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아폴로니오스의 원은 고대 수학자 아폴로니오스가 발견해서 그의 이름을 따서 불러요. 발견한 사람의 이름을 붙이는 건 히포크라테스의 초승달도 있었고 에라토스테네스의 체도 있었죠?

아폴로니오스의 원은 그렇게 중요한 내용은 아니니까 그냥 참고용으로 쉬워가는 길에 잠깐 읽는 정도라고 생각하세요. 이런 유형의 문제를 어떻게 푸는지만 알고 있으면 돼요.

증명과정의 계산이 조금 복잡하긴 하지만 어렵지는 않으니까 직접 증명을 해보는 것도 괜찮을 듯싶네요. 꼭 해보라는 건 아니고 그냥 해보는 것도 괜찮다는 거예요.

아폴로니오스의 원

두 점 A, B에 대하여  :  = m : n (m ≠ n)을 만족하는 점 P을 다 모으면 원이 되는데, 이를 아폴로니오스의 원이라고 합니다.

P(x, y), A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)이라고 하고 두 점 사이의 거리를 이용하여 거리를 구해서 비례식을 세우고 정리해보죠.

중간과정은 복잡하니까 그냥 넘어가고 마지막 줄을 보면 x² + y² + Ax + By + C = 0꼴로 이건 원의 방정식 일반형이에요. 두 점에서 m : n의 거리에 있는 점들을 모두 모으면 원이 된다는 것을 알 수 있어요.

조금 더 쉽게 증명해보려면 점 A, B를 그대로 평행이동시켜서 A(0, 0), B(a, 0)으로 놓고 해보세요.

아폴로니오스의 원에서 선분 AB의 중간에 있는 점 P는 내분점이 되고, 선분 AB의 연장선에 있는 점은 외분점이에요.

원의 방정식이니까 원의 중심과 반지름을 구해야겠죠? 원을 잘 보면 내분점 P와 외분점 Q를 지름의 끝점으로 하는 원이에요. 원의 방정식에서 두 점을 지름의 끝점으로 하는 원의 중심은 양 끝점의 중점이라고 했지요? 아폴로니오스 원에서는 내분점 P와 외분점 Q의 중점이 원의 중심이고, 반지름은 선분 PQ 길이의 절반이에요.

두 점 A(-2, 5), B(4, 5)에 대하여  :  = 2 : 1를 만족하는 점 P가 나타내는 도형의 방정식을 구하여라.

P(x, y)라고 해보죠. 두 점 사이의 거리를 이용하여 비례식을 세워보죠.

답은 x² + y² - 12x - 10y + 45 = 0 네요.

표준형으로 고쳐볼까요?

x² + y² - 12x - 10y + 45 = 0
x² - 12x + y² - 10y + 45 = 0
x² - 12x + 36 - 36 + y² - 10y + 25 - 25 + 45 = 0
(x - 6)² + (y - 5)² - 16 = 0
(x - 6)² + (y - 5)² = 16

원의 중심이 (6, 5)고 반지름은 4인 원의 방정식이었군요.

m = n일 때

아폴로니오스의 원이 만들어지려면 나누는 비율인 m, n이 서로 같지 않아야 해요. (m ≠ n)

만약에 m = n이라면 원이 아니라 직선이 생겨요.

이 직선은 선분 AB를 수직이등분하는 선이 됩니다.

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원의 방정식 표준형에 이어서 원의 방정식 일반형에 대해서 알아볼 거예요. 식의 일반형은 좌변에 모든 항이 있고, 우변 = 0인 꼴을 말해요.

이차함수 식 구할 때 이차함수의 일반형을 이용했어요. 바로 세 점의 좌표를 알려줬을 때죠. 원의 방정식도 비슷합니다. 세 점을 지나는 원의 방정식을 구할 때 일반형을 이용해요.

표준형을 일반형으로 바꾸는 건 간단히 전개만 하면 되지만, 일반형을 표준형으로 바꾸는 건 조금 달라요. 하지만 이미 많이 해봤던 거라서 금방 할 수 있어요.

세 점을 지나는 원의 방정식

원의 방정식의 표준형은 (x - a)² + (y - b)² = r²이에요. 전개해보죠.

(x - a)² + (y - b)² = r²
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r²
x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0

여기서 -2a = A, -2b = B, a² + b² - r² = C라는 문자로 치환하면
x² + y² + Ax + By + c = 0

원의 방정식 일반형
x² + y² + Ax + By + C = 0

원의 방정식 표준형은 원의 중심과 반지름을 바로 확인할 수 있는 장점이 있어요. 일반형은 그렇지 못하죠? 그런데도 일반형을 쓰는 이유는 세 점의 좌표를 알고 있을 때 조금 더 쉽게 원의 방정식을 구할 수 있기 때문이에요.

세 점 (-2, 2), (4, -6), (5, -5)을 지나는 원의 방정식을 구하여라.

x² + y² + Ax + By + C = 0에 세 점의 좌표를 대입해보죠.

(-2)² + 2² - 2A + 2B + C = 0
2A - 2B - C = 8 ……… ①

4² + (-6)² + 4A - 6B + C = 0
4A - 6B + C = -52 ……… ②

5² + (-5)² + 5A - 5B + C = 0
5A - 5B + C = -50 ……… ③

A, B, C에 관한 연립방정식이 만들어졌어요. 미지수가 3개인 연립일차방정식 풀어봤었죠?

① + ② = 6A - 8B = -44
              3A - 4B = -22 ……… ④

① + ③ = 7A - 7B = -42
              A - B = -6  ……… ⑤

④, ⑤를 연립해서 풀면 A = -2, B = 4

①에 A = -2, B = 4를 대입하면 C = -20

답은 x² + y² - 2x + 4y - 20 = 0

원의 방정식 일반형을 표준형으로

원의 방정식 일반형을 다시 표준형으로 바꿔보죠. 이차함수 일반형을 표준형으로 바꾸는 방법과 똑같아요.

원의 중심의 좌표는 이고, 반지름은 에요.

표준형에서 우변은 반지름의 제곱이므로 0보다 커야 해요. 값을 다 비교할 필요는 없고 반지름의 분자에 있는 제곱근 안의 값만 0보다 크면 되죠.

A² + B² - 4C > 0

이차방정식의 판별식처럼 주어진 식이 원의 방정식 원인지 아닌지를 판단할 때 사용해요. 자주 사용하는 건 아니니까 꼭 알아야 하는 건 아니지만 알아두면 편리하긴 하죠.

x² + y² - 6x + 8y + k = 0이 원의 방정식일 때, 상수 k의 범위를 구하여라.

