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유리함수 두 번째로 좀 더 어려운 분수함수를 공부해보죠. 분수함수는 분수식이 나오기 때문에 식이 복잡해요. 따라서 원리를 잘 이해해야 복잡한 식을 조금이라도 더 쉽게 파악할 수 있어요. 그리고 마지막에 나오는 결론을 공식처럼 외워두세요. 그래야 답을 구하기 편합니다.

그래프의 특징에 대해서 알아볼 건데, 이건 평행이동으로 이해하면 쉬워요. 평행이동, 점과 도형의 평행이동에서 했던 핵심을 잘 기억하고 있으면 좋지요.

분수함수

분수함수 의 그래프

점과 도형의 평행이동에서 x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q를 대입한다고 했어요.

의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동해보죠. x대신 x - p, y 대신 y - q를 대입하고 정리하면 가 돼요.

의 그래프는 어떤 특징이 있을까요?

중학교 때 공부했던 이차함수 그래프, y = (x-p)² + q에서 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y = ax²의 특징 중 x와 관련된 모든 항목은 p로, y와 관련된 모든 항목은 q로 바뀐다고 했어요. 여기서도 마찬가지예요.

의 그래프

점근선	x축 (y = 0), y축 (x = 0)	x = p, y = q
대칭점	(0, 0)	(p, q)
정의역	{x|x ≠ 0인 모든 실수}	{x|x ≠ p인 모든 실수}
치역	{y|y ≠ 0인 모든 실수}	{y|y ≠ q인 모든 실수}
	|k|가 커질수록 대칭점에서 멀어진다.

분모가 0이 되는 수를 제외한 모든 실수가 정의역이죠. k ≠ 0이니까 y = q가 될 수 없어요. 따라서 치역은 y ≠ q인 모든 실수가 되는 거고요.

분수함수 의 그래프

a = 0이면 가 되죠. 이건 분수함수가 아니라 다항함수예요. 그래서 a ≠ 0이라는 조건이 붙어요. 또 ad - bc = 0이 되면 분수함수가 아니라 그냥 상수함수가 되어버리기 때문에 ad - bc ≠ 0이라는 조건이 붙습니다.

의 그래프는 꼴로 바꿔서 풀어요.

의 모양을 바꿔보면 가 되는데, 의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 만큼 평행이동한 걸 알 수 있어요. 여기서 는 분모 = 0이 되게하는 x값이고, 는 일차항의 계수의 비예요.

의 점근선은 x = , y = 가 되죠. 대칭점은 (, )이에요. 

의 그래프
꼴로 바꾼다.
점근선: x = (분모가 0이 되는 x값), y = (일차항의 계수비)
대칭점: (분모가 0이 되는 x값, 일차항의 계수비)

함수 의 점근선의 방정식을 구하여라.

의 점근선은 x = (분모가 0이 되는 x값), y = (일차항의 계수비)에요.

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숫자를 공부할 때 정수 다음에 유리수를 공부했어요. 식을 공부할 때는 다항식 다음에 유리식을 공부했고요. 함수를 공부할 때는 어떨까요? 다항함수를 공부한 다음에 유리함수를 공부해요. 다항함수라는 용어는 들어본 적이 없지만 다항함수를 모르는 건 아니에요. 이제까지 우리가 다뤄왔던 함수가 바로 다항함수니까요.

이 글에서는 유리함수의 뜻과 종류에 대해서 공부할 거예요. 분수함수, 점근선, 직각쌍곡선 등 새로운 용어들이 몇 개 나옵니다.

또 라는 함수의 그래프의 특징에 대해서도 공부할 거고요.

유리함수

유리식은 의 꼴로 생긴 식을 말해요. 그럼 유리함수는 뭘까요? 간단히 말하면꼴로 생긴 함수를 말해요. y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식인 함수를 유리함수라고 합니다.

유리식에서 분모가 상수인 식을 다항식이라고 하고, 분모가 상수가 아니면 분수식이라고 했어요. 마찬가지로 함수 y =  f(x)에서 f(x)의 분모가 상수이면 즉, f(x)가 x에 대한 다항식이면 함수 y = f(x)를 다항함수라고 해요. 함수 y = f(x)에서 f(x)의 분모가 다항식이면 즉, f(x)가 x에 대한 분수식이면 함수 y = f(x)를 분수함수라고 하지요.

이제까지 공부했던 함수가 바로 다항함수예요.

일반적으로 특별한 언급이 없으면 다항함수에서는 정의역과 공역이 실수 전체의 집합이에요. 하지만 분수에서 분모는 0이 될 수 없으므로 분수함수의 정의역은 분모 ≠ 0인 실수 전체가 됩니다.

분수함수 의 그래프

의 그래프는 중학교 1학년 때 정비례와 반비례에서 그려봤어요. 조금 더 자세히 알아보죠.

의 그래프를 그려볼까요? 일단 순서쌍으로 나타내보죠.

x	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
y	…	-	-	-1	X	1			…

순서쌍으로 그래프를 그려보면 다음처럼 돼요.

분자 k = 1로 양수죠? k가 양수면 x, y의 부호가 같으니까 그래프는 제 1, 3 사분면에 그려집니다.

두 개의 곡선 모양의 그래프라서 이 곡선을 쌍곡선이라고 하는데, 쌍곡선은 원점에 대하여 대칭이에요.

원점에서 멀어질수록 그래프가 x축과 y축에 점점 가까워지죠? 그래프가 점점 가까워지는 직선이라는 뜻으로 점근선이라고 하는데, 여기서는 x축, y축이 점근선이에요. x축과 y축처럼 점근선이 서로 직각인 쌍곡선을 직각쌍곡선이라고 해요.

k < 0이라면 쌍곡선은 제 2, 4 분면에 그려져요. 다른 특징은 같고요.

만약에 의 그래프를 그려보면 어떻게 될까요? 분자의 k의 절댓값이 커질수록 그래프는 원점에서 멀어져요.

분수함수  그래프의 특징
정의역과 치역은 0을 제외한 실수 전체 집합
k > 0이면 제 1, 3 사분면, k < 0이면 제 2, 4 사분면
원점에 대하여 대칭
x축, y축을 점근선으로 하는 직각쌍곡선
|k|가 커질수록 원점에서 멀어진다.

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이차방정식의 두 근과 어떤 실수의 크기를 비교해보려고 해요. 실근을 알면 그냥 숫자를 비교하면 되지만 실근을 정확하게 모르는 경우에는 다른 방법이 있어야겠죠? 바로 이럴 때 이차함수의 그래프를 이용해서 실근과 숫자의 대소비교를 할 수 있어요. 그러니까 이차방정식 실근의 위치는 실수보다 크냐 작으냐를 의미하는 거예요.

이차방정식의 근과 숫자의 대소관계를 어떻게 비교할 수 있는지 그 조건은 무엇인지 알아보죠. 또 거꾸로 실근과 실수의 대소 관계를 이용해서 이차방정식을 구하는 문제도 풀어보죠. 그래프만 잘 보고 이해하면 의외로 쉽게 풀리는 내용이에요.

이차방정식 실근의 위치

이차함수 y = ax² + bx + c (a > 0)의 그래프에서 x축과의 교점을 α, β라고 해보죠. 이 α, β는 이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a > 0)의 근이에요. 이차방정식의 두 근 α, β와 다른 실수 k의 대소 비교를 해보고 싶어요.

