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순열 두 번째 시간이에요. 새로운 용어와 기호를 공부할 거예요. 계승과 팩토리얼(factorial)이라는 용어인데 계승과 팩토리얼이 무엇을 의미하는지 기호로 어떻게 나타내는지를 잘 기억해두세요.

순열의 한 부분이니까 내용은 새로울 게 없어요. 그냥 가벼운 마음으로 간단하게 죽 한 번 읽고 넘어가세요.

팩토리얼(factorial)

순열과 조합 - 순열이란에서 순열은 n개의 항목 중에서 r개를 선택하여 줄을 세우는 거고 식으로 쓰면 _nP_r이라고 했어요. 마지막 예제문제에서 ₆P₆ 계산을 했는데 이걸 조금 더 간단히 표현할 수 있어요.

순열 _nP_r에서 r = n이면 _nP_n이 되는데 이걸 식으로 써보죠.

_nP_n = n(n - 1)(n - 2) … 3 · 2 · 1

거꾸로 보면 1부터 n까지 곱하게 되는데 이를 n계승이라고 하고 기호로 n!로 나타내요. 그리고 n 팩토리얼(factorial)이라고 읽어요.

n! = _nP_n = 1 · 2 · 3 ··· (n - 2)(n - 1)n

1! = 1
2! = 1 × 2
3! = 1 × 2 × 3
4! = 1 × 2 × 3 × 4

순열 _nP_r을 계승으로 나타내보죠.

만약에 r = n이면 식이 어떻게 될까요?

위 식에 따라서 0! = 1로 정의해요.

만약 r = 0이면 어떻게 되는지 보죠.

nP0 = 1이라는 걸 알 수 있어요.

계승, 팩토리얼
n! = _nP_n = 1 · 2 · 3 ··· (n - 2)(n - 1)n
(0 ≤ r ≤ n)
0! = 1
_nP₀ = 1

문과, 이과 구분법이라는 이름으로 인터넷에 떠도는 유머(?)인데요. 이 글을 제대로 이해한 학생이라면 이 구분법의 의미를 알 수 있겠죠?

40 - 32 ÷ 2의 답은 24에요.

초등학생은 4!라고 대답했고 초등학생의 답을 본 이과생과 문과생의 반응이에요.

이과생은 4!를 4 팩토리얼로 이해했고 문과생은 4 느낌표로 봤다 뭐 이런 개그지요.

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순열과 조합은 경우의 수 공식 - 대표 뽑기에서 했던 건데 조금 더 자세히 알아볼게요. 순열과 조합은 조금 어려운 내용이라서 공부하기 힘들 거예요. 계산 자체가 어렵다기보다는 순열인지 조합인지 판단하기가 상당히 모호해요. 잘 구별해야 합니다.

어렵긴 하지만 양이 많지는 않으니까 금방 지나가요. 순열은 순서가 중요하고 조합은 순서가 중요하지 않다는 차이만 확실히 이해하시면 돼요.

순열

1부터 5까지 적힌 카드가 한 장씩 있다고 해보죠. 이 중 세 장을 뽑아서 세 자리 숫자를 만드는 방법의 경우의 수를 구해볼까요?

1. 백의 자리 카드를 뽑을 때는 1 ~ 5중 한 장을 뽑을 수 있어요. 총 다섯 가지
2. 십의 자리 카드를 뽑을 때는 ① 뽑은 카드를 제외한 네 장중 하나를 뽑을 수 있어요. 네 가지
3. 일의 자리 카드를 뽑을 때는 ①, ②에서 뽑은 카드를 제외한 세 장중에서 하나를 뽑을 수 있어요. 세 가지

연달아 일어나는 사건이므로 곱의 법칙을 이용하면 다섯 장의 카드 중 세 장의 카드를 뽑아서 숫자를 만드는 방법은 5 × 4 × 3 = 60가지예요.

위 예에서 카드를 뽑아서 순서대로 놓았죠? 바로 이런 걸 순열이라고 해요. 이름 그대로 순서대로 뽑아서 줄을 세우는 걸 순열이라고 하지요.

순열을 기호로 나타낼 때는 순열을 뜻하는 영어 Permutation의 첫 글자 P를 이용해요. n개 중에서 r개를 뽑아서 줄을 세우는 걸 _nP_r이라고 합니다. 엔피알이라고 읽으세요. P는 대문자로 쓰고 n과 r은 소문자로 쓰는데 크기를 조금 작게 써요.

총 다섯 장의 카드 중에서 세 장을 뽑는 건 ₅P₃이라고 쓰고 오피삼이라고 읽는 거죠.

n가지 중에서 r개를 뽑아 줄을 세우는 경우를 볼까요?

1. 첫 번째로 뽑을 때는 n개 중 한 개를 뽑을 수 있어요. n가지
2. 두 번째로 뽑을 때는 ①에서 뽑은 한 개를 제외한 (n - 1) 개중 하나를 뽑을 수 있어요. (n - 1)가지
3. 세 번째로 뽑을 때는 ①, ②에서 뽑은 걸 제외한 (n - 2) 개중에서 하나를 뽑을 수 있어요. (n - 2) 가지

그럼 r번째로 뽑을 때는 어떨까요? r번째로 뽑을 때는 ①, ②, …, (r - 1)에서 뽑은 걸 제외한 n - (r - 1)개 중에서 하나를 뽑을 수 있어요. n - (r - 1)가지가 되지요.

여기서 r은 개수에요. 그러니까 당연히 0보다 커야겠죠? 그리고 n개 중에서 뽑는 거니까 n보다 클 수는 없어요. n보다 작거나 같지요. 0 < r ≤ n

서로 다른 n개에서 r개를 순서대로 고르는 순열의 수는

(단, 0 < r ≤ n)

_nP_r은 n부터 1씩 줄여가면서 r개의 숫자를 곱해서 구할 수 있어요.

_{(n + 1)}P₃ = 24을 만족하는 n을 구하여라.

_{(n + 1)}P₃ = 24
(n + 1)n(n - 1) = 24
n(n² - 1) = 24
n³ - n - 24 = 0

n에 관한 삼차방정식에요. 조립제법을 이용해서 해를 구해보면 n = 3이 나오네요.

무한도전 일곱 멤버(박명수, 정준하, 유재석, 정형돈, 길, 노홍철, 하하)의 자리 배치를 다시 하려고 한다. 유재석이 가운데인 네 번째 자리에 오도록 자리를 배치할 때 경우의 수를 구하여라.

유재석이 네 번째에 고정되어야 하는군요.

부분집합의 개수를 구할 때 특정 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 어떻게 구했나요? 그 원소를 뺀 나머지 원소들의 부분집합을 구한 다음에 거기에 특정 원소를 집어넣으면 되는 거였어요. 즉, 특정 원소를 포함한 부분집합의 개수 = 특정 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수였었죠?

마찬가지로 유재석을 뺀 나머지 여섯 명의 자리 배치를 한 후에 네 번째 자리에 유재석을 끼워 넣고 나머지를 한 자리씩 뒤로 미루면 돼요. 유재석이 없을 때의 경우의 수와 같다는 거지요.

유재석을 뺀 나머지 6명의 자리 배치를 해볼까요? 6명 중에서 6명을 모두 뽑아야 해요. 뽑고 싶지 않은 멤버가 있어도 하차시키지 말고 다 뽑아야 해요.

6명의 멤버 중 6명을 순서대로 뽑아서 줄을 세우는 거니까 ₆P₆이네요. 6부터 1씩 줄이면서 6개의 숫자를 곱하는 거지요.

₆P₆ = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

720가지 방법이 있군요. 자리분양 특집 한 번 더 해야겠어요.

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합의 법칙, 곱의 법칙은 [중등수학/중2 수학] - 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙에서 공부했었어요. 물론 기억나지 않겠지만요.

