두 실수가 있을 때, 크기를 비교하는 방법이에요.

실수의 크기비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해본 적이 있어요. 여기에서 했던 방법에 하나만 더 추가하는 거예요.

두 수의 부호를 이용해서 두 수의 합과 곱, 다른 수와의 합, 차, 곱의 부호를 알 수 있는 성질을 공부할 거예요. 그리고 둘의 크기비교도 해볼거고요. 너무 당연한 성질이라서 읽어보면 왜 그런지 금방 이해할 수 있을 정도로 매우 쉬운 내용이에요.

실수의 대소관계에 대한 기본 성질

실수가 있다면 이 실수는 양수, 0, 음수 중 하나에요. 세 가지가 아닌 실수는 없어요. 실수는 아래와 같은 성질을 가져요.

a는 a > 0, a = 0, a < 0중 하나
a > 0 ⇔ -a < 0
a > 0, b > 0 ⇔ a + b > 0, ab > 0
a2 ≥ 0

두 번째는 부등식의 성질에서 공부했던 거죠? 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다. a를 이항했다고 생각해도 되고요.

세 번째, 양수와 양수를 더했으니 결과는 당연히 양수죠. 곱한 것도 물론 양수고요.

네 번째, 양수와 음수는 제곱하면 양수가 되고, 0은 제곱해도 0이니까 어떤 실수든 제곱하면 0보다 크거나 같아요.

이번에는 세 실수에 관한 성질을 알아보죠.

a > b, b > c ⇔ a > c
a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
a > b, c > 0 ⇔ ac > bc
a > b, c < 0 ⇔ ac < bc

두 번째, 세 번째, 네 번째는 부등식의 성질을 그대로 옮겨놓은 거네요.

a - b < 0, ab < 0일 때, a, b의 부호를 구하여라.

a - b < 0에서 a < b에요. ab < 0이라는 말은 하나는 양수고 하나는 음수라는 얘기죠.

따라서 크기가 큰 b > 0, 크기가 작은 a < 0이에요.

실수의 대소비교

위 성질을 이용해서 실제로 두 실수의 크기를 비교하는 방법을 알아보죠.

실수의 대소비교는 [중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교에서 해봤어요. 두 수의 차를 이용했었죠?

a - b > 0 ⇔ a > b
a - b = 0 ⇔ a = b
a - b < 0 ⇔ a < b

한 수에서 다른 수를 빼서, 결과의 부호에 따라 두 수의 크기를 비교할 수 있었어요.

제곱근이나 절댓값처럼 양수인 경우에 제곱의 차를 이용해서 크기를 비교해요. 한 개라도 음수면 사용할 수 없어요.

a > 0, b > 0일 때
a2 - b2 > 0 ⇔ a > b
a2 - b2 = 0 ⇔ a = b
a2 - b2 < 0 ⇔ a < b

[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 대소관계에서 제곱근 밖의 숫자를 제곱해서 제곱근 안으로 넣어서 크기를 비교했죠? 이번에는 제곱근 안으로 넣지 않고, 그냥 전체를 제곱하는 거예요.

다음 두 수의 크기를 비교하여라.
(1) 4, 2제곱근 3

제곱근이 있긴 한데, 둘 다 양수죠? 이럴 때는 제곱을 구해서 뺀 결과의 부호로 크기 비교를 해요.

42 - (2제곱근 3)2
= 16 - 12
= 4 > 0

제곱의 차가 양수이므로 앞에 있는 4가 더 커요. 4 > 2제곱근 3

함께 보면 좋은 글

[중등수학/중3 수학] - 실수의 대소관계, 실수의 크기비교
[중등수학/중2 수학] - 부등식의 성질

정리해볼까요

실수의 대소관계

  • a - b > 0 ⇔ a > b
  • a - b = 0 ⇔ a = b
  • a - b < 0 ⇔ a < b

a > 0, b > 0 일 때

  • a > 0, b > 0일 때
  • a2 - b2 > 0 ⇔ a > b
  • a2 - b2 = 0 ⇔ a = b
  • a2 - b2 < 0 ⇔ a < b
 
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