그런데 문제는 α, β를 모른다는 거예요. α, β의 정확한 값을 모르는 상태에서 α, β와 실수의 크기를 비교하는 방법을 알아보죠. 이 문제를 풀 때는 판별식, 경계에서의 y의 부호, 대칭축의 위치라는 세 가지를 고려해야 해요.

먼저 두 근 α, β가 실수 k보다 클 때에요. 그래프를 그려봤더니 아래 그림처럼 됐어요.

일단 크기 비교를 하려면 실근이 있어야 해요. 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서 이차방정식이 실근을 가지려면 D ≥ 0이어야 한다고 했어요. 이게 첫 번째 조건이에요.

그림에서 보듯이 f(k) > f(α) 여야 하는데, f(α) = 0이니까 f(k) > 0이어야 해요. 이게 두 번째 조건이에요.

세 번째 조건은 축의 방정식이 k보다 오른쪽에 있어야 해요. 이차함수 y = ax² + bx + c (a > 0)의 축의 방정식은 x = 에요. 따라서  > k가 되어야 하죠.

이번에는 두 근 α, β가 k보다 작을 때에요. 그래프로 그려보면 다음과 같아요.

여기에도 세 가지 조건이 있는데, 첫 번째는 실근이 있어야 하므로 D ≥ 0이어야 해요.

f(k) > f(β)이어야 하는데 f(β) = 0이니까 f(k) > 0이어야 해요.

세 번째는 축의 방정식이 k보다 왼쪽에 있어야 해요.  < k가 되어야 하죠.

이번에는 두 근 α, β 사이에 k가 있을 때에요. 그림을 보세요.

두 근 사이에 있으려면 두 근이 있어야겠죠? D > 0이어야 해요. D = 0이면 중근이라서 k가 두 근 사이에 있을 수 없어요.

그리고 f(k) < f(α) = f(β)가 되어야 하고요. 여기서 f(α) = f(β) = 0이니까 결국 f(k) < 0이네요.

k가 α와 β 사이에만 있으면 되니까 축의 방정식은 의미가 없어요.

세 가지 조건이 있는데, D < 0이면 실근이 없고, D = 0이면 중근이 생기죠. 그런데 이 두 경우에는 f(x) < 0인 부분이 없어요. 따라서 두 번째 조건인 f(k) < 0만 만족해도 f(x) < 0인 부분이 있다는 뜻으로 D > 0이라는 게 자연스럽게 성립돼요.

결국, 두 근 α, β 사이에 k가 있을 조건은 f(k) < 0 하나만 있으면 돼요.

1. α, β가 k보다 클 때
   • D ≥ 0
   • f(k) > 0
   • k <
2. α, β가 k보다 작을 때
   • D ≥ 0
   • f(k) > 0
   • k >
3. α, β 사이에 k가 있을 때
   • f(k) < 0

1, 2번에서는 세 번째만 다르네요.

끝으로 두 근 α, β가 k'보다 크고, k보다 작을 때에요. (k' < k)

위에서 세 가지 경우를 해봤어요.

두 근 α, β가 k'보다 크고, k보다 작을 경우는 1, 2번 경우를 하나로 합치면 되겠죠?

D ≥ 0, f(k') > 0, f(k) > 0, k' <  < k

x² + 2x + m + 2 = 0의 두 근사이에 1 있을 때, 실수 m의 범위를 구하여라.

두 근 α, β 사이에 k가 있을 조건은 하나에요. f(k) < 0

f(x) = x² + 2x + m + 2라고 놓으면
f(1) = 1² + 2 + m + 2
      = m + 5 < 0
m < -5

m < -5이면 x² + 2x + m + 2 = 0의 두 근 사이에 1이 있네요.

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이차함수의 그래프와 이차부등식의 관계예요. 이차함수의 그래프를 이용하여 이차부등식의 해를 구하는 과정입니다. 이차함수의 그래프와 판별식을 이용해서 이차부등식의 해를 구하는 것으로 결론은 기존에 알고 있던 이차부등식의 해를 구하는 방법과 같으니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 이글을 보고 나면 이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용이 훨씬 깔끔하게 정리가 될 거예요.

이차함수, 이차방정식, 이차부등식의 관계를 파악해보고 이들이 좌표평면 위의 그래프에서 어떤 위치를 갖는지도 잘 이해해보세요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해

이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프를 이용하여 이차부등식 ax² + bx + c > 0의 해를 구하는 방법이에요. 사실 굳이 그래프를 그리지 않고도 해를 구할 수 있는데, 그래프를 그리면 좀 더 확실히 이해할 수 있죠.

여기서는 a > 0일 때만 살펴보죠. a < 0이면 양변에 (-1)을 곱해서 a > 0으로 바꿔서 생각하면 되니까요.

a > 0이면 이차함수의 그래프는 아래로 볼록이에요. 판별식 D에 따라 x축과의 교점의 개수가 달라지죠. 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근에서는 교점의 x좌표가 이차방정식의 해였고, 교점의 개수는 해의 개수라고 했어요.

이차부등식에서는 교점의 x좌표가 해를 구하는 경곗값이에요.

표의 그래프를 잘 보세요.

D > 0일 때, y = ax² + bx + c의 그래프는 x축과 두 점 α, β에서 만나요. x = α일 때와 x = β일 때, ax² + bx + c = 0이 되어 그래프는 x축과 만나죠. 이차부등식 ax² + bx + c > 0의 좌변은 0보다 크니까 그래프에서 x축(y = 0)보다 위에 있는 구간을 찾아야 해요. x축보다 위에 있는 구간은 x < α일 때와 x > β일 때에요. 따라서 ax² + bx + c > 0의 해는 x < α or x > β입니다.

D = 0일 때 그래프는 x축과 한 점에서 만나요. 이 점을 α라고 해보죠. ax² + bx + c > 0은 x축보다 위에 있는 구간을 해로 갖는데, x축과 만나는 한 점 x = α를 빼고는 모두 x축보다 위에 있어요. 따라서 해는 x ≠ α인 모든 실수예요.

D < 0일 때 그래프는 x축과 만나지 않아요. 따라서 모든 구간에서 그래프가 x축보다 위에 있으니까 해는 모든 실수예요.

ax² + bx + c < 0의 해는 x축보다 아래에 있는 구간을 찾으면 되겠죠? D > 0일 때는 α < x < β, D = 0일 때와 D < 0일 때는 해가 없어요.

이차방정식에서는 복소수에서 해를 구했으니까 허근을 근으로 봤지만, 이차부등식에서는 실수 범위에서만 해를 구해요.

이차함수의 그래프와 이차부등식의 해 (a > 0, α ≤ β)

	D > 0	D = 0	D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프
ax2 + bx + c = 0의 해	x = α or x = β 서로 다른 두 실근	x = α 중근	실수인 해는 없다. 서로 다른 두 허근
ax2 + bx + c > 0	x < α or x > β	x ≠ α인 모든 실수	모든 실수
ax2 + bx + c ≥ 0	x ≤ α or x ≥ β	모든 실수	모든 실수
ax2 + bx + c < 0	α < x < β	해는 없다.	해는 없다.
ax2 + bx + c ≤ 0	α ≤ x ≤ β	x = α	해는 없다.

이 내용은 이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해에서 했던 내용과 같아요. 그때는 식을 이용해서 해를 구했다면 이번에는 이차함수의 그래프를 이용해서 해를 구했다는 차이가 있을 뿐이죠.

이차부등식의 해를 구하는 게 생각나지 않을 때는 이차함수의 그래프를 그리고 x축과의 관계를 보고 해를 구할 수 있어요.

