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1학기 마지막이네요. 마지막이니까 짧게 한 가지만 하고 금방 끝내죠.

이번 시간에는 절대부등식 중에서 코시 슈바르츠 부등식이라는 걸 공부할 거예요. 코시 슈바르츠 부등식은 코시와 슈바르츠라는 두 사람이 만들고 발전시킨 절대부등식이에요. 두 사람의 이름을 따서 부르지요.

산술, 기하평균처럼 계산할 때 자주 사용하는 절대부등식이니까 왜 항상 성립하는지를 증명할 수 있어야 하고, 공식도 외우고 있어야 해요.

코시 슈바르츠 부등식

이게 외우기가 살짝 헷갈리는데, 문자 그대로 외우기보다는 문자의 위치와 차수를 이용해서 그림처럼 외우는 게 조금 더 잘 외워질 거예요. 부등호의 왼쪽은 모두 제곱인 항이고, 부등호의 오른쪽은 완전제곱식이에요.

코시 슈바르츠 부등식

(ay = bx일 때 등호 성립)

이 부등식이 진짜로 항상 참인 절대부등식인지 증명해볼까요? 양변을 전개해서 정리해보죠

(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²
a²x² + a²y² + b²x² + b²y² ≥ a²x² + 2abxy + b²y²
a²y² - 2abxy + b²x² ≥ 0
(ay - bx)² ≥ 0

등식이 성립하니까 이 부등식은 참이에요. 그리고 ay - bx = 0일 때 즉 ay = bx이면 등호가 성립하고요.

다음을 구하여라.
(1) x² + y² = 5일 때, x + 3y의 최댓값과 최솟값
(2) m² + 4n² = 4일 때, 4m + 6n의 최댓값과 최솟값

코시-슈바르츠 부등식 (a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²의 자리에 대입해보죠.

(1) a = 1, b = 3이네요.

(1² + 3²)(x² + y²) ≥ (x + 3y)²
(1 + 9)(x² + y²) ≥ (x + 3y)²
10 × 5 ≥ (x + 3y)²
50 ≥ (x + 3y)²
- ≤ x + 3y ≤

x + 3y의 최댓값은 , 최솟값은 -

(2) 4n² = (2n)²인데, 헷갈리니까 m = x, 2n = y로 치환하죠. 식을 다시 써보면 x² + y² = 4일 때 4x + 3y의 최대, 최소를 구하는 문제예요. 이때 a = 4, b = 3이네요.

(4² + 3²)(x² + y²) ≥ (4x + 3y)²
(16 + 9)(x² + y²) ≥ (4x + 3y)²
25 × 4 ≥ (4x + 3y)²
100 ≥ (4x + 3y)²
-10 ≤ 4x + 3y ≤ 10
-10 ≤ 4m + 6n ≤ 10

4m + 6n의 최댓값은 10, 최솟값은 -10이군요.

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절대부등식은 항상 성립하는 부등식이라고 했어요. 절대부등식의 종류는 매우 많으니까 굳이 다 알고 있을 필요는 없어요.

하지만 꼭 알고 있어야 하는 절대부등식이 몇 가지 있죠. 바로 산술, 기하, 조화평균에 관한 절대부등식이에요. 이 절대부등식을 증명할 수 있어야 할 뿐 아니라 공식으로 외워야 합니다.

산술, 기하, 조화평균에 관한 절대부등식이 어떤 것인지, 어떻게 증명하는지, 이 공식을 이용해서 어떤 문제를 푸는지에 대해서 공부해보죠.

산술, 기하, 조화평균

산술 평균은 시험 점수나 키 평균처럼 우리가 익히 알고 있는 평균을 말해요. 기하평균과 조화평균은 2학년이 되면 공부할 테니까 여기서는 그냥 넘어가고 어떻게 구하는지만 알아봐요.

두 수 a, b의 산술평균 =
두 수 a, b의 기하평균 =
두 수 a, b의 조화평균 =

결론부터 얘기하자면, 이 산술, 기하, 조화평균 사이에는 재미있는 규칙이 있는데, 이 규칙을 부등식으로 나타냈더니 a, b에 상관없이 항상 성립하는 절대부등식이 된 거예요.

a > 0, b > 0일 때

(등호는 a = b일 때 성립)

그리고 중요한 것 한 가지. 이 평균들의 절대부등식을 이용할 때는 숫자들이 모두 양수여야 한다는 거예요.

산술, 기하평균

우선, 산술평균과 기하평균 사이의 관계부터 증명해보죠.

이니까 부등식은 참이 되죠? 그리고 a = b이면 0이 되어 등호가 성립해요.

이 산술, 기하평균을 보면 두 수의 합과 곱으로 되어 있죠? 합이 있는 왼쪽이 더 크거나 같아요. 그래서 이 공식의 특징을 이용해서 합과 곱의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제가 많이 나와요.

• 두 수의 합이 주어졌을 때 곱의 최댓값
• 두 수의 곱이 주어졌을 때 합의 최솟값
• 두 분수의 합의 최솟값(두 분수를 곱해서 숫자만 남을 때)

a > 0, b > 0일 때 다음을 구하여라.
(1) a + b = 4일 때 ab의 최댓값
(2) ab = 9일 때 a + b의 최솟값
(3) 의 최솟값

산술, 기하평균 사이의 관계식 의 각 자리에 숫자를 대입하면 돼요. a > 0, b > 0,  > 0이에요.

ab는 4보다 작거나 같으므로 두 수의 곱의 최댓값은 4

a + b는 6보다 크거나 같으므로 두 수의 합의 최솟값은 6

(3)번은 두 수의 합의 최솟값을 구하라고 했어요. (2)에서는 합의 최솟값을 구할 때 두 수의 곱을 알려줬는데, 여기서는 알려주지 않았죠? 두 수를 곱하면 문자가 없어지고 숫자만 남아서 곱을 구할 수 있으니까요.

분수면 식이 복잡해지니까 산술, 기하평균의 절대부등식의 모양을 조금 바꿔서 대입해보죠.

위 식에 두 분수를 대입해보죠.

두 분수의 합의 최솟값은

기하, 조화평균

이번에는 기하평균과 조화평균의 관계를 증명해보죠.

a > 0, b> 0일 때  > 0이고 이니까 부등식은 참이죠? 그리고 a = b이면 0이 되어 등호가 성립해요.

기하, 조화평균을 이용한 문제는 별로 나오지 않지만 위 과정을 통해서 증명할 수 있어야 해요.

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절대부등식이라는 새로운 용어가 나오는데, 이 절대부등식은 증명을 통해서 이게 절대적인 힘(?)을 가지고 있다는 것을 보여줘야 해요.

절대부등식을 증명할 때 여러 가지 조건들과 성질들을 이용하는데, 이런 성질들을 잘 기억하고 있어야 해요. 새로운 성질을 공부하는 건 아니고 그동안 공부했던 여러 가지를 정리하는 차원이라고 생각하세요.

증명을 해야 하니까 내용이 조금 어려울 수 있으니 집중해서 보세요.

절대부등식

등식에 미지수가 있을 때, 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식을 항등식이라고 해요. 부등식에도 미지수가 있을 때, 미지수에 어떤 값을 대입해도 성립하는 부등식이 있는데 그걸 바로 절대부등식이라고 하지요.

이차부등식이 항상 성립할 조건을 공부했었죠? 이처럼 항상 성립하는 부등식이 절대부등식이에요.

어떤 부등식을 보고 이게 진짜로 항상 참이 되는지 알아볼 필요가 있겠죠? 절대부등식은 증명을 통해서 그게 항상 참인지 밝혀야 해요.

부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질

부등식은 부등호로 되어 있는데, 부등호는 기본적으로 대소관계를 나타내는 거죠? 그래서 부등식의 증명에서는 실수의 대소관계에 대한 기본 성질을 이용합니다.

그 외에도 몇 가지가 더 있는데, 부등식의 증명에 사용하는 실수의 성질을 정리해보면 아래와 같아요.