합의 법칙, 곱의 법칙은 경우의 수를 구하는 방법이에요. 이 과정을 집합과 관련지어서 생각하면 조금 더 쉽게 답을 구할 수 있어요. 이 글에서는 어떤 관련이 있는지를 알아볼 거예요. 집합 원소의 개수를 이용해서 구하는 거니까 내용이 어렵지 않아요.

그리고 합의 법칙을 사용하는 경우와 곱의 법칙을 사용하는 경우를 잘 비교해보세요.

합의 법칙

합의 법칙은 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 각각의 사건이 일어날 경우의 수를 서로 더해서 구하는 거예요.

사건 A가 일어날 경우의 수가 m, 사건 B가 일어날 경우의 수가 n이라면 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 사건 A 또는 사건 B가 일어날 경우의 수는 m + n이죠.

사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수이므로 둘 중 하나만 일어나면 되는 사건이에요.

합의 법칙은 집합을 이용해서 나타낼 수 있어요. 사건 A가 일어날 경우의 수를 n(A), 사건 B가 일어날 경우의 수를 n(B)라고 할 수 있는 거죠.

이때, 사건 A 또는 사건 B가 일어날 경우의 수는 n(A + B)가 아니라 n(A ∪ B)에요. 사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우는 n(A ∩ B)고요.

두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3 또는 2의 배수일 경우의 수를 구하여라.

주사위의 눈금은 1 ~ 6까지 있어요. 두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3의 배수인 사건을 A, 눈금의 합이 2의 배수인 사건은 B라고 해보죠.

눈금의 합이 3의 배수인 사건 A가 일어나는 경우의 수
두 눈금의 합이 3일 때: (1, 2), (2, 1)
두 눈금의 합이 6일 때: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
두 눈금의 합이 9일 때: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
두 눈금의 합이 12일 때:(6, 6)

눈금의 합이 2의 배수인 사건 B가 일어나는 경우의 수
두 눈금의 합이 2일 때: (1, 1)
두 눈금의 합이 4일 때: (1, 3), (2, 2), (3, 1)
두 눈금의 합이 6일 때: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
두 눈금의 합이 8일 때: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
두 눈금의 합이 10일 때: (4, 6), (5, 5), (6, 4)
두 눈금의 합이 12일 때: (6, 6)

n(A) = 12, n(B) = 18에요.

두 눈금의 합이 6, 12일 때는 양쪽 사건 모두에 있네요. n(A ∩ B) = 6

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 12 + 18 - 6 = 24

곱의 법칙

곱의 법칙은 두 사건 A, B가 동시에 일어날 때 각각의 사건이 일어날 경우의 수를 서로 곱해서 구하는 거예요. 동시에라는 말은 시간적 의미의 동시라는 뜻도 있지만 잇달아서 연달아서 일어나는 사건을 나타내요.

두 개의 주사위를 한꺼번에 던지는 예도 있지만 한 개를 먼저 던지고 다른 하나를 나중에 던지는 경우도 포함해요. 연속해서 던지는 경우니까요. 또는 한 개의 주사위를 한 번 던지고 다시 집어서 던지는 경우도 포함하죠. 잇달아 던지는 거잖아요.

사건 A가 일어날 경우의 수가 m, 사건 B가 일어날 경우의 수가 n이라면 두 사건 A, B가 동시에 일어날 경우의 수는 m × n이죠.

곱의 법칙도 집합으로 나타내보죠.

사건 A가 일어날 경우의 수를 n(A), 사건 B가 일어날 경우의 수를 n(B)라고 한다면 사건 A와 사건 B가 연달아 일어날 확률은 n(A) × n(B)에요.

두 개의 주사위 A, B를 던졌을 때, A의 눈금은 3의 배수, B의 눈금은 2의 배수가 나올 경우의 수를 구하여라.

A 주사위를 던져서 3의 배수가 나올 경우의 수: 3, 6
B 주사위를 던져서 2의 배수가 나올 경우의 수: 2, 4, 6

n(A) × n(B) = 2 × 3 = 6

합의 법칙, 곱의 법칙 구별

곱의 법칙은 동시에 일어나는 사건에 적용해요. 여기서 동시에란 연속해서, 잇달아 일어나는 사건이에요. 별개의 두 사건이 모두 발생한다는 거죠. 합의 법칙은 별개의 두 사건이 있는 경우에 둘 다 일어나지 않아도 상관없어요.

두 개의 주사위를 던졌을 때 눈금의 합이 3 또는 2의 배수일 경우의 수를 보세요. 주사위 눈금의 합이 3의 배수인 사건과 2의 배수인 사건 두 개의 사건이 일어날 수 있어요. 그런데 눈금의 합이 3의 배수인 사건만 일어나도 이 경우에는 유효해요. 반대로 눈금의 합이 2의 배수인 사건만 일어나도 유효한 거죠. 그래서 이 사건은 합의 법칙으로 경우의 수를 구해요.

두 개의 주사위 A, B를 던졌을 때, A의 눈금은 3의 배수, B의 눈금은 2의 배수가 나올 경우의 수를 보세요. A 주사위 눈금이 3의 배수인 사건만 발생해서는 유효하지 않죠? B 주사위의 눈금이 2의 배수인 사건까지 일어나야 유효해요. 두 사건 A, B가 모두 일어나야 유효하니까 이 경우에는 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구해요.

"동시에"라는 개념이 상당이 애매한데요. 시간적 의미의 동시라기보다는 "사건이 모두 발생한다"라는 의미로 이해하세요.

합의 법칙: 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때, 두 사건이 모두 일어나지 않아도 상관없을 때
곱의 법칙: 두 사건이 동시에 일어날 때, 두 사건이 모두 일어나야 할 때

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삼각형의 넓이를 했으니까 사각형의 넓이 공식을 알아보죠.

사각형 중에서도 평행사변형과 대각선의 길이와 그 교각을 알려준 사각형의 넓이를 구하는 거예요. 공식이 있는데 새로운 공식을 공부하는 게 아니고 기존에 알고 있던 공식을 다룰 거예요. 특히, 중학교에서 공부했던 공식을 더 간단히 하는 거니까 어렵지 않아요.

공식을 간단히 하는 과정도 아주 간단해요. 공식의 유도는 중학교 때 이미 여기서는 어떻게 공식을 간단히 하는지 정말 간단히 알아보고 넘어가죠.

평행사변형의 넓이, 사각형의 넓이

중학교 때 공부했던 삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이와 고등학교에서 공부한 삼각형의 넓이 공식의 차이가 뭐였나요?

두 변의 길이가 a, b이고 끼인각이 θ인 △ABC의 넓이를 구할 때, 중학교에서는 θ의 크기에 따라 구하는 공식이 달랐어요.

고등학교에서는 θ < 90°일 때의 공식 하나만 있으면 θ의 크기와 상관없이 삼각형의 넓이를 구할 수 있었죠.

평행사변형의 넓이, 사각형의 넓이도 똑같아요.

두 변의 길이와 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이를 구하는 공식이에요.

두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 x°인 사각형의 넓이 공식이에요.

이 공식이 만들어지는 과정은 사각형의 넓이 공식 - 삼각비의 활용에 나와 있으니까 참고하세요.

앞으로는 θ의 크기와 상관없이 θ < 90°일 때의 공식만 알고 있으면 평행사변형과 사각형의 넓이를 구할 수 있어요.

θ의 크기와 왜 상관이 없는지만 알면 되겠죠? 이유는 간단해요. 삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ에서 sin(π - θ) = sinθ였잖아요.

absin(180° - θ) = absinθ

θ의 크기에 따라 공식에서 달라지는 건 sinθ와 sin(180° - θ)인데 이 둘이 같으니까 결국 공식 자체가 같아지는 거예요.

새로운 공식도 아니고 기존에 알고 있던 공식의 개수를 두 개에서 한 개로 줄였으니 조금 더 편해지겠죠?

