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삼각함수의 그래프 두 번째 cos의 그래프에요. 이 글에서는 cos의 그래프를 그리는 방법과 정의역, 치역, 주기, 대칭 같은 특징에 대해서 알아볼 거예요.

삼각함수 각의 변환에서 sin과 cos은 서로 바뀌기도 했었죠. 그만큼 이 둘은 관계가 깊어요. cos의 그래프도 앞서 했던 삼각함수 sin 그래프와 거의 비슷해요. 그래프를 그리는 방법도 그래프의 모양과 성질까지 아주 비슷하죠. 그래서 헷갈릴 수 있어요. 반대로 조금의 차이만 제대로 기억하면 아주 쉽다는 뜻이에요. 마지막에 sin 그래프와 cos 그래프의 차이를 비교하는 내용이 있으니까 잘 봐두세요.

삼각함수의 그래프 - cos 그래프

cos 그래프를 그릴 때도 좌표평면 위의 단위원을 이용하는데요.

θ를 나타내는 동경 와 단위원이 만나는 점을 P(x, y)라고 하고 cosθ를 구해보죠.

즉 θ가 커지고 점 P가 움직일 때 cosθ는 x좌표의 값과 같아요.

이걸 이용해서 y = cosθ의 그래프를 그려보죠.

sin 그래프 그릴 때는 단위원이 있는 좌표평면을 그대로 이용했다면 여기서는 왼쪽으로 90° 돌려서 보면 편해요. x의 값이 중요하니까 왼쪽으로 돌리면 마치 x를 높이처럼 사용할 수 있거든요. 아래 왼쪽 그림에서 세로 방향이 x, 가로 방향이 y에요.

왼쪽 그림에서 삼각함수 cosθ가 x 좌표(높이)와 같다고 했어요. θ가 커지면 x 좌표의 값, 즉 cosθ의 값이 어떻게 바뀌는지 살펴보죠.

θ = 0일 때, cosθ = 1이네요.

θ가 제 1 사분면 위의 각일 때, θ가 점점 커지면 cosθ는 작아져요.

θ = 90° = 일 때, 동경이 y축의 양의 방향과 일치하니까 cosθ = 0이네요.

θ가 제 2 사분면 위의 각일 때, θ가 커지면 cosθ는 음수가 돼서 점점 작아져요. 그러다가 θ = 180° = π가 될 때 cosθ = -1이죠.

θ가 제 3 사분면 위의 각일 때, θ가 커지면 cosθ는 점점 커지고, θ = 270° = 가 되면 cosθ = 0이 되네요.

θ가 제 4 사분면 위의 각일 때, θ가 더 커지면 cosθ도 커지고 θ = 360° = 2π일 때, cosθ = 1이 돼요.

θ가 360보다 더 커지면 어떻게 되나요. 그래도 동경의 위치가 같으니까 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서 했던 것처럼 cosθ = cos(2nπ + θ)가 돼요. 앞서 설명한 cosθ의 변화가 반복되는 거죠.

θ의 크기가 커지는 것과 cosθ의 관계를 나타낸 게 오른쪽 그래프에요. 마치 물결모양을 길게 그려놓은 것처럼 생겼죠.

cosθ의 값을 보면 처음에 1로 시작했다가 0까지 작아지고, 다시 -1까지 작아지고, 0이 되었다가 1까지 커지는 과정을 반복해요. -1부터 1 사이의 값만 가지요. 치역이 {y| -1 ≤ y ≤ 1}이에요. 반면 θ는 계속 커지기도 하고 계속 작아질 수 있으므로 정의역은 실수 전체의 집합이에요.

삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서 cos(-θ) = cosθ가 됐었어요. θ가 음수가 되어도 cosθ는 양수이므로 이런 관계는 y축에 대하여 대칭이죠. 그래프를 보면 확인할 수 있어요.

y = cosθ는 y = cos(2nπ + θ)이므로 2π가 더해질 때마다 같아져요. 따라서 cosθ는 주기가 2π인 주기함수예요.

삼각함수 cosθ의 그래프의 성질
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 {y| -1 ≤ y ≤ 1}
y축에 대하여 대칭
주기가 2π인 주기함수

표 마지막에 있는 "0 ~ 2π까지 값의 변화"는  순서로 값이 바뀌는 나타낸 거예요. 이걸 잘 이해하면 그래프를 그릴 수 있어요.

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삼각함수를 공부했으니까 이제 그 그래프에 대해서도 알아봐야겠죠. 삼각함수의 그래프 중에서 첫 번째로 sin 함수의 그래프에 대해서 알아보죠. sin 함수의 그래프를 그리는 방법과 sin 함수의 그래프의 특징이에요.

sin함수의 그래프를 그리는 방법과 sin 그래프의 특징은 cos의 그래프 그리는 법과 특징과 거의 같아요. 따라서 이거 하나만 잘해놓고 cos 함수의 그래프와 차이만 알아두면 편하죠. tan 그래프는 조금 다르니까 나중에 따로 하고요.

주기함수와 주기라는 새로운 용어도 나오는데 그 의미를 잘 알아두면 삼각함수의 그래프의 특징을 이해하는 데 많은 도움이 될 거예요.

삼각함수의 그래프

sin 그래프

삼각함수의 그래프를 그릴 때는 좌표평면 위에 단위원(반지름의 길이가 1인 원)을 그려서 하는 게 편해요.

θ를 나타내는 동경 와 단위원이 만나는 점을 P(x, y)라고 하고 sinθ를 구해보죠.

즉 θ가 커지고 점 P가 움직일 때 sinθ는 y좌표의 값과 같아요.

이걸 이용해서 y = sinθ의 그래프를 그려보죠.

θ와 sinθ의 관계를 함수로 나타내면 y = sinθ로 나타낼 수 있어요. 여기서 y는 좌표평면에서 사용했던 y와는 다른 y입니다. 일반적으로 함수를 나타내는 y = f(x)에서의 y에요. f(x)는 x에 관한 식이므로 여기서는 x 대신 θ를 썼으니까 y = f(θ)라고 하는 게 맞겠네요. θ에 관한 식이 sinθ이므로 이 둘을 합쳐서 y = sinθ라는 함수가 되는 거예요.

