셈과 곱셈에서만 성립해요. 뺄셈과 나눗셈에서는 성립하지 않습니다. 분배법칙은 괄호 안은 덧셈이나 뺄셈이어야 하고, 괄호 밖은 곱셈이나 나눗셈이어야 해요. 괄호 안이 곱셈이거나 괄호 바깥이 뺄셈이면 성립하지 않아요.

이제부터는 사칙연산뿐 아니라 새로운 연산들이 많이 나와요. 심지어는 해당 문제에서만 사용되는 새로운 연산을 만들 수 있어요. 예를 들어서 "a ⊙ b = 2a + b + 1로 정의할 때" 같은 문장을 넣을 수 있다는 거죠. 그러면 그 문제는 문장에 나온 그대로 계산을 해야 해요. 참고로 이 기호는 이름이 없으니까 "a 연산 b"라고 읽으세요.

이처럼 새로운 연산을 만든다 하더라도 위 법칙은 유효합니다.

임의의 세 수 a, b, c에 대하여
교환법칙 성립 ⇔ a ⊙ b = b ⊙ a
결합법칙 성립 ⇔ (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c)
분배법칙 성립 ⇔ (a ⊙ b) △ c = (a △ c) ⊙ (b △ c)

모든 실수에 대하여 연산 △를
 a △ b = a + kb - 3
라고 정의할 때, 이 연산에 대해서 교환법칙이 성립한다고 한다. 상수 k의 값을 구하여라.

일단 연산 △은 (연산 기호 앞의 숫자) + k × (연산 기호 뒤의 숫자) - 3이라고 정의되어 있어요.

교환법칙이 성립한다면 두 실수 a, b에 대하여 a △ b = b △ a가 성립해요. 대입해보죠.

a △ b = b △ a
a + kb - 3 = b + ka - 3
k(b - a) = b - a
k = 1

항등원과 역원

항등원과 역원에 대해 설명을 하기 전에 알아야 할 게 있어요. 항등원과 역원을 구하려면 일단 그 연산에 대하여 닫혀있어야 하고, 교환법칙이 성립해야 합니다. 이 두 가지 조건이 갖추어지지 않았으면 항등원과 역원을 구할 수 없어요.

항등원과 역원을 구하라는 문제는 이 두 조건을 만족한다는 전제가 깔렸으니까 따로 확인해볼 필요는 없어요. 단, 항등원을 구할 수 있는가를 물어보는 경우에는 이 두 가지를 확인하세요.

항등원

집합 S의 임의의 원소 a와 원소 e를 연산한 결과가 a가 될 때 e를 연산에 대한 항등원이라고 해요. 쉽게 말하면 연산을 한 결과가 자기 자신이 되도록 하는 수지요.

10에 0을 더하면 원래 수인 10이 돼요. 100에 0을 더해도 100이 되죠. 덧셈에서는 어떤 수에 0을 더하더라도 원래 수가 나오잖아요. 이때 0을 덧셈에 대한 항등원이라고 해요.

곱셈에서는 어떤 수에 1을 곱하더라도 원래 수가 나와요. 따라서 곱셈에 대한 항등원은 1이에요.

항등원: a ∈ S일 때 a ⊙ e = e ⊙ a = a를 만족하는 e (e ∈ S)

항등원은 그 연산에서 딱 하나만 있어요. 덧셈에는 0, 곱셈에는 1만 항등원이에요.

연산을 어떻게 정의하느냐에 따라서 항등원이 없을 수도 있어요.

역원

집합 S의 임의의 원소 a와 x를 연산한 결과가 항등원 e가 될 때 x를 연산에 대한 a의 역원이라고 해요. 항등원이 나오게 하는 수지요.

10에 -10을 더하면 덧셈의 항등원인 0이 되죠? 그래서 덧셈에 대한 10의 역원은 -10이에요. 덧셈에 대한 20의 역원은 -20이죠.

10에 얼마를 곱해야 곱셈에 대한 항등원인 1이 나오나요? 이에요. 20에 을 곱하면 1이 나오죠? 곱셈에 대한 역원은 역수에요.

역원: a ∈ S일 때, a ⊙ x = x ⊙ a = e를 만족하는 x (x ∈ S)

역원은 하나의 연산에서 하나만 있는 게 아니에요. 같은 연산이라 하더라도 숫자마다 달라져요. 덧셈에 대한 10과 20의 역원이 달랐죠?

역원은 연산 결과가 항등원이 나오는 수에요. 따라서 역원을 구하려면 항등원을 미리 구해야 해요. 항등원이 없으면 역원도 없어요. 또, 연산을 어떻게 정의하느냐에 따라서 항등원만 있고, 역원이 없는 경우도 있습니다.