• 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각이 θ인 삼각형의 넓이
  
• 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각의 크기가 θ인 평행사변형의 넓이
  
• 두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 θ인 사각형의 넓이
  

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삼각형의 넓이 공식에서는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법과 공식, 증명을 해봤어요. 이번에는 조금 다른 경우에 삼각형의 넓이를 구하는 방법인 헤론의 공식에 대해서 알아볼 거예요.

헤론의 공식은 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법이에요. 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이 공식을 이용합니다. 문제는 각의 크기를 모르니까 이를 알아내는 과정이 필요한데 이게 좀 복잡해요.

그래서 이 과정을 생략할 수 있게 나온 공식이 헤론의 공식입니다. 여기서는 헤론의 공식을 유도해보고 공식이 왜 좋은지 문제를 통해서 알아보죠.

헤론의 공식

세 변의 길이만 알 때 삼각형의 넓이를 구하려면 아래 과정을 거쳐야 해요.

1. 제2 코사인법칙을 이용하여 한 각의 cos을 구함
2. ①과 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 sin을 구함
3. ②를 이용하여 넓이를 구함

①, ② 과정이 매우 복잡해요. 그래서 헤론이라는 사람이 공식으로 유도해 놓은 게 있는데 그걸 헤론의 공식이라고 해요.

이 공식을 유도하기에 앞서 전에 공부했던 두 가지 공식의 모양을 조금 바꿔놓고 시작하죠.

첫 번째는 삼각함수 사이의 관계에서 공부했던 sinθ와 cosθ의 관계에요.

다음은 제2 코사인법칙의 모양을 바꿔보죠.

이제 헤론의 공식을 유도해보죠. 앞에 1, 2, 3은 줄번호예요.

1. 삼각함수 사이의 관계 변형
2. 우변 인수분해
3.  대입
4. 괄호 안 통분
5. 분자의 앞 세항을 인수분해
6. 인수분해
7. 우변 곱
8. 양변에 제곱근. 0° < C < 180°이므로 sinC > 0

근호 안이 굉장히 복잡하죠? 여기를 간단히 해보죠. a + b + c = 2s라고 치환해볼까요?

a + b + c = 2s
a + b - c = (a + b + c) - 2c = 2s - 2c = 2(s - c)
a - b + c = (a + b + c) - 2b = 2s - 2b = 2(s - b)
-a + b + c = (a + b + c) - 2a = 2s - 2a = 2(s - a)

이제 이걸 근호 안에 대입해요.

sinC를 구했으니까 삼각형의 넓이 공식 에 대입해보죠.

되게 복잡한 과정을 거쳤더니 공식이 하나 유도되었네요.

헤론의 공식
△ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라고 할 때

세 변의 길이가 4, 5, 6인 삼각형의 넓이를 구하여라.

a = 4, b = 5, c = 6이라고 해보죠.

제2 코사인법칙에서
c² = a² + b² - 2abcosC
6² = 4² + 5² - 2 × 4 × 5 × cosC
36 = 16 + 25 - 40cosC
40cosC = 5
cosC =

sinC를 구했으니까 삼각형의 넓이 공식 에 대입해보죠.

정말 복잡하죠? 헤론의 공식에 넣어서 바로 구해보죠.

공식을 이용하니까 훨씬 쉽게 삼각형의 넓이를 구했네요.

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삼각형의 넓이는중3 때 삼각비의 활용 - 삼각형의 넓이에서 그 공식을 유도도 해봤고 문제도 풀어봤어요. 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 넓이를 구했었죠. 다만 그 끼인각의 크기가 예각/직각일 때의 공식과 둔각일 때의 공식이 서로 달라서 두 가지를 다 외워야 했었죠.

삼각비를 이용해서 공식을 유도했는데 그때는 0° ~ 90°만 공부해서 둔각일 때는 예각으로 바꾸는 과정이 필요해서 둘로 나눴던 거예요. 이제는 일반각도 공부했으니 각의 크기를 제한할 필요가 없어요. 조금 더 세련된(?) 방법으로 삼각형의 넓이 공식을 외워보죠.

삼각형의 넓이 공식 유도

삼각형의 한 각을 기준으로 하고 기준각의 크기를 예각, 직각, 둔각으로 바꿔가면서 삼각형의 넓이 공식을 유도할 거예요. 사인법칙, 코사인법칙을 유도할 때도 다 같은 방법을 이용했었죠?

△ABC의 세 변의 길이를 a, b, c라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.

삼각형의 넓이 공식 유도 - 예각일 때

첫 번째 c가 예각일 때에요.

A에서 에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

 = a

△ACH에서

삼각형의 넓이 공식 유도 - 직각일 때

이번에는 C가 직각일 때에요.

C가 직각이면 따로 보조선을 그을 필요가 없어요.

 = a

sinC = sin90° = 1

삼각형의 넓이 공식 유도 - 둔각일 때

C가 둔각일 때에요.

 = a

△ACH에서

세 경우를 통해서 C의 크기와 상관없이 가 성립하는 걸 알 수 있어요. C가 아니라 A, B의 각을 바꿔가면서 같은 방법으로 증명하면 다음과 같은 삼각형의 넓이 공식을 얻을 수 있어요.

△ABC에서 세 각의 대변을 a, b, c, 넓이를 S라고 하면

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알면 삼각형의 넓이를 구할 수 있어요. 끼인각이 예각이든 직각이든 둔각이든 상관없이 공식 하나로 모든 걸 다 해결할 수 있어요. 중학교에서 했던 것보다 훨씬 간단해졌지요.

다음 그림에서 △ABC의 넓이를 구하여라.

두 변의 길이가 b, c이고 끼인각의 크기가 A인 삼각형의 넓이는 에요.

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사인법칙, 제1 코사인법칙, 제2 코사인법칙을 서로 비교해서 특징과 차이를 총정리하는 시간을 가져볼게요.

공식을 외우는 건 어쩌면 그리 어려운 건 아닐 거예요. 그런데 어떤 조건이 있을 때 어떤 공식을 사용해야 하는지는 무척 헷갈리죠. 어차피 삼각형이야 변의 길이, 각의 크기를 알려주고 알려주지 않은 나머지 변의 길이와 각의 크기를 구하는 거라서 문제에서 주는 정보가 다 거기서 거기거든요.

이 글에서는 세 가지 공식을 한 번 더 정리해보고 어떤 경우에 어떤 공식을 사용해야 하는지까지 알아보죠.

사인법칙, 코사인법칙 총정리

일단 각 법칙을 다시 한 번 써보고 어떤 특징이 있는지 알아봐요.

사인법칙

△ABC의 외접원의 반지름을 R, 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때

를 보죠. 두 각의 크기(A, B)와 두 변의 길이(a, b) 총 네 가지 항목으로 되어 있어요. 두 각 A, B의 크기를 알면 다른 한 각 C의 크기도 구할 수 있죠?

a, B, C를 알 때 삼각형 내각의 합은 180°니까 A를 알 수 있고 이를 이용해서 b를 구할 수 있어요. b, A, C를 알 때는 B를 알 수 있고 이를 이용해서 a를 구할 수 있고요. 이건 한 변의 길이와 그 양 끝각을 알 때로 정리할 수 있죠.

또, a, b와 A를 알 때 B를 구할 수 있어요. a, b, B를 알 때 A를 구할 수도 있죠. 이건 두 변의 길이와 끼인각이 아닌 다른 각의 크기를 알 때로 정리할 수 있어요.

제1 코사인법칙

△ABC의 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때

• a = bcosC + ccosB
• b = ccosA + acosC
• c = acosB + bcosA

첫 번째 a = bcosC + ccosB를 보죠. 두 각의 크기(B, C)와 세 변의 길이(a, b, c) 총 다섯 가지 항목으로 되어 있어요.

기본적으로 b, c, B, C를 알 때 a를 구할 수 있어요. 두 변의 길이와 두 대각의 크기를 알 때에요.

a, b, c, B를 알 때 C를 구할 수 있어요. 세 변의 길이와 한 각의 크기를 알 때죠.