이차부등식 x² + (k + 1) x + 4 > 0의 해가 모든 실수일 때 실수 k의 범위를 구하여라.

x² + (k + 1)x + 4 >0 0의 해가 모든 실수라는 말은 항상 성립한다는 얘기예요.

문제에서 이차부등식의 부등호에 등호가 포함되어 있지 않고 최고차항이 양수이므로 아래로 볼록이에요. 이런 꼴의 이차부등식이 모든 실수를 해로 가지려면 그래프가 x축보다 항상 위에 있는 경우로 위 표에서 제일 오른쪽 그림이 되겠죠. 따라서 D < 0이어야 합니다.

(k + 1)² - 4 × 1 × 4 < 0
k² + 2k + 1 - 16 < 0
k² + 2k - 15 < 0
(k - 3)(k + 5) < 0

-5 < k < 3

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x축도 직선이죠? 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 이용하여 이차함수의 그래프와 x축의 위치관계를 알아볼 거예요. 이 둘 사이의 위치관계를 통해서 이차방정식의 근의 개수를 파악할 수 있어요. 결국, 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근이 어떤 관계가 있는지 확인할 수 있죠.

이차함수의 그래프와 x축의 모습을 간략하게 그릴 수 있으면 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근 사이의 관계를 이해하는 데 훨씬 도움이 돼요.

이차함수의 그래프와 x축의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서 이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n 사이의 위치관계를 구해봤어요. ax² + bx + c = mx + n에서 판별식 D를 구해서 관계를 구했죠.

이번에는 이차함수 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)의 그래프와 x축 사이의 관계를 알아볼 거예요. x축은 직선의 방정식으로 나타내면 y = 0이죠. x축도 직선이니까 같은 방법을 이용하여 판별식 D를 구해보죠.

ax² + bx + c = 0

D = b2 - 4ac

D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나요.
D = 0이면 한 점에서 만나죠. (접한다.)
D < 0이면 만나지 않아요.

여기까지는 쉬워요.

그런데 식을 다시 한 번 보세요. ax² + bx + c = 0은 어떤 모양인가요? 바로 이차방정식의 일반형이죠? 그러니까 이차함수의 그래프와 x축의 관계는 이차방정식으로 나타낼 수 있는 거예요. x축과의 교점이 바로 이차방정식의 해가 되는 겁니다.

D > 0이어서 서로 다른 두 점에서 만나면 해가 2개가 되는 거고, D = 0으로 한 점에서 만나면 해가 하나인 경우예요. 이차방정식의 해가 1개인 경우는 중근일 때죠. D < 0이어서 만나지 않을 때는 해가 없어요. 실수범위에서만 구하기 때문에 해가 없는 거고 복소수까지 생각한다면 D < 0일 때의 해는 서로 다른 두 허근이에요.

이건 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서 했던 내용이지요.

D > 0일 때와 D = 0일 때 실근을 갖는데, 이 실근은 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 x좌표에요.

이 내용을 표로 정리해보죠. 그래프의 모양을 잘 보세요.

이차함수의 그래프와 x축과의 위치관계

	D > 0	D = 0	D < 0
y = ax2 + bx + c의 그래프	x축과 두 점에서 만난다.	x축과 한 점에서 만난다. (접한다.)	x축과 만나지 않는다.
a > 0일 때
a < 0일 때
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해	서로 다른 두 실근	중근	서로 다른 두 허근
이차함수 ax2 + bx + c (a ≠ 0)와 x축의 교점의 x좌표 = 이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해

이차항의 계수인 a의 부호에 따라 그래프의 볼록한 방향이 달라지는 걸 볼 수 있어요. 판별식의 부호와 a의 부호에 따라 그래프를 그릴 수 있어야 하고, 해의 개수도 알아내야 해요.

이차함수 y = x² + (k + 1)x + k + 1의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 k의 범위를 구하여라.

이차방정식 x² + (k + 1)x + k + 1 = 0에서 D > 0 이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나요. D < 0이면 만나지 않죠.

D = (k + 1)² - 4 × 1 × (k + 1) > 0
k² + 2k + 1 - 4k - 4 > 0
k² - 2k - 3 > 0
(k + 1)(k - 3) > 0

k < -1 or k > 3

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일차함수와 직선의 방정식의 관계에 대해서 알고 있죠? 이차함수도 방정식으로 바꿀 수 있어요. 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 이차방정식과 일차방정식의 관계로 바꿀 수 있죠. 이 관계를 이용해서 둘의 위치관계를 구해요.

이런 방법은 원과 직선의 위치관계에서도 했던 방법이에요. 일차식을 이차식에 대입한 다음에 판별식을 이용하는 거죠. 원의 방정식이 이차함수로 바꿨다는 것만 다르고 나머지는 똑같으니까 별로 어렵지 않을 거예요.

그래프를 그리지 않고 식만 보고 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 파악할 수 있도록 해보세요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계는 원과 직선의 위치관계에서 했던 방법을 그대로 가져다 쓰면 돼요.

이차함수 y = ax² + bx + c는 ax² + bx + c - y = 0이라는 식으로 바꿀 수 있고, 이건 x 관한 이차방정식이죠? y = mx + n은 mx + n - y = 0으로 바꿀 수 있고, 이건 일차방정식이에요. 이 둘을 연립하면 연립이차방정식의 풀이에 따라 해를 구할 수 있어요. 하지만 위치관계에서는 해가 중요한 게 아니고 해의 개수가 중요해요.

이차함수 y = ax² + bx + c(a ≠ 0)와 직선 y = mx + n을 연립해서 푼 해가 바로 그래프에서의 교점이에요. 해가 2개이면 교점이 2개, 해가 하나이면 교점도 하나죠.

ax² + bx + c = mx + n
ax² + (b - m)x + c - n = 0

연립하면 위와 같은 식을 얻을 수 있는데, 이 식은 x에 대한 이차방정식이죠. x에 대한 이차방정식의 해의 개수는 판별식을 이용해서 구할 수 있어요. 해의 개수와 교점의 개수가 같으니까 해의 개수를 구해보죠.

D > 0 ⇔ 서로 다른 두 실근 ⇔ 해가 2개 ⇔ 교점 2개 ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.
D = 0 ⇔ 중근 ⇔ 해가 1개 ⇔ 교점 1개 ⇔ 한 점에서 만난다.(접한다.)
D < 0 ⇔ 허근 ⇔ 해가 0개 ⇔ 교점 0개 ⇔ 만나지 않는다.

실수 범위에서만 다루기때문에 허근은 해로 인정하지 않아요. 그래서 D < 0이면 해가 0개고, 교점도 0개입니다.

위 내용을 표로 정리해 볼게요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계

이차함수 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)의 그래프와 y = mx + n의 위치관계 → ax2 + (b - m)x + c - n = 0의 판별식 D 이용
판별식	D > 0	D = 0	D < 0
위치관계	서로 다른 두 점에서 만난다.	한 점에서 만난다.(접한다.)	만나지 않는다.
그래프
교점의 개수	2개	1개	0개

x² + 3x - 3의 그래프와 접하고, y = x + 1과 평행한 직선의 방정식을 구하여라.

두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직에서 서로 평행한 직선은 기울기가 같아요. y = x + 1과 평행하다고 했으니 구하는 직선은 y = x + b가 되겠네요.

이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서는 판별식을 이용하는데, D > 0이면 서로 다른 두 점에서 만나고, D = 0이면 한 점에서 만나고, D < 0이면 만나지 않아요.