• a > b ⇔ a - b > 0
• a² ≥ 0
• a > 0, b > 0일 때
  • a > b ⇔ a² > b²
  • a > 0, b > 0일 때,
• |a| ≥ a, |a|² = a², |a||b| = |ab|

실수의 대소비교를 할 때는 차를 이용해서 비교해요. 차가 양수면 앞에 있는 수가 더 큰 수잖아요. 그리고 모든 실수의 제곱은 0보다 크거나 같고요.

세 번째에 있는 건, 근호나 절댓값을 포함한 식을 비교할 때인데 이때는 두 식의 제곱의 차를 이용해서 대소를 비교해요.

네 번째는 절댓값의 성질이에요. 절댓값은 0 또는 양수니까 계산한 결과가 0 또는 양수라면 절댓값 기호를 그냥 없애도 상관없잖아요.

a, b, c가 실수일 때 다음 부등식을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 구하여라.
(1) a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca
(2)  (단, a > 0, b > 0)
(3) |a| + |b| ≥ |a + b|

(1) 우변에 있는 항을 좌변으로 이항해서 정리해보죠.

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca
a² + b² + c² - ab - bc - ca ≥ 0
 × 2(a² + b² + c² - ab - bc - ca) ≥ 0
× (2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca) ≥ 0
 × (a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a²) ≥ 0
 {(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²} ≥ 0

(a - b)² ≥ 0, (b - c)² ≥ 0, (c - a)² ≥ 0이므로 위 등식은 참. a = b = c일 때 등호 성립

원래 곱셈공식의 변형에 나오는 건데 등호만 부등호로 바뀐 거예요.

(2) 번은 근호가 있어요. a > 0, b > 0이니까 이예요. 모두 양수니까 제곱해서 비교할 수 있어요.

양변이 모두 양수이고 제곱했을 때 좌변이 크니까 제곱하지 않았을 때도 좌변이 커요. a > 0, b > 0이니까 등호가 성립할 수는 없겠죠?

(3) |a| + |b| ≥ |a + b|도 절댓값으로 모든 항이 양수니까 제곱해서 비교해보죠. 그리고 절댓값이 있으니까 |a|² = a², |a||b| = |ab|도 기억하고요.

|a| + |b| ≥ |a + b|
(|a| + |b|)² ≥ (|a + b|)²
|a|² + 2|a||b| + |b|² ≥ (a + b)²
a² + 2|ab| + b² ≥ a² + 2ab + b²
2|ab| - 2ab ≥ 0
2(|ab| - ab) ≥ 0

|ab| ≥ ab이므로 부등식이 참. |ab| = ab일 때 즉 ab ≥ 0일 때 등호 성립. (a, b의 부호가 같거나 적어도 하나가 0일 때)

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중학교 2학년 때 부등식을 공부했어요. 그리고 연립부등식도 공부했지요. 이차부등식을 공부했으니까 이제는 연립이차부등식을 공부할 차례죠?

연립이차부등식의 풀이는 이차부등식의 풀이 + 연립부등식 풀이에요. 그러니까 이차부등식, 이차부등식의 해, [중등수학/중2 수학] - 연립부등식의 풀이에 대해서 잘 알고 있어야 해요.

연립이차부등식의 해를 구할 때는 수직선을 이용하면 편해요. 물론 수직선을 그리지 않고 바로 해를 구할 수 있으면 더 좋고요.

연립이차부등식

부등식을 여러 개 묶어놓은 걸 연립부등식이라고 하는데, 이 중 차수가 가장 높은 부등식이 이차식일 때, 이 연립부등식을 연립이차부등식이라고 해요.

연립이차부등식의 해는 연립된 모든 부등식을 만족하는 해로, 각각의 부등식의 해의 교집합이에요.

1. 각각의 이차부등식의 해를 구한다.
2. 구한 해의 공통부분이 해

연립이차부등식 의 해를 구하여라.

두 개의 이차부등식으로 되어 있는데, 각각의 해를 구해보죠.

(1) x² - 4x + 3 > 0
(x - 1)(x - 3) > 0
x < 1 or x > 3

(2) x² - 2x - 3 ≤ 5
x² - 2x - 8 ≤ 0
(x - 4)(x + 2) ≤ 0
-2 ≤ x ≤ 4

따라서 해는 -2 ≤ x < 1 or 3 < x ≤ 4

연립이차부등식 의 해가 2 ≤ x < 6일 때, a의 범위를 구하여라.

(1) x² - 5x - 6 < 0
(x - 6)(x + 1) < 0
-1 < x < 6

(2) x² - (a + 2)x + 2a ≥ 0
(x - a)(x - 2) ≥ 0

(2)에서 a > 2이면 해는 x ≤ 2 or x ≥ a일 테고, a < 2 이면 x ≤ a or x ≥ 2가 되겠죠? a = 2라면 해는 모든 실수고요.

먼저 수직선에 (1)의 해 -1 < x < 6은 그림에서 빨간선처럼 돼요. 그런데 연립이차부등식의 해가 2 ≤ x < 6라고 했으니 (2)의 해는 그림에서 파란선처럼 그려줘야만 해요. x ≤ a or x ≥ 2일 때죠. 일단 a < 2이어야 하네요.

수직선에서 a가 -1보다 오른쪽에 있으면 (-1 < a < 2이라면), -1 < x ≤ a라는 해가 생기므로 문제의 조건에 맞지 않아요. a는 -1보다 왼쪽에 있어야 해요. a < -1

하나 더 살펴보죠. 만약에 a = -1이면 어떻게 될까요? (1)식에는 부등호에 등호가 없기 때문에 a = -1이 되어도 겹치는 부분이 없어요. a = -1이 되어도 괜찮아요.

따라서 a ≤ -1 입니다.

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이차부등식의 해를 구할 때, 이차부등식의 해가 모든 실수가 되는 경우가 있었어요. 모든 실수가 해가 되는 경우에는 x에 어떤 값을 넣어도 그 식은 성립하죠.

부등식 ax > b의 풀이, 부정, 불능에서 항상 성립하는 조건을 알아봤던 것과 비슷한 거예요. 이차부등식이기 때문에 최고차항의 계수뿐 아니라 판별식 D를 이용해서 그 조건을 알아볼 거예요.

이차부등식의 모양과 이차부등식이 항상 성립할 조건이 비슷하게 생겼으니까 그 모양을 잘 비교해보세요.

이차부등식이 항상 성립할 조건

이차부등식이 항상 성립할 조건은 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용을 기억하세요. 이차부등식 ax² + bx + c > 0 (a > 0)일 때를 비롯하여 부등호의 기호와 판별식에 따라서 해가 어떻게 되는지 알아봤죠? 이 중에 모든 실수를 해로 갖는 경우가 바로 이차부등식이 항상 성립할 조건이니까요.

일단 위 표에서 해가 모든 실수인 경우가 두 가지 있네요.

• ax² + bx + c > 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D < 0일 때
• ax² + bx + c ≥ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때

그럼 ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≤ 0일 때는 항상 성립하는 경우가 없을까요? 아니에요. 이 표가 a > 0일 때만 조사해서 그런 거예요.

a < 0일 때를 알아볼까요?

이차부등식의 좌변을 완전제곱꼴로 바꿔보죠.

이 항상 성립하려면 어떤 조건이 있어야 할까요?

일단 a < 0이고  ≥ 0이니까 a ≤ 0이에요.

D > 0일 때를 보죠. D > 0이면  < 0이에요. 이때 는 (0 또는 음수) - (음수) 꼴이 되는데 이건 0보다 클 수도 있고 작을 수도 있어요. 그래서 항상 성립한다고 할 수는 없어요.

D = 0일 때를 보죠. D = 0이면  = 0이에요. 이때 는 (0 또는 음수) - 0 꼴이 되는데 이건 0일 수도 있고 음수일 수도 있죠? 그래서 항상 성립한다고 할 수는 없어요.

D < 0일 때를 보죠. D < 0이면  > 0이에요. 이때 는 (0 또는 음수) - (양수) 꼴이 되는데 이건 무조건 0보다 작죠? 그래서 항상 성립한다고 할 수 있어요.

