삼각함수를 공부했으니까 이제 그 그래프에 대해서도 알아봐야겠죠. 삼각함수의 그래프 중에서 첫 번째로 sin 함수의 그래프에 대해서 알아보죠. sin 함수의 그래프를 그리는 방법과 sin 함수의 그래프의 특징이에요.

sin함수의 그래프를 그리는 방법과 sin 그래프의 특징은 cos의 그래프 그리는 법과 특징과 거의 같아요. 따라서 이거 하나만 잘해놓고 cos 함수의 그래프와 차이만 알아두면 편하죠. tan 그래프는 조금 다르니까 나중에 따로 하고요.

주기함수와 주기라는 새로운 용어도 나오는데 그 의미를 잘 알아두면 삼각함수의 그래프의 특징을 이해하는 데 많은 도움이 될 거예요.

삼각함수의 그래프

sin 그래프

삼각함수의 그래프를 그릴 때는 좌표평면 위에 단위원(반지름의 길이가 1인 원)을 그려서 하는 게 편해요.

삼각함수의 그래프 그리는 법

θ를 나타내는 동경 와 단위원이 만나는 점을 P(x, y)라고 하고 sinθ를 구해보죠.

즉 θ가 커지고 점 P가 움직일 때 sinθ는 y좌표의 값과 같아요.

이걸 이용해서 y = sinθ의 그래프를 그려보죠.

삼각함수 그래프 - sin 그래프

θ와 sinθ의 관계를 함수로 나타내면 y = sinθ로 나타낼 수 있어요. 여기서 y는 좌표평면에서 사용했던 y와는 다른 y입니다. 일반적으로 함수를 나타내는 y = f(x)에서의 y에요. f(x)는 x에 관한 식이므로 여기서는 x 대신 θ를 썼으니까 y = f(θ)라고 하는 게 맞겠네요. θ에 관한 식이 sinθ이므로 이 둘을 합쳐서 y = sinθ라는 함수가 되는 거예요.

왼쪽 그림은 좌표평면 위의 x, y이고 오른쪽 그림에서 x, y는 θ와 sinθ를 함수로 표현한 x, y에요. 차이를 분명히 이해해야 해요.

왼쪽 그림에서 삼각함수 sinθ가 y 좌표(높이)와 같다고 했어요. θ가 커지면 y 좌표의 값, 즉 sinθ의 값이 어떻게 바뀌는지 살펴보죠.

θ = 0일 때, sinθ도 0이네요.

θ가 제 1 사분면 위의 각일 때, θ가 점점 커지면 sinθ도 커지고요.

θ = 90°가 되었을 때를 보죠. 라디안으로하면 에요. 동경이 y축의 양의 방향과 일치하게 되고 이때의 sinθ = 1이네요.

θ가 제 2 사분면 위의 각일 때, θ가 커지면 sinθ는 작아져요. 그러다가 θ = 180° = π가 될 때 sinθ = 0이죠.

θ가 제 3 사분면 위의 각일 때, θ가 커지면 sinθ는 음수가 되어 점점 작아지고, θ = 270° = 가 되면 sinθ = -1이 되네요.

θ가 제 4 사분면 위의 각일 때, θ가 더 커지면 sinθ가 커지고 θ = 360° = 2π일 때, sinθ = 0이 돼요.

θ가 360보다 더 커지면 어떻게 되나요. 그래도 동경의 위치가 같으니까 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서 했던 것처럼 sinθ = sin(2nπ + θ)가 돼요. 앞서 설명한 sinθ의 변화가 반복되는 거죠.

θ의 크기가 커지는 것과 sinθ의 관계를 나타낸 게 오른쪽 그래프에요. 마치 물결모양을 길게 그려놓은 것처럼 생겼죠.

sinθ의 값을 보면 처음에 0으로 시작했다가 1까지 커지고, 다시 0으로 작아지고, -1까지 작아지고, 0이 되는 과정을 반복해요. -1부터 1 사이의 값만 가지요. 치역이 {y| -1 ≤ y ≤ 1}이에요. 반면 θ는 계속 커지기도 하고 계속 작아질 수 있으므로 정의역은 실수 전체의 집합이에요.

삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ에서 sin(-θ) = -sinθ가 됐었어요. θ가 음수가 되면 sinθ도 음수가 되므로 이런 관계는 원점에 대하여 대칭이죠. 그래프를 보면 확인할 수 있어요.

주기함수

어떤 행사를 할 때, 1주기 기념식, 2주기 기념식 이렇게 이름 붙은 행사를 봤죠? 여기서 말하는 주기는 어떤 일이 일정한 간격으로 반복적으로 행해질 때 그 반복되는 기간을 말해요. 기념식은 매년 같은 날짜에 열리니까 이 경우에는 주기가 1년이 되는 거죠. 대통령 선거는 5년에 한 번씩 해요. 그럼 주기가 5년이 되는 거예요.

함수 y = f(x)에서 임의의 x에 대하여 f(x) = f(x + p)가 성립하는 0이 아닌 p가 있을 때 이 함수를 주기함수라고 하고, p를 주기라고 해요.

y = sinθ는 y = sin(2nπ + θ)이므로 2π가 더해질 때마다 같아져요. 따라서 sinθ는 주기가 2π인 주기함수예요.

삼각함수 sinθ의 그래프의 성질
정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 {y| -1 ≤ y ≤ 1}
원점에 대하여 대칭
주기가 2π인 주기함수

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정리해볼까요

삼각함수 sinθ의 그래프의 성질

  • 정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 {y| -1 ≤ y ≤ 1}
  • 원점에 대하여 대칭
  • 주기가 2π인 주기함수
 
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