이 직선이 y = x² + 3x - 3의 그래프와 접한다고 했으니까 D를 이용해서 b를 구해보죠.

x² + 3x - 3 = x + b
x² + 2x - 3 - b = 0

D/4 = 1² - (-3 - b) = 0
1 + 3 + b = 0
b = -4

따라서 구하는 직선의 방정식은 y = x - 4가 되겠네요.

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두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이

이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법 두 번째에요. 이번에는 이차함수뿐 아니라 다른 식의 최대, 최소를 구하는 방법도 알아볼 거예요. 이차함수의 최대, 최소를 구하는 방법과 조금 다르긴 하지만 한 번에 정리한다고 생각하세요. 새로운 건 아니고 전부터 많이 사용했던 성질들을 이용하므로 너무 어려워하지 마세요.

그리고 이차함수의 최대, 최소를 활용하는 문제도 풀어볼 거예요. 이차함수의 활용은 중학교 때 해본 것과 완전히 똑같아요. 대신에 최대, 최소를 구하는 방법이 조금 어려워질 뿐이죠. 최대, 최소 구하는 방법만 제대로 알고 있으면 돼요.

이차함수의 최대, 최소

조건식이 있을 때 이차함수의 최대, 최소

x, y에 관한 조건식과 최대, 최소를 구하는 식 두 개를 알려주는 경우예요. 이때는 조건식을 한 문자에 관해 정리해서 다른 식에 대입해요.

실수 x, y에 대하여 x² + y² = 4일 때, 2x + y²의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

조건식이 x² + y² = 4이네요. 한 문자에 관해서 정리해보죠.
y² = 4 - x²

2x + y² = 2x + 4 - x² = -x² + 2x + 4 = -(x - 1)² + 5

위로 볼록한 이차함수이므로 최댓값 5만 가질까요? 아니에요. 왜냐하면, 조건식에서 x의 범위를 구할 수 있거든요.

(실수)² ≥ 0이므로 y² = 4 - x² ≥ 0이에요.
4 - x² ≥ 0
x² - 4 ≤ 0
(x + 2)(x - 2) ≤ 0
-2 ≤ x ≤ 2

정의역이 -2 ≤ x ≤ 2이고, 이차함수의 꼭짓점 (1, 5)가 정의역에 포함되므로 양쪽 경곗값과 꼭짓점에서의 y값을 비교해서 최대, 최소를 구해야 해요. 최댓값은 x = 1일 때 5, 최솟값은 x = -2일 때 -4네요.

완전제곱식이 포함된 이차식의 최대, 최소

x, y가 실수라는 조건이 있는 이차식의 최대, 최소는 실수의 성질을 이용해요. 이차식을 완전제곱식으로 바꾸는 거죠. (실수)² ≥ 0이니까 (실수 x, y를 포함하는 완전제곱식)² ≥ 0이에요.

x, y가 실수일 때, x² + 2x + y² + 6y + 5의 최솟값을 구하여라.

x, y가 실수니까 식을 완전제곱식으로 바꿔보죠.
x² + 2x + y² + 6y + 5
= (x + 1)² + (y + 3)² - 1 - 9 + 5
= (x + 1)² + (y + 3)² - 5

(x + 1)² ≥ 0이고 (y + 3)² ≥ 0이므로 (x + 1)² + (y + 3)² - 5 ≥ -5이에요. 따라서 답은 -5이네요.

산술, 기하, 조화평균

이외에도 절대부등식 - 산술, 기하, 조화평균에서도 양수인 두 수의 합과 곱 사이의 관계를 통해서 합의 최솟값이나 곱의 최댓값을 구했었죠?

a > 0, b > 0일 때

(등호는 a = b일 때 성립)

이것까지 기억해두세요.

이차함수의 최대, 최소의 활용

이차함수의 활용은 중학교 3학년 때 했던 이차함수의 활용과 달라지지 않아요. 다만, 최대, 최소를 구하는 방법에 앞서 공부한 이차함수의 최댓값과 최솟값이 추가될 뿐이에요.

이차함수의 활용 푸는 순서

1. x, y 정하기
   문제를 잘 읽고 문제에서 구하고자 하는 것을 x, y로 놓는다.
2. x, y의 범위 구하기
   문제의 조건에 맞는 x, y의 범위를 구한다.
3. 함수식 만들기
   x, y의 관계를 잘 나타낼 수 있는 식을 만든다.
4. 답 구하기
   함수식을 풀거나 그래프를 이용하여 구하는 답을 찾는다.
5. 확인하기
   구한 답이 문제의 조건에 맞는지 확인한다.

길이가 40cm인 끈으로 직사각형을 만들려고 한다. 직사각형의 넓이가 최대가 될 때의 가로, 세로 길이를 구하여라.

2(가로 길이 + 세로 길이) = 둘레의 길이이므로 직사각형의 가로 길이를 x라고 한다면 세로 길이는 20 - x에요. 넓이를 y라고 해보죠.

가로 길이 x는 길이니까 0보다 커요.

세로 길이도 마찬가지로 0보다 커야 하고요. 20 - x > 0 → x < 20

따라서 x의 범위는 0 < x < 20가 되겠네요.

y = x(20 - x)
y = 20x - x²
y = -x² + 20x
y = -(x² - 20x)
y = -(x - 10)² + 100

이차함수에서 (10, 100)이 x의 범위 0 < x < 20 사이에 있으니까 꼭짓점에서 최댓값을 가져요. 답은 가로 10cm, 세로 10cm네요.

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이제부터는 이차함수에 대해서 본격적으로 시작할 거예요.

이 글에서는 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아볼 거예요. x의 범위가 실수 전체일 때와 특정한 범위가 주어졌을 때에 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법입니다.

이차함수의 그래프를 그리지 않고, 최댓값과 최솟값을 구하는 방법이니까 잘 알아두세요.

이차함수의 최댓값과 최솟값

이차함수 y = a(x - p)² + q의 함숫값 중에서 가장 큰 값을 최댓값, 가장 작은 값을 최솟값이라고 해요.

x의 범위가 실수 전체인 이차함수의 최댓값과 최솟값은 a의 부호를 생각하면 쉽게 구할 수 있어요.

이차함수 y = a(x - p)² + q 이차항의 계수 a > 0이면 그래프는 아래로 볼록이에요. 꼭짓점이 가장 아래에 있고, 양쪽 옆으로는 끝없이 위로 올라가는 모양이죠.

꼭짓점에서 가장 값이 적으니까 꼭짓점에서 함숫값이 최솟값이죠. 그런데 양쪽 옆으로는 값이 커지는데 끝도 없이 커져요. 그래서 최댓값은 구할 수 없어요.

이번에는 a < 0일 때를 생각해보죠.

a < 0이면 그래프는 위로 볼록이에요. 꼭짓점에서 가장 높이 있고, 양쪽 옆으로 가면서 아래로 내려가는 모양이죠.

꼭짓점에서 가장 높으니까 이때의 함숫값이 최댓값이에요. 양쪽 옆으로는 값이 계속 작아지는데 어디가 끝인지 모르죠. 그래서 최솟값은 구할 수 없어요.

a > 0이면 x = p일 때 최솟값 q
a < 0이면 x = p일 때 최댓값 q

이제는 조금 다른 게 x의 범위가 실수 전체가 아니라 특정한 범위를 갖는 거예요. 따라서 최댓값과 최솟값을 모두 가져요.