따라서 a < 0일 때, ax² + bx + c < 0이 항상 성립하려면 D < 0이어야 해요.

a < 0이고 D < 0일 때는 ax² + bx + c ≤ 0도 당연히 성립해요. D = 0일 때는 ax² + bx + c이 0 또는 음수이니까 역시 성립하죠. 결국 D ≤ 0이면 항상 성립해요.

• ax² + bx + c < 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D < 0일 때
• ax² + bx + c ≤ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때

총 네 가지 경우에 이차부등식이 항상 성립해요.

• ax² + bx + c > 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D < 0일 때
• ax² + bx + c ≥ 0이 항상 성립할 조건: a > 0이고 D ≤ 0일 때
• ax² + bx + c < 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D < 0일 때
• ax² + bx + c ≤ 0이 항상 성립할 조건: a < 0이고 D ≤ 0일 때

잘 보면 특징이 있어요.

이차부등식의 좌변이 우변의 0보다 큰지 작은지와 이차항의 계수가 양수인지 음수인지가 같죠. 좌변이 우변의 0보다 크면 이차항의 계수도 0보다 커요. 좌변이 우변의 0보다 작으면 이차항의 계수도 0보다 작죠.

그리고 무조건 판별식 D < 0인데, 이차부등식에 등호가 포함되어 있으면 판별식 D에도 등호가 포함되어 있고, 이차부등식에 등호가 없으면 판별식에도 등호가 없어요.

이차부등식 (k + 2)x² + (k + 2)x + 2 > 0이 항상 성립할 때 정수 k를 모두 구하여라.

이차부등식의 모양을 잘 보세요. 좌변이 우변보다 커요. 부등호에는 등호가 없고요. 이때는 이차항의 계수 > 0이고, D < 0이어야 해요.

k + 2 > 0
k > -2

D = (k + 2)² - 4 × (k + 2) × 2 < 0
k² + 4k + 4 - 8k - 16 < 0
k² - 4k - 12 < 0
(k - 6)(k + 2) < 0
-2 < k < 6

-2 < k < 6이므로 정수 k = -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5네요.

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이차방정식의 해를 구할 때 어떻게 했나요? 인수분해를 하고, 인수를 0으로 만드는 수를 근 α, β라고 했었죠? 이 과정을 거꾸로 해서 두 근 α, β를 알려주고 이차방정식을 구하는 걸 두 수를 근으로 하는 이차방정식에서 해봤어요.

여기서도 마찬가지로 이차부등식, 이차부등식의 해에서는 식을 주고 해를 구하는 거였는데, 이번에는 해를 알려주고 이차부등식을 구하는 거예요.

기존에 공부했던 내용을 거꾸로만 하면 되니까 앞에서 했던 내용을 잘 기억한다면 어렵지 않은 내용이에요.

이차부등식의 작성

이차부등식, 이차부등식의 해에서 부등식에 따라 해를 어떻게 구했는지 정리해볼까요?

a > 0, α < β일 때
a(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
a(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β
a(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
a(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

이 글에서는 위 내용에서 화살표를 거꾸로 갈 거예요.

해가 어떤 모양으로 생겼는지 그리고 부등호에 등호가 포함되었는지를 잘 봐야 해요. 편의상 위에서부터 1번이라고 부를게요.

a > 0이고, α < β일 때

1. x < α or x > β → a(x - α)(x - β) > 0
2. x ≤ α or x ≥ β → a(x - α)(x - β) ≥ 0
3. α < x < β → a(x - α)(x - β) < 0
4. α ≤ x ≤ β → a(x - α)(x - β) ≤ 0

해가 -2 < x < 4이고 이차항의 계수가 2인 이차부등식을 구하여라.

해의 모양이 두 수 사이이고, 이차항의 계수가 2네요. 그리고 부등호에 등호가 없으니까 (3) a(x - α)(x - β) < 0의 형태겠네요. 이때 α = -2, β = 4, a = 2에요.

2(x + 2)(x - 4) < 0
2(x² - 2x - 8) < 0
2x² - 4x - 16 < 0

해가 x ≤ 3 또는 x ≥ 6이고, 이차항의 계수가 -2인 이차부등식을 구하여라.

이번에는 해의 모양이 작은 수보다 작거나 같고 큰 수보다 크거나 같아요. 등호도 포함되어 있죠. 그러니까 (2) a(x - α)(x - β) ≥ 0의 형태겠네요. α = 3, β = 6, a = -2예요.

-2(x - 3)(x - 6) ≥ 0
-2(x² - 9x + 18) ≥ 0
-2x² + 18x - 36 ≥ 0

이게 답일까요? 여기서 주의해야 할게 a의 부호예요. 위의 개념정리에서 사용했던 공식에서는 a > 0인데, 문제에서는 a = -2로 음수에요. 그러니까 모양이 조금 달라져야 합니다.

이때는 어떻게 하냐면 일단 이차항의 계수를 생략하고 식을 세워요.

(x - 3)(x - 6) ≥ 0

그다음에 양변에 이차항의 계수인 -2를 곱해주는 거예요. 부등식의 성질에 의해 음수를 곱하니까 부등호의 방향이 바뀌어야겠죠?

-2(x - 3)(x - 6) ≤ 0
-2(x² - 9x + 18) ≤ 0
-2x² + 18x - 36 ≤ 0

이차항의 계수가 음수라서 풀이도 약간 다르고, 모양도 공식과 달라요. 주의하세요.

이차부등식 x² + (a + 1)x + 3b > 0의 해가 x < -2 또는 x > 3일 때, a + b의 값을 구하여라.

이차방정식의 해가 x < -2 또는 x > 3이고 이차항의 계수가 1, 등호가 없으니까 (1) a(x - α)(x - β) > 0꼴이네요.

(x + 2)(x - 3) > 0
x² - x - 6 > 0

a + 1 = -1
a = -2

3b = -6
b = -2

a + b = - 2 + (-2) = -4

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이차부등식의 해를 구할 때 판별식을 보면 해를 구할 수 있어요. 물론 해를 바로 구할 수 있는 경우도 있고, 아닌 경우도 있지만 판별식을 보면 대충 감이 오죠.

판별식은 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 근의 개수와 종류를 알아보기 위해서 사용했던 식으로 여기서도 똑같이 D = b² - 4ac에요.

이차부등식에서 사용하는 부등호는 >, ≥, <, ≤ 네 가지이므로 이 네 부등호를 가진 이차부등식의 해와 판별식 D 사이의 관계를 알아보죠.

판별식과 이차부등식의 해

판별식 D > 0일 때

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a > 0) 에서 좌변만 보죠. D > 0이면 두 근을 가져요. 이 근을 α, β (α < β)라고 하면, a(x - α)(x - β)로 인수분해가 돼요.

ax² + bx + c = 0
a(x - α)(x - β) = 0

이차방정식에서 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠.

ax² + bx + c > 0
a(x - α)(x - β) > 0

이차부등식, 이차부등식의 해에서 봤던 꼴이죠? 이때는 해가 어떻게 된다고 했나요?

a(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
a(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β
a(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
a(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

판별식 D = 0일 때

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a > 0) 에서 판별식 D = 0이면 완전제곱식이 되고, 중근을 가져요. 이때의 해를 α라고 해보죠.

ax² + bx + c = 0
a(x - α)² = 0

이번에도 양변은 그대로 두고, 등호만 부등호로 바꿔보죠.

ax² + bx + c > 0
a(x - α)² > 0

어떤 실수의 제곱은 0보다 크거나 같아요. x = α이면 좌변은 0이 돼서 부등식이 성립하지 않아요. x ≠ α일 때는 부등식이 성립하죠. 따라서 이때의 해는 x ≠ α인 모든 실수가 되겠죠?

ax² + bx + c ≥ 0
a(x - α)² ≥ 0

위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 물론 x ≠ α일 때도 성립하죠. 따라서 해는 모든 실수가 됩니다.

ax² + bx + c < 0
a(x - α)² < 0

좌변은 실수의 제곱과 양수 a의 곱이므로 0보다 크거나 같아요. 따라서 해는 없어요.

ax² + bx + c ≤ 0
a(x - α)² ≤ 0

위 식에서는 x = α면 좌변이 0이 되고, 부등식이 성립해요. 그 외에는 성립하지 않죠. 따라서 해는 x = α에요.