A² + B² - 4C > 0
(-6)² + 8² - 4k > 0
36 + 64 - 4k > 0
4k < 100
k < 25

일반형을 표준형으로 바꿔서 계산해볼까요?

x² + y² - 6x + 8y + k = 0
x² - 6x + y² + 8y + k = 0
x² - 6x + 9 - 9 + y² + 8y + 16 - 16 + k = 0
(x - 3)² + (y + 4)² + k - 25 = 0
(x - 3)² + (y + 4)² = 25 - k

우변 25 - k는 반지름의 제곱이므로 25 - k > 0. 따라서 k < 25

어떤 방법으로 해도 답은 똑같아요. 편한 방법을 선택하세요.

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원의 방정식은 그리 어려운 내용이 아니에요. 간단하게 두 점 사이의 거리를 이용해서 구할 수 있으니까요. 원과 관련된 기본적인 용어의 정의와 특징만 이해하고 있으면 돼요. 오히려 중학교 때 공부했던 원주각, 중심각 등보다 쉽다고 할 수 있죠.

직선의 방정식에서 표준형과 일반형을 공부했어요. 원의 방정식에도 표준형과 일반형이 있는데, 이 글에서는 원의 방정식 표준형을 알아볼 거예요.

원의 방정식 공식을 유도하는 방법과 여러 문제에서 어떻게 원의 방정식을 구하는 지를 유형별로 알아보죠.

원의 방정식

원은 한 점(정점)에서 같은 거리에 있는 점들의 집합이에요. 이때 한 정점을 원의 중심이라고 하고, 같은 거리를 반지름이라고 하죠.

좌표평면에서 한 점 C에서 같은 거리(반지름. r)에 점을 그리고 임의의 점의 좌표를 P라고 해보죠. 반지름 r은 의 길이와 같아요. 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 C와 P 사이의 거리를 구해볼까요?

P는 임의의 점이니까 원 위에 있는 모든 점은 위 방정식을 만족해요. 이 방정식이 바로 원의 방정식입니다.

원의 중심이 (a, b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식
⇔ (x - a)² + (y - b)² = r²

만약에 원의 중심이 원점(0, 0)이면 x² + y² = r²이겠죠?

위와 같은 형태를 원의 방정식의 표준형이라고 해요. 이차함수에서도 직선의 방정식에서도 표준형이라는 용어를 사용했었죠? 표준형을 보면 반지름과 원의 중심을 쉽게 구할 수 있는 장점이 있어요.

다음을 보고 원의 방정식을 구하여라.
(1) 중심이 (3, 2)이고 반지름이 9인 원
(2) 중심이 (-1, 2)이고 (2, 6)을 지나는 원
(3) (-3, -5)와 (5, 9)을 지름의 양 끝점으로 하는 원

원의 중심이 (a, b)이고 반지름이 r인 원의 방정식은 (x - a)² + (y - b)² = r²이에요.

(1) 공식에 그대로 대입해보죠.
(x - 3)² + (y - 2)² = 9²

(2) 공식에 넣어보면 (x + 1)² + (y - 2)² = r²에요.

원의 방정식이 (2, 6)을 지나니까 이걸 식에 대입하면 r을 구할 수 있어요. 대입해보죠.
(x + 1)² + (y - 2)² = r²
(2 + 1)² + (6 - 2)² = r²
3² + 4² = r²
r² = 9 + 16
r² = 25

구하는 원의 방정식은 (x + 1)² + (y - 2)² = 25

(3) 중심과 반지름이 아니라 지나는 두 점을 알려줬네요. 그런데 두 점이 지름의 양 끝점이라고 했어요. 지름은 원의 중심을 지나는 직선으로 지름의 중점이 원의 중심이에요. 원의 중심을 구하면 (2) 번에서 했던 방법을 이용해서 r²을 구할 수 있어요.

원의 중심의 좌표를 (a, b)라고 한다면

원의 중심은 (1, 2)이니까 (x - 1)² + (y - 2)² = r²이네요. (5, 9)를 대입해보죠.

(x - 1)² + (y - 2)² = r²
(5 - 1)² + (9 - 2)² = r²
4² + 7² = r²
r² = 16 + 49
r² = 65

따라서 원의 방정식은 (x - 1)² + (y - 2)² = 65

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좌표평면 위의 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도해보고, 문제를 풀어볼 거예요. 공식의 유도과정이 조금 복잡하니까 집중해서 잘 보세요.

점과 직선 사이의 거리 공식을 유도할 때, 앞서 했던 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, 직선의 방정식 구하기, 두 직선의 위치관계 등을 총동원하니까 앞의 내용도 잘 기억하고 있어야 해요.

공식의 유도는 어렵지만, 공식 자체는 어렵지 않으니까 외우기 어렵지는 않을 거예요. 공식만 외우면 문제 푸는 건 쉽게 풀 수 있어요.

점과 직선 사이의 거리 공식

점 P(x₁, y₁)와 직선 ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0) 사이의 거리를 구해볼까요? 점 P에서 직선에 수선을 긋고 수선의 발을 H(x₂, y₂)라고 해보죠. 거리는 가장 가까운 직선의 길이와 같아요. 가장 가까운 직선은 수선이고요.

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)

직선 PH는 두 점 P(x₁, y₁)와 H(x₂, y₂)를 지나는 직선이에요. 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보면,

이번에는 ax + by + c = 0을 표준형으로 바꿔보죠.
y = -x -

직선 PH와 직선 ax + by + c = 0은 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.

- ×  = -1
a(y₂ - y₁) = b(x₂ - x₁)

 = k라고 놓으면
x₂ - x₁ = ak, y₂ - y₁ = bk ……… ①
x₂ = x₁ + ak, y₂ = y₁ + bk

H(x₂, y₂)는 ax + by + c = 0위의 점이므로
ax₂ + by₂ + c = 0
a(x₁ + ak) + b(y₁ + bk) + c = 0      (∵ ①)
ax₁ + a²k + by₁ + b²k + c = 0
(a² + b²)k + ax₁ + by₁ + c = 0
(a² + b²)k = -ax₁ - by₁ - c
k = - ……… ②

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 직선 PH의 길이를 구해보죠. 풀이 중간에 ①, ②를 이용할 거예요.

점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d

점 (2, 3)과 직선 3x + 4y - 3 = 0 사이의 거리를 구하여라.

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직선의 방정식을 구하는 마지막 두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식이에요. 직선의 방정식 구하기에서는 기울기나 점의 좌표를 주고 직선의 방정식을 구하는 거였는데, 이제는 직선의 방정식을 두 개주고 이를 이용해서 새로운 직선의 방정식을 구해야 합니다.

사실 이 글에서 다룰 내용은 어렵지 않은데, 앞서 했던 내용과 섞여서 나오면 조금 어려워져요. 앞서 했던 직선의 방정식 구하기와 일반형으로 된 두 직선의 위치관계에 대해서 알고 있어야 해요.

두 직선의 교점을 지나는 직선의 방정식

두 직선 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구해보죠.