아래는 y = a(x - p)² + q의 그래프인데, x의 범위가 α ≤ x ≤ β에요. y = a(x - p)² + q의 그래프 중에서, α와 β 사이의 부분만 떼서 생각해보죠. 꼭짓점 x = p일 때 최댓값이 q이에요. x = β일 때 f(β)가 최솟값이네요.

이번에는 다른 y = a(x - p)² + q의 그래프를 보죠. 마찬가지로 α ≤ x ≤ β의 범위를 가져요.

a > 0이니까 꼭짓점 x = p일 때 최솟값이어야 하는데, 그래프를 잘 보니 x = p는 α ≤ x ≤ β의 범위에 들어있지 않아요. 따라서 이 경우는 꼭짓점에서 최솟값이 아니죠. 이 그래프에서 최솟값은 x = α일 때 f(α)이고, 최댓값은 x = β일 때 f(β)에요.

어떤 경우든 최대, 최소는 꼭짓점 또는 양쪽 경계에서 생겨요. 그래서 세 경우의 값만 구하면 돼요. 세 경우를 구해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 게 최솟값이죠. 대신에 꼭짓점 x = p가 x의 범위인 α ≤ x ≤ β에 들어있는지만 확인하면 되죠.

이차함수의 최대, 최소

• 꼭짓점 x = p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있을 때: f(p), f(α), f(β) 중 가장 작은 값이 최솟값, 가장 큰 값이 최댓값
• 꼭짓점 x = p가 α ≤ x ≤ β 사이에 있지 않을 때: f(α), f(β) 중 작은 값이 최솟값, 큰 값이 최댓값

다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) y = -(x + 1)² + 3 (-2 ≤ x ≤ 2)
(2) y = 2(x - 1)² - 4 (3 ≤ x ≤ 5)

이차함수는 꼭짓점 또는 양쪽 경계에서 최댓값과 최솟값을 가져요. 꼭짓점의 함숫값과 양쪽 경계의 함숫값을 비교해서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이죠. 단, 꼭짓점이 x의 범위에 포함되지 않는다면 꼭짓점의 함숫값은 빼야 해요.

(1) 번의 x = -1은 x의 범위 -2 ≤ x ≤ 2에 포함되므로 꼭짓점의 함숫값과 양쪽 경곗값의 세 값을 비교해야겠네요.
x = -1일 때, y = 3
x = -2일 때, y = 2
x = 2일 때, y = -6

3이 가장 크고 -6이 가장 작으므로 최댓값은 3, 최솟값은 -6입니다.

(2) 번은 꼭짓점 x = 1은 x의 범위 3 ≤ x ≤ 5에 포함되지 않아요. 따라서 양쪽 경곗값의 크기를 비교해서 최댓값과 최솟값을 구해야 해요.
x = 3일 때, y = 4
x = 5일 때, y = 28

최솟값은 4, 최댓값은 28입니다.

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이제부터는 이차함수를 공부할 건데요. 이차함수뿐 아니라 이차함수를 중심으로 해서 이차방정식, 이차부등식 등 다른 이차식과의 관계를 공부할 거예요. 그래서 그 전에 공부했던 이차식들에 대해서 정확히 이해하고 있어야 해요. 이차방정식과 이차부등식은 고등학교에 올라와서 공부했으니까 이 글에서는 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수의 내용에 대해서 간단히 총정리를 해보죠.

중요한 내용만 요약할 건데, 생각나지 않는 내용이나 이런 결과가 나오는 이유를 모르겠다면 관련 글을 보면서 이해해보세요. 다음 단원을 공부하려면 이 내용이 필수니까 절대로 잊어버려서는 안 돼요.

이차함수

함수 y = f(x)에서 우변 f(x)가 x에 관한 이차식일 때 이 함수를 이차함수라고 해요.(이차함수의 뜻)

• 일반형: y = ax² + bx + c (a ≠ 0)
• 표준형: y = a(x - p)² + q (a ≠ 0)

x의 이차항의 계수 a > 0이면 아래로 볼록한 그래프이고, a < 0이면 위로 볼록한 그래프죠. |a|가 커질수록 그래프의 폭이 좁아지고요. (이차함수 그래프의 특징)

표준형에서 꼭짓점의 좌표는 (p, q)예요. 축의 방정식은 x = p이고, y값의 범위는 y ≥ q이에요. (이차함수 그래프, y = a(x - p)² + q)

일반형은 표준형으로 바꾼 후에 꼭짓점을 찾죠. 축의 방정식과 y값의 범위도 마찬가지고요. 일반형에서는 x, y절편을 찾기 쉬워요 x절편은 ax² + bx + c = 0의 해이고, y절편은 c예요. (y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형)

이차함수의 그래프를 보고 계수의 부호를 구하는 것도 했어요. (이차함수 계수 부호 찾기)

표준형 y = a(x - p)² + q에서

• a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요.
  • 아래로 볼록이면 a > 0
  • 위로 볼록이면 a < 0
  
  
• p와 q의 부호는 꼭짓점의 좌표를 보고 판단해요.
  • 꼭짓점이 제 1 사분면에 있으면 p > 0, q > 0
  • 꼭짓점이 제 2 사분면에 있으면 p < 0, q > 0
  • 꼭짓점이 제 3 사분면에 있으면 p < 0, q < 0
  • 꼭짓점이 제 4 사분면에 있으면 p > 0, q < 0
  
  

일반형 y = ax² + bx + c에서 a, b, c의 부호를 구하는 방법이에요.

• a의 부호는 그래프가 볼록한 방향을 보고 판단해요. 표준형에서와 똑같아요.
  • 아래로 볼록이면 a > 0
  • 위로 볼록이면 a < 0
  
  
• b의 부호는 좌동우이
  • 그래프의 대칭축이 y축의 왼쪽에 있으면 a와 b의 부호가 같고
  • 그래프의 대칭축이 y축의 오른쪽에 있으면 a와 b의 부호가 달라요.
  
  
• c는 y절편의 위치를 보고 판단해요.
  • y절편이 x축 위에 있으면 c > 0
  • y절편이 x축 아래에 있으면 c < 0
  
  

이차함수의 식을 구하는 방법도 했어요. (이차함수 식 구하기)

• 꼭짓점의 좌표(p, q)와 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - p)² + q에 (m, n) 대입
• 축이 방정식 x = p와 다른 두 점의 좌표 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 알려줬을 때: y = a(x - p)² + q에 두 점의 좌표 대입
• 세 점의 좌표(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)를 알려줬을 때: y = ax² + bx + c에 세 점의 좌표를 대입
• x축과의 교점(α, 0), (β, 0)과 다른 한 점 (m, n)을 알려줬을 때: y = a(x - α)(x - β)에 (m, n)을 대입

이차함수에서 최댓값과 최솟값은 꼭짓점의 y좌표에서 정해져요. 보통은 실수 전체에서 구하니까 최댓값과 최솟값 중 하나만 갖게 되지요. (이차함수의 최댓값과 최솟값)

• a > 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최솟값
• a < 0이면 꼭짓점의 y좌표가 최댓값

여기까지가 중학교 3학년 때 공부했던 이차함수에요. 정리해놓으니까 양이 별로 안되네요. 그러니까 절대로 잊어버려서는 안돼요.

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역함수를 공부했으니 이제 역함수의 성질과 역함수의 그래프에 대해서 알아보죠.

역함수의 성질은 조금 어렵습니다. 그 대신 역함수의 정의에 따라 엄격하게 성질을 적용하기보다 정의역과 공역을 실수 전체의 집합으로 제한하고 범위를 좁혀서 단순하게 정리해보죠. 이렇게 하면 훨씬 쉬워지거든요.