판별식 D < 0일 때

D < 0이면 일반적인 방법으로는 인수분해가 되지 않아요. 그래서 조금 다른 방법으로 해를 구해야 해요.

중학교 때 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이에서 주어진 식을 완전제곱식으로 변형하는 걸 해봤어요. 이걸 이용해보죠.

정리해보면, 예요.

앞에 있는 항은 제곱이니까 이고, D < 0이므로 에요. 따라서 이차식 ax² + bx + c (a > 0)은 모든 x에 대하여 항상 양수예요.

ax² + bx + c > 0과 ax² + bx + c ≥ 0은 항상 성립하므로 해는 모든 실수이고, ax² + bx + c < 0과 ax² + bx + c ≤ 0은 해가 없지요.

판별식과 이차부등식의 해

설명이 길었는데, 정리해보면 아래 표로 간단히 나타낼 수 있어요.

다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) x² - 4x + 4 > 0
(2) x² - 4x + 4 ≤ 0

(1) 좌변을 인수분해 해보죠.
x² - 4x + 4 > 0
(x - 2)² > 0

좌변이 완전제곱식으로 인수분해가 됐으니 D = 0이네요. 판별식을 따로 구해보지 않아도 알 수 있죠? 이때는 x = 2이면 좌변이 0이 되어서 성립하지 않지만 x ≠ 2이면 부등식이 성립하죠? 따라서 해는 x ≠ 2인 모든 실수가 됩니다.

(2) x² - 4x + 4 ≤ 0
(x - 2)² ≤ 0

x = 2일 때는 좌변이 0이므로 식이 성립하지만, 그 외에는 좌변 > 0이므로 식이 성립하지 않아요. 따라서 해는 x = 2네요.

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일차방정식을 공부하고 나면 이차방정식을 공부했어요. 일차함수를 공부하고 나면 이차함수를 공부했고요. 일차부등식을 공부했지요? 그러니까 이제는 이차부등식을 공부할 차례예요.

이차부등식의 풀이는 일차부등식의 풀이와 많이 달라요. 오히려 이차방정식과 관련된 내용이 많이 나옵니다. 이차방정식에서 등호만 부등호로 바뀐 게 이차부등식이니까요. 앞서 공부했던 이차방정식의 여러 가지 특징을 잘 기억하세요.

이차부등식이 무엇인지 이차부등식의 해는 어떻게 구하는지 알아보죠.

이차부등식, 이차부등식의 해

모든 항을 좌변으로 이항했을 때 좌변의 최고차항이 이차인 부등식을 이차부등식이라고 해요. ax² + bx + c > 0으로 표시하죠. 이때 이차부등식이 되려면 a ≠ 0이어야 해요. 물론 부등호는 >, ≥ < ≤ 총 네 가지가 있고요.

이차방정식의 해를 구할 때 인수분해를 했었죠? 이차부등식의 해를 구할 때도 인수분해를 합니다.

1. 모든 항을 좌변으로 이항
2. 동류항 정리
3. 인수분해

일단 먼저 인수분해를 하세요. 다음 단계는 조금 복잡하니까 잘 보시고요.

이차부등식의 해 - (x - α)(x - β) > 0

이차항의 계수가 1이고 (x - α)(x - β) > 0 (α < β)으로 인수분해되는 이차부등식이 있다고 해보죠. (x - α)와 (x - β)라는 두 식을 곱해서 양수가 되려면 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 해요.

• 둘 다 양수일 때, x - α > 0 and x - β > 0
  • x - α > 0
    x > α
  • x - β > 0
    x > β
  α < β 이므로 x > β
• 둘 다 음수일 때, x - α < 0 and x - β < 0
  • x - α < 0
    x < α
  • x - β < 0
    x < β
  α < β 이므로 x < α

α < β일 때,
(x - α)(x - β) > 0 → x < α or x > β
(x - α)(x - β) ≥ 0 → x ≤ α or x ≥ β

이차식이 0보다 클 때는 이차식을 0으로 만드는 두 수(α, β) 중 작은 수(α)보다 작거나 큰 수(β)보다 큰 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

이차부등식의 해 - (x - α)(x - β) < 0

이번에는 이차항의 계수가 1이고 (x - α)(x - β) < 0 (α < β)으로 인수분해되는 이차부등식이 있다고 해보죠. 두 식을 곱해서 음수가 되려면 두 식의 부호가 서로 반대여야 하죠.

• x - α > 0 and x - β < 0 일 때
  • x - α > 0
    x > α
  • x - β < 0
    x < β
  α < β 이므로 α < x < β
• x - α < 0 and x - β > 0 일 때
  • x - α < 0
    x < α
  • x - β > 0
    x > β
  α < β이므로 해 없음.

α < β일 때,
(x - α)(x - β) < 0 → α < x < β
(x - α)(x - β) ≤ 0 → α ≤ x ≤ β

이차식이 0보다 작을 때는 이차식을 0으로 만드는 두 수(α, β) 중 작은 수(α)와 큰 수(β) 사이의 해를 갖는 걸 알 수 있어요.

이차항의 계수가 1일 때를 살펴봤는데요. 1이 아닐 때는 인수분해에만 영향을 미치지 해를 구하는 과정은 위와 똑같아요.

다음 이차부등식의 해를 구하여라.
(1) x² - 3x + 2 < 0
(2) 2x² + 6x - 20 ≥ 0

이차부등식의 해를 구하려면 일단 인수분해를 하죠. 그리고 각 항을 0으로 만드는 두 수를 구하고요.

(1) x² - 3x + 2 < 0
(x - 1)(x - 2) < 0

이차식이 0보다 작으니까 좌변을 0으로 만드는 두 수에서 작은 것과 큰 것 사이의 해를 가져요. 이차식을 0이 되게 하는 수는 1과 2이므로 해는 1 < x < 2가 됩니다.

(2) 2x² + 6x - 20 ≥ 0
2(x² + 3x - 10) ≥ 0
2(x - 2)(x + 5) ≥ 0

앞에 있는 2는 양수라서 식의 부호에 영향을 미치지 않죠? 이차식이 0이 되는 수는 2, -5이고 이차식이 0보다 크네요. 이때는 작은 수보다 작고, 큰 수보다 큰 해를 가지므로 x ≤ -5 또는 x ≥ 2가 해입니다.

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절댓값 기호를 포함한 부등식은 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나누어서 계산해요.

이 글에서는 절댓값 기호가 두 개 있을 때의 풀이법이에요. 한 개 있을 때와 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때와 작을 때로 나눠서 푸는데, 절댓값 기호가 두 개가 있으니까 총 네 가지 경우의 수가 생기겠죠?

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 해봤던 내용이에요. 등호만 부등호로 바뀐 거니까 잘 이해하길 바라요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질의 성질에서 절댓값 기호가 있을 때는 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때로 나눠서 한다고 했죠?

절댓값 기호가 두 개인 부등식에서는 조건의 개수만 많아진 것일 뿐 원리는 같아요.

절댓값 기호를 포함한 부등식은 아래와 같은 순서대로 문제를 풀어요.

1. 절댓값안의 식이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눈다.
2. ①을 이용하여 x의 범위를 구한다.
3. 각 범위에 맞게 절댓값 기호를 푼다.
4. 부등식의 해를 구한다.
5. 부등식의 해가 ③에서 적용한 x의 범위 조건에 맞는지 확인
6. 해가 조건을 만족시키는 경우에만 부등식의 해
7. 각 범위에서 구한 모든 해가 문제의 답

|2x - 6| - |x - 6| > 0를 한 번 풀어보죠.