왼쪽 그림은 좌표평면 위의 x, y이고 오른쪽 그림에서 x, y는 θ와 sinθ를 함수로 표현한 x, y에요. 차이를 분명히 이해해야 해요.

왼쪽 그림에서 삼각함수 sinθ가 y 좌표(높이)와 같다고 했어요. θ가 커지면 y 좌표의 값, 즉 sinθ의 값이 어떻게 바뀌는지 살펴보죠.

θ = 0일 때, sinθ도 0이네요.

θ가 제 1 사분면 위의 각일 때, θ가 점점 커지면 sinθ도 커지고요.

θ = 90°가 되었을 때를 보죠. 라디안으로하면 에요. 동경이 y축의 양의 방향과 일치하게 되고 이때의 sinθ = 1이네요.

θ가 제 2 사분면 위의 각일 때, θ가 커지면 sinθ는 작아져요. 그러다가 θ = 180° = π가 될 때 sinθ = 0이죠.

θ가 제 3 사분면 위의 각일 때, θ가 커지면 sinθ는 음수가 되어 점점 작아지고, θ = 270° = 가 되면 sinθ = -1이 되네요.

θ가 제 4 사분면 위의 각일 때, θ가 더 커지면 sinθ가 커지고 θ = 360° = 2π일 때, sinθ = 0이 돼요.

θ가 360보다 더 커지면 어떻게 되나요. 그래도 동경의 위치가 같으니까 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서 했던 것처럼 sinθ = sin(2nπ + θ)가 돼요. 앞서 설명한 sinθ의 변화가 반복되는 거죠.

θ의 크기가 커지는 것과 sinθ의 관계를 나타낸 게 오른쪽 그래프에요. 마치 물결모양을 길게 그려놓은 것처럼 생겼죠.

sinθ의 값을 보면 처음에 0으로 시작했다가 1까지 커지고, 다시 0으로 작아지고, -1까지 작아지고, 0이 되는 과정을 반복해요. -1부터 1 사이의 값만 가지요. 치역이 {y| -1 ≤ y ≤ 1}이에요. 반면 θ는 계속 커지기도 하고 계속 작아질 수 있으므로 정의역은 실수 전체의 집합이에요.

삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서 sin(-θ) = -sinθ가 됐었어요. θ가 음수가 되면 sinθ도 음수가 되므로 이런 관계는 원점에 대하여 대칭이죠. 그래프를 보면 확인할 수 있어요.

주기함수

어떤 행사를 할 때, 1주기 기념식, 2주기 기념식 이렇게 이름 붙은 행사를 봤죠? 여기서 말하는 주기는 어떤 일이 일정한 간격으로 반복적으로 행해질 때 그 반복되는 기간을 말해요. 기념식은 매년 같은 날짜에 열리니까 이 경우에는 주기가 1년이 되는 거죠. 대통령 선거는 5년에 한 번씩 해요. 그럼 주기가 5년이 되는 거예요.

함수 y = f(x)에서 임의의 x에 대하여 f(x) = f(x + p)가 성립하는 0이 아닌 p가 있을 때 이 함수를 주기함수라고 하고, p를 주기라고 해요.

y = sinθ는 y = sin(2nπ + θ)이므로 2π가 더해질 때마다 같아져요. 따라서 sinθ는 주기가 2π인 주기함수예요.

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제곱근표, 삼각비표에 이은 세 번째 표 삼각함수표예요. 삼각함수표는 제곱근표와 삼각비표가 그랬던 것처럼 교과서나 문제집의 제일 끝 부분에 있어요.

삼각함수표는 정말 정말 쉬워요. 삼각비표와 99% 같으니까요. 사실 삼각함수표를 이용하는 경우는 별로 많지는 않지만 그래도 내용은 알고 있어야 해요.

그리고 삼각비표보다 더 중요한 건 특수각의 삼각함수 그러니까 특수한 각의 삼각비, 30°, 45°, 60°에요. 꼭 외우세요.

삼각함수표의 사용

삼각비 표는 0°부터 90°까지의 각을 1° 간격으로 나누어 이들의 삼각비의 근삿값을 표로 나타낸 거죠.

삼각함수의 sin, cos, tan를 구하는 방법은 삼각비 sin, cos, tan를 구하는 방법과 거의 같아요. 따라서 삼각함수표는 삼각비표와 거의 같지요. 딱 하나 다른 점이 있는데, 바로 호도법이 추가되었다는 거지요. 육십분법의 ° 단위 뿐 아니라 호도법의 라디안 단위도 표에 나와요.

즉, 삼각함수표는 1° ~ 90° 사이의 각을 1° 간격으로 나누어 삼각함수의 근삿값을 표로 나타낸 것으로 °단위 뿐 아니라 라디안 단위의 각도 포함하고 있는 거죠

이제까지 라디안을 공부할 때는 π를 이용한 라디안을 썼는데, 삼각함수표에는 π가 아니라 소수로 나오죠. 그래서 사실 삼각함수표에서 라디안을 이용할 일은 거의 없어요.

그냥 이런 게 있다 정도로만 알고 있으면 돼요. 표를 읽는 방법은 어렵지 않죠?

이 삼각함수표에는 90°까지밖에 나오지 않아요. 90°보다 더 큰 각의 삼각함수를 구할 때는 삼각함수 각의 변환 총정리에서 했던 방법처럼 문제에 나오는 각을 90° × n + θ (n은 정수, 0° < θ < 90°)로 바꿔서 구해야 합니다.

위 삼각함수표를 이용하여 다음을 구하여라.
sin135° + cos226° + tan407°

삼각함수 각의 변환 총정리에서 했던 방법을 이용해서 풀어보죠.

sin135° = sin(90° × 1 + 45°) = cos45° = 0.7071
(∵ n = 1로 홀수이므로 sin → cos, 135°는 제 2 사분면의 각이므로 sin135°는 +)

cos226° = cos(90° × 2 + 46°) = -cos46° = -0.6947
(∵ n = 2로 짝수이므로 cos → cos, 226°는 제 3 사분면의 각이므로 cos226°는 -)

tan407° = tan(90° × 4 + 47°) = tan47° = 1.0724
(∵ n = 4로 짝수이므로 tan → tan, 407°는 제 1 사분면의 각이므로 tan407°는 +)

sin135° + cos226° + tan407° = 0.7071 - 0.6947 + 1.0724 = 1.0848

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삼각함수는 기본적으로 sin, cos, tan의 세 가지예요. 거기에 각도 기본적인 θ에 -θ, 2nπ ± θ, π ± θ, ± θ로 7가지가 더 있어요. 그래서 기본 삼각함수 3개에 삼각함수 각의 변환 21개까지 총 24가지가 있어요.