먼저 결론부터 얘기할게요.

두 직선 ax + by + c = 0과 a'x + b'y + c' = 0의 교점을 지나는 직선의 방정식
⇔ ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0
⇔ (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0

ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 교점의 좌표를 (p, q)라고 해보죠.

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이 교점 (p, q)를 지난다고 한다면 ap + bq + c + k(a'p + b'q + c') = 0가 되어야 해요.

그런데, ap + bq + c = 0, a'p + b'q + c' = 0이니까 실제로 식이 성립해요. k가 어떤 값을 가져도 상관없이 성립하죠? 이 식은 임의의 k에 대하여 항상 성립하는 항등식으로 (p, q)를 무조건 지나는 직선의 방정식이에요.

공식을 잘 보면 두 직선의 방정식을 알려줬을 때, 하나는 그대로 쓰고 다른 하나에 k를 곱해서 더한 게 0이 되는 거예요.

2x - y - 1 = 0, x - y - 3 = 0의 교점을 지나고 7x - 4y + 1 = 0과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선의 교점을 지나는 방정식은 (직선의 방정식 1) + k(직선의 방정식 2) = 0이에요.

2x - y - 1 + k(x - y - 3) = 0
2x - y - 1 + kx - ky - 3k = 0
(k + 2)x - (k + 1)y - 3k - 1 = 0

직선의 방정식을 먼저 구했는데 k를 모르니까 완전한 식이 아니죠? 이 식이 7x - 4y + 1 = 0과 평행하다고 했어요. 일반형으로 된 두 직선의 위치관계에서는 (x의 계수비) = (y의 계수비) ≠ (상수항의 비)여야 두 직선의 방정식이 평행이죠?

-4(k + 2) = -7(k + 1)
-4k - 8 = -7k - 7
3k = 1
k = 

k = 이면 상수항의 비가 x, y 계수비와 다르니까 평행이네요. k = 을 원래 식에 대입해보죠.

2x - y - 1 + (x - y - 3) = 0
6x - 3y - 3 + x - y - 3 = 0
7x - 4y - 6 = 0

한 정점을 지나는 직선의 방정식

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0처럼 생긴 직선이 꼭 지나는 점이 하나 있어요. k가 어떤 값을 가지든 상관없이 꼭 지나는 점이죠. 이 점의 좌표를 구해보죠.

ax + by + c + k(a'x + b'y + c') = 0이 k와 상관없이 항상 같은 점을 지난다는 말은 k의 값에 상관없이 식이 항상 성립한다는 뜻이에요. 즉 k에 관한 항등식이라는 거지요.

항등식이 되려면 0k + 0 = 0꼴이 되어야 해요. 즉 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0이 되어야 하죠. 이건 직선의 방정식 두 개이기도 하지만 연립방정식이기도 하잖아요. 연립방정식의 해이자 두 직선의 교점이 바로 꼭 지나는 점이에요.

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0이 k와 관계없이 일정한 점을 지날 때, 이 점의 좌표를 구하여라.

k와 관계없이 지나는 한 점의 좌표에요. "k와 관계없이"니까 k에 관한 항등식이어야겠죠? k에 관해서 정리해보죠.

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0
kx - 2x + 3y - 2ky + 6 = 0
k(x - 2y) - (2x - 3y - 6) = 0

x - 2y = 0
x = 2y

2x - 3y - 6 = 0
4y - 3y - 6 = 0
y = 6
x = 12

(k - 2)x + (3 - 2k)y + 6 = 0이 k와 관계없이 지나는 점의 좌표는 (12, 6)이네요.

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두 직선의 위치관계 - 일반형

두 직선의 위치관계 2번째에요. 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서는 직선의 방정식 표준형에서 직선의 위치관계를 이번에는 직선의 방정식 일반형에서 직선의 위치관계를 알아볼 거예요. 기울기와 y절편을 이용해서 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는지 위치관계를 파악하는 거니까 별로 차이가 없어요.

직선의 방정식과 미지수가 2개인 일차방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이 둘 사이의 관계를 이용해서 두 직선의 위치관계와 연립방정식의 해의 개수 사이에 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요.

두 직선의 위치관계 - 일반형

ax + by + c = 0이라는 직선의 방정식이 있어요. 일반형이니까 표준형으로 바꿔보죠.

ax + by + c = 0
by = -ax - c
y = -x -

a'x + by' + c' = 0이라는 또 다른 직선의 방정식의 일반형도 표준형으로 바꿔보죠.

a'x + b'y + c' = 0
b'y = -a'x - c'
y = -x -

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서

기울기가 같고, y절편이 다르면 평행하죠.
- = - →  =  →  =
- ≠ - →   ≠  →  ≠

기울기가 같고, y절편이 같으면 일치라고 했어요.
- = - →  =  →  =
- = - →   =  →  =

기울기의 곱이 -1이면 수직이에요.

기울기가 다르면 한 점에서 만나죠.
- ≠ - →  ≠  →  ≠

앞으로는 일반형을 표준형으로 고치지 않고 계수의 비를 이용해서 위치관계를 파악할 수 있겠죠?

연립방정식의 해의 개수

미지수가 2개인 일차방정식은 직선의 방정식의 일반형과 모양이 같아요. 미지수가 2개인 직선의 방정식을 두 개 묶은 게 연립방정식이고 이 연립방정식의 해는 두 직선의 방정식의 교점이에요.

해가 1개이면 교점의 개수도 1개, 해가 없으면 교점도 없어요. 해가 무수히 많으면 교점도 무수히 많죠.

해가 특수한 연립방정식에서 ax + by + c = 0, a'x + b'y + c' = 0의 해가 무수히 많을 때와 하나도 없을 때를 했었죠?

해가 무수히 많을 때: x, y, 상수항의 계수비가 같다.
⇔  =  =

해가 하나도 없을 때: x, y 계수비는 같고, 상수항의 비는 다르다.
⇔  =  ≠

직선의 방정식이 수직으로 만나는 것도 한 점에서 만나는 거니까 교점의 개수가 1개이고 이때 연립방정식의 해의 개수도 1개에요.

두 직선의 위치관계 - 일반형, 연립방정식

	ax + by + c = 0 a'x + b'y + c' = 0	연립방정식 근의 개수
평행	=  ≠	해가 없다.
일치	=  =	해가 무수히 많다
수직	aa' + bb' = 0	1개
한 점에서 만난다.	≠	1개

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두 직선의 위치관계는 중학교 1학년 때 두 직선의 위치관계에서 공부했어요. 이때는 그냥 위치 관계의 종류에 대해서만 공부했죠. 평행, 일치, 수직, 한 점에서 만나는 경우요.

이 글에서는 직선의 방정식과 위치관계 사이의 관계를 알아볼 거예요. 식을 보고 위치관계를 알아내고, 반대로 위치관계를 보고 직선의 방정식을 구할 수 있게요.