먼저 |2x - 6|부터 보죠.
2x - 6 ≥ 0 → x ≥ 3
2x - 6 < 0 → x < 3

이번에는 |x - 6|을 볼까요?
x - 6 ≥ 0 → x ≥ 6
x - 6 < 0 → x < 6

총 네 가지 경우가 생기는데, 이걸 수직선에 그려보면 아래처럼 돼요.

3과 6 사이에 겹치는 부분이 생기죠? 이 부분은 하나로 합치는 거예요. 원래는 범위가 네 개였는데, 세 개로 줄어든 거죠.

절댓값과 절댓값의 성질에서 했던 거 기억나나요? 절댓값 안이 0이 되게 하는 숫자들을 경계로 해서 범위를 나누면 돼요. 절댓값 안이 0이 되는 숫자는 3, 6이니까 이 두 수를 이용해서 범위를 구한 것과 같은 거죠.

x < 3, 3 ≤ x < 6, 6 ≤ x의 세 가지 경우의 해를 구해볼까요

1. x < 3일 때 (2x - 6 < 0, x - 6 < 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   -(2x - 6) + (x - 6) > 0
   -2x + 6 + x - 6 > 0
   -x > 0
   x < 0
   조건에서 x < 3이므로 ∴ x < 0
2. 3 ≤ x < 6일 때 (2x - 6 ≥ 0, x - 6 < 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   2x - 6 + (x - 6) > 0
   2x - 6 + x - 6 > 0
   3x - 12 > 0
   3x > 12
   x > 4
   조건에서 3 ≤ x < 6이므로 ∴ 4 < x < 6
3. x ≥ 6 일 때 (2x - 6 > 0, x - 6 ≥ 0)
   |2x - 6| - |x - 6| > 0
   2x - 6 - (x - 6) > 0
   2x - 6 - x + 6 > 0
   x > 0
   조건에서 x ≥ 6이므로 ∴ x ≥ 6
   

세 가지 경우를 나눠서 각 조건에 맞는 해를 구했어요. 이 세 가지 해 모두가 문제의 답이에요. x < 0 or 4 < x < 6 or x ≥ 6이에요. 그런데 4 < x < 6과 x ≥ 6은 합칠 수 있겠죠?

따라서 답은 x < 0 or x > 4예요.

|x + 1| + |3 - x| - 6 > 0의 해를 구하여라.

|x + 1|부터 보죠.
x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
x + 1 < 0 → x < -1

이번에는 |3 - x|을 볼까요?
3 - x ≥ 0 → x ≤ 3
3 - x< 0 → x > 3

총 네 개의 범위가 생기는데, 겹치는 걸 하나로 합치면 x < -1, -1 ≤ x ≤ 3, 3 < x 세 가지 범위가 생겨요.

1. x < -1 일 때 (x + 1 < 0, 3 - x > 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   -(x + 1) + 3 - x - 6 > 0
   -x - 1 + 3 - x - 6 > 0
   -2x - 4 > 0
   2x < -4
   x < -2
   조건에서 x < -1이므로 ∴ x < -2
2. -1 ≤ x ≤ 3 일 때 (x + 1 ≥ 0, 3 - x ≥ 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   x + 1 + 3 - x - 6 > 0
   -2 > 0
   해 없음.
3. x > 3일 때 (x + 1 > 0, 3 - x < 0)
   |x + 1| + |3 - x| - 6 > 0
   x + 1 - (3 - x) - 6 > 0
   x + 1 - 3 + x - 6 > 0
   2x - 8 > 0
   2x > 8
   x > 4
   조건에서 x > 3이므로 ∴ x > 4

세 가지 해가 모두 해이므로 x < -2 or x > 4가 답입니다.

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절댓값이 들어있는 식은 기본적으로 절댓값 안의 부호가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어요. 해당 조건에 맞게 식을 전개하고 각각의 해를 찾아서 답을 구하죠.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이는 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이와 거의 비슷해요. 방정식이 부등식으로 바뀐 것뿐이에요. 다만, 부등식은 해가 딱 하나로 떨어지지 않아서 방정식보다는 조금 더 어려워요. 수직선을 그려보는 것도 이해하는 데 도움이 될 겁니다.

절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이

절댓값과 절댓값의 성질에서 문제를 어떻게 풀었었나요? 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눴죠? 그리고 각 조건에 맞게 식을 전개해서 해를 구했어요. 각 조건과 구해진 해의 공통부분이 답이 되는데, 조건이 두 개니까 조건별로 나온 해가 모두 답이에요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이도 위와 같은 방법으로 해를 구해요. 여기에 연립부등식, 연립부등식의 풀이를 섞어 놓은 거예요.

|ax + b| > m (m > 0)의 해를 구해볼까요?

ⅰ) ax + b ≥ 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때)
|ax + b| > m
ax + b > m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b > m이죠? (∵ 0 < m < ax + b)

ⅱ) ax + b < 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 작을 때)
|ax + b| > m
-(ax + b) > m
ax + b < -m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b < -m이죠? (∵ ax + b < -m < 0)

결국 |ax + b| > m의 해를 구할 때는 따로 조건을 나누지 않고 ax + b < -m 또는 ax + b > m의 해를 구하면 돼요.

절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 절댓값 안의 부호의 범위와 상관없이 그냥 구했던 것처럼 여기서도 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.

이번에는 |ax + b| < m (m > 0)일 때를 볼까요?

ⅰ) ax + b ≥ 0일 때
|ax + b| < m
ax + b < m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 0 ≤ ax + b < m이죠? (∵ m > 0)

ⅱ) ax + b < 0일 때
|ax + b| < m
-(ax + b) < m
ax + b > -m

조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 -m < ax + b < 0이죠? (∵ -m < 0)

이 두 개를 연립해보면 -m < ax + b < m이 돼요.

여기서도 마찬가지로 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.

절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 (a, b, m은 실수, m > 0)
|ax + b| > m → ax + b < -m 또는 ax + b > m
|ax + b| < m → -m < ax + b < m

식에 있는 부등호를 잘 보세요. 이 방향에 따라 해가 달라져요.

다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) |2x + 4| > 8
(2) |x - 2| + 4 < 6
(3) |4x - 2| ≥ 10

절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 크면 해는 -m보다 작고 m보다 커요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 작으면 해는 -m과 m사이고요.

(1) |2x + 4| > 8

절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크네요.

2x + 4 > 8
2x > 4
x > 2

2x + 4 < -8
2x < -12
x < -6

따라서 해는 x < -6 or x > 2

(2) 좌변에 절댓값, 우변에 상수 꼴로 바꿔준 다음 계산해요.

|x - 2| + 4 < 6
|x - 2| < 2

정리했더니 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 작아요.

-2 < x - 2 < 2
0 < x < 4

(3) 부등호가 어떤 건지는 상관없어요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크거나 같으므로 클 때와 똑같은 방법으로 풀면 됩니다.

|4x - 2| ≥ 10

4x - 2 ≤ -10
4x ≤ -8
x ≤ -2

4x - 2 ≥ 10
4x ≥ 12
x ≥ 3

따라서 해는 x ≤ -2 or x ≥ 3

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그냥 부등식이라고만 되어 있다면 이 부등식의 계수가 0일 수도 있고, 아닐 수도 있어요. 그래서 일반적인 부등식의 풀이 방법으로는 풀면 안 돼요. 우리가 공부한 부등식은 일차부등식이었으니까요.

여기서 공부할 부등식 ax > b의 풀이에는 일차부등식일 때와 일차부등식이 아닐 때의 풀이를 모두 함께 적용해야 해서 아주 까다롭죠. 하지만 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능에서 했던 것과 비슷하니까 아주 생소한 내용은 아니에요. 여기에서도 부정과 불능이라는 용어도 그대로 사용해요. 두 가지를 비교하면서 공부하는 것도 좋을 것 같군요.