항등원은 연산에 대해서 하나만 존재하기 때문에 문제에서도 그냥 항등원을 구하라고 나와요. 역원은 숫자마다 달라져요. 따라서 문제에서는 "3의 역원을 구하여라. 4의 역원을 구하여라."처럼 숫자를 하나 지정해주고 그 숫자의 역원을 구하게 됩니다.

모든 실수에 대하여 연산 △를
 a △ b = a + b - 3
라고 정의할 때, 연산 △에 대한 항등원과 5의 역원을 구하여라.

항등원을 e, 5의 역원을 x라고 해보죠.

항등원은 a △ e = e △ a = a를 만족하는 e를 구하는 거니까 식에 대입해보면
a + e - 3 = a
e = 3

연산 △에 대한 항등원은 3이네요.

5의 역원은 연산한 결과가 항등원 3이 나오는 x에요.
5 △ x = x △ 5 = 3
5 + x - 3 = 3
x = 1

연산 △에 대한 5의 역원은 1이네요.

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수학에서 사용하는 가장 기초적인 부분이 바로 숫자에요. 이 글에서는 숫자의 체계에 대해서 한 번 더 정리합니다. 이미 알고 있는 거니까 간단하게 보고 넘어가죠.

연산에 대해서 닫혀있다는 용어에 대해서 공부할 거예요. 사실 아주 중요한 내용은 아닌데요, 다음에 공부할 항등원과 역원의 전제조건이 되는 내용이기 때문에 이해는 하고 있어야 해요.

복잡하지는 않으니까 가볍게 읽는다는 생각으로 공부하세요.

실수 체계, 실수의 분류

실수 체계는 [중등수학/중3 수학] - 무리수와 실수, 실수체계에서 공부한 적이 있어요. 한 번 정리해보죠.

이 두 그림이면 실수체계에 대해서는 완전히 설명할 수 있으니까 잘 익혀두세요. 앞으로 실수 범위를 넘어선 수의 체계를 공부할 건데 그것과 헷갈리면 안 되니까요.

문제에서 수에 대해서 아무런 언급이 없다면 실수 범위의 수를 사용한다고 생각하세요.

연산에 대하여 닫혀있다

공집합이 아닌 어떤 집합 S에서 임의의 원소 2개를 뽑아서 어떤 연산을 한 결과가 항상 집합 S의 원소일 때, 집합 S는 그 연산에 대해서 닫혀있다고 합니다.

예를 들면 자연수의 집합에서 임의의 두 수를 뽑아서 더하면 그 결과인 수는 다시 자연수 집합의 원소가 되잖아요. 이때, 자연수 집합은 덧셈에 대하여 닫혀있다고 하는 거지요.

임의의 원소 2개는 같을 수도 있고 다를 수도 있어요. 그리고 최소한 1개의 원소를 선택해야 하니까 원소가 하나도 없는 공집합은 제외합니다. 닫혀있다의 반대는 "열려있다"가 아니라 "닫혀있지 않다."에요.

아래 표는 수의 체계와 사칙연산에 대하여 닫혀있는지를 나타내는 표에요. 이 표를 잘 이해하세요. 객관식 문제로 자주 나옵니다. 나눗셈에서 0으로 나누는 건 제외해요.

어떤 수 집합이 닫혀있지 않다는 것을 증명하려면 명제의 참, 거짓에서 사용했던 것처럼 반례를 하나만 찾으면 돼요.

자연수에서 1 - 2 = -1로 결과가 자연수가 아니에요. 따라서 자연수는 뺄셈에 대해서 닫혀있지 않죠. 마찬가지로 1 ÷ 2 = ½로 자연수가 아니어서 나눗셈에 대해서도 닫혀있지 않아요. 덧셈과 곱셈에 대해서는 닫혀있어요.

정수는 1 ÷ 2 = ½로 정수가 아니라서 정수는 나눗셈에 대해서 닫혀있지 않아요. 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서는 닫혀있어요.

무리수는 사칙연산 모두에 대하여 닫혀있지 않아요.  + (-) = 0으로 유리수고요.  -  = 0으로 유리수, × = 2로 유리수, ÷ = 1로 유리수잖아요.

유리수와 실수는 어떤 수를 사용해도 사칙연산한 결과가 유리수, 실수가 나와요. 따라서 유리수와 실수는 사칙연산에 대해서 닫혀있어요.

집합 S = {-1, 0, 1}일 때, 사칙연산 중 어느 연산에 대하여 닫혀있는가? (단, 0으로 나누는 것은 제외)

연산에 대하여 닫혀있으려면 집합의 임의의 원소 두 개를 선택해서 연산한 결과가 다시 집합의 원소여야 돼요.