물론 각의 변환 21가지를 다 외울 수 있으면 외우면 좋아요. 하지만 외우기에는 개수도 너무 많고 헷갈리죠. 그래서 이걸 한 번에 총정리하는 시간이 필요합니다. 특히 이 모든 걸 한 방에(?) 해결할 수 있는 공식이 있으니까 꼭 외웠다가 상황에 맞게 적용하세요.

삼각함수 각의 변환 총정리

삼각함수 각의 변환은 앞서 했던 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ, 삼각함수 각의 변환 2 - π ± θ, π/2 ± θ에서 그 이유와 결과를 공부했어요.

하지만 과정이 조금 복잡하고 개수도 많고 비슷비슷해서 헷갈리기가 쉽죠. 이 모든 경우에 한번에 적용할 수 있는 공식(?)이 있어요. 물론 공식을 안다고 해서 계산이 쉬워지는 건 아니지만 변환 과정은 조금 쉬워질 겁니다.

앞서 공부했던 내용들을 이용해서 이 과정이 나오게 된 이유를 생각해보는 것도 좋을 것 같아요.

1. 나오는 각을 + θ 또는 90°n + θ로 바꾼다.
   이때, n은 정수, 0 < θ <  또는 0 < θ < 90°
2. • n이 짝수이면 바꾸지 않는다.
     • sin → sin
     • cos → cos
     • tan → tan
   • n이 홀수이면 바뀐다.
     • sin → cos
     • cos → sin
     • tan →
3. + θ 또는 90°n + θ가 몇 사분면의 각이냐에 따라 +, -를 붙인다.
   올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos)

다음을 구하여라.
(1) sin120° × cos150° × tan210°
(2) sinθ = , cosθ = , tanθ = 일 때,
       (단, 0 < θ < )

(1) 삼각함수별로 따로 나눠서 생각해보죠.

sin120° = sin(90° × 1 + 30°)
n = 1로 홀수니까 sin → cos, 120°는 제 2 사분면의 각으로 sin은 (+)부호를 가져요.
sin120° = sin(90° × 1 + 30°) = cos30° = 

cos150° = cos(90° × 1 + 60°)
n = 1로 홀수이므로 cos → sin, 150°는 제 2 사분면의 각으로 cos은 (-) 부호를 가져요.
cos150° = cos(90° × 1 + 60°) = -sin60° = -

tan210° = tan(90° × 2 + 30°)
n = 2로 짝수니까 tan → tan, 210°는 제 3 사분면의 각으로 tan는 (+) 부호를 가져요.
tan210° = tan(90° × 2 + 30°) = tan30° =

sin120° × cos150° × tan210° =

(2)도 따로 나눠서 보죠.

n = 1로 홀수니까 sin → cos,  + θ는 제 2 사분면의 각으로 sin은 (+) 부호를 가져요.

n = 2로 짝수니까 cos → cos, π + θ는 제 3 사분면의 각으로 cos은 (-) 부호를 가져요.

n = 3으로 홀수니까 tan → ,  + θ는 제 4 사분면의 각으로 tan는 (-) 부호를 가져요.

하나로 다 모으면

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삼각함수의 각의 변환 두 번째예요. 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서는 θ가 2nπ + θ일 때와 -θ일 때를 공부해봤는데요. 이 글에서는 θ가 π ± θ일 때와 일 때를 공부할 거예요.

삼각함수는 기본적으로 sin, cos, tan의 세 가지인데, 거기에 π ± θ와 로 네 개의 각이 나오죠? 그러니까 총 12가지 변환하는 내용이 나와요. 게다가 θ, -θ에 관한 내용도 있어서 양도 많고 상당히 헷갈리는 내용이니까 그림과 설명을 하나씩 잘 짚어가면서 공부해야 해요.

삼각함수 각의 변환

π ± θ의 삼각함수

θ와 π + θ의 삼각함수를 비교해보죠.

그림을 보면 알 수 있겠지만 θ를 나타내는 동경과 π+ θ를 나타내는 동경은 서로 원점에 대하여 대칭이에요. 점 P의 좌표를 (x, y)라고 하고 점 P'의 좌표를 (x', y')라고 한다면 점 P와 점 P'는 원점에 대하여 대칭이므로 부호가 서로 반대예요.

x' = -x
y' = -y

다른 방법으로 생각해보죠. 원점에 대하여 대칭이면 제 1 사분면의 각은 제 3 사분면의 각이 되고, 제 2 사분면의 각은 제 4 사분면의 각이 돼요. 제 1 사분면 ↔ 제 3 사분면, 제 2 사분면 ↔ 제 4 사분면

올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos) 에서 tan 함수는 제 1, 3 사분면의 부호가 (+)로 같고, 제 2, 4 사분면의 부호는 (-)로 같아요. tan은 원점에 대하여 대칭일 때는 부호가 같다는 얘기지요. 따라서 θ가 π + θ가 되어도 tan의 부호는 그대로 인 거예요. sin과 cos는 원점에 대하여 대칭이 아니기 때문에 θ가 π + θ가 되면 부호가 반대로 바뀌어요.

• sin(π + θ) = -sinθ
• cos(π + θ) = -cosθ
• tan(π + θ) = tanθ

이번에는 π - θ의 삼각함수를 알아보죠. 위의 π + θ에서 θ를 -θ로 바뀌기만 하면 돼요.

sin(π - θ) = sin{π + (-θ)} = -sin(-θ) = sin(θ)
cos(π - θ) = cos{π + (-θ)} = -cos(-θ) = -cos(θ)
tan(π - θ) = tan{π + (-θ)} = tan(-θ) = -tan(θ)

의 삼각함수

이번에는 의 삼각함수를 알아보죠.