부등식 ax > b의 풀이

부등식의 해를 구할 때 양변을 미지수의 계수로 나누죠? 그런데 부등식 ax > b에서는 a = 0일 수도 있고 a ≠ 0일 수도 있어요. a ≠ 0이면 알고 있던 대로 양변을 a로 나눠서 풀면 되는데, a = 0이면 양변을 a로 나눠서 계산하면 안 돼요. 그래서 a = 0일 때와 a ≠ 0일 때를 나눠서 구해야 해요

a ≠ 0일 때

ax > 0에서 a ≠ 0이면 그냥 일차부등식이므로 일차부등식의 풀이에 따라 양변을 a로 나눠서 해를 구하면 돼요. 부등식의 성질에서 부등식의 양변을 어떤 수로 나눌 때 양수인지 음수인지에 따라 부등호의 방향이 바뀐다고 했어요. 그래서 a > 0, a < 0일 때 두 가지 경우를 모두 구해야 하죠.

• a > 0이면
  ax > b
  x >
• a < 0이면
  ax > b
  x <

a = 0일 때

a = 0이면 양변을 a로 나눌 수 없어요. 이때는 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능에서 했던 것처럼 b의 부호를 따져서 구해요. 다만 부등식이니까 b > 0, b = 0, b < 0일 때로 나눠요.

• b > 0일 때
  ax > b
  0x > b
  좌변 ax = 0인데, 우변 b > 0이므로 우변이 더 커요. 그런데 좌변이 더 크다고 되어 있으므로 만족하는 해가 없죠. (불능)
• b = 0일 때
  ax > b
  0x > b
  좌변 ax = 0인데, 우변 b = 0이므로 양변이 같아요. 그런데 좌변이 더 크다고 되어 있으므로 만족하는 해가 없어요. (불능)
• b < 0일 때
  ax > b
  0x > b
  좌변 ax = 0이고, 우변 b < 0이므로 x와 상관없이 좌변이 더 커요. 따라서 해는 모든 실수(부정)

b > 0일 때와 b = 0일 때가 해가 모두 불능으로 같네요.

x에 대한 부등식 ax + 9 < a² + 3x를 풀어라.

먼저 Ax > B의 꼴로 정리한 다음에 A ≠ 0일 때(A > 0, A < 0)와 A = 0일 때(B > 0, B = 0, B < 0)를 나누어 구해야 해요.

ax + 9 < a² + 3x
(a - 3)x < a² - 9
(a - 3)x < (a + 3)(a - 3)

1. a - 3 ≠ 0일 때 → a ≠ 3일 때
   • a - 3 > 0이면 a > 3
     (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
     x < a + 3
   • a - 3 < 0이면 a < 3
     (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
     x > a + 3
2. a - 3 = 0일 때 → a = 3일 때
   a = 3이면 우변 (a + 3)(a - 3) = 0으로 양수, 음수일 때는 해보지 않아도 되네요.
   (a - 3)x < (a + 3)(a - 3)
   0x < 0
   해가 없다.(불능)

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부등식의 성질은 자주 해왔던 거니까 잊어버리지 않았을 거예요. 여기서는 부등식의 성질을 한 번 더 정리할게요. 부등식의 성질을 이용해서 계산하는 문제보다는 개념을 이해하고 있는지 물어보는 문제가 많이 나오니까 내용을 완전히 이해하지 못하면 문제를 풀 수가 없어요. 잘 정리해놓으세요.

그리고 방정식의 해를 구할 때 방정식의 양변을 서로 더하고 뺐었죠? 부등식에서도 양변을 서로 더하거나 뺄 수 있어요. 방정식에서의 가감법과 차이가 있는데, 부등식끼리의 사칙연산을 어떻게 하는지 알아보죠.

부등식의 성질

중학교 때 부등식의 성질에 대해서 공부했어요. 고등학교에서의 부등식의 성질도 똑같아요.

허수와 허수단위에서는 대소관계를 얘기할 수 없으니까 부등식의 성질에서 사용하는 수는 모두 실수에요. 그래서 부등식의 성질은 실수의 대소관계에 대한 기본 성질과도 같아요.

세 실수 a, b, c에 대해서 아래와 같은 성질이 있어요.

1. a > b, b > c ⇔ a > c
2. a > b ⇔ a + c > b + c, a - c > b - c
3. a > b이고 c > 0 ⇔ ac > bc,
4. a > b이고 c < 0 ⇔ ac < bc,

이해 안 되는 건 없죠?

부등식의 성질에서 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나눌 때만 부등호의 방향이 바뀌고 나머지는 부등호의 방향이 바뀌지 않아요.

부등호의 방향이 바뀌는 경우가 또 있는데요. 부호가 같은 두 수의 역수를 취할 때 부등호의 방향이 바꿔요. 하나는 양수고 하나는 음수라면 바뀌지 않아요. 양수인 쪽이 무조건 크니까요.

또 음수인 양변을 제곱할 때도 부등호의 방향이 바뀌어요.
-2 > -3 → (-2)² < (-3)²

부등식끼리의 덧셈과 뺄셈

방정식의 양변을 더하거나 뺄 수 있죠? 부등식에서도 양변을 더하거나 빼요.

a < x < b, c < y < d 두 부등식을 볼까요?

먼저 덧셈부터 알아보죠.

두 부등식의 왼쪽에 있는 a < x, c < y만 보죠.

a < x 의 양변에 y를 더하면 a + y < x + y
c < y의 양변에 a를 더하면 a + c < a + y
따라서 a + c < x + y (∵ 부등식의 성질 1번)

이번에는 부등식의 오른쪽 x < b, y < d를 보죠.

x < b 의 양변에 y를 더하면 x + y < b + y
y < d의 양변에 b를 더하면 y + b < d + b
따라서 x + y < b + d (∵ 부등식의 성질 1번)

정리해보면 a < x < b, c < y < d를 더하면 a + c < x + y < b + d 가 돼요. 부등식끼리 더할 때는 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하는 거죠.

부등식끼리의 차를 볼까요? x - y = x + (-y)로 바꿔서 계산할 수 있죠?

c < y < d 에 (-1)을 곱하면 부등호의 방향이 반대로 바뀌어요. -d < -y < -c

a < x < b와 -d < -y < -c를 더하면 a - d < x - y < b - c가 돼요.

두 부등식을 세로로 놓고 계산하면 편해요. 덧셈은 그냥 아래로 더하고, 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠.

1 ≤ x < 3, 5 < y ≤ 10일 때 다음의 범위를 구하여라.
(1) x + y
(2) x - y

여기서 주의해야 할 건 등호가 있는 것과 등호가 없는 걸을 잘 보세요. 1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있어요. 따라서 이 두 개를 연산한 결과에만 등호를 넣어주고 다른 경우에는 등호를 쓰면 안 돼요.

(1) 덧셈은 작은 것끼리, 가운데끼리, 큰 것끼리 더하면 돼요.

1 + 5 < x + y < 3 + 10
6 < x + y < 13

(2) 뺄셈은 한 번 꺾어서 빼주는 거죠?

1 - 10 ≤ x - y < 3 - 5
-9 ≤ x - y < -2

1과 10 옆의 부등호에는 등호가 있으니까 이 둘을 연산한 결과에 등호를 넣어줬어요.

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우리가 지금까지 공부했던 방정식에서는 미지수의 개수와 식의 개수가 같았어요. 차수와 상관없이 미지수가 x 하나이면 식은 한 개만 있어도 됐어요. 연립방정식에서 미지수가 x, y 두 개면 식은 두 개, 미지수가 x, y, z 세 개였다면 식은 세 개였고요. 식이 더 많은 건 상관없어요. 식을 골라서 사용하면 되니까요.

그런데 이글에서 공부할 부정방정식은 미지수의 개수가 식의 개수보다 많아요. 미지수는 x, y 두 개인데, 식은 한 개밖에 없지요. 이처럼 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 부정방정식을 어떻게 풀어야하는지 알아보죠.

부정방정식

부정방정식은 미지수의 개수보다 식의 개수가 적어 근이 무수히 많아 근을 정할 수 없는 방정식을 말해요. 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정과 불능에서 부정은 근이 무수히 많을 때라고 했어요.

해가 무수히 많으면 딱 찍어서 '이게 해입니다.' 할 수 없잖아요. 부정방정식의 부정은 '아니다'는 뜻의 부정(不正)이 아니라 '일정하지 않다'는 뜻의 부정(不定)이라는 거 잊지 마세요.