역함수의 그래프는 그래프를 그리는 것보다 그래프를 읽는 방법이 중요하니까 그 점에 주의하시고요. 역함수의 개념을 생각해보면 왜 그렇게 되는지 이해할 수 있을 거예요.

역함수의 성질

함수 f: X → Y가 일대일 대응일 때, f^-1: Y → X를 f의 역함수라고 했어요.

y = f(x) ⇔ x = f^-1(y)

역함수의 성질을 몇 가지 정리해보죠.

(1) (f^-1)^-1 = f
(2) (f^-1 ο f)(x) = x (x ∈ X)
(3) (f ο f^-1)(y) = y (y ∈ Y)

(1) 역함수는 일대일 대응일 때, 정의역과 치역을 바꾼 함수니까 원래 함수와 역함수는 서로가 서로에게 역함수죠.

(2) (f^-1 ο f)(x) = f^-1(f(x)) = f^-1(y) = x
즉 f^-1 ο f는 X에서의 항등함수예요.

(3) (f ο f^-1)(y) = f(f^-1(y)) = f(x) = y
f ο f^-1는 Y에서의 항등함수에요.

정의역 X와 공역 Y가 실수 전체의 집합일 때는 (2), (3)의 구분이 의미가 없죠? 따라서 이때는 f ο f^-1 = f^-1 ο f = I가 돼요. 역함수 단원에서 나오는 문제는 정의역과 공역을 실수 전체의 집합으로 두는 경우가 많으니까 이 성질을 이용하면 됩니다.

항등함수 I와 관련된 성질도 있어요. 두 함수 f, g와 항등함수 I의 관계예요.

(4) g ο f = I ⇔ g = f^-1
(5) f ο g = I ⇔ f = g^-1

(4) (g ο f)(x) = I(x)
g(f(x)) = x
g(y) = f^-1(y)

(5) (f ο g)(x) = I(x)
f(g(x)) = x
f(y) = g^-1(y)

어떤 두 함수를 서로 합성했을 때 항등함수 I가 나온다면 두 함수는 서로에게 역함수라는 걸 알 수 있어요.

여러 함수를 합성했을 때의 역함수를 알아보죠.

(6) (f ο g)^-1 = g^-1 ο f^-1
(7) (f ο g ο h)^-1 = h^-1 ο g^-1 ο f^-1

여러 함수의 합성함수의 역함수는 순서가 거꾸로라는 걸 보여주네요.

(f ο g)에 (g^-1 ο f^-1)를 합성해보죠.
(f ο g) ο (g^-1 ο f^-1)
= f ο (g ο g^-1) ο f^-1      (∵ 결합법칙)
= f ο I ο f^-1                  (∵ g ο g^-1 = I)
= f ο f^-1
= I

(f ο g) ο (g^-1 ο f^-1) = I이므로 (4) 번 성질에 의해 (f ο g)와 (g^-1 ο f^-1)는 서로 역함수라는 걸 알 수 있어요. 즉, (f ο g)^-1 = g^-1 ο f^-1가 됩니다.

y = x + 1일 때, (f ο f^-1)(1) + (f^-1 ο f)(2)+ f(3) + f^-1(4)를 구하여라.

정의역과 공역이 실수 전체의 집합일 때, (f ο f^-1)(x) = (f^-1 ο f)(x) = I(x) = x에요.

y = x + 1
x = y - 1

y = x - 1

(f ο f^-1)(1) + (f^-1 ο f)(2) + f(3) + f^-1(4)
= 1 + 2 + (3 + 1) + (4 - 1)
= 10

역함수의 그래프

함수 y = f(x) 위의 임의의 점을 (a, b)라고 하면 b = f(a) 예요. a = f^-1(b)가 되겠죠.

이때, 점 (b, a)는 y = f(x)의 역함수 y = f^-1(x)의 그래프 위에 있어요. 그런데 (a, b)와 (b, a)는 x, y좌표를 서로 바꾼 것으로 y = x에 대하여 대칭이에요. 따라서 원래 함수의 그래프와 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이라는 것을 알 수 있어요.

함수 y = f(x)의 그래프와 그 역함수 y = f^-1(x)의 그래프는 y = x에 대하여 대칭

역함수 구할 때 x, y를 서로 바꿨잖아요. 그리고 직선에 대하여 대칭이동(y = x)에서 y = x에 대하여 대칭이동하면 x, y좌표를 서로 바꿔준다고 했고요. 이 둘을 섞은 거예요.

y = 2x + 1의 그래프와 그 역함수의 그래프가 만나는 점의 좌표를 구하여라.

원래 함수와 역함수는 y = x에 대하여 대칭이에요. 따라서 교점이 생기면 그 교점은 y = x 위의 점이죠. 함수의 그래프와 역함수의 교점은 함수의 그래프와 y = x의 교점과 같아요.

x = 2x + 1
x = -1
y = -1

y = 2x + 1의 그래프와 그 역함수의 그래프가 만나는 점은 (-1, -1)

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역함수는 새로운 함수는 아니고 원래부터 있던 함수를 변형시켜서 얻은 함수예요. 숫자의 역수랑 비슷한 거죠.

역함수는 그 설명이 조금 어려울 수 있어요. 글로 잘 이해가 되지 않으면 그림을 통해서 이해해보도록 하세요. 개념과 달리 역함수를 구하는 방법은 상당히 쉽습니다. 순서만 잘 따르면 금방 구할 수 있어요.

일대일 대응에 대해서 알고 있어야 역함수를 이해할 수 있고, 역함수를 알고 있어야 다음에 공부할 역함수의 성질과 그래프에 대해서 이해할 수 있어요.

역함수

두 집합 X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {a, b, c, d, e}가 있어요. 아래 그림 같은 x에 대한 y의 함수 f가 있다고 치죠. 함수 f는 일대일 대응이에요. y = f(x)

이때, Y를 정의역으로 하고 X를 공역으로 하는 함수도 생각할 수 있겠죠? 이 함수를 g라고 해보죠. 역시 일대일 대응이 되겠네요. x = g(y)

함수 f: X → Y가 일대일대응일 때, Y의 임의의 원소 y에 대하여 y = f(x)인 X의 원소 x는 하나만 있어요. 이 경우 y에 대하여 x를 대응시키면 Y를 정의역, X를 공역으로 하는 새로운 함수를 만들 수 있는데, 이를 f의 역함수라 하고 f^-1: Y → X로 나타내요.

위 예에서는 g가 f의 역함수, f^-1가 되는 거죠.

y = f(x) ⇔ x = g(y) ⇔ x = f^-1(y)

역함수는 영어로 하면 Inverse Function이라서 f^-1(x)를 f 역함수 x 또는 f inverse x라고 읽어요.

f와 f^-1는 일대일 대응에서 정의역과 공역을 바꾼 함수이기 때문에 서로가 서로에게 역함수예요. (f^-1)^-1 = f

역함수 구하는 법

역함수를 구하는 방법은 생각보다 간단합니다. 정의역과 치역만 맞바꾸면 되니까요.

단 중요한 조건이 있는데, 원래 함수가 꼭 일대일 대응이어야 한다는 거예요. Y가 정의역이 되었을 때 Y의 모든 원소가 X의 원소에 대응하려면 공역 = 치역이어야 해요. 또 Y의 임의의 원소 y에 대응하는 x가 하나만 있어야 하므로 일대일함수여야하고요. 이 두 가지를 만족하는 경우는 일대일 대응밖에 없어요. 일대일 대응이 아닌 그냥 함수나 일대일함수는 역함수를 구할 수 없어요.