제2 코사인법칙

• a² = b² + c² - 2bccosA
• b² = c² + a² - 2cacosB
• c² = a² + b² - 2abcosC

첫 번째 a² = b² + c² - 2bccosA를 보죠. 한 각의 크기(A)와 세 변의 길이(a, b, c) 총 네 가지 항목으로 되어 있어요.

b, c, A를 알면 a를 구할 수도 있죠. 이건 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때로 정리할 수 있죠.

a, b, c를 알면 A를 구할 수 있어요. 세 변의 길이를 알 때로 정리할 수 있어요.

사인법칙, 코사인법칙의 비교

세 가지 법칙을 봤는데 그 공식만 봐도 어떤 경우에 어떤 값을 구할 수 있는지 알 수 있어요. 이걸 다시 한 번 정리해보죠.

사인법칙, 코사인법칙 정리

	공식	사용
사인법칙		한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때 두 변의 길이와 끼인각이 아닌 각의 크기를 알 때
제1 코사인법칙	a = bcosC + ccosB b = ccosA + acosC c = acosB + bcosA	두 각의 크기와 두 대변의 길이를 알 때 세 변의 길이와 한 각의 크기를 알 때
제2 코사인법칙	a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = c2 + a2 - 2cacosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC	두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때 세 변의 길이를 알 때

삼각형의 합동조건과 비교해서 외우면 좋아요. SSS, SAS, ASA

SSS, SAS → 제2 코사인법칙
ASA, SSA → 사인법칙 (∵ SSA는 합동조건은 아니고 두 변과 끼인각이 아닌 각을 외우기 위한 팁정도로 생각하세요.)
ASSA, SSSA → 제1 코사인법칙

사인법칙과 제2 코사인법칙은 세 가지만 알고 있으면 다른 하나를 구할 수 있어요. 제1 코사인법칙은 네 가지 조건을 알고 있을 때 다른 하나를 구할 수 있고요. 문제에서 조건을 충분히 알려주는 경우는 많지 않으니까 사인법칙, 제2 코사인법칙보다 제1 코사인법칙을 사용하는 경우는 더 적죠. 그래서 제1 코사인법칙을 사용하는 조건은 굳이 외우지 않아도 상관없어요.

다음을 구하여라.
(1) △ABC에서 A = 30°, B = 60°, c = 3cm일 때, a, b, C를 구하여라.
(2) △ABC에서 a = 2cm, b = 3cm, C = 60°일 때, c를 구하여라.

(1)번은 한 변의 길이와 양끝각의 크기를 알려줬어요. 사인법칙을 이용해서 구할 수 있다는 뜻이죠.

삼각형에서 두 내각의 크기를 알면 나머지 한 내각의 크기도 구할 수 있죠? C = 180° - (30° + 60°) = 90°

(2)번은 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알려줬어요. 제2 코사인법칙을 이용해서 구할 수 있다는 얘기에요.

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코사인법칙 두 번째 제2 코사인법칙이에요.

제2 코사인법칙은 제1 코사인법칙의 확장판이에요. 따라서 제1 코사인법칙에 대해서 알고 있어야 하고 증명도 할 줄 알아야 해요.

이 글에서는 제2 코사인법칙을 유도해보고 제2 코사인법칙을 활용해서 문제도 풀어볼 거예요. 제2 코사인법칙이 무엇을 의미하는지 어떤 경우에 제2 코사인법칙을 이용해서 문제를 푸는지 잘 기억해두세요.

제2 코사인법칙 증명

제2 코사인법칙을 보기 전에 먼저 제1 코사인법칙부터 볼까요?

• a = bcosC + ccosB
• b = ccosA + acosC
• c = acosB + bcosA

세 개의 식이 있는데 각각의 식에 좌변에 있는 항목(a, b, c)을 양변에 곱해보죠.

• a² = abcosC + cacosB …… ①
• b² = bccosA + abcosC …… ②
• c² = cacosB + bccosA …… ③

순서대로 ①식, ②식, ③식이라고 해보죠.

① - ② - ③을 하면

a² - b² - c² = abcosC + cacosB - (bccosA + abcosC) - (cacosB + bccosA)
a² - b² - c² = -2bccosA
a² = b² + c² - 2bccosA

② - ③ - ①을 하면

b² - c² - a² = bccosA + abcosC - (cacosB + bccosA) - (abcosC + cacosB)
b² - c² - a² = -2cacosB
b² = c² + a² - 2cacosB

③ - ① - ②를 하면

c² - a² - b² = cacosB + bccosA - (abcosC + cacosB) - (bccosA + abcosC)
c² - a² - b² = -2abcosC
c² = a² + b² - 2abcosC

제2 코사인법칙
a² = b² + c² - 2bccosA
b² = c² + a² - 2cacosB
c² = a² + b² - 2abcosC

일단 첫 번째 공식만 보죠. a² = b² + c² - 2bccosA

각 항을 보면 a, b, c라는 세 변의 길이와 A라는 한 각의 크기로 되어 있어요. 세 변과 한 각 사이의 관계를 나타내는 식이죠.

b, c라는 두 변의 길이와 A의 각의 크기를 알면 나머지 한 변인 a를 구할 수 있어요. 여기서 A는 어떤 각인가요? a의 대변이자 b, c 사이의 끼인각이죠? 즉 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알면 끼인각의 대변의 길이를 구할 수 있다는 거예요.

조금 돌려서 얘기해볼까요?

a, b, c 세 변의 길이를 알면 어떨까요? cosA를 구할 수 있죠? 만약에 cosA가 우리가 외우고 있는 삼각비라면 A도 구할 수 있다는 얘기예요.

다음을 구하여라.
(1) a = 2cm, b = 3cm, C = 60°일 때, c
(2) a = 3cm, b = 3cm, c = 3cm일 때, A

(1) 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알려줬네요. 공식에 대입해보죠.

(2) 세 변의 길이를 알려주고 한 각의 크기를 구하라고 했어요. 코사인법칙은 세 변의 길이와 한 각의 관계를 나타내는 식이니까 공식을 이용해서 각을 구할 수 있어요.

A = 45°

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사인법칙에 이어 코사인법칙이에요. 코사인법칙은 두 개가 있는데 이 글에서는 제1 코사인법칙에 대해서 알아볼 거예요.

제1 코사인법칙은 그리 많이 사용하는 법칙은 아니에요. 그렇다고 전혀 사용하지 않는 것도 아니고 특히 다음에 공부할 제2 코사인법칙을 유도하는 과정에서 꼭 필요하기 때문에 반드시 알아야 하는 법칙입니다.

공식의 모양이 특징을 가지고 있어서 모양만 잘 보면 금방 외울 수 있어요.

코사인법칙

사인법칙은 세 변의 길이와 세 각의 sin, 외접원의 반지름 사이의 관계였어요. 코사인법칙은 한 변의 길이와 다른 두 변, 그 대각 사이의 관계를 나타내는 식이에요.

△ABC의 세 각을 A, B, C라고 하고, 그 대변을 a, b, c라고 할 때 다음의 성질이 성립해요.

△ABC의 세 각을 A, B, C라 하고 그 대변을 a, b, c라고 할 때
a = bcosC + ccosB
b = ccosA + acosC
c = acosB + bcosA

코사인법칙을 잘 보면 a를 구할 때 b와 cosC를 곱한 것에 c와 cosB를 곱한 걸 더해주는 거예요. 두 각의 크기와 그 대변의 길이를 알 때 다른 한 변의 길이를 구하는 공식이지요. 두 변의 길이와 두 각의 cos을 교차로 곱해주는 게 특징이에요.

증명해 볼까요? a = bcosC + ccosB부터 증명해보죠. C를 이용해서 증명할 거예요.

코사인법칙 증명 - 예각일 때

첫 번째 c가 예각일 때에요.

A에서 에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

a =  + 에요.

cosB와 cosC를 이용해서 와 의 길이를 구해보죠.