따라서 부정방정식의 해를 딱 정해서 얘기하려면 식이 아닌 다른 조건이 더 주어져야 하는데 그게 바로 근의 종류예요. 근이 실수인지 정수인지 알려주는 거죠.

부정방정식
(식의 개수) < (미지수의 개수)
근에 대한 자연수, 정수, 실수 조건

정수 조건이 주어진 부정방정식

방정식이 주어지고, 해가 정수라는 조건이 있다면 그 방정식을 (일차식) × (일차식) = (정수) 꼴로 바꿔서 풀어요. 어떤 두 수를 곱해서 정수가 되는 경우를 순서쌍으로 나타내고 각 일차식이 순서쌍의 숫자에 해당할 때 미지수의 값을 구하는 거죠.

곱의 형태로 바꿀 때는 대부분 인수분해를 이용하면 돼요. 하지만 때에 따라서는 주어진 식을 그대로 이용하면 안 되고, 숫자를 더하거나 빼서 변형해야 하는 경우도 있어요. 인수분해가 바로 되지 않을 때는 이런 것도 고려하세요.

정수 조건이 주어진 부정방정식
(일차식) × (일차식) = (정수)로 변형
순서쌍을 만들어 미지수의 값을 구함

다음 식을 만족하는 정수 x, y를 구하여라.
(1) xy = 1
(2) xy + x + y + 1 = 2
(3) xy + x + y = 1

(1)은 이미 곱의 형태로 되어 있네요. 어떤 두 수를 곱해서 1이 되는 순서쌍은 (1, 1), (-1, -1)이에요. 따라서 해는 x = 1, y = 1 or x = -1, y = -1이에요.

(2)번은 곱의 꼴로 바꿔야 해요. 인수분해를 해보죠.
xy + x + y + 1 = 2
x(y + 1) + y + 1 = 2
(x + 1)(y + 1) = 2

순서쌍을 구해보면 아래 표처럼 나타낼 수 있어요.

x + 1 = 1일 때, y + 1 = 2이므로 x = 0, y = 1이에요.

이런 식으로 구해보면 (0, 1), (-2, -3), (1, 0), (-3, -2)가 해입니다.

(3)은 좌변이 인수분해가 되지 않아요. 그래서 인수분해가 되도록 숫자를 더해주거나 빼줘야 하죠.

xy + x + y = 1
x(y + 1) + y = 1
x(y + 1) + y + 1 = 2   (∵ 양변 + 1)
(x + 1)(y + 1) = 2

(2)번과 똑같죠? 여기서는 숫자를 더해주고 빼주고 하는 게 중요해요. 하나 더 해보죠.

xy - 3x + y - 10 = 0
x(y - 3) + y - 10 = 0
x(y - 3) + (y - 3) - 7 = 0  (∵ -10 = -3 - 7)
(x + 1)(y - 3) = 7

이렇게 바꾸는 연습을 좀 많이 하세요.

실수 조건이 주어진 부정방정식

실수 조건이 주어진 경우에는 단순 곱으로는 해결이 안 되요. xy = 1을 만족하는 실수는 너무 많아요. 그래서 단순히 곱이 아닌 제곱의 합으로 나타내야 해요.

실수 조건이 주어진 부정방정식
a² + b² = 0의 꼴로 변형
a = 0, b = 0을 만족하는 미지수 구하기

실수는 제곱하면 무조건 0보다 크거나 같아요. 순허수는 제곱하면 0보다 작죠. 이걸 이용하는 거예요. 어떤 실수를 제곱해서 더했더니 0이 되었다는 말은 두 실수가 모두 0이라는 거예요. 0보다 크거나 같은 두 수를 더해서 0이 되려면 둘 다 0일 때 빼고는 없으니까요.

a, b는 숫자일 수도 있고, 완전제곱식일 수도 있어요.

a² + b² = 0 ⇔ a = 0 and b = 0

다음 식을 만족하는 실수 x, y를 구하여라.
(1) (x - 2)² + y² = 0
(2) x² + 5y² - 4xy - 2y + 1 = 0

실수 조건이 주어진 부정방정식은 문제를 완전제곱식 또는 숫자의 제곱의 합으로 바꿔서 풀어야 해요.

(1) 이미 완전제곱식의 합꼴로 되어 있네요.
x - 2 = 0이므로 x = 2
y = 0

(2)번은 식이 조금 복잡한데요. x에 대해서 내림차순으로 정리해보죠.
x² + 5y² - 4xy - 2y + 1 = 0
x² - 4xy + 5y² - 2y + 1 = 0
x² - 4xy + 4y² + y² - 2y + 1 = 0     (∵ 5y² = 4y² + y²)
(x - 2y)² + (y - 1)² = 0

x - 2y = 0, y - 1 = 0에서 x = 2, y = 1

여기서는 5y² = 4y² + y²으로 나누는 게 중요하네요.

다음 식을 만족하는 정수 x, y를 구하여라.
x² - 2x + y² - 4y + 5 = 10

좌변을 정리해보죠.
x² - 2x + y² - 4y + 5 = 10
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 10     (∵ 5 = 1 + 4)
(x - 1)² + (y - 2)² = 10

일단 5 = 1 + 4로 나누어 완전제곱식의 상수로 이용했어요.

그런데, 좌변은 완전제곱식의 합이 되었는데 우변이 0이 아니에요. 우변 = 0이어야 (완전제곱식) = 0으로 해를 구할 수 있잖아요.

문제에서 x, y가 정수라고 했어요. (정수)²은 자연수죠? 어떤 두 자연수를 더해서 10이 되어야하는데, 이 두 자연수는 제곱인 수예요. 따라서 이 두 자연수는 1, 9일 수밖에 없어요.

(x - 1)² = 1, (y - 2)² = 9 or (x - 1)² = 9, (y - 2)² = 1이에요.

x - 1 = ±1, y - 2 = ±3 or x - 1 = ±3, y - 2 = ±1

x - 1 = 1 일 때, y - 2 = 3이므로 x = 2, y = 5

이렇게 다 풀어보면 (2, 5), (2, -1), (0, 5), (0, -1), (4, 3), (4, 1), (-2, 3), (-2, 1)이 되네요.

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이차방정식과 일차방정식의 연립방정식를 풀 때는 일차식을 이차식에 대입했어요. 이차방정식 두 개가 연립된 연립이차방정식의 풀이에서는 이차방정식 중의 하나를 인수분해하고, 인수분해된 일차식을 이차방정식에 대입해서 풀었죠.

이 글에서 공부할 연립이차방정식의 풀이는 이차방정식로 된 연립이차방정식에서 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않는 경우예요. 이차식을 그대로 사용할 수가 없으니까 일차식으로 바꿔야 하는데, 이게 이 글에서 가장 중요한 내용입니다.

이차식을 어떻게 일차식으로 바꾸는지 알아보죠.

연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이

연립이차방정식의 기본 풀이는 일차방정식을 만들고, 이 일차방정식을 이차방정식과 연립해서 푸는 거예요.

연립이차방정식에서 이차방정식 중 하나가 인수분해되면 인수분해를 해서 일차방정식 두 개를 얻어요. 이 일차방정식들과 이차방정식을 이용해서 새로운 연립이차방정식을 두 개 만들어서 해를 구했어요.

두 이차방정식이 모두 인수분해가 안 될 때도 일차식을 얻어야하는데, xy항이 있을 때와 없을 때가 달라요. xy항이 없을 때는 인수분해를 하지 않아도 일차방정식을 얻을 수 있고, xy항이 있으면 인수분해를 해야 일차방정식을 얻을 수 있어요.

xy항이 없을 때 - 최고차항 제거

두 이차방정식이 모두 인수분해되지 않고, xy항이 없으면 최고차항을 없애요. 최고차항이 2차니까 없애면 일차항으로만 된 일차방정식이 남겠죠. 남은 일차방정식과 문제에서 주어진 이차방정식 중 하나를 연립해서 새로운 연립이차방정식을 만들어서 푸는 겁니다.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

연립이차방정식에서 위의 식을 ①, 아래 식을 ②이라고 해보죠. 두 식 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 없으니까 최고차항인 x²을 제거해보죠. ① × 2 - ② × 3하면 되겠네요.

