역함수를 공부했으니 이제 역함수의 성질과 역함수의 그래프에 대해서 알아보죠.

역함수의 성질은 조금 어렵습니다. 그 대신 역함수의 정의에 따라 엄격하게 성질을 적용하기보다 정의역과 공역을 실수 전체의 집합으로 제한하고 범위를 좁혀서 단순하게 정리해보죠. 이렇게 하면 훨씬 쉬워지거든요.

역함수의 그래프는 그래프를 그리는 것보다 그래프를 읽는 방법이 중요하니까 그 점에 주의하시고요. 역함수의 개념을 생각해보면 왜 그렇게 되는지 이해할 수 있을 거예요.

역함수의 성질

함수 f: X → Y가 일대일 대응일 때, f^-1: Y → X를 f의 역함수라고 했어요.

y = f(x) ⇔ x = f^-1(y)

역함수의 성질을 몇 가지 정리해보죠.

(1) (f^-1)^-1 = f
(2) (f^-1 ο f)(x) = x (x ∈ X)
(3) (f ο f^-1)(y) = y (y ∈ Y)

(1) 역함수는 일대일 대응일 때, 정의역과 치역을 바꾼 함수니까 원래 함수와 역함수는 서로가 서로에게 역함수죠.

(2) (f^-1 ο f)(x) = f^-1(f(x)) = f^-1(y) = x
즉 f^-1 ο f는 X에서의 항등함수예요.

(3) (f ο f^-1)(y) = f(f^-1(y)) = f(x) = y
f ο f^-1는 Y에서의 항등함수에요.

정의역 X와 공역 Y가 실수 전체의 집합일 때는 (2), (3)의 구분이 의미가 없죠? 따라서 이때는 f ο f^-1 = f^-1 ο f = I가 돼요. 역함수 단원에서 나오는 문제는 정의역과 공역을 실수 전체의 집합으로 두는 경우가 많으니까 이 성질을 이용하면 됩니다.

항등함수 I와 관련된 성질도 있어요. 두 함수 f, g와 항등함수 I의 관계예요.

(4) g ο f = I ⇔ g = f^-1
(5) f ο g = I ⇔ f = g^-1

(4) (g ο f)(x) = I(x)
g(f(x)) = x
g(y) = f^-1(y)

(5) (f ο g)(x) = I(x)
f(g(x)) = x
f(y) = g^-1(y)

어떤 두 함수를 서로 합성했을 때 항등함수 I가 나온다면 두 함수는 서로에게 역함수라는 걸 알 수 있어요.

여러 함수를 합성했을 때의 역함수를 알아보죠.

(6) (f ο g)^-1 = g^-1 ο f^-1
(7) (f ο g ο h)^-1 = h^-1 ο g^-1 ο f^-1

여러 함수의 합성함수의 역함수는 순서가 거꾸로라는 걸 보여주네요.

(f ο g)에 (g^-1 ο f^-1)를 합성해보죠.
(f ο g) ο (g^-1 ο f^-1)
= f ο (g ο g^-1) ο f^-1      (∵ 결합법칙)
= f ο I ο f^-1                  (∵ g ο g^-1 = I)
= f ο f^-1
= I

(f ο g) ο (g^-1 ο f^-1) = I이므로 (4) 번 성질에 의해 (f ο g)와 (g^-1 ο f^-1)는 서로 역함수라는 걸 알 수 있어요. 즉, (f ο g)^-1 = g^-1 ο f^-1가 됩니다.

y = x + 1일 때, (f ο f^-1)(1) + (f^-1 ο f)(2)+ f(3) + f^-1(4)를 구하여라.

정의역과 공역이 실수 전체의 집합일 때, (f ο f^-1)(x) = (f^-1 ο f)(x) = I(x) = x에요.

y = x + 1
x = y - 1

y = x - 1

(f ο f^-1)(1) + (f^-1 ο f)(2) + f(3) + f^-1(4)
= 1 + 2 + (3 + 1) + (4 - 1)
= 10

역함수의 그래프

함수 y = f(x) 위의 임의의 점을 (a, b)라고 하면 b = f(a) 예요. a = f^-1(b)가 되겠죠.

이때, 점 (b, a)는 y = f(x)의 역함수 y = f^-1(x)의 그래프 위에 있어요. 그런데 (a, b)와 (b, a)는 x, y좌표를 서로 바꾼 것으로 y = x에 대하여 대칭이에요. 따라서 원래 함수의 그래프와 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이라는 것을 알 수 있어요.

함수 y = f(x)의 그래프와 그 역함수 y = f^-1(x)의 그래프는 y = x에 대하여 대칭

역함수 구할 때 x, y를 서로 바꿨잖아요. 그리고 직선에 대하여 대칭이동(y = x)에서 y = x에 대하여 대칭이동하면 x, y좌표를 서로 바꿔준다고 했고요. 이 둘을 섞은 거예요.

y = 2x + 1의 그래프와 그 역함수의 그래프가 만나는 점의 좌표를 구하여라.

원래 함수와 역함수는 y = x에 대하여 대칭이에요. 따라서 교점이 생기면 그 교점은 y = x 위의 점이죠. 함수의 그래프와 역함수의 교점은 함수의 그래프와 y = x의 교점과 같아요.

x = 2x + 1
x = -1
y = -1

y = 2x + 1의 그래프와 그 역함수의 그래프가 만나는 점은 (-1, -1)

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