증명 과정이 약간 복잡할 수 있는데, 결론은 간단하니까 결론만 잘 외워두세요.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치

평행한 두 직선 y = mx + n, y = m'x + n'가 있어요. x축과 만나는 점을 각각 A, A'라고 해보죠. y축에 평행한 직선을 긋고 교점을 B, B'라고 하고요. 이 직선과 x축과의 교점을 H라고 하죠.

두 개의 직각삼각형이 생겨요. △ABH, △A'B'H

∠ABH = ∠A'B'H (평행선에서 동위각)
∠AHB = ∠A'HB' = 90°

두 직각삼각형은 AA 닮음이에요. 대응변의 길이를 비례식으로 표현해보죠.

는 으로 y = mx + n의 기울기 즉 m이에요. 는 y = m'x + n'의 기울기 즉 m'이고요. 두 직선이 평행하면 기울기가 같다는 것을 알 수 있어요.

m = m'일 때, n = n'이라면 어떨까요? 두 직선은 겹쳐지겠죠? 일치하게 되는 거예요. n ≠ n'이라면 그냥 평행하기만 하고 겹치지는 않고요.

두 직선의 위치관계 - 수직

y = mx + n과 y = m'x + n'이 수직으로 만날 때에요. 왼쪽 그림의 수직으로 만나는 두 그래프를 교점이 원점이 되도록 그대로 평행이동 시켜보죠. 평행이동 시킨다고 해도 두 직선이 수직으로 만나는 건 바뀌지 않으니까요. y = mx + n은 y = mx가 되고, y = m'x + n'은 y = m'x가 돼요.

여기에 x = 1이라는 직선을 그렸어요. x = 1과 y = mx의 교점을 A, x = 1과 y = m'x의 교점을 B라고 하면 △OAB가 생기는 데 직각삼각형이에요.

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 이용하여 피타고라스의 정리를 적용해보죠. A(1, m), B(1, m'), O(0, 0)

두 직선이 수직일 때는 (두 직선의 기울기의 곱) =  -1이 되는군요.

수직으로 만나는 경우 말고 그냥 만나는 때는 언제일까요? 기울기가 같으면 평행이라고 했어요. 기울기가 같지 않으면 평행하지 않겠죠? 평행하지 않으면 두 직선은 만나게 돼요. 따라서 기울기가 같지 않으면 한 점에서 만나요.

y = 2x + 3과 평행하고 (2, 1)을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선이 평행하려면 기울기가 같고 y절편이 달라야 하죠?

y = 2x + 3과 평행하다고 했으니 구하려는 직선의 방정식의 기울기는 2에요. y = 2x + n

y = 2x + n이 (2, 1)을 지난다고 했으니 식에 대입해보죠.

y = 2x + n
1 = 2 × 2 + n
n = -3

y = 2x - 3이네요.

y = ax + 3과 y = -x + b가 y축 위의 한 점에서 수직으로 만날 때, a + b의 값을 구하여라.

y축 위의 한 점에서 만난다고 했어요. y축 위의 점은 바로 y절편이죠? 따라서 y절편이 같다는 뜻이에요. y = ax + 3에서 y절편은 (0, 3)이므로 b = 3이네요.

두 직선이 수직이려면 (기울기의 곱) = -1이에요. a = 1이네요.

a + b = 1 + 3 = 4

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직선의 방정식을 구해봤어요. 이제 직선의 방정식을 그래프로 그려볼 거예요. 웬만한 건 일차함수 그래프 그리기에서 해봤으니까 여기서는 새로운 것을 해보죠.

절댓값 기호가 들어있는 직선의 방정식 그래프를 그리는 거예요. 절댓값 기호의 위치가 여러 가지가 있고, 이 위치에 따라 그리는 방법이 달라져요. 매우 어렵고 상당히 헷갈리는 내용이죠.

헷갈리지 않게 잘 읽어보고 그래도 어려운 것 같으면 가장 기본적인 원리만이라도 익히도록 하세요.

절댓값 기호가 포함된 식의 그래프

가장 기본적인 y = x의 그래프를 그려보죠.

원점을 지나고 1, 3사분면을 지나는 그래프네요.

y = |x|의 그래프를 그려볼까요? 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서 절댓값 기호 안을 0이 되게 하는 숫자를 기준으로 구간을 나눠서 계산했죠? 여기서도 그렇게 해보죠.

y = |x|

x ≥ 0일 때, y = x
x < 0일 때 y = -x

그래프로 그려보면

이렇게 나옵니다. 모양이 어떤가요? y = x그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로이고, x < 0인 부분 즉 y < 0인 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양이에요.

이걸 다른 말로 표현해 보죠. 우변이 |x|로 양수이기 때문에 좌변 y도 항상 양수여야 해요. 따라서 y < 0인 부분을 꺾어버렸다고 생각하면 돼요.

이번에는 y = |x - 1|의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 절댓값 기호 안이 0이 되는 구간을 나누어 합니다.

y = |x - 1|

x - 1 ≥ 0 → x  ≥ 1일 때, y = x - 1
x - 1< 0 → x < 1일 때, y = -x + 1

y = x - 1 그래프에서 x ≥ 1인 곳은 그대로이고, 이 부분을 y축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이에요.

좌변 y는 항상 양수여야 하죠? 그래서 y < 0인 부분의 그래프를 꺾어버렸다고 생각하세요.

이번에는 y = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.

y = |x| - 1

x ≥ 0일 때, y = x - 1
x < 0일 때 y = -x - 1

y = x - 1의 그래프에서 x ≥ 0인 곳은 그대로, 이 부분을 y축에 대칭이동 시킨 모양이에요. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고 이걸 y축에 대칭 시킨 모양이죠.

-1을 좌변으로 이항하면 y + 1 = |x|가 돼요. 우변이 항상 양수이므로 좌변의 y + 1이 0보다 작은 부분(y < -1)을 꺾어버렸어요.

|y| = x의 그래프를 그려보죠. 이번에는 y에 절댓값 기호가 있네요.

y ≥ 0일 때, y = x
y < 0일 때, y = -x

y = x의 그래프에서 y ≥ 0인 곳은 그대로 두고 이 부분을 x축에 대칭이동 시킨 모양입니다. 좌변이 |y|이기 때문에 x는 항상 양수에요. 그러니까 x < 0인 부분을 꺾어버린 거죠.

|y| = x - 1의 그래프를 그려보죠.

|y| = x - 1

y ≥ 0일 때, y = x - 1
y < 0일 때, y = -x + 1

y = x - 1의 그래프에서 y ≥ 0인 부분은 그대로이고, 이 부분을 x축에 대칭이동 한 모양입니다. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(y ≥ 0)의 그래프 y = x - 1을 그리고, 이걸 x축 방향으로 대칭이동 시킨 모양이지요.