앞서 했던 여러 삼각함수에서는 대칭이동이었는데, 이번에는 대칭이동이 아니에요.

점 P의 좌표를 (x, y)라고 하고 점 P'의 좌표를 (x', y') 한다면 이 둘 사이에는 어떤 관계가 생길까요? x' = -y, y' = x의 관계가 성립해요. 이 관계가 어떻게 나오는지 잘 이해하셔야 해요.

x' = -y
y' = x

이번에는 의 삼각함수를 알아보죠. 위의 에서 θ를 -θ로 바뀌기만 하면 돼요.

지금까지 삼각함수의 각의 변환을 공부해봤는데, sin, cos, tan 세 가지에다 부호까지 엄청나게 헷갈리죠? 물론 이걸 다 외우면 좋겠지요. 하지만 너무 헷갈려서 외우기가 어렵다면 굳이 외울 필요는 없어요.

이걸 쉽게 변환하는 방법은 삼각함수 각의 변환 총정리에서 다뤄보기로 하죠.

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삼각함수 각의 변환 첫 번째예요. 여기서는 삼각함수에 사용되는 각이 일반각일 때와 사용된 각의 부호가 반대로 되었을 때 삼각함수의 값이 어떻게 바뀌는지를 알아볼 거예요. 또 이 두가지를 합쳤을 때의 삼각함수 값도 알아볼 거고요.

일반각을 호도법으로 표시하는 방법에 대해서 알고 있어야해요. 그리고 삼각함수를 구할 때 사용했던 그림있죠? 좌표평면 위에 원을 그리고 한 점에서 수선을 내렸던 그림도 잘 알고 있어야해요. 이 두 가지만 알고 있으면 이번 내용은 별로 어렵지 않을 거예요.

계산 문제가 살짝 어려울 수 있는데, 이때는 그림을 그려서 풀면 조금 더 쉬울 거예요.

삼각함수 각의 변환

일반각의 삼각함수, 2nπ + θ

삼각함수 sinθ, cosθ, tanθ의 각에서 θ는 0 ≤ θ < 2nπ의 범위를 가져요. 그런데 같은 동경에 위치한 θ라 하더라도 각이 다를 수 있어요. 우리는 이걸 호도법, 라디안(radian)에서 일반각으로 표현하는 걸 공부했었지요. 2nπ + θ (n은 정수, 0 ≤ θ < 2nπ)

각의 크기는 다르더라도 동경의 위치가 같으니까 x, y, r의 값이 같고 이들의 삼각함수 값도 같아요.

• sinθ = sin(2nπ + θ)
• cosθ = cos(2nπ + θ)
• tanθ = tan(2nπ + θ)

-θ의 삼각함수

이번에는 θ의 부호가 반대일 때를 보죠. 부호가 반대라는 건 시초선으로 부터 동경이 움직이는 방향이 반대라는 뜻으로 그림으로 나타내면 다음처럼 돼요.

-θ일 때는 점 P'(x', y')을 이용해서 삼각함수를 구해야겠네요. 점 P와 점 P'는 x축 대칭이므로 y의 부호가 반대예요. x와 r은 그대로이고요.

x' = x
y' = -y

θ가 -θ로 바뀌면 sin과 tan는 부호가 반대로 바뀌지만 cos은 부호가 바뀌지 않는 걸 알 수 있어요.

다른 방법으로 생각해볼까요? θ와 -θ는 x축 대칭이에요. θ가 제 1 사분면의 각이라면 -θ는 제 4 사분면의 각이 되고, θ가 제 2 사분면의 각이라면 -θ는 제 3 사분면의 각이 돼요. 제 1 사분면 ↔ 제 4 사분면, 제 2 사분면 ↔ 제 3 사분면

삼각함수 값의 부호에서 올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos) 있었죠? 여기에서 cos 함수는 제 1, 4 사분면의 부호가 (+)로 같고, 제 2, 3 사분면의 부호는 (-)로 같아요. cos은 x축에 대칭일 때는 부호가 같다는 얘기지요. 따라서 θ가 -θ가 되어도 cos의 부호는 그대로 인 거예요. sin과 tan는 x축 대칭이 아니기 때문에 θ가 -θ가 되면 부호가 반대로 바뀌어요.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ

2nπ - θ의 삼각함수

위에서 했던 2nπ + θ(n은 정수)와 -θ의 삼각함수 이 두 가지를 합쳐보면 2nπ - θ의 삼각함수를 구할 수 있어요. 2nπ - θ는 -θ와 동경의 위치가 같아요. 따라서 삼각함수 값도 같지요.

sin(2nπ - θ) = sin{2nπ + (-θ)} = sin(-θ) = -sinθ
cos(2nπ - θ) = cos{2nπ + (-θ)} = cos(-θ) = cosθ
tan(2nπ - θ) = tan{2nπ + (-θ)} = tan(-θ) = -tanθ

다음 삼각함수의 값을 구하여라.

예제에 있는 각이 2π보다 크니까 일단 일반각으로 나타내야겠네요.

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삼각함수의 정의에 대해서 알아봤는데요, 이번에는 삼각함수 사이의 관계에 대해서 알아보죠.

삼각함수는 sin, cos, tan 세 가지가 있고, 이들 사이에는 재미있는(?) 관계가 있어요. 삼각함수 사이의 관계를 그림과 식을 통해서 유도해보고, 그 결과를 이용해서 문제를 풀어볼 거예요.

삼각함수 사이의 관계를 유도과정은 별로 어렵지 않으니까 금방 이해할 수 있어요. 관계가 2가지 나오는데 문제에 자주 나오니까 꼭 외워두세요.

삼각함수 사이의 관계

삼각함수의 정의를 공부할 때 사용했던 그림이에요.

이 그림에서 삼각함수 세 가지를 구할 수 있었죠?

• sinθ =
• cosθ =
• tanθ =

sinθ를 cosθ로 나눠보죠.