6x² + 4y - 10x = 8 … ① × 2
6x² - 15y + 9x = 27 … ② × 3

19y - 19x = -19 … ① × 2 - ② × 3
x - y = 1

일차방정식이 생겼는데 이 일차방정식과 이차방정식 중 하나를 골라서 새로운 연립이차방정식을 만들어요. ①을 골라보죠.

일차방정식과 이차방정식의 연립이므로 일차방정식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 이차방정식에 대입해요.

x - y = 1
y = x - 1      → ①에 대입

3x² + 2(x - 1) - 5x = 4
3x² + 2x - 2 - 5x - 4 =0
3x² - 3x - 6 = 0
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0

x = -1 or x = 2
y = -2 or y = 1    (∵ y = x - 1)

xy 항이 있을 때 - 상수항 제거

연립이차방정식에서 두 이차방정식이 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 있으면 상수항을 제거해요. 이렇게 없앤 식을 인수분해할 수 있는데, 인수분해하면 일차식 두 개의 곱으로 되죠? 두 일차방정식과 원래 문제 있던 이차방정식을 이용해서 새로운 연립이차방정식을 만들어 풀면 됩니다. 이때 이차방정식이 두 개인데, 아무거나 선택해도 상관없어요.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

연립이차방정식에서 위의 식을 ①, 아래 식을 ②이라고 해보죠. 두 식 모두 인수분해가 되지 않고, xy항이 있으니까 상수항을 제거해보죠. ① × 2 + ②하면 상수항이 없어지겠네요.

2x² - 2xy + 2y² = 14 … ① × 2
4x² - 9xy + y² = -14 … ②

6x² - 11xy + 3y² = 0 … ① × 2 + ②

(2x - 3y)(3x - y) = 0
2x - 3y = 0 or 3x - y = 0

상수항을 제거하고 인수분해를 했더니 두 일차식의 곱이 됐어요. 이 두 일차방정식과 원래의 이차방정식 중 하나를 연립해서 새로운 연립이차방정식을 만들어요. ①을 골라보죠.

새롭게 만들어진 연립이차방정식을 풀어볼까요? 연립이차방정식의 풀이에서 일차방정식과 이차방정식이 연립된 연립이차방정식에서는 일차방정식을 한 문자에 대해서 정리한 후에 이차방정식에 대입해서 푼다고 했어요.

왼쪽의 연립이차방정식부터 풀어보죠.

2x - 3y = 0
     → ①에 대입

y = ±2   (∵ )

이번에는 오른쪽 연립이차방정식을 풀어보죠.

3x - y = 0
y = 3x     → ①에 대입

x² - x × 3x + (3x)² = 7
x² - 3x² + 9x² = 7
7x² = 7
x² = 1
x = ± 1
y = ± 3   (∵ y = 3x)

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연립방정식 중에서도 이차식이 포함된 연립이차방정식의 풀이입니다.

연립일차방정식에서는 미지수가 3개였고 차수는 1차였죠? 식 세가 연립된 형태였어요. 연립이차방정식은 미지수가 2개고 차수가 2차에요. 식은 두 개입니다. 생긴 게 다르니까 금방 구별할 수 있겠죠?

연립이차방정식 중에서는 이차방정식 두 개가 연립된 경우도 있고, 일차방정식 한 개와 이차방정식 한 개가 연립된 경우도 있어요. 각각의 풀이법을 알아보죠.

연립이차방정식의 풀이

방정식의 차수를 결정할 때는 여러 항 중에서 최고차항의 차수를 이용하죠? 마찬가지로 연립방정식에서도 가장 높은 차수의 방정식에 따라 이름이 붙어요. 연립방정식 중에서 이차인 방정식이 차수가 가장 높으면 그 연립방정식은 연립이차방정식이라고 합니다.

앞서 공부했던 미지수가 3개인 연립일차방정식에서는 세 방정식에서 가장 차수가 높은 방정식이 1차여서 연립일차방정식이라고 한 거예요.

연립이차방정식 - 일차방정식과 이차방정식

일차방정식 한 개와 이차방정식 한 개가 연립된 경우에요. 이때는 대입법을 사용해요. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 다음에 이차방정식에 대입하는 거죠. 그럼 이차방정식의 미지수가 1개가 되니까 일반적인 이차방정식의 풀이를 이용해서 미지수의 값을 구해요. 이렇게 구한 미지수의 값을 일차방정식에 대입해서 나머지 한 개도 구하는 겁니다.

1. 일차방정식을 한 문자에 관하여 정리
2. ①을 이차방정식에 대입
3. ②의 이차방정식 풀기
4. ③의 해를 일차방정식에 대입하여 나머지 미지수를 구함

다음 연립방정식을 풀어라.

일차방정식과 이차방정식으로 되어 있는 연립방정식이에요. 일차방정식을 ①, 이차방정식을 ②라고 해보죠.

일차방정식 ①을 y에 대해서 정리해요.

x + y = 2
y = 2 - x … ③

③을 ②에 대입해요. x² + (2 - x)² = 10으로 x에 관한 이차방정식이네요. x를 구해볼까요?

x² + (2 - x)² = 10
x² + x² - 4x + 4 = 10
2x² - 4x - 6 = 0
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = -1 or 3

이차방정식이니까 x의 값이 두 개예요. 이 두 개를 ①에 대입해서 y를 구할 수 있어요. x = -1이면 y = 3, x = 3 이면 y = -1이네요.

결국 해는 x = -1, y = 3 or x = 3, y = -1입니다.

이차방정식에서는 해가 두 개예요. 그래서 일차방정식과 이차방정식의 연립방정식에서는 해가 두 쌍이 됩니다. 이차방정식의 해가 중근이면 한 쌍이 나올 수도 있고요.

연립이차방정식 - 두 이차방정식

이차방정식이 두 개일 경우예요. 위에서 일차방정식과 이차방정식이 있을 때는 푸는 법을 공부했죠? 그러니까 이차방정식이 두 개있는 것도 일차방정식과 이차방정식이 연립한 것으로 바꾸면 풀 수 있겠죠? 어떻게 바꾸느냐면 바로 인수분해를 하는 거예요.

이차방정식 중 하나를 인수분해해서 일차식 두 개의 곱으로 바꿔요. 이 일차식과 이차방정식으로 새로운 연립방정식을 세워요. 그러면 원래는 이차방정식 두 개로 되어있던 한 개의 연립방정식이 일차방정식과 이차방정식으로 된 두 개의 연립방정식이 되죠. 각각의 연립방정식에서 해를 구하는 겁니다.

각각에서 2쌍씩 해가 나오니까 총 해의 개수는 4쌍이에요.

다음 연립방정식의 해를 구하여라.

두 식 중 위의 식을 ①, 아래에 있는 식을 ②라고 해보죠. 두 식 중 하나를 인수분해해야 하는데, ②가 인수분해가 되는군요.

x² + xy - 6y² = 0
(x - 2y)(x + 3y) = 0

인수분해를 했더니 두 일차식의 곱으로 바뀌었어요. x - 2y = 0, x + 3y = 0 두 식과 ①을 이용해서 두 개의 연립방정식을 만들어요.

왼쪽의 연립이차방정식부터 풀어보죠. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후에 이차방정식에 대입해요.

x - 2y = 0
x = 2y     → ①에 대입

x² + y² = 25
(2y)² + y² = 25    (∵ x = 2y)
5y² = 25
y² = 5
y = ±
x = ±2    (∵ x = 2y)

오른쪽 연립방정식을 풀어볼까요?

x + 3y = 0
x = -3y     → ①에 대입

x² + y² = 25
(-3y)² + y² = 25    (∵ x = -3y)
10y² = 25
2y² = 5
y =
x =     (∵ x = -3y)

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