좌변이 |y|로 항상 양수입니다. 따라서 x - 1이 0보다 작은 부분을 꺾어버렸어요.

이번에는 x, y에 절댓값이 있는 |y| = |x|의 그래프를 그려보죠.

x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x
x < 0, y < 0일 때, y = x

|y| = |x| - 1의 그래프를 그려보죠.

x ≥ 0, y ≥ 0일 때, y = x - 1
x ≥ 0, y < 0일 때, y = -x + 1
x < 0, y ≥ 0일 때, y = -x - 1
x < 0, y < 0일 때, y = x + 1

(절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간(x ≥ 0, y ≥ 0)인 y = x - 1의 그래프를 그리고 이걸 x축, y축, 원점에 대칭이동 시킨 모양이죠.

절댓값 기호를 포함한 식의 그래프 그리기

그래프를 두 가지 방법으로 표현합니다.

• 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞는 그래프를 찾고, 그 그래프를 x축 또는 y축에 대칭이동 시켰다.
• 원래 그래프를 그린 다음 조건에 맞지 않는 그래프를 찾고 그 그래프를 꺾어버렸다.

대부분은 대칭이동 했다는 표현을 많이 쓰는데, 일부 선생님이나 교재에서 꺾었다는 표현을 하기도 하니까 둘 다 알아두세요.

표현법에 따라 그래프를 그리는 방법이에요.

대칭이동을 이용한 그래프 그리기

1. 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
2. (절댓값 기호 안) ≥ 0이 되는 구간의 그래프를 찾는다.
3. ②에서 찾은 그래프를 절댓값 기호가 없는 문자로 된 축 방향으로 대칭이동(x에 절댓값이 있으면 y축, y에 절댓값이 있으면 x축 방향으로 대칭이동)

꺾기를 이용한 그래프 그리기

1. 절댓값 기호를 뺀 그래프를 그린다.
2. (절댓값 기호 안) < 0이 되는 구간을 찾는다.
3. ②에서 찾은 그래프가 양수가 되도록 절댓값 기호가 있는 문자 축 방향으로 그래프를 꺾는다.

절댓값 기호가 어디 있느냐에 따라서 그래프를 그리는 방법이 달라지죠? 어떻게 그리는지를 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않으면 외우지 마세요. 어설프고 헷갈리게 외우는 것보다는 외우지 않는 게 더 좋아요.

절댓값 기호 안이 0이 되게 하는 구간을 나눠서 식을 구하고 그래프를 그리더라도 시간이 오래 걸리지 않으니까 차근차근 그리는 것이 더 좋을 수 있어요.

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우리 식을 얘기할 때 일반형, 표준형 이런 얘기하죠? 이차함수에서 y = ax² + bx + c를 이차함수 일반형, y = a(x - p)² + q를 표준형이라고 했잖아요. 일차방정식은 ax + b = 0, 이차방정식은 ax² + bx + c = 0 이렇게 썼어요.

직선의 방정식도 마찬가지로 일반형, 표준형이 있어요. 직선의 방정식의 일반형과 표준형을 알아볼텐데, 용어가 크게 중요한 게 아니니까 공식처럼 외우지 말고 그 의미를 잘 이해하세요. 그냥 단순한 용어 정리일 뿐이에요.

직선의 방정식의 일반형

미지수가 x, y 두 개인 일차방정식은 ax + by + c = 0으로 써요. 이 방정식을 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기에서 사용했던 y = ax + b 꼴로 한 번 바꿔보죠.

ax + by + c = 0
by = -ax - c

b ≠ 0이면 양변을 b로 나눌 수 있어요.

기울기는 , y절편은 에요.

이때 a = 0이면 y = 가 되서 x축에 평행한 직선이에요.

b = 0이면 양변을 b로 나눌 수 없지요.

0y = -ax - c
ax = -c
x =

양변을 a로 나눴더니 y축에 평행한 직선이 되는군요.

이때 a = 0이면 어떻게 될까요? b = a = 0이 되어서 c = 0이라는 아무 것도 아닌 게 되어버렸네요.

방정식. ax + by + c = 0

방정식 ax + by + c = 0	a ≠ 0	a = 0
b ≠ 0	기울기는 , y절편은	y = x축에 평행한 직선
b = 0	x = y축에 평행한 직선

모양을 바꾸고 나니 모두 직선이라는 것을 알 수 있죠?

보통 좌변에 모든 항을 이항하고 우변에 0만 있는 형태를 일반형이라고 해요. 미지수가 2개인 방정식은 미지수가 x, y이고 차수가 1인 방정식인데 그래프가 직선이죠? 그래서 ax + by + c = 0의 꼴을 직선의 방정식의 일반형이라고 해요.

모양을 바꿨던 y = ax + b꼴을 직선의 방정식의 표준형이라고 해요. 기울기와 x, y절편을 쉽게 알아볼 수 있는 형태지요.

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직선의 방정식은 중학교 때 공부했던 직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 살짝 다뤄본 적이 있어요. 일차함수 그래프의 모양이 평면좌표에서 직선이기 때문에 직선의 방정식이라고 한다고 했죠.

직선의 방정식 구하기는 일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기와 방법이 같아요. 다만 이제는 조금 더 세련된(?) 방법으로 직선의 방정식을 구할 수 있어요.

공식이 여러 개 나오는데 어떻게 공식이 유도되는지 잘 보고 잊어버리지 않도록 외워두세요.

직선의 방정식 구하기

직선의 방정식은 일차함수와 모양이 같아요. y = ax + b 꼴이죠. 그러니까 직선의 방정식을 구한다는 말은 a, b를 구한다는 것과 같아요. a는 기울기, b는 y절편이죠?

여러 경우에 a, b를 어떻게 구하는지 방법을 알아보죠.

기울기와 y절편이 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기

일차함수의 일반형 y = ax + b에서 기울기는 a, y절편이 b죠. 기울기와 y절편이 주어졌으면 이 내용을 거꾸로 해서 직선의 방정식을 바로 구할 수 있겠죠?