위 그림에서 와 점 P에서 x축에 내린 점선, x축의 세 변으로 이루어진 삼각형은 직각삼각형이에요. 피타고라스의 정리의 정리에 의해 x² + y² = r²이 돼요. 이 성질을 이용해서 이번에는 sinθ와 cosθ를 제곱해서 더해보죠.

(sinθ)², (cosθ)², (tanθ)²를 sin²θ, cos²θ, tan²θ라고 써요. 따라서 위 내용을 간단히 정리하면 sin²θ + cos²θ = 1이라고 할 수 있죠.

삼각함수 사이의 관계

sin²θ + cos²θ = 1

θ가 제 2 사분면 위의 각이고 sinθ = 일 때, cosθ와 tanθ를 구하여라.

θ가 제 2 사분면 위의 각이니까 올 - 싸 - 탄 - 코에 의해서 sinθ만 양수이고, cosθ와 tanθ는 음수에요.

위 삼각함수 사이의 관계 두 번째를 이용해서 cosθ를 먼저 구해보죠.

sinθ와 cosθ를 알았으니 삼각함수 사이의 관계 첫 번째를 이용해서 tanθ를 구할 수 있어요.

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삼각함수의 각의 변환

삼각함수라는 새로운 함수를 공부할 거예요. 삼각함수는 쉽게 말해서 삼각비 + 호도법 + 함수예요. 삼각비에서 직각삼각형 세 변의 길이의 비는 각에 대한 일정한 관계가 있었죠? 이 일정한 관계를 함수로 나타낸 것이 삼각함수예요. 삼각비에서는 직각삼각형에서 세 변의 길이의 비를 이용했다면 삼각함수에서는 좌표평면 위의 좌표를 이용하는 차이가 있어요. 또 삼각비에서는 육십분법으로 나타낸 각을 이용했다면 삼각함수에서는 호도법으로 나타낸 각을 이용하죠.

그러니까 삼각함수를 잘하려면 삼각비와 호도법에 대해서 정확히 이해하고 있어야 해요.

삼각함수의 뜻, 삼각함수의 정의

xy좌표평면에 반지름의 길이가 r인 원을 그리고 원 위의 임의의 점을 P라고 해보죠. x축 양의 방향을 시초선으로 하고 동경 가 이루는 각을 θ라고 할 때, ,  , ,는 θ의 크기에 따라 한 가지로 정해져요.

r ≠ 0일 때, θ → , θ → , θ → 는 각각 θ에 대한 함수가 돼요. 이 함수를 차례로 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라고 하고 기호로 sinθ = , cosθ = , tanθ = 로 나타냅니다. 그리고 이 세 가지를 묶어서 삼각함수라고 해요.

마치 삼각비, sin, cos, tan에서 빗변과 밑변, 높이 사이의 비를 구했던 것처럼 말이죠. 반지름 r을 빗변의 길이, x를 밑변의 길이, y를 높이라고 생각하면 쉬워요. 대신 삼각비에서는 길이의 비여서 사용하는 숫자가 모두 양수였지만 삼각함수에서는 좌표를 이용하므로 음수도 사용한다는 차이가 있어요.

• sinθ =
• cosθ =
• tanθ =

좌표평면 위에서 원점 O와 점 P(-3, -4)를 이은 선분 OP를 동경으로 하는 각을 θ라고 할 때 sinθ, cosθ, tanθ를 구하여라.

= 5네요.

sinθ =
cosθ =
tanθ =

삼각함수 값의 부호

삼각함수 값의 부호는 θ가 나타내는 동경의 위치에 따라 달라져요. θ가 몇 사분면 위의 각인지에 따라 부호가 달라지죠. 이때, r은 반지름이니까 무조건 양수예요. 따라서 삼각함수의 부호에 영향을 주는 요소는 좌표평면에서 x, y의 부호입니다.

삼각함수 값의 부호

	제 1 사분면	제 2 사분면	제 3 사분면	제 4 사분면
x, y 부호	x > 0, y > 0	x < 0, y > 0	x < 0, y < 0	x > 0, y < 0
sinθ =	+	+	-	-
cosθ =	+	-	-	+
tanθ =	+	-	+	-

제 1 사분면에서는 세 가지 모두 양수, 제 2 사분면에서는 sinθ만 양수, 제 3 사분면에서는 tanθ만 양수, 제 4 사분면에서는 cosθ만 양수네요. 1, 2, 3, 4 사분면 순서대로 양수인 것들만 뽑아서 올 - 싸 - 탄 - 코 (all - sin - tan - cos)라고 외워요.

각 함수별로 보면 양수가 되는 사분면이 2개, 음수인 사분면이 2개씩 있어요. 사인함수는 제 1, 2, 사분면이 양수이고, 코사인함수는 제 1, 4 사분면이 양수, 탄젠트함수는 제 1, 3 사분면이 양수예요.

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부채꼴 호의 길이와 넓이를 중학교 1학년 때 구해봤어요. (부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이) 이때는 각이 육십분법으로 표시되어 있었죠. 이제는 육십분법이 아니라 호도법으로 표시된 각을 이용해서 부채꼴 호의 길이와 넓이를 구해봐요.

공식을 유도하는 과정은 육십분법에서 했던 과정과 똑같아요. 각을 표시하는 방법만 달라지는 거니까 별로 어렵지는 않을 거예요. 앞으로는 육십분법이 아니라 호도법으로 각을 나타낼 거니까 여기에 나오는 공식을 외워두세요.

부채꼴 호의 길이와 넓이

반지름의 길이가 r인 원에서 중심각의 크기가 θ라디안인 부채꼴 호의 길이를 l이라고 하고 넓이를 S라고 해보죠.

부채꼴 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 원의 둘레와 비례식을 세워보죠.

2π : 2πr = θ : l
l = rθ

원의 넓이와 부채꼴의 넓이도 비례식을 세워볼까요?

2π : πr² = θ : S

위의 부채꼴 호의 길이에서 l = rθ이므로 이걸 넓이 공식에 대입해보면 이 돼요. rl이라는 공식은 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이 공식도 나왔던 공식이에요.

반지름이 r이고 중심각의 크기가 x°인 부채꼴 호의 길이와 넓이는 다음과 같아요.