△ABH에서

△ACH에서

결국 a =  +  = bcosC + ccosB라는 걸 알 수 있어요.

코사인법칙 증명 - 직각일 때

이번에는 C가 직각일 때에요.

C가 직각이면 따로 보조선을 그을 필요가 없어요.

cosC = cos90° = 0 → bcosC = 0

a = bcosC + ccosB가 성립해요.

코사인법칙 증명 - 둔각일 때

C가 둔각일 때에요.

A에서 의 연장선에 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 해보죠.

a =  - 에요.

cosB와 cosC를 이용해서 와 의 길이를 구해보죠.

△ABH에서

△ACH에서

a =  -  = ccosB + bcosC

세 경우를 통해서 C의 크기와 상관없이 a = bcosC + ccosB가 성립하는 걸 알 수 있어요. C가 아니라 A, B의 각을 바꿔가면서 같은 방법으로 증명하면 b = ccosA + acosC, c = bcosA + acosB가 성립하는 걸 확인할 수 있어요.

△ABC에서 A = 30°, B = 45°, a = 6cm일 때, b, c, C를 구하여라.

코사인법칙을 이용하려면 두 각의 크기와 그 대변의 길이를 알아야 해요. 하지만 문제에서는 한 변의 길이와 두 각의 크기를 알려줬어요. 두 각은 길이를 아는 변의 양 끝각이 아니네요.

일단 남은 한 각의 크기를 구해보죠. C = 180° - (30° + 45°) = 105°네요.

세 각의 크기를 알았어요. 원래 한 변의 길이는 알고 있으니 결국 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알게 된 거죠. 그러면 사인법칙을 이용할 수 있지요.

sin105°를 우리는 외우고 있지 않죠? 물론 삼각함수표를 사용하면 그 값을 알 수 있지만 외우고 있지는 않아요. 그렇다고 c를 구할 수 없는 건 아니에요. 이제 두 각의 크기(A, B)와 그 대변의 길이(a, b)를 알고 있으니까 코사인법칙을 이용해서 구하면 돼요.

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사인법칙은 공식이에요. 공식이니까 당연히 외워야겠죠? 그리고 사인법칙이 어떻게 유도되었는지 증명할 수 있어야 하고요.

사인법칙 증명 과정에 중학교 때 공부했던 원주각과 원에 내접하는 사각형, 외접, 외접원 등의 내용이 계속 나와요. 증명 자체는 어렵지 않지만 이미 잊어버린 내용일테니까 미리 한 번씩 읽어두세요.

[중등수학/중3 수학] - 원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질
[중등수학/중3 수학] - 원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각

사인법칙을 외워두면 중학교 때 삼각비를 이용해서 구했던 것들을 조금 더 쉬운 방법으로 구할 수 있어요.

사인법칙, 사인법칙 증명

삼각형 세 각의 크기에 대한 사인과 대변의 길이, 외접원의 반지름 사이의 관계를 정리해놓은 걸 사인법칙이라고 해요.

아래 그림에서 △ABC의 세 각을 A, B, C라고 하고 그 대변의 길이를 a, b, c라고 하죠. 외접원의 길이를 R이라고 하면 다음과 같은 관계가 성립해요.

△ABC의 외접원의 반지름을 R, 각의 대응변의 길이를 a, b, c라고 할 때

어떻게 이런 성질이 생기는지 증명해보죠. 일단 하나의 각에 대해서만 증명하면 다른 각에 대한 건 똑같은 방법으로 증명할 수 있어요.

사인 법칙 증명 - 예각일 때

∠A가 예각일 때에요.

점 B에서 외접원의 중심 O를 지나는 BA'를 그었어요. 는 원의 지름이에요.

중3 때 공부했던 원주각의 성질에 의하면 한 원에서 한 호의 원주각의 크기는 같아요. 호 BC의 원주각이므로 ∠A = ∠A'가 돼요. 또, 지름의 원주각은 90°니까 ∠A'CB = 90°죠.

sinA = sinA' = →

사인 법칙 증명 - 직각일 때

∠A = 90일 때는 쉽죠.

sinA = sin90° = 1이고, ∠A = 90°이면 대변 는 원의 지름이므로 2R이에요.

사인 법칙 증명 - 둔각일 때

여기도 예각일 때와 마찬가지로 점 B에서 외접원의 중심 O를 지나는 를 그어요. □ABA'C는 원에 내접해요.

원에 내접하는 사각형의 성질, 내대각에 따르면 원에 내접하는 사각형의 한 쌍의 대각의 합은 180°예요. A + A' = 180°이므로 A = 180° - A'

sinA = sin(180° - A') = sinA' = →

∠A가 예각, 직각, 둔각일 때 모두 이 성립해요. 같은 방법으로 ∠B, ∠C일 때도 증명할 수 있어요.

사인법칙의 사용

사인법칙은 삼각형의 세 각에서 각의 사인값과 길이의 비가 모두 같다는 거예요. 이를 이용해서 각의 크기와 변의 길이를 구할 수 있어요.

사인법칙의 사용
한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때
두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각의 크기를 알 때

두 번째 조건이 약간 특이하죠? 끼인각을 알려주는 게 아니라 끼인각이 아닌 각이 크기를 알려줄 때에요. 잘 보세요.

삼각비를 이용해서 일반 삼각형 변의 길이를 구할 때는 수선을 그어서 내려서 매우 복잡하게 구했잖아요. 이제부터는 그렇게 하지 않아도 삼각형 변의 길이와 각의 크기를 구할 수 있어요.

다음을 구하여라.
(1) △ABC에서 A = 30°, B = 60°, c = 3cm일 때, a, b, C를 구하여라.
(2) △ABC에서 a = 3cm, b = 3cm, B = 60°일 때, A, C, c를 구하여라.

(1)번은 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알려줬어요. C = 180° - (30° + 60°) = 90°

사인법칙 공식에 맞게 넣어보죠.

(2)번은 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각의 크기를 알려줬어요. 사인법칙 공식에 맞게 넣어보죠.

A = 60° or A = 120°인데 A = 120°이면 △ABC는 삼각형이 아니죠? 따라서 A = 60°에요.

A = B = 60°이므로 C = 60°가 되겠네요.

사실 세 각의 크기가 60°로 모두 같으니까 정삼각형으로 c = 3cm라는 걸 알 수 있어요. 위의 과정을 굳이 해볼 필요는 없겠네요.

A = 60°, C = 60°, c = 3cm

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원래 부등식은 방정식의 확장판이라고 생각하면 쉬워요. 따라서 삼각부등식을 풀 때는 삼각방정식을 풀 때와 같은 방법으로 푼다는 것만 잘 기억하고 있으면 돼요. 거꾸로 말해서 삼각부등식을 풀려면 삼각방정식을 풀 줄 알아야 한다는 얘기지요.

삼각부등식은 삼각함수 + 부등식이에요. 삼각부등식 문제를 풀 때는 그래프를 꼭 그려야 하는데, 이때 부등식의 영역을 응용하면 문제를 훨씬 더 쉽게 풀 수 있어요.

되게 복잡하고 어려울 것 같지만, 막상 풀어보면 그렇게 어려운 문제들은 나오지 않으니까 너무 걱정하지는 마세요.

삼각부등식

삼각방정식은 삼각함수의 각이나 각을 나타내는 식에 미지수 x를 포함한 방정식이에요. 그럼 삼각부등식은 뭘까요? 삼각부등식은 삼각함수의 각이나 각을 나타내는 식에 미지수 x를 포함한 부등식이지요.

이차방정식을 푸는 방법이나 이차부등식을 푸는 방법이나 별 차이가 없었죠? 인수분해해서 해를 구했잖아요. 이차방정식의 해는 x = α or x = β처럼 등호를 사용한다면 이차부등식은 α < x < β처럼 부등호를 사용한다는 차이뿐이었어요.