기울기가 m이고, y절편이 n인 직선의 방정식 ⇒ y = mx + n

기울기와 한 점의 좌표가 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기

y = ax + b에서 a를 알려준 거예요. 그럼 b만 구하면 되죠? 알려준 기울기가 m이고, 한 점의 좌표가 A(x₁, y₁)라고 한다면 이 식에 대입해서 b를 구할 수 있어요.

y = ax + b
y₁ = mx₁ + b             (∵ 기울기 m과 (x₁, y₁) 대입)
b = y₁ - mx₁

y = ax + b
y = mx + (y₁ - mx₁)   (∵ 기울기 m과 b = y₁ - mx₁ 대입)
y - y₁ = mx - mx₁
y - y₁ = m(x - x₁)

기울기가 m이고, 한 점(x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식 ⇒ y - y₁ = m(x - x₁)

두 점을 지나는 직선의 방정식 구하기

두 점의 좌표 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 알면 기울기를 구할 수 있어요.

m =

기울기를 구했네요. 그럼 기울기와 두 점의 좌표를 알게 되었어요. 위에서 했던 공식에 바로 대입해보죠.

y - y₁ = (x - x₁)

그런데 한 가지 생각해야 할 게 기울기 에서 x₁ = x₂라면 분모가 0이 되어버리죠? 그러니까 이 공식으로는 x₁ = x₂일 때 직선의 방정식을 구할 수 없어요.

x₁ = x₂일 때는 그래프를 보듯이 모든 x좌표가 x₁으로 같고, y축에 평행한 x = x₁이 돼요.

y₁ = y₂라면 어떨까요? 기울기가 0이겠죠? 모든 점의 y좌표가 y₁으로 같고, x축에 평행인 y = y₁이 돼요.

y - y₁ = (x - x₁)
y - y₁ = 0             (∵ y₁ = y₂)
y = y₁

공식을 이용해서 구할 수 있으니 굳이 따로 외울 필요는 없겠네요.

두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 지나는 직선의 방정식
x₁ ≠ x₂일 때, y - y₁ = (x - x₁)
x₁ = x₂일 때, x = x₁

x절편과 y절편이 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기

x절편의 좌표 (a, 0), y절편의 좌표 (0, b)이 주어졌다고 해보죠. x절편과 y절편도 두 점의 좌표에요. 그러니까 위의 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보죠.

여기서 a, b가 분모니까 a와 b는 0이 아니에요. a, b 중 하나라도 0일 때는 두 점을 지나는 직선의 방정식 구하는 방법으로 구하세요. 참고로 a = b = 0이면 (0, 0)인 점 하나만 알려준 거라서 직선의 방정식을 구할 수 없어요.

x절편이 (a, 0), y절편이 (0, b)인 직선의 방정식 ⇒  (단, ab ≠ 0)

다음을 보고 직선의 방정식을 구하여라.
(1) 기울기가 3이고 y절편이 5인 직선
(2) 기울기가 2이고 (3, 5)를 지나는 직선
(3) 두 점 (2, 5), (4, 6)을 지나는 직선
(4) x절편이 (3, 0), y절편이 (0, 6)인 직선

(1)은 기울기와 y절편을 알려줬네요.

y = mx + n
y = 3x + 5

(2)는 기울기와 한 점의 좌표를 알려줬고요.

y - y₁ = m(x - x₁)
y - 5 = 2(x - 3)
y = 2x - 1

(3)은 두 점의 좌표를 알려줬네요. 두 점의 x좌표가 서로 다르니까 공식을 이용할 수 있어요.

(4)는 x,y 절편을 알려줬는데 둘 다 0이 아니에요. 공식에 대입해보죠.

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삼각형의 무게중심은 중학교 때 공부했어요. 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선

이번에는 앞서 공부한 내분점과 외분점의 좌표 공식을 이용해서 삼각형의 무게중심의 좌표를 구하는 방법을 알아볼 거예요. 공식이 매우 쉬워요. 외우려고 하지 않아도 자동으로 외워지죠.

삼각형의 중점을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표도 구해서 원래 삼각형의 무게중심의 좌표와 어떤 관계가 있는지도 알아볼 거예요

삼각형의 무게중심의 좌표 구하기

삼각형의 각 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선 즉 중선의 교점을 삼각형의 무게중심이라고 하지요? 중선은 어떤 특징이 있나요? 꼭짓점에서 무게중심에 이르는 거리와 무게중심에서 대변의 중점까지의 거리는 2 : 1이에요. 다시 말해 무게중심은 중선을 2 : 1로 내분하는 거죠.

이 성질을 이용해서 삼각형의 세 꼭짓점의 좌표를 알면 무게중심의 좌표를 구할 수 있어요.

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)로 된 △ABC가 있다고 해보죠. 이때 선분 BC의 중점을 M(x', y'), △ABC의 무게중심을 G(x, y)라고 할게요.

중점은 선분을 1 : 1로 내분하니까 선분 BC의 중점 M의 좌표는 (, )이에요.

A(x₁, y₁), M(, )을 연결한 선분 AM을 무게중심 G가 2 : 1로 내분하는 성질을 이용해서 점 G의 좌표를 구해보죠.

x 좌표: 

y 좌표: 

좌표 공식인데, 어렵지 않죠?

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 무게중심 G의 좌표

세 점의 x, y좌표를 다 더해서 3으로 나눴어요. 평균 구하는 것과 같은 방법이네요.

중점을 연결한 삼각형의 무게중심

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)로 된 △ABC가 있을 때, 각 변의 중점을 점 D, 점 E, 점 F라고 하고 이들을 연결한 삼각형을 △DEF라고 해보죠.

점 D는 선분 BC의 중점이니까 (, )
점 E는 선분 CA의 중점이니까 (, )
점 F는 선분 AB의 중점이니까 (, )

△DEF의 무게중심의 x, y 좌표를 구해보죠.

△DEF의 무게중심의 좌표와 △ABC의 무게중심의 좌표가 같네요.

세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 무게중심 G의 좌표
= 세 변의 중점을 연결한 삼각형의 무게중심 G의 좌표

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수직선과 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점에 대해서 알아봤어요. 이제는 내분점과 외분점 사이의 관계를 알아볼 거예요. 내분점은 내분점, 외분점은 외분점으로 따로 인 것 같지만 둘은 한 끗 차이에요. 어디를 기준으로 두느냐의 차이지요.

내분점과 외분점은 바늘과 실처럼 항상 함께 하는 사이에요. 문제의 설명을 잘 읽고 이걸 그림으로 표현할 줄 안다면 문제는 쉽게 해결할 수 있어요.

그림을 새로 그리는 것도 아니고 공식을 다시 외우는 것도 아니니까 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

내분점과 외분점 사이의 관계

위 그림에서 점 P는 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점이에요. (수직선 위의 선분의 내분점과 외분점)

원래 선분 AP였는데, 선분 AP의 연장선에 점 B가 있다고 생각해볼까요? 그럼 어떻게 되나요? 점 B가 선분 AP의 연장선을 (m + n) : n으로 외분하는 점이 되지요? 반대로 선분 PB의 연장선을 점 A가 m : (m + n)으로 외분한다고 할 수도 있겠죠?

세 점 사이의 관계를 내분점과 외분점을 나타내는데, 이들은 서로가 서로에게 내분점이 되기도 하고 외분점이 되기도 해요.

이 관계를 잘 이해하고 있어야 해요. 내분점의 좌표를 가르쳐줬다고 내분점 공식만 이용하는 건 아니니까요.