이글에서는 육십분법을 호도법으로 바꾼 거니까 다른 건 그냥 다 두고 각도를 나타내는 부분만 바꿔보죠. 360°는 2π(라디안), 중심각 x°는 θ(라디안)로 바꿔봐요.

공식을 유도할 수 있겠죠?

부채꼴 호의 길이
반지름이 r이고, 중심각의 크기가 θ인 부채꼴 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면
l = rθ
S = r²θ = rl

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 π인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.

반지름의 길이가 4cm이고 중심각의 크기가 &pi니까 둘레 l = rθ = 4 × π = 4π(cm)

S = r²θ = × 4² × π = 8π(cm²)

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지금까지는 각의 크기를 나타낼 때, 30°, 90°처럼 도(°) 단위를 사용했어요. 이를 육십분법이라고 해요. 이글에서는 라디안이라는 새로운 단위와 호도법이라는 각도를 표시하는 방법을 공부할 거예요.

앞으로 나올 삼각함수에서는 육십분법을 사용하는 것보다 호도법을 사용하는 게 훨씬 더 편리하기 때문이죠. 여기서 공부할 호도법을 모르면 삼각함수를 공부하는 게 엄청나게 어려워지니까 매우 중요한 내용이에요.

육십분법과 호도법 사이의 차이를 잘 이해하고 하나의 각도를 두 방법으로 모두 나타낼 수 있도록 연습을 많이 하세요.

호도법

호도법은 호의 길이를 이용해서 각도를 표시하는 방법이라는 뜻이에요.

반지름의 길이가 r인 원에서 호의 길이가 반지름 r과 같은 호 AB를 잡고 그 각을 a°라고 해보죠.

부채꼴 호의 길이는 중심각에 비례하므로 원의 둘레와 부채꼴 호의 길이를 이용해서 비례식을 세울 수 있어요.

360° : 2πr = a° : r

부채꼴 호의 중심각 a는 반지름에 상관없이 항상 일정한 값을 갖게 되는데, 이 값을 1라디안(radian, radius angle)이라고 해요.

호도법: 라디안을 단위로 하여 각도를 나타내는 방법
π라디안 = 180°
1라디안 = , 1° = 라디안

일반적으로 라디안이라는 단위를 생략하는 경우가 많아요. 180°는 180이라고 말하지 않지만 π라디안은 그냥 π라고만 말하는 거죠

주요 각의 육십분법과 호도법 표현

육십분법	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
호도법	0					π	π	2π

일반각을 호도법으로 나타내기

동경이 나타내는 한 각의 크기를 a°라고 할 때, 일반각은 360° × n + a°였어요. n은 정수고 0° ≤ a° < 360°고요.

육십분법이 아니라 호도법으로 나타내보죠. 호도법에서는 동경이 나타내는 한 각의 크기가 a°가 아니라 θ라디안이고, 위 표에 있듯이 360° = 2π니까 대입해보면 2nπ + θ가 되는거죠. 마찬가지로 n은 정수고 0 ≤ θ < 2π의 범위를 가져요.

다음 동경이 나타내는 일반각을 호도법으로 나타내어라.
(1) 600°
(2) -600°

(1) 육십분법으로 나와있는 각의 일반각을 구하고 이를 라디안 단위를 이용해서 호도법으로 바꿔야겠네요.

600° = 360° × 1 + 240°

360° = 2π로 바꾸면 되니까, 240°가 호도법으로 얼마인지 구해야겠네요.

180° : π = 240° : θ
θ = π

위 내용을 정리하면,

600° = 360° × 1 + 240°
      = 2π × 1 + π

(2) 음수긴 하지만 상관없어요.

-600° = 360° × (-1) - 240°
        = 360° × (-2) + 120°

뒷부분(a 부분)이 0°보다 크거나 같고 360°보다 작아야 하므로 -240°를 +120°로 바꾸는 과정이 필요하네요.

180° : π = 120° : θ
θ = π

정리하면,

-600° = 360° × (-2) + 120°
        = 2π × (-2) + π

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새로운 단원이에요.

이 글에서는 이제까지 우리가 알고 있던 각의 범위를 확장할 거예요. 단순히 각의 크기를 구하는 게 아니라 각의 개념을 다시 정의하고 각을 파악하는 새로운 방법에 대해서 공부할 거예요.

일반각, 시초선, 동경, 사분면 위의 각 등 몇 가지 용어들이 나오는데 그냥 이해만 하면 되고, 굳이 외울 필요는 없어요.

앞으로는 각을 볼 때, 각이 나타내는 여러 가지 의미들을 잘 파악할 수 있어야 해요.

일반각

일반적으로 각은 두 직선 사이의 벌어진 정도를 말해요. 0° ~ 360° 사이의 각으로 나타내죠.

아래 그림에서 의 위치에서 점 O를 중심으로 가 회전할 때, 회전한 정도를 각의 크기라고 하고, 시작하는 선인 를 시초선, 움직이는 선인 를 동경이라고 해요.

우리가 이제까지 봐왔던 각은 방향을 고려하지 않았어요. 하지만 동경이 회전하는 방향도 중요하게 고려해야 할 요소예요. 동경 가 시계 반대방향으로 회전하면 양의 방향으로 회전한다고 하고, 시계 방향으로 회전하면 음의 방향으로 회전한다고 해요. 동경 가 양의 방향으로 회전하여 생긴 각을 양의 각, 음의 방향으로 회전해서 생긴 각을 음의 각이라고 합니다.

방향뿐 아니라 회전횟수에 대해서도 고려해 보죠. 동경 가 어떤 위치에 있을 때 몇 번 회전해서 현재 위치에 있는 지도 중요하겠죠?

첫 번째 그림에서 한 바퀴도 돌지 않고 각을 만들었다면 각의 크기는 30°라고 할 수 있어요. 하지만 두 번째 그림처럼 한 바퀴 돌고 각을 이루었다면 360° + 30°가 되고, 두 바퀴 돌고 각을 이루었다면 720° + 30°가 되겠죠?

같은 위치에 있는 동경이라고 하더라도 회전한 방향과 회전한 수에 따라 각의 크기가 달라져요. 그래서 동경의 위치만 보고 각의 크기를 나타낼 때는 θ = 360° × n + a° (n은 정수)라고 쓰는데 이를 일반각이라고 합니다.