삼각부등식을 푸는 과정도 삼각방정식을 푸는 과정과 별로 차이가 없어요. 삼각방정식을 풀 때 사용했던 방법들을 그대로 사용합니다. 삼각부등식도 해가 무수히 많이 생길 수 있기 때문에 한 번의 주기(0 ≤ x < 2π)로 범위를 제한하고요.

의 해를 구하여라. (0 ≤ x < 2π)

여러 방법으로 삼각부등식을 풀어보죠.

그래프의 교점을 이용하는 방법

를 y = sinx와 라는 두 개 식으로 나누어 각각의 그래프를 그린 다음 보다 y = sinx가 위에 있는 구간을 찾으면 돼요.

y = sinx의 그래프와 의 그래프를 그리면 두 점 , 에서 만나고 x가 이 둘 사이의 범위에 있을 때 y = sinx의 그래프가 더 위에 있어요. 따라서 의 해는  < x < 에요.

단위원을 이용하는 방법

단위원 위에서 을 지나는 점의 동경이 두 개 있는데 이 두 동경 사이의 각이 바로 삼각부등식의 해에요.

점 P와 점 Q에서 만나네요. P일 때는 , Q일 때는 에요. 동경 사이의 각이 해가 되는데 둘 사이의 각이 두 종류가 있어요. 하나는 P에서 Q로 양의 방향(시계 반대방향)으로 동경이 이동할 때 생기는 각들이고요. 다른 하나는 Q에서 P까지 양의 방향(시계 반대방향)으로 동경이 이동할 때 생기는 각이에요.

어떤 부분이 해가 될지 모를 때에는 부등식의 영역 2 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0에서 사용했던 방법을 이용하세요. 임의의 각을 하나 대입해보는 거죠. 를 대입해보면  = 1 > 로 문제의 부등식을 만족해요. 따라서 가 들어있는 P에서 Q까지 양의 방향의 각들이 문제의 해에요. 해는  < x < 이네요.

직각삼각형을 이용하는 방법

[중등수학/중3 수학] - 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 각도에 따른 직각삼각형 각 변의 길이의 비를 외우고 있죠? 1 : 1 : , 1 :  : 2인 직각삼각형의 길이의 비요. 이걸 이용하는 방법이에요.

삼각함수 값의 부호의 올 - 싸 - 탄 - 코에 따르면 sinx > 0이려면 제 1, 2 사분면위의 각이어야 해요. 제 1, 2 사분면 위에 x축을 밑변으로 하고 빗변과 높이의 비가 2 : 1인 직각삼각형을 그리세요.

두 개의 직각삼각형이 그려졌는데도 이 두 직각삼각형의 빗변 사이의 각이 해에요. 두 빗변은 단위원을 이용한 방법에서의 동경과 같은 거니까 나머지는 단위원에서 했던 방법을 그대로 사용하면 돼요.

방법은 다르지만 구한 결과는 같으니까 가장 쉽다고 생각되는 방법을 이용해서 풀 수 있게 연습하세요.

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삼각방정식이에요. 삼각방정식은 삼각함수 + 방정식이에요. 삼각함수보다 어렵긴 하지만 그래도 이차, 삼차방정식보다는 조금 더 쉬운 단원입니다. 삼각방정식 푸는 법 자체가 어렵지도 않을뿐더러 문제도 비교적 쉽게 나오는 편이거든요.

또 풀이 방법도 여러 가지여서 가장 쉽고 편한 방법을 골라서 문제를 풀 수도 있으니 금상첨화죠. 그래프를 그릴 수 있으면 훨씬 더 쉽게 풀 수 있어요.

별로 어려운 내용은 아니니까 쭉 한 번 훑어보세요.

삼각방정식

삼각방정식은 삼각함수의 각 또는 각을 나타내는 식 중에 미지수를 포함하는 방정식을 말해요. 그냥 쉽게 삼각함수의 각에 미지수 x가 있는 방정식이라고 생각하세요.

삼각함수의 각 자리에 x가 있으니까 위와 같은 식이 삼각방정식이에요.

삼각함수는 주기함수라서 똑같은 값을 가지는 경우가 많아요. 그래서 보통은 범위를 한 번의 주기로 제한합니다. 0 ≤ x < 2π

의 해를 구하여라. (0 ≤ x < 2π)

삼각방정식을 푸는 방법은 여러 가지가 있는데 하나씩 알아보죠.

그래프의 교점을 이용하는 방법

를 y = sinx와 라는 두 개 식으로 나누어 각각의 그래프를 그리면 그 교점의 x좌표가 해에요.

y = sinx의 그래프와 의 그래프를 그리면 두 점에서 만나요. 해가 두 개라는 걸 알 수 있어요.

교점의 x좌표는 , 에요. 따라서 의 해는 x =  또는 x = 에요.

단위원을 이용하는 방법

삼각함수 그래프 그리는 법에서 단위원 위에서 동경의 위치를 바꿔가면서 그래프를 그렸었죠? 그걸 이용하는 거예요.

단위원 위에서 을 지나는 점의 동경이 바로 삼각방정식의 해에요.

점 P와 점 Q에서 만나네요. 이때 동경 가 나타내는 크기가 삼각방정식의 해니까 x =  또는 x = 에요.

직각삼각형을 이용하는 방법

[중등수학/중3 수학] - 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 각도에 따른 직각삼각형 각 변의 길이의 비를 외우고 있죠? 1 : 1 : , 1 :  : 2인 직각삼각형의 길이의 비요. 이걸 이용하는 방법이에요.

삼각함수 값의 부호의 올 - 싸 - 탄 - 코에 따르면 sinx > 0이려면 제 1, 2 사분면위의 각이어야 해요. 제 1, 2 사분면 위에 x축을 밑변으로 하고 빗변과 높이의 비가 2 : 1인 직각삼각형을 그리세요.

삼각형을 그렸더니 우리가 외우고 있던 직각삼각형이 됐죠? 제 1 사분면의 x는 ∠POH로 육십분법으로 하면 30°, 호도법으로 하면 에요. 제 2 사분면의 x는 ∠HOQ = π - ∠QOH' = π -  = 에요.

따라서 x =  또는 x = 이네요.

방법은 다르지만 구한 결과는 같으니까 가장 쉽다고 생각되는 방법을 이용해서 풀 수 있게 연습하세요.

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이차함수를 공부할 때 이차함수의 최댓값과 최솟값 공부했던 것 기억하나요? 삼각함수도 함수니까 최댓값과 최솟값을 구할 수 있겠죠? 지금부터 바로 삼각함수의 최대, 최소를 구해볼 거예요. 단순히 삼각함수의 최대, 최소가 아니라 삼각함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값을 구할 겁니다.

삼각함수의 최댓값과 최솟값은 삼각함수 + 이차함수의 최댓값과 최솟값이에요. 그다지 어려운 내용은 아니에요.

삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법과 주의할 점에 대해서 알아보죠.

삼각함수를 포함한 식의 최대, 최소

그냥 삼각함수의 최대, 최소는 치역을 구하면 되겠죠? 삼각함수 그래프의 이동, 평행이동, 주기, 최대, 최소에 나오는 내용을 이용하면 돼요. 하지만 그냥 삼각함수가 아니라 삼각함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법은 달라요.

삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구할 때는 아래의 순서대로 합니다.

1. 주어진 식을 하나의 삼각함수만 포함된 식으로 바꾼다.
2. 삼각함수를 t로 치환한다.
3. 삼각함수의 범위에 맞게 t의 범위를 구한다.

삼각함수를 포함한 식에 sin, cos이 하나만 있으면 바로 2번째 단계로 넘어가도 돼요. 그런데 sin과 cos이 섞여 있다면 sin만 있는 식으로 바꾸거나 cos만 있는 식으로 바꿔서 해야 해요. x, y가 섞여 있는 식보다는 x만 있는 식이나 y만 있는 식이 편한 것처럼요.