선분 AB를 m : n으로 내분하는 점 P
선분 AP의 연장선을 (m + n) : n으로 외분하는 점 B
선분 PB의 연장선을 m : (m + n)으로 외분하는 점 A

위 그림에서는 어떻게 될까요?

선분 AB의 연장선을 m : n으로 외분하는 점 Q
선분 BQ의 연장선을 (m - n) : m으로 외분하는 점 A
선분 AQ를 (m - n) : n으로 내분하는 점 B

두 점 A(4, 2), B(5, 8)를 연결한 선분의 연장선 위에 있고, 가 되도록 하는 점 C의 좌표를 구하여라.

연장선 위에 있다고 했으니까 일단 점 C는 외분점이에요. 외분하는 비율을 찾아보죠.

조심해야 할 건 비율이 점 C에 대한 비율이 아니라 점 B를 중심으로 하는 비율이에요. 비율만 보면 점 B는 선분 AC를 3 : 2로 내분하는 점이네요.

구하는 건 점 C의 좌표인데, 알려준 비율은 점 B가 내분하는 비율이에요. 약간 혼선이 생기죠? 이럴 때 바로 내분점과 외분점의 관계를 이용하는 거예요.

점 C가 선분 AB의 연장선 중 B 쪽에 있어야 3 : 2라는 비율이 나오겠죠? 그러면 점 C는 B에 가까이 있는 외분점이니까 그 비율은 (3 + 2) : 2 = 5 : 2네요. 좌표평면에 그려보면 조금 더 쉽게 이해가 될 거예요.

좌표평면 위의 선분의 외분점 공식을 이용해야겠네요.

외분점 C의 x좌표 =  =

외분점 C의 y좌표 =  =

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선분의 내분점과 외분점 두 번째로 이번에는 좌표평면에서의 내분점과 외분점이에요. 내분점과 외분점에 대한 설명은 앞선 글에서 했으니까 생략하고 이 글에서는 좌표 구하는 걸 해보죠.

공식 유도 과정이 수직선보다 훨씬 복잡하니까 잘 봐야 해요. 하지만 결과는 둘이 서로 거의 비슷하니까 외우기는 어렵지 않을 거예요.

중학교 때 공부했던 도형의 닮음을 이용한 증명이니까 혹시 기억이 안 난다면 도형의 닮음을 얼른 보고 오세요.

좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 선분의 내분점

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점 P(x, y)의 좌표를 구해보죠.

거리의 비가 m : n이니까 좌표평면위의 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 직접 거리의 비를 구할 것 같지만 그게 아닌 다른 방법으로 구해보죠.

좌표평면 위에 그림을 세 점 A, B, P를 그려봤어요. 세 점 A, B, P에서 좌표축으로 수선을 내렸고요.

△ACP와 △PDB를 보죠.

∠ACP = ∠PDB = 90°
이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠PAC = ∠BPD이에요.

두 각의 크기가 같으니까 AA 닮음에 의해 △ACP ∽ △PDB이에요. 닮음비는 모든 변에서 같으므로 이죠.

x - x₁ : x₂ - x = m : n
n(x - x₁) = m(x₂ - x)
nx - nx₁ = mx₂ - mx
(m + n)x = mx₂ + nx₁
x =

x 좌표를 구했네요. x 좌표는 수직선 위의 선분의 내분점의 x좌표와 같아요.

y좌표도 같은 방법으로 삼각형의 닮음비를 이용해서 구해보죠.

y - y₁ : y₂ - y = m : n
n(y - y₁) = m(y₂ - y)
ny - ny₁ = my₂ - my
(m + n)y = my₂ + ny₁
y =

y좌표는 x좌표 공식에서 x를 y로 바꾼 거네요.

좌표평면 위의 두 점  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점은 P(x, y)는

수직선 위의 선분의 내분점에서 m = n이면 P는 중점이라고 했어요. 여기서도 마찬가지로 m = n이면 P는 중점이에요.

좌표평면 위의 선분의 외분점

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB의 연장선을 m : n (m > 0, n > 0)으로 외분하는 점 Q(x, y)의 좌표를 구해보죠.

마찬가지로 삼각형의 닮음을 이용합니다. 대신 이번에는 큰 삼각형 △AEQ와 작은 삼각형 △BDQ을 이용해요.

∠AEQ = ∠BDQ = 90°
이므로 평행선에서 동위각에 의해 ∠QAE = ∠QBD이에요.

두 각의 크기가 같으니까 AA 닮음에 의해 △AEQ ∽ △BDQ이에요. 닮음비는 모든 변에서 같으므로 이죠.

x - x₁ : x - x₂ = m : n
n(x - x₁) = m(x - x₂)
nx - nx₁ = mx - mx₂
(m - n)x = mx₂ - nx₁
x =

x 좌표를 구했네요. x 좌표는 수직선 위의 선분의 외분점의 x좌표와 같아요.

y좌표도 같은 방법으로 삼각형의 닮음비를 이용해서 구해보죠.

y - y₁ : y - y₂ = m : n
n(y - y₁) = m(y - y₂)
ny - ny₁ = my - my₂
(m - n)y = my₂ - ny₁
y =

y좌표는 x좌표 공식에서 x를 y로 바꾼 거네요.

좌표평면 위의 두 점  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)에 대하여 선분 AB의 연장선을 m : n (m > 0, n > 0)으로 외분하는 점 Q(x, y)는
(단, m ≠ n)

내분점과 외분점의 좌표 구하는 공식은 가운데 부호만 빼고 나머지는 같아요. 그리고 y좌표는 x좌표 구하는 공식에서 x만 y로 바꾸면 되고요.

좌표평면 위의 두 점 A(-2, 5), B(4, -3)에 대하여 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 할 때 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라.

내분점 P의 x 좌표 =  =

내분점 P의 y 좌표 =  =

외분점 Q의 x좌표 =  =

외분점 Q의 y좌표 =  =

내분점 P , 외분점 Q (16, -19)

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선분의 내분점과 외분점이라는 생소한 용어에 대해서 공부할 겁니다.

쉽게 말해 내분이라는 말은 나눈다는 말인데, 안에서 나눈다는 뜻이에요. 외분은 바깥에서 나눈다는 뜻이고요. 그러니까 내분점은 안에서 나누는 점이고, 외분점은 바깥에서 나누는 점이죠.

내분점, 외분점이 무엇인지 알아보고 내분점과 외분점의 좌표를 구하는 공식도 유도해보죠. 수직선 위의 선분의 내분점과 외분점은 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점에도 그대로 적용되니까 잘 봐두세요.

수직선 위의 선분의 내분점과 외분점

수직선 위의 선분의 내분점

수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)에 대하여 선분 AB위의 한 점 P가 (m > 0, n > 0)을 만족할 때, 점 P가 를 m : n으로 내분한다고 하고 점 P를 내분점이라고 해요.