일반각에서 a°는 양의 최소각을 말하고 대게 0° ~ 360°의 각을 이용해요. 360° × 2 + 1000° 이렇게 나타내지 않고 360° × 4 + 280°로 나타냅니다.

일반각
θ = 360° × n + a° (n은 정수)
0° ≤ a° < 360°

다음을 양의 최소각을 이용하여 일반각으로 나타내어라.
(1) 500°
(2) -500°

일반각은 360° × n + a°로 나타내는 데, 이때 n은 정수이고 0° ≤ a° < 360°의 범위를 가져요.

(1) 500° = 360° × 1 + 140°

(2) 번은 각의 크기는 500°로 같은데 (-)로 음의 각이에요. 회전한 방향이 반대란 얘기죠. n이 음수가 되겠네요.
-500° = 360° × (-1) - 140°
        = 360° × (-2) + 220°

사분면 위의 각

좌표평면 위에서 x축의 양의 방향을 시초선으로 잡을 때 동경 가 있는 사분면의 위치에 따라 각을 제 1 사분면의 각, 제 2 사분면의 각, 제 3 사분면의 각, 제 4 사분면의 각이라고 불러요. 참고로 x, y축은 사분면에 포함되지 않아요.

위 그림에서 가 제 1 사분면에 있으니까 이 각은 제 1 사분면의 각이네요.

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무리함수의 역함수도 그냥 일반적인 함수의 역함수와 같아요. 가장 큰 차이가 있는 게 바로 정의역이죠. 다항함수는 실수 전체가 정의역이고 분수함수는 분모 ≠ 0인 x를 제외한 실수가 정의역이에요. 무리함수는 근호 안이 0 또는 양수인 x가 정의역이고요.

무리함수의 역함수는 이차함수인데, 이제까지 우리가 공부했던 이차함수는 실수 전체 집합을 정의역으로 하는 함수지만 무리함수의 역함수인 이차함수는 정의역이 실수 전체가 아니에요. 따라서 정의역을 따로 구해줘야 하고 꼭 함께 써줘야 합니다. 역함수의 정의역을 찾는 걸 놓치지 마세요.

무리함수의 역함수

무리함수, 무리함수의 그래프에서 살짝 얘기한 적이 있는데, 무리함수의 역함수에 대해서 알아보죠.

역함수를 구하는 방법은 역함수, 역함수 구하는 법에서 했던 것과 똑같아요. 식만 무리식이 된 것뿐이죠.

1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
3. x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.

무리함수  (a ≠ 0)의 역함수가 이차함수  (a ≠ 0)라는 건 구해봤으니까 이번에는  (a ≠ 0)의 역함수를 한 번 구해볼까요?

먼저 정의역을 구해야 하죠. a > 0이라면 정의역은 {x|x ≥ }이고, a < 0이면 정의역은 {x|x ≤ }가 되겠네요. 치역은 a의 부호와 상관없이 {y|y ≥ c}고요.

무리함수의 역함수가 이차함수가 되었어요. 정의역은 원래 함수의 치역과 같으므로 {x|x ≥ c}이에요.

일반적으로 이차함수의 정의역은 모든 실수인 데 비해 무리함수의 역함수인 이차함수의 정의역은 실수 전체가 아니니까 꼭 정의역을 따로 구해줘야 합니다.

무리함수 역함수의 성질

역함수를 구하는 과정에서 x, y를 바꾸는 과정이 있어요. 직선에 대하여 대칭이동(y = x, y = ax + b)에서 y = x에 대하여 대칭이동하면 x 대신 y, y 대신 x를 대입한다고 했죠? 즉, x와 y를 바꾸는 거예요. 따라서 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이동한 것과 같죠. 이건 무리함수의 그래프에서만 아니고 모든 함수의 역함수에서 공통된 성질이에요.

의 역함수를 구하여라.

근호 안이 0 또는 양수여야 하므로 x + 5 ≥ 0에서 정의역은 {x|x ≥ -5}이에요. 치역은 {y|y ≥ 1}이고요.

역함수의 정의역은 {x|x ≥ 1}입니다.

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무리함수의 뜻과 성질을 공부했으니 이제 다른 형태의 무리함수에 대해서 알아보죠. 앞서 유리함수에서도 그랬듯이 기본형을 공부하고 나서 다른 형태의 함수를 공부할 때는 기본형을 평행이동한 걸 공부해요. 따라서 기본형의 성질을 잘 알고 있어야 해요.기본형에서 다른 형태로 평행이동을 하게되면 어떤 성질이 어떻게 바뀌는 지만 잘 파악하면 돼요.

이런 진행과정은 이차함수의 평행이동은 물론이고, 원의 방정식에서도 했던 과정이에요.

여러 형태의 무리함수 중에서 모양을 바꿔야하는 경우도 있으니 이 경우도 잘 봐두세요.

무리함수

무리함수  (a ≠ 0)의 그래프

유리함수 2, 분수함수에서 의 그래프는 의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프라고 했어요.

마찬가지로  (a ≠ 0)의 그래프는 (a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프예요.

무리함수의 정의역은 근호 안의 부분이 0 또는 양수가 되는 x의 범위이고 그에 따라 치역도 정해진다고 했어요. a > 0일 때, 의 정의역은 {x|x ≥ p}이고, 치역은 {y|y ≥ q}가 됩니다.

a(x - p) ≥ 0
x - p ≥ 0       (∵ 양변 ÷ a)
x ≥ p

a < 0이라면 (양변 ÷ a)에서 부등호의 방향이 바뀌겠죠? 따라서 a < 0이면 의 정의역은 {x|x ≤ p}가 되고, 치역은 {y|y ≥ q}가 돼요. a의 부호가 정의역 부등호의 방향에 영향을 줘요. 치역은 a의 부호와 상관없이 같고요.

 (a ≠ 0)의 그래프
(a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프
a > 0일 때, 정의역은 {x|x ≥ p}, 치역은 {y|y ≥ q}
a < 0일 때, 정의역은 {x|x ≤ p}, 치역은 {y|y ≥ q}

 (a ≠ 0)의 그래프

의 그래프는 꼴로 바꿔서 풀어요.