원소가 몇 개 안 되니까 직접 연산을 해서 결과를 찾아보죠.

덧셈과 뺄셈의 연산 결과에서는 집합 S의 원소가 아닌 -2, 2가 있어서 집합 S는 덧셈과 뺄셈에 대해서는 닫혀있지 않네요. 곱셈과 나눗셈은 연산 결과가 모두 집합 S = {-1, 0, 1}에 포함되어 있어요. 따라서 집합 S는 곱셈과 나눗셈에 대하여 닫혀있어요.

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명제 p → q에서 가정인 p와 결론인 q는 조건이에요.

명제 p → q가 참이면 p와 q가 그냥 조건이 아니라 이름이 생겨요. 필요조건, 충분조건, 필요충분조건이라는 이름인데, 언제 어떤 경우에 이런 이름으로 부르는지 공부할 거예요.

또, 필요조건, 충분조건, 필요충분조건과 진리집합 사이의 관계도 알아볼거고요.

여기서는 부등식, 수직선과 관련된 문제들도 많이 나오니까 연립부등식, 연립부등식의 풀이했던 내용을 다시 한 번 떠올려보세요.

필요조건, 충분조건, 필요충분조건

명제의 참, 거짓, 반례에서 명제 p → q가 참일 때 기호로 p ⇒ q로 쓴다고 했죠? 이때, 조건 p를 q이기 위한 충분조건, 조건 q를 p이기 위한 필요조건이라고 해요.

화살표가 나가는 가정이 충분조건, 화살표를 받는 결론이 필요조건이죠.

가정        결론
p    ⇒    q
P    ⊂    Q
충분조건     필요조건

만약에 q → p라면 q는 p이긴 위한 충분조건, p는 q이기 위한 필요조건이에요.

p ⇔ q라면 어떨까요? 화살표는 주는 게 충분조건, 받는 게 필요조건인데, 이때 p와 q는 화살표를 주기도 하면서 받기도 하죠? 그래서 필요조건이면서 충분조건이므로 줄여서 p는 q이기 위한 필요충분조건이라고 해요. 마찬가지로 q도 p이기 위한 필요충분조건이에요.

진리집합

p의 진리집합을 P, q의 진리집합을 Q라고 할 때, p ⇒ q라면 P ⊂ Q에요. q ⇒ p라면 Q ⊂ P죠.

p ⇔ q라면 어떻게 될까요? P ⊂ Q이고, Q ⊂ P에요. 부분집합, 부분집합의 개수 구하기에서 A ⊂ B이고 B ⊂ A면 A = B라고 했죠? 따라서 p ⇔ q이면 P = Q에요.

P ⊂ Q이면 p는 q이기 위한 충분조건
P ⊂ Q이면 q는 p이기 위한 필요조건
P = Q이면 p는 q이기 위한 필요충분조건

조건은 필요조건, 충분조건, 필요충분조건 세 가지가 있어요. 이 중에서 필요충분조건은 진리집합이 서로 같은 경우라서 알아보기 쉬워요. 남은 건 충분조건과 필요조건인데, 둘 중 하나만 구별하는 법을 정확하게 알아두세요. 하나만 정확하게 파악하면 나머지 하나는 자동으로 결정되는 거잖아요.

충분조건: 가정, 화살표가 나가는 쪽, 부분집합
필요조건: 결론, 화살표를 받는 쪽, 부분집합을 포함하는 집합
필요충분조건: 충분조건 + 필요조건

두 조건 p: a ≤ x < 5, q: 3 < x ≤ b에서 조건 p가 q이긴 위한 필요조건이고, q는 p이기 위한 충분조건일 때, a, b의 범위를 구하여라.

p가 필요조건, q가 충분조건으로 필요조건인 p가 화살표를 받는 형태인 q ⇒ p이고, 진리집합은 Q ⊂ P에요. 부등식을 수직선에 나타내보면 쉬워요.

3 < x ≤ b가 a ≤ x < 5의 안에 들어가야 하니까 수직선으로 그려보면 위 그림처럼 돼요.

a는 3보다 왼쪽에 있으면 되는데, 3이 되어도 괜찮죠? Q에는 3이 포함되어 있지 않으니까요. 따라서 a ≤ 3이에요.

b는 5보다 왼쪽에 있으면 되는데, 5가 되면 안 돼요. Q에는 5가 들어있는데, P에 5가 들어있지 않으면 Q ⊂ P가 안 되잖아요. b < 5여야 하는데 여기에 3 < x이므로 b도 3보다 커야 해요. 따라서 3 < b < 5

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