이때, 삼각함수 사이의 관계에서 공부했던 sin²θ + cos²θ = 1이라는 관계를 이용하세요.
sin²x = 1 - cos²x
cos²x = 1 - sin²x

식을 하나의 삼각함수만 포함된 식으로 바꾼 후에는 삼각함수를 다른 문자로 치환하세요.
sinx → t
cosx → t
tanx → t

삼각함수를 t로 치환하면 t에 대한 일차함수 또는 t에 대한 이차함수가 돼요. 일차함수의 최댓값, 최솟값, 이차함수의 최댓값과 최솟값은 구할 수 있잖아요. 그 방법을 그대로 이용하면 돼요.

삼각함수를 t로 치환할 때 주의해야 할 게 있어요.

x의 범위가 주어져 있지 않다면 -1 ≤ sinx ≤ 1이므로 sinx를 t로 치환하면 -1 ≤ t ≤에요. cosx도 마찬가지고요. tanx의 치역은 실수 전체의 집합이니까 tanx를 t로 치환하면 t의 범위도 실수 전체의 집합이 되겠지요.

x의 범위가 주어졌을 때 sinx, cosx, tanx의 범위가 달라질 수도 있는데, 이때도 마찬가지로 삼각함수의 범위에 맞게 t의 범위를 구해야 해요. 예를 들어 0 ≤ x ≤ π일 때는 0 ≤ sinx ≤ 1이므로 sinx를 치환한 t의 범위도 0 ≤ t ≤ 1이 되지요.

다음을 구하여라.
(1) y = cos²x - 2cosx + 3의 최댓값과 최솟값
(2) y = 2cos²x - 8sinx - 1의 최댓값과 최솟값 (0 ≤ x ≤ π)

(1) cosx = t로 치환해보죠. x의 범위가 주어져 있지 않기 때문에 -1 ≤ cosx ≤ 1이에요. 따라서 -1 ≤ t ≤ 1이죠.

y = cos²x - 2cosx + 3
   = t² - 2t + 3
   = (t² - 2t + 1 - 1) + 3
   = (t - 1)² + 2

이차함수의 최댓값과 최솟값에서 최대, 최소는 경곗값 또는 꼭짓점에서 생기므로 이 값들을 대입해보죠.

t = cosx = -1일 때, 6
t = cosx = 1일 때, 2

최댓값은 6, 최솟값은 2네요.

(2) y = 2cos²x - 8sinx - 1에는 sinx와 cosx 두 종류의 삼각함수가 들어있어요. 따라서 한 종류의 삼각함수만 있도록 식을 바꿔야 해요.

y = 2cos²x - 8sinx - 1
   = 2(1 - sin²x) - 8sinx - 1
   = -2sin²x - 8sinx + 1

한 종류만 있게 바꾼 후에는 t로 치환해야 해요.

y = -2sin²x - 8sinx + 1
   = -2t² - 8t + 1
   = -2(t² + 4t) + 1
   = -2(t² + 4t + 4 - 4) + 1
   = -2(t + 2)² + 9

t의 범위도 구해야 하는데요. x의 범위가 0 ≤ x ≤ π이기 때문에 0 ≤ sinx ≤ 1이고, 0 ≤ t ≤ 1 이에요. 근데 꼭짓점이 이 범위에 있지 않네요. 주의하세요.

t = sinx = 0일 때, 1
t = sinx = 1일 때, -9

최댓값은 1, 최솟값은 -9네요.

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삼각함수 그래프의 이동은 조금 어렵습니다. 자세히 하나씩 천천히 읽어보세요. sin 그래프, cos 그래프, tan 그래프의 특징을 아주 제대로 이해하고 있어야 해요. 원래 그래프와 이동한 후의 그래프의 특징을 잘 비교해서 이해해야 하죠.

그래프의 이동이기 때문에 중학교 때 공부했던 이차함수 그래프의 평행이동, y = (x - p)² + q와 함께 연결지어서 공부하면 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 거예요.

그래프를 직접 그린 후에 특징을 잘 찾아서 어떻게 바뀌는지 그림을 통해서 이해하도록 노력해보세요.

먼저 y = sinx의 그래프의 이동을 설명한 후에 이를 바탕으로 해서 y = cosx, y = tanx의 그래프의 이동을 설명할게요.

삼각함수 그래프의 이동

y = sinx 그래프의 이동

y = 2sinx 그래프를 그려보죠. y = 2 × sinx 이므로 y = sinx에서 y가 두 배에요. (x, y)의 좌표를 (x, 2y)로 바꾸면 쉽게 그릴 수 있어요.

그래프를 그려봤더니 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 길어졌죠? 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요. 치역이 바뀌었지만 주기라든가 정의역 등 다른 특징은 그대로예요.

y = -2sinx의 그래프였다면 어떻게 될까요? y = -2sinx의 그래프는 y = 2sinx의 그래프와 x축 대칭이므로 위 그래프의 위아래를 바꾸면 돼요. 주기는 2π고요. 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 2이고 최솟값은 x = 일 때, -2에요.

만약에 y = 2sinx가 아니라 y = sinx를 그렸다면 어떻게 될까요? (x, 2y)가 아니라 (x, y)가 될 거고 그렇다면 y = sinx의 그래프보다 위아래로 더 줄어든 그래프가 될 거예요. 주기는 마찬가지로 2π일 거고, 0 ≤ x < 2π에서 최댓값은 x = 일 때, y = 이고 최솟값은 x = 일 때, -에요.

sinx 앞에 어떤 숫자가 있더라도 주기는 바뀌지 않고 2π라는 걸 알 수 있어요. 앞에 있는 숫자에 따라 최대, 최소는 바뀌죠. 최대, 최소가 달라지기 때문에 그래프는 위아래로 늘어나거나 줄어드는 형태예요. 그리고 바뀐 최댓값과 최솟값은 부호는 반대지만 절댓값이 같아요.

이걸 확장해서 y = asinx의 그래프의 특징으로 바꿔보죠.

이번에는 y = sin(bx)의 그래프를 그려보죠.

y = sin(2x)의 그래프를 그려볼까요? y = sinx에서 x가 2x로 바뀌었고, y는 그대로예요. 따라서 (x, y) 대신에 (x/2, y)의 좌표를 연결하면 되죠.

그래프가 y = sinx의 그래프보다 폭이 더 좁아졌어요. 최대, 최소는 바뀌지 않았어요. 그대로 1, -1이에요. 주기는 π고요.

x앞에 숫자가 있을 때는 최대, 최소는 바뀌지 않고 주기가 바뀐다는 걸 알 수 있어요. 단순히 주기가 줄어든 게 아니고 원래 주기인 2π를 x앞의 숫자로 나눠준 게 주기예요. 주기는 양수로 나타내기 때문에 b에 절댓값을 씌워서 나눠야 합니다.

y = sinx와 y = sin(bx)의 그래프 비교

	y = sinx	y = sin(bx)
주기	2π
최댓값	1	1
최솟값	-1	-1

이번에는 y = sin(x + c) 형태의 그래프를 보죠.

이건 이차함수 그래프의 평행이동, y = a(x - p)²을 생각해보면 쉬워요. y = (x - p)²은 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼 평행이동한 그래프에요. x대신 x - p를 대입하면 되죠.

그럼 y = sin(x + c)는 어떨까요?

y = sin(x + c)
y = sin{x - (-c)}

x 대신 x - (-c)가 들어가 있죠? 따라서 y = sin(x + c)는 y = sinx의 그래프를 x축 방향으로 -c만큼 평행이동한 그래프에요.

이차함수의 그래프에서 x축 방향으로 평행이동을 하더라도 그래프의 폭이나 방향, 최대, 최소 등은 바뀌지 않았어요. y = sinx의 그래프에서도 주기와 최대, 최소는 바뀌지 않아요.

y = sinx + d의 그래프를 보죠. 마찬가지로 이차함수 그래프의 평행이동, y = ax² + q의 그래프를 생각해보세요.

같은 이유로 y = sinx + d는 y = sinx의 그래프를 y축 방향으로 d만큼 평행이동한 그래프에요.