식의 모양을 바꾸니  (a ≠ 0)의 그래프)의 그래프는 (a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 c만큼 평행이동한 그래프라는 걸 알 수 있어요.

a > 0일 때, 정의역 {x|x ≥ }이고 치역은 {y|y ≥ c}가 되겠네요. a < 0일 때, 정의역 {x|x ≤ }이고 치역은 {y|y ≥ c}가 되겠네요.

 (a ≠ 0)의 그래프
의 꼴로 변형
  (a ≠ 0)의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 c만큼 평행이동한 그래프

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유리함수에 이어 무리함수예요. 무리함수는 유리함수보다 조금 더 쉬워요. 유리함수에서 했던 것 중에서 식만 무리함수에 맞게 바꾸면 되거든요. 기본적인 내용은 모두 같아요.

무리함수에는 x의 범위와 y의 범위를 파악하는 게 중요합니다. 이건 실수영역에서 제곱근의 정의를 잘 생각해보면 금방 알 수 있는 내용이니까 어렵게 생각하지는 마세요.

무리함수는 무리식을 이용한 함수니까 무리식에 관해서 잘 이해하고 있어야 해요. 생각나지 않는다면 한 번 읽어보세요.

무리함수

함수 y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 유리식이면 유리함수라고 해요. 그럼 f(x)가 x에 대한 무리식이면 뭐라고 부를까요? 바로 무리함수예요.

보통은 라고 써요.

함수는 실수 범위에서만 구해요. 근호 안이 0 또는 양수여야 합니다. ax ≥ 0이어야 하는데, a = 0이면 y = 0이 되어 무리함수가 아니죠? 따라서 별다른 언급이 없으면 무리함수 에서는 a ≠ 0이어야 하고, 근호 안이 0 또는 양수인 x의 범위를 정의역으로 해요.

다만, 이 글에서는 설명을 위해서 a > 0인 경우만 다루기로 하죠.

 (a > 0)의 역함수를 구해볼까요? ax ≥ 0이어야하는데 a > 0이니까 정의역은 x ≥ 0이네요. 치역도 y ≥ 0이죠?

어떤가요?  x ≥ 0일 때, 무리함수  (a > 0)와 이차함수  (a > 0)은 서로 역함수라는 걸 알 수 있어요. 이차함수와 무리함수의 관계에 대해서 얼추 이해가 되죠?

이번에는 a > 0이라고 할 때 와 여러 무리함수의 그래프를 그려보죠. 근호 안은 0 또는 양수가 되어야 해요.

의 그래프는 a > 0, x ≥ 0, y ≥ 0이므로 제 1 사분면에 그려져요.

의 그래프 a > 0, x ≤ 0, y ≥ 0이므로 제 2 사분면에 그려지고요. 의 그래프와 모양은 같은데 x의 부호가 반대니까 y축에 대하여 대칭이죠.

의 그래프는 a > 0, x ≥ 0, y ≤ 0이므로 제 4 사분면에 그려지죠. 의 그래프와 모양은 같은데, y의 부호가 반대니까 x축 대칭이죠.

의 그래프는 a > 0, x ≤ 0, y ≤ 0이므로 제 3 사분면에 그려져요. 의 그래프와 모양은 같은데, x, y의 부호가 반대니까 원점에 대하여 대칭이고요.

(a > 0)에서 a가 커지면 커질수록 그래프는 x축에서 멀어져요. a < 0일 때는 a가 작으면 작을수록 x축에서 멀어지기 때문에 이 둘을 합쳐 |a|가 커질수록 x축에서 멀어진다고 해요.

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분수함수의 역함수를 구하는 방법이에요. 분수함수에 대해서 공부했고요, 역함수에 대해서도 공부했어요. 분수함수의 역함수는 이 두 가지를 섞으면 돼요. 새로울 건 없어요.

분수식이기 때문에 계산이 조금 복잡할 수 있는데, 이를 해결하기 위한 공식도 있어요. 공식을 외우면 계산을 하지 않고 역함수를 구할 수 있죠. 어려운 공식은 아니니까 금방 외울 거예요.

분수함수의 역함수도 분수함수인 경우가 많으니까 이 역함수에서 분수함수의 특징인 점근선을 찾는 것, 정의역과 치역을 구하는 것도 해볼 거예요.

분수함수의 역함수

역함수를 구하는 방법은 일반적인 역함수 구하는 법과 같아요.

1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f^-1(y)
3. x와 y를 바꾼다. → y = f^-1(x)
4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.

다만 문제에서 알려주는 함수는 모두 일대일대응이기 때문에 따로 확인할 필요는 없으니 1단계는 그냥 건너뛰어도 되죠.

의 역함수를 한 번 구해볼까요?

2단계인 y = f(x)를 x = f^-1(y)로 풀어보죠.

3단계는 x, y를 서로 바꾸는 거예요.

4단계는 정의역과 치역을 서로 바꾸는 거죠.

y = f(x)의 정의역은 {x|x ≠ 인 모든 실수}, 치역은 {y|y ≠ 인 모든 실수}
→ y = f^-1(x)의 정의역은 {x|x ≠ 인 모든 실수}, 치역은 {y|y ≠ 인 모든 실수}

원래 함수와 역함수를 잘 비교해보세요.

잘 보면 분모의 상수항인 b와 분자의 일차항인 c가 자리를 바꿨고 부호도 반대로 바뀌었어요. 공식처럼 사용하면 되겠죠?

다음 분수함수의 역함수와 역함수의 점근선의 방정식을 구하여라.

(1) 번부터 해볼까요?

공식으로 한번 해보죠. 분모의 상수항과 분자의 일차항의 계수의 자리를 바꾸고 부호도 반대로 해볼게요.

결과가 같네요.

점근선은 x = (분모 = 0인 x값), y = (일차항의 계수비)니까 역함수의 점근선은 x = 3, y = -2가 되겠네요.

(2) 번은 바로 공식으로 역함수를 구해보죠.

점근선의 방정식은 x = 1, y = -1이네요.

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