점 P의 좌표를 x라고 하고 에 두 점 사이의 거리 공식을 적용해볼까요? x₁ < x < x₂네요.

x - x₁ : x₂ - x = m : n
n(x - x₁) = m(x₂ - x)
nx - nx₁ = mx₂ - mx
(m + n)x = mx₂ + nx₁
x =

점 P가 를 내분하는 비율을 알면 점 P의 좌표를 구할 수 있겠죠?

만약에 m = n이면 어떨까요? 이니까 바로 이때 내분점 P는 중점이 되는 거예요.

수직선 위의 선분의 외분점

수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)에 대하여 선분 AB의 연장선 위의 한 점 Q가 (m > 0, n > 0)을 만족할 때, 점 Q가 를 m : n으로 외분한다고 하고 점 Q를 외분점이라고 해요.

점 Q의 좌표를 x라고 하고 에 두 점 사이의 거리 공식을 넣어보죠. x₁ < x₂ < x 네요.

x - x₁ : x - x₂ = m : n
n(x - x₁) = m(x - x₂)
nx - nx₁ = mx - mx₂
(m - n)x = mx₂ - nx₁
x =

위에서는 m > n일 때였는데, 이번에는 m < n일 때를 보죠. 점 Q가 A의 왼쪽에 있을 때에요. x < x₁ < x₂네요.

x₁ - x : x₂ - x = m : n
n(x₁ - x) = m(x₂ - x)
nx₁ - nx = mx₂ - mx
(m - n)x = mx₂ - nx₁
x =

점 Q가 A의 왼쪽에 있든지 B의 오른쪽에 있든지 상관없이 Q의 좌표는 똑같아요. 외분하는 비율 m, n을 알면 점 Q의 좌표를 구할 수 있어요.

좌표를 구하는 공식과는 별개로 외분하는 비율을 보면 외분점의 위치를 알 수 있겠죠? m > n이면 외분점은 점 B의 오른쪽에 m < n이면 외분점은 점 A의 왼쪽에 있어요. 즉 비율이 작은 쪽에 외분점이 있어요.

1 : 1로 내분하면 중점이었죠? 1 : 1로 외분하는 점은 뭘까요? 그런 점은 생길 수가 없어요. 따라서 무조건 m ≠ n이에요.

정리해보죠.

수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂)에 대하여
선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 하면

(내분점일 때는 m = n이면 중점, 외분점일 때는 m ≠ n)

내분점과 외분점의 좌표 구하는 공식은 가운데 부호만 빼고 나머지는 같으니까 쉽게 외울 수 있겠죠?

수직선 위의 두 점 A(-2), B(4)에 대하여 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 할 때 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라.

내분점 P의 좌표 =  =

외분점 Q의 좌표 =  =

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두 점 사이의 거리인데요 이건 중학교 때 이미 다 해봤어요. 좌표평면에서 두 점 사이의 거리요. 직각삼각형과 피타고라스의 정리를 이용해서 두 점 사이의 거리를 구했었죠? 한 번 공부했던 거니까 간단하게 복습한다고 생각하세요.

여기서는 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식을 외우는 것도 중요하지만 이 공식을 이용해서 좌표평면 위의 점의 좌표를 구하는 방법도 알고 있어야 해요. 좌표를 구하는 팁을 잘 기억하세요.

두 점 사이의 거리

수직선에서 두 점 사이의 거리

수직선 위의 두 점 사이의 거리는 좌표의 차예요. 그런데 거리는 항상 0 또는 양수여야 하죠? 그래서 두 점 사이의 거리 차에 절댓값을 씌워야 해요.

수직선 위의 두 점 A(x₁), B(x₂) 사이의 거리:

좌표평면에서 두 점 사이의 거리

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리는 직각삼각형과 피타고라스의 정리를 이용합니다.

위 그림에서 두 점 A, B 사이의 거리인 선분 AB의 길이는 △ABC의 빗변의 길이이므로 피타고라스의 정리를 적용해서 구할 수 있어요.

좌표평면 위의 두 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) 사이의 거리:

좌표를 설정하는 방법

두 점 사이의 거리에 관한 문제를 풀 때 두 점의 좌표를 주고 거리를 구하라는 문제는 나오지 않아요. 너무 쉽잖아요. 대신 두 점 사이의 거리를 미리 알려주고 그 좌표에 해당하는 점을 구하는 문제가 나오죠.

앞에서 사용한 공식을 적용하려면 점의 좌표가 필요하잖아요. 그런데 모르는 좌표니까 우리가 문자를 사용해서 임시 좌표를 만든 다음에 공식에 넣으면 돼요. 이때 아무렇게나 임시 좌표를 정하는 게 아니라 아래의 내용을 이용하면 조금 더 쉽게 점의 좌표를 구할 수 있어요.

• x축 위의 점: (a, 0)
• y축 위의 점: (0, b)
• 좌표평면 위의 임의의 점: (a, b)

구하려고 하는 점의 좌표가 x축 위의 좌표라면 y = 0이니까 (a, 0)로 놓으면 좋아요. y축 위의 좌표도 마찬가지고요. 축 위의 점이 아니라면 그냥 (a, b)로 놓으면 되고요. 어려운 내용은 아니죠?

좌표평면 위에 있는 두 점 A(1, 2), B(2, 3)로부터 같은 거리에 있는 x축 위의 점 P와 y축 위의 점 Q의 좌표를 구하여라.

점 P는 x축 위의 점이니까 좌표를 P(a, 0)이라고 놓으면 되겠네요. 점 Q는 y축 위의 점이니까 Q(0, b)로 놓고요.

두 점의 좌표를 구했네요. P(4, 0), Q(0, 4)

좌표평면 위의 두 점 A(-1, 2), B(-2, 3)로부터 같은 거리에 있는 2x + 3y = 2위의 점 P의 좌표를 구하여라.

구하려는 점 P는 축 위의 점이 아니니까 그냥 P(a, b)라고 해보죠. 공식에 대입해볼까요?

여기서는 a, b의 값을 구할 수 없어요. 문제를 다시 읽어보죠. 점 P가 2x + 3y = 2위의 점이라고 했네요. P(a, b)는 이 직선 위의 점이니까 x = a, y = b를 대입하면 식이 성립해야 해요. 여기서 2a + 3b = 2라는 식을 얻을 수 있어요. 앞에서 구한 식과 이 식을 연립해서 a, b를 구해보죠.

a - b = -4
2a + 3b = 2

두 식을 연립해서 풀면 a = -2, b = 2가 나옵니다. 따라서 점 P의 좌표는 P(-2, 2)예요.

직선 위의 점이라고 나오면 일단 (a, b)라고 놓고 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 식을 하나 구해요. 그다음 x = a, y = b를 직선의 방정식에 대입해서 식을 하나 더 구한 다음 두 식을 연립해서 a, b를 구하는 겁니다.

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