이차함수의 그래프를 y축 방향으로 평행이동하면 폭과 방향은 그대로지만 최대, 최소는 바뀌죠? y = sinx의 그래프에서도 y축 방향으로 d만큼 평행이동하면 처음의 최대, 최소보다 d만큼 더해줘야 해요. 주기는 바뀌지 않아요.

위 내용을 한 번에 정리해보죠.

y = asin(bx + c) + d의 그래프와 원래 y = sinx의 그래프와 비교해보죠.

y = sinx와 y = asin(bx + c) + d의 그래프 비교

	y = sinx	y = asin(bx + c) + d
주기	2π
최댓값	1	|a| + d
최솟값	-1	-|a| + d

a와 d는 최대, 최소에 영향을 줘요. 특히 a는 그래프를 위, 아래로 늘리거나 줄인 형태로 모양을 바꿔서 최대, 최소에 영향을 주고요. d는 그래프의 모양을 그대로 두고 그래프를 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 줍니다. b는 그래프를 좌우로 늘이거나 줄이는 모양으로 바꿔서 주기에 영향을 줘요. c는 전체적인 그래프의 모양은 바꾸지 않고 좌우로 움직이기만 합니다.

y = cosx 그래프의 이동

y = sinx의 그래프와 y = cosx의 그래프는 주기가 2π로 같고, 최대가 1, 최소가 -1로 같아요. 물론 최대, 최소가 생기는 x는 다르지만요. 삼각함수의 그래프에서 가장 중요한 것은 주기, 최대, 최소에요. y = sinx와 y = cosx의 그래프는 특징이 같으니까 이동 후에 바뀌는 특징도 같아요. 한꺼번에 적용할 수 있다는 뜻이에요.

y = tanx의 그래프의 이동

하지만 y = tanx의 그래프의 이동은 달라요. 주기는 π이고, 최대, 최소는 없어요. 게다가 점근선이라는 것까지 있지요. 그러니까 서로 다른 방법으로 이해해야 합니다.

y = atan(bx + c) + d꼴을 보죠.

a는 그래프의 모양을 위아래로 늘리거나 줄여서 최대, 최소에 영향을 줘요. 그래프의 모양을 위아래 늘이거나 줄일 수는 있지만, 최대, 최소는 원래부터 구할 수 없으니까 이동한 결과도 최대, 최소를 구할 수 없어요.

b는 그래프를 좌우로 늘리거나 줄여서 주기에 영향을 줘요. y = tanx의 주기는 π니까 이동한 그래프의 주기는 입니다. 또 점근선에 영향을 줘요.

c는 그래프의 모양은 그대로 두고 좌우로 움직이기만 하죠. 이때 점근선도 함께 움직입니다. 점근선과 관련된 내용은 굳이 외울 필요는 없어요. 그냥 바뀌는구나 정도로만 이해하고 있으면 돼요.

d는 그래프의 모양은 그대로 두고 위, 아래로 움직여서 최대, 최소에 영향을 주죠. 하지만 최대, 최소는 구할 수 없어요.

삼각함수 그래프의 이동

	y = asin(bx + c) + d y = acos(bx + c) + d	y = atan(bx + c) + d
최댓값	|a| + d	없음
최솟값	-|a| + d	없음
주기
점근선	없음.	(n은 정수)

위에서 한 내용이 어려운 내용이에요. 원래 처음의 그래프의 특징을 잘 이해해야 하고, 이동할 때 숫자가 어디에 붙는지에 따라 어떤 특징이 어떻게 달라지는지 잘 기억해두세요.

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삼각함수의 그래프 - tan 그래프

삼각함수 그래프 세 번째 tan의 그래프예요. tan의 그래프는 앞서 했던 sin, cos의 그래프와 많이 다릅니다. 그래서 주의해서 봐야 해요. 다른 함수의 그래프와 헷갈릴 일은 없으니까 어쩌면 다행이기도 하죠.

tan의 그래프를 그릴 때 조금 어렵다면 삼각함수의 사촌 격인 삼각비의 tan를 생각하세요. 그때 공부했던 내용을 참고하면 tan 그래프를 그리고 이해하는 데 도움이 많이 될 거예요.

각 그래프의 특징을 보고 실제로 그래프를 종이에 예쁘게 그리는 연습을 하세요. 종이에 여러 번 그리는 게 그래프의 특징을 좀 더 빨리 파악하고 외우는 데 많은 도움이 됩니다.

삼각함수의 그래프 - tan 그래프

[중등수학/중3 수학] - 예각의 삼각비, 0°와 90°의 삼각비 구했던 거 기억나죠? 그것과 비슷해요. 삼각비와 삼각함수는 한 끗 차이니까요.

좌표평면 위의 단위원과 동경 가 만나는 점을 점 P(x, y)라고 하고 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라고 해보죠. 의 연장선과 x = 1이 만나는 점을 P'(x', y')이라고 하고요. 그리고 이때 동경 가 나타내는 각을 θ라고 해보죠.

△OPH ∽ △OP'H'이므로  (∵ x' = 1)

tanθ는 동경 의 연장선과 x = 1의 교점 P'의 y좌표, 높이라는 걸 알 수 있어요. 이를 이용해서 tanθ의 그래프를 그려보죠.

θ = 0일 때 P'의 y좌표는 0이므로 tanθ = 0이에요.

θ가 1사분면의 각일 때 θ가 커지면 높이도 커지므로 tanθ도 커져요.

θ = 90° = 이면 직각이라서 그 값을 알 수가 없어요. [중등수학/중3 수학] - 0°와 90°의 삼각비에서 tan90°는 그 값을 정할 수 없다고 했잖아요.

θ가 2사분면의 각일 때 x = 1과 교점이 아니라 x = -1과의 교점의 높이로 구해야겠죠?
  (∵ x' = -1)

그래서 tanθ의 부호가 (-)예요. θ가 커지면 높이가 줄어들지만, 부호가 (-)이므로 tanθ는 커져요.

θ = 180° = π이면 높이 = 0이므로 tanθ = 0이지요.

θ가 3사분면의 각이면 θ가 커질수록 tanθ도 커져요. 이때 x' = -1, y' < 0이므로 tanθ > 0이지요.

θ = 270° = 이면 역시 tanθ는 값을 정할 수 없어요.

θ가 4사분면의 각이면 x' = 1로 tanθ = y' < 0이므로 θ가 커질수록 높이는 작아지지만 tanθ는 커져요.

θ가 360° = 2π보다 커지면 위와 같은 내용이 반복돼요. 주기를 2π라고 생각할 수 있어요. 그런데 이 내용을 잘 보면 1사분면의 각일 때와 3사분면의 각일 때, 2 사분면의 각일 때와 4사분면의 각일 때의 변화가 같아요. 즉 주기가 π라는 걸 알 수 있죠. 삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ에서 tan(π + θ) = tanθ였어요.

tan 그래프의 가장 큰 특징은 sin 그래프, cos 그래프와 달리 물결 모양이 아니라는 거예요. 그리고 모든 영역에서 값이 커져요. 전부 다 오른쪽 위로 향하고 있어요.

그리고 , …… 처럼 nπ + (n은 정수)일 때, 값을 정할 수 없다는 거죠. 그래서 정의역은 nπ + (n은 정수)가 아닌 모든 실수고 치역은 모든 실수예요.

tan(-x) = -tanx이므로 원점에 대하여 대칭이에요.

nπ + (n은 정수)일 때 값을 정할 수는 없지만, 그때의 값에 계속 가까워지고 있어요. 무리함수의 그래프에서 점점 가까워지는 선을 점근선이라고 했죠? x = nπ + (n은 정수)가 바로 점근선이에요.

y = tanx 그래프의 특징
정의역 = {x|x ≠ nπ + (n은 정수)인 모든 실수}, 치역은 실수 전체의 집합
원점에 대하여 대칭
주기는 π
점근선은 x = nπ + (n은 정수)

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