1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
3. x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.

3번에서 x, y를 왜 바꾸는지에 대해서 이해하지 못하는 경우가 많은데 특별한 이유는 없어요. 그냥 보통 정의역의 원소를 x, 치역의 원소를 y라고 나타내니까 x, y를 서로 바꾸는 거예요. 원래 함수의 x, y와 역함수의 x, y는 서로 다른 x, y입니다.

다음 함수의 역함수를 구할 수 있는지 보고, 역함수를 구할 수 있으면 구하여라.
(1) y = x + 1
(2) y = x² + 1

역함수를 구하려면 먼저 일대일 대응인지 확인하고, x에 관하여 푼 다음 x, y를 바꿔주면 돼요. 그다음 정의역과 치역을 바꿔줘야 하는데, 문제에서 나오는 함수는 정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합이므로 여기서는 크게 신경을 쓰지 않아도 돼요.

(1) 번은 일대일 대응이 맞네요. 역함수를 구해보죠.

y = x + 1
x = y - 1

y = x - 1

(2) 번 y = x² + 1은 일대일 대응이 아니라서 역함수를 구할 수 없어요.

x = 1일 때, y = 2
x = -1일 때, y = 2 

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합성함수는 여러 가지 형태로 응용할 수 있는 문제니까 합성함수의 정의와 계산 순서, 어떻게 계산하는지를 잘 이해해야 해요. 대게 간단한 일차식과 이차식이 주어지니까 계산 자체가 어렵지는 않을 거예요.

이 글에서는 합성함수의 성질을 공부할 건데 크게 중요한 내용은 아니에요. 실제로 활용하는 경우는 거의 없으니까 그냥 이런 게 있다 정도로만 알아두세요.

실수의 성질 등에서 공부했던 결합법칙, 교환법칙이 합성함수에서도 성립하는지 알아보죠.

합성함수의 성질

합성함수의 성질은 크게 세 가지예요.

(1) f ο g ≠ g ο f
(2) (f ο g) ο h = f ο (g ο h)
(3) f ο I = I ο f = f (I는 항등함수)

(1) (f ο g)(x) = f(g(x))이고, (g ο f)(x) = g(f(x))로 서로 달라요. 이 말은 교환법칙이 성립하지 않는다는 뜻이에요. 순서가 중요하다는 얘기죠.

(2) ((f ο g) ο h)(x) = (f ο g)(h(x)) = f(g(h(x)))
f ο (g ο h)(x) = f(g(h(x)))

(f ο g) ο h = f ο (g ο h)가 되는데, 이는 결합법칙이 성립한다는 뜻이에요.

합성함수에서 계산은 제일 오른쪽에 있는 함수부터 계산하니까 어떻게 묶든 상관없어요.

(3) I는 항등함수에요. 항등함수는 f(x) = x인 함수이죠. 여기서는 I로 표시하니까 I(x) = x죠.

(f ο I)(x) = f(I(x)) = f(x)
(I ο f)(x) = I(f(x)) = f(x)
f(x)

f ο I = I ο f = f 가 성립해요. 항등함수를 포함한 합성함수는 원래 함수와 같아요.

항등함수는 숫자에서 항등원과 같은 역할을 합니다.

f(x) = ax + 1, g(x) = x - 1일 때, f ο g = g ο f가 성립한다. f(1)을 구하여라.

보통 합성함수에서 교환법칙은 성립하지 않는데, 이 경우에는 성립한다고 했네요.

(f ο g)(x) = f(g(x)) = a(x - 1) + 1
(g ο f)(x) = g(f(x)) = (ax + 1) - 1

(f ο g)(x) = (g ο f)(x)
a(x - 1) + 1 = (ax + 1) - 1
ax - a + 1 = ax
a = 1

f(x) = x + 1
f(1) = 1 + 1 = 2

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이제 함수에 대해서는 다 알았나요? 이제는 원래 있던 함수를 이용해서 새로운 함수를 만들 거예요. 합성함수는 이름에서 알 수 있듯이 어떤 무언가를 서로 합해서 만든 함수예요. 그러니까 두 개 이상의 함수를 합하는 거지요.

함수의 정의만 제대로 알고 있다면 합성함수에 대해서도 금방 이해할 수 있을 거예요.

합성함수는 그림으로 이해해도 좋고, 식으로 이해해도 좋아요. 별로 어렵지 않은 내용으로 순서만 잘 지키면 금방 해결할 수 있는 문제들이니까 쉽게 생각하세요.

합성함수

세 집합이 있어요.

X = {이순신, 퇴계 이황, 율곡 이이, 세종대왕, 신사임당}
Y = {100원, 1000원, 5000원, 10000원, 50000원}
Z = {동전, 지폐}

집합 X의 임의의 원소인 위인이 집합 Y의 원소인 화폐 모델인 경우를 대응시켜보면 함수예요. 이 함수를 f라고 해보죠

집합 Y의 임의의 원소인 화폐가 집합 Z의 동전인지 지폐인지에 대응하면 이것도 함수죠. 함수 g라고 할게요.

그럼 집합 X의 위인이 동전의 모델인지 지폐의 모델인지 집합 Z에 대응시킬 수 있겠죠? 이순신은 동전의 모델이고, 퇴계 이황, 율곡 이이, 세종대왕, 신사임당은 지폐의 모델이에요.

이처럼 두 개의 함수를 이용해서 새로운 하나의 함수를 얻을 수 있어요.

마치 명제의 삼단논법에서 p → q이고 q → r이면 p → r이 되는 것처럼 f: X → Y이고, g: Y → Z이면 X → Z라는 새로운 함수가 되는 거지요.

두 함수 f: X → Y, g: Y → Z가 주어졌을 때, X의 임의의 원소 x에 대하여 Z의 원소 g(f(x))를 대응시킴으로써 X를 정의역, Z를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있어요. 이 함수를 f와 g의 합성함수라고 하고 g ο f: X → Z로 나타냅니다.

(g ο f)(x) = g(f(x))

f와 g를 합성한 합성함수는 f ο g가 아니라 g ο f 예요. 순서에 주의하세요.

함수 f에서 공역은 집합 Y에요. 치역은 공역의 부분집합이죠.
{함수 f의 치역} ⊂ {함수 f의 공역}

함수 g의 정의역은 집합 Y로 함수 f의 공역과 같아요.
{함수 f의 공역} = {함수 g의 정의역}

이 둘의 의해 {함수 f의 치역} ⊂ {함수 g의 정의역}이 된다는 것도 알아두세요.

다음을 보고 물음에 답하여라.
(1) (g ο f)(3)
(2) (g ο f)(2)
(3) g ο f의 정의역, 공역, 치역

(1) (g ο f)(3) = g(f(3)) = g(ㄴ) = e

(2) (g ο f)(2) = g(f(2)) = g(f) = d

(3) 합성함수에서 정의역은 처음 함수의 정의역, 공역은 두 번 ° 함수의 공역이에요. 따라서 정의역은 집합 X = {1. 2, 3, 4}이고 공역은 Z = {a, b, c, d, e}에요.

치역은 함숫값들의 집합이니까 Z와 다를 수 있어요. 이 경우에는 {b, c, d, e}가 되겠네요.

f(x) = x² + 1, g(x) = x + 3일 때 다음을 구하여라.
(1) (g ο f)(3)
(2) (f ο g)(2)
(3) (g ο f ο g)(1)

(1) (g ο f)(3) = g(f(3)) = g(10) = 13

(2) (f ο g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 26

(3) 번은 세 개로 되어있는데, 방법은 같아요. 뒤에서부터 하나씩 해결하면 돼요.

(g ο f ο g)(1) = g(f(g(1))) = g(f(4)) = g(17) = 20

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이제는 함수의 정의에 이어 함수의 종류에 대해서 공부할 거예요. 함수의 종류에는 여러 가지가 있는데, 그중에서 일대일함수, 일대일 대응, 항등함수, 상수함수에 대해서만 알아보죠. 특히, 일대일함수와 일대일 대응은 헷갈리기 쉬우니까 그 차이를 분명히 알아두세요.

또, 항등함수와 상수함수는 그 의미만 간단히 이해하고 있으면 되는 비교적 쉬운 함수입니다.

일대일함수와 일대일 대응

함수는 집합 X의 원소 x 한 개에 집합 Y의 원소 y 한 개가 대응하는 관계를 말해요. 거꾸로 y 한 개가 x 여러 개에 대응해도 함수는 함수에요. 아래 그림처럼 연결돼도 함수라고 할 수 있는 거죠.

X의 이순신, 김시민, 권율이 Y의 조선에 대응해요. 거꾸로 보면 Y의 조선은 X의 이순신, 김시민, 권율 세 명과 대응하죠.

위 그림과 달리 함수 중에서 y 한 개가 여러 개의 x에 대응하지 않는 경우를 일대일함수라고 해요. x 한 개에 y 한 개가 대응하고, y 한 개가 x 한 개에 대응하는 관계요. 아래 함수에서 Y의 원소들은 X의 원소 한 개와만 대응해요.

이걸 식으로 표현하면 x₁ ∈ X, x₂ ∈ X이고, x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)라고 표현할 수 있어요. x가 다르면 그에 대응하는 y도 다르다는 얘기예요.

일대일함수 중에서 공역과 치역이 같은 함수를 일대일 대응이라고 해요. 일대일 대응은 일대일함수의 조건을 만족한 상태에서 추가로 공역과 치역이 같아야 하니까 일대일 대응은 일대일함수의 부분집합이라고 생각하면 쉬워요.

일대일함수:집합 X의 임의의 원소 x₁, x₂에 대하여 x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)인 함수
일대일 대응: 일대일함수 + (공역 = 치역)

다음 그림을 보고, 일대일함수와 일대일 대응을 구분하여라.

집합 X의 원소 x₁에 대하여 f(x₁) ∈ Y이면 함수에요.
여기에서 x₁ ≠ x₂일 때, f(x₁) ≠ f(x₂)이면 일대일함수고요.
또 공역 = 치역이면 일대일 대응이에요.

조건을 만족하는 개수에 따라 함수 → 일대일함수 → 일대일 대응의 순서가 되는 거죠.

왼쪽 그림은 집합 X의 원소 다섯 개에 Y의 원소 한 개가 대응하니까 함수에요. f(1) = f(2)니까 그냥 함수에요.

가운데 그림은 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소가 다 달라요. 그런데 공역은 {a, b, c, d, e}이고 치역은 {a, b, c, d}로 공역 ≠ 치역이라서 일대일함수네요.

오른쪽 그림은 집합 X의 원소에 대응하는 집합 Y의 원소가 다 다르므로 일대일함수인데, 여기에 치역 = 공역이니까 일대일 대응이네요.

항등함수와 상수함수

항등식 알죠? 항등식은 항상 성립하는 등식이에요. 여기서 항등은 항상 같다는 뜻이죠. 항등함수에서 항등도 같은 뜻이에요. 집합 X의 원소와 이에 대응하는 집합 Y의 원소가 항상 같다는 얘기죠.

집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x인 함수를 말해요.

집합 X의 원소 1에는 집합 Y의 원소 1이 대응해요. 2에는 2가 대응하고요. 항상 자기 자신과 같은 값이 대응하죠?

위 그림에서 X의 1, 2, 3, 4, 5가 모두 Y의 c에만 대응해요. 이처럼 X의 모든 원소가 Y의 한 원소와만 대응하는 경우를 상수함수라고 해요.

항등함수: 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = x인 함수
상수함수: 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) = c인 함수

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함수의 그래프는 일차함수, 이차함수의 그래프에서 많이 그려봤죠? 이 글에서는 이미 알고 있는 함수의 그래프의 의미를 다시 한 번 정의해보고, 그 뜻을 정확하게 하는 거예요. 그렇다고 정의를 외우거나 하지는 마세요. 그 의미만 잘 이해하면 됩니다. 기존에 알고 있던 내용에 추가하거나 새로운 게 없으니까 아주 쉬워요.

그리고 좌표평면 위의 도형의 그래프를 보고 이 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지를 판단하는 방법도 공부할 거예요. 이것 역시 함수의 정의만 잘 기억하고 있다면 무척 쉬운 내용이라서 금방 이해할 수 있을 거예요.

함수의 그래프

함수는 집합 X의 원소에 집합 Y의 원소가 하나만 대응할 때를 말해요. 이렇게 서로 대응하는 원소들을 순서쌍으로 나타낼 수 있겠죠? (x, y) = (x, f(x))

여러 함수 중에서 함수의 정의역과 공역이 숫자일 때, 순서쌍들을 XY 좌표평면에 나타낼 수 있어요. 이렇게 나타낸 점들의 집합을 함수의 그래프라고 합니다. 일차함수의 그래프, 이차함수 그래프 그리기에서 그래프를 많이 봤죠?

한 가지 덧붙이자면 지금까지 공부했던 함수의 그래프는 정의역과 공역이 실수 전체의 집합이었어요. 그래서 직선이나 포물선만 함수의 그래프라고 생각하기 쉬운데, 아래 그림처럼 점들만 찍힌 경우도 함수의 그래프라고 할 수 있어요.

X = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}, Y = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 인 함수에요.

이런 모양은 나중에 공부할 건데 곡선 모양인 함수의 그래프에요.

정의역, 공역을 보고 함수의 그래프를 그리는 것도 중요하지만, 그래프를 보고 이 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지 알아낼 수 있어야 해요.

함수는 집합 X의 원소 하나에 집합 Y의 원소 하나가 대응해야 해요. 따라서 이걸 이용하면 함수의 그래프인지 아닌지 알아낼 수 있어요. y축에 평행한 직선을 하나 그어보세요. 그 직선과 그래프가 두 점에서 만나면 하나의 x에 두 개의 y가 대응하니까 그 그래프는 함수의 그래프가 아니에요.

다음 그래프를 보고 함수의 그래프가 아닌 것을 고르시오.

(1)	(2)
(3)	(4)

보통 정의역과 공역에 대한 언급이 없다면 실수 전체의 집합으로 보는데요. 이 유형의 문제에서는 따로 언급하지 않더라도 정의역과 공역은 실수 전체의 집합이 아니라 그래프가 그려져 있는 부분으로 한정합니다.

함수의 그래프인지 아닌지는 y축에 평행한 직선을 그어서 직선과 그래프가 두 점에서 만나는지를 확인하면 돼요.

(4) 번을 보죠. x = 0인 y축이 있으니 따로 직선을 그을 필요가 없겠네요. x = 0에 y의 두 점이 대응해요. 그 외에도 모든 x에 y 두 개가 대응하죠. 따라서 (4) 번 원의 방정식의 그래프는 함수가 